О равностепенной непрерывности одного семейства пространственных отображений с неограниченной характеристикой

Настоящая работа посвящена изучению отображений с конечным искажением, активно изучаемых в последнее время и являющихся обобщением отображений с ограниченным искажением по Решетняку [7]. Относительно отображений с конечным искажением см. также источники [5; 11–15].

В данной статье получено некоторое усиление одного результата, касающегося равностепенной непрерывности в замыкании области так называемых Q-гомеоморфизмов, являющихся подвидом отображений с конечным искажением [8]. Кольцевые Q-гомеоморфизмы, рассматриваемые в заметке, являются более общими отображениями, чем квазиконформные в смысле известного неравенства Полецкого: М(f (Г)) < К • М(Г), К = const < то, К > 1. Методы доказательства, приведенные здесь, в целом аналогичны подходу, использованному в [8], однако детали доказательства все же несколько отличаются. В частности, здесь нами использованы некоторые дополнительные факты из недавно вышедшей монографии [2] (см. еще работу [21]). Отметим также, что для квазиконформных отображений вопросы равностепенной непрерывности семейств отображений в замыкании области рассмотрены значительно ранее (см., например: [10; 18; 22]).

Всюду далее D — область в Rn, п > 2, m — мера Лебега Rn, а запись f: D ^ Rn предполагает, что отображение f, заданное в области D, непрерывно. Континуумом называется связный компакт Л С Rn. Кривой 7 мы называем непрерывное отображение отрезка [а,Ь] (либо интервала вида (а, Ь), [а,Ь) или (а, Ь]) в Rn, 7: [а,Ь] ^ Rn. Под семейством кривых Г подразумевается некоторый набор кривых 7 Е Г; при этом f (Г) = = {f 0 7 | 7 Е Г}. Следующие определения могут быть найдены, например, в [22, гл. I, разд. 1-6]. Борелевская функция р: Rn ^ [0, то] называется допустимой для семейства Г кривых 7 в Rn, если для каждой кривой 7 Е Г j р(х) |dx| > 1.

В этом случае мы пишем: р Е admГ . Модулем семейства кривых Г называется величина

М (Г) =

inf [ р^п(х} dm(x). p e admr J_D

При этом, если admГ = 0, полагаем М(Г) = то (см. [22, разд. 6, с. 16]). Отметим, что admГ = 0 в том и только том случае, если семейство Г содержит постоянную кривую 70; в этом случае для этой кривой соотношение (1) не выполнено ни для какой борелевской неотрицательной функции р, так как J р(х) |dx| = 0 < 1. (Здесь кривая 70 = 7o(t), t Е (0,1), называется постоянной, если 70(t) = const при всех t Е (0,1)).

Напомним некоторые хорошо известные свойства модуля М [22, теорема 6.2]: М (0) =

(.У Г.)

0; Г 1 С Г ^ М (Г 1 ) <  М (Г ₂ ); М

∞

< ^2 М (Г . ). Исходя из написанного

. =1

выше, модуль М представляет собой внешнюю меру на пространстве семейств Г всех кривых 7 в Rn. Гомеоморфизм f: D ^ Rn в области D С Rn, п > 2, Rn = Rn U {то}

называется К-квазиконформным (либо просто квазиконформным ), если при некотором К Е [1, то )

(1/К) • М (Г) <  М(f (Г)) <  К • М (Г)

для произвольного семейства Г кривых 7 в области D . Отметим, что для квазиконформности f достаточно, чтобы выполнялось только одно неравенство М(f (Г)) <  К • М (Г) (см.: [22, гл. IV, теорема 34.3]).

Граница dD области D С Rn и замыкание D области D понимаются далее исключительно в смысле расширенного пространства Rn. Пусть Е, F С Rn — произвольные множества. Обозначим символом Г(Е,F, D) семейство всех кривых 7: [а, Ь] ^ Rn, которые соединяют Е и F в D, то есть 7(а) Е Е, 7(Ь) Е F и 7(t) Е D при t Е (а, Ь). Здесь и далее

Л(г 1 ,Г 2 ,Х о ) := { х Е R ⁿ : r i <  | х - х о | <  Г 2 } ,

В (х ₀ ,г) = { х Е R ⁿ : | х — х ₀ | < r } ,B ⁿ := В (0,1),

^ _п = m(B ” ) — объем единичного шара в R ” , dist (А, В ) означает евклидово расстояние между множествами А , В С R ” , diam А — евклидов диаметр множества А С R ” .

Исходя из упомянутого выше критерия квазиконформных отображений в виде искажения модуля семейств кривых не более чем в конечное число раз, введем в рассмотрение следующую более общую конструкцию (см.: [19, гл. 7, разд. 7.6; 20]). Пусть Q : R ” ^ [0, то ] — измеримая по Лебегу функция, Q(x) = 0 при х G D . Говорят, что гомеоморфизм /: D ^ R ” является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке х ₀ G D , х ₀ = то , если для некоторого г ₀ = г(х ₀ ) и произвольных радиусов г 1 и г ₂ , 0 <  т1 < г ₂ < г ₀ = г(х ₀ ) , сферического кольца А = А(г 1 ,г ₂ ,х 0 ) , центрированного в точке х ₀ , и любых континуумов Е 1 С В (х ₀ ,г 1 ) П D и Е ₂ С (R ” \ В (х ₀ ,г ₂ )) П D гомеоморфизм / удовлетворяет соотношению

М (/ (Г(Е_ЬЕ ₂ ,

D))) <  ^(х)

^ ” ( | х — х ₀ | ) dm(х)

для каждой измеримой функции ^: (г 1 ,г ₂ ) ^ [0, то ] , такой что

^ 2

/ ^(г) >  1.

J Г1

Как известно, все отображения с ограниченным искажением, а также квазиконформные отображения, удовлетворяют соотношению (3) с постоянной функцией Q (см.: [6, теорема 1, S 4 ]). Словосочетание « Q -гомеоморфизм» в данном определении указывает на вещественнозначную функцию Q в правой части (3), а слово «кольцевой» — на происхождение соответствующего семейства кривых, входящего в левую часть (3).

Напомним, что область D называется локально связной в точке х ₀ G dD , если для любой окрестности U точки х ₀ найдется окрестность V С U точки х ₀ такая, что V П D связно.

Пусть (X, d) и (X ‘ , d ‘ ) — метрические пространства с расстоянием d и d ‘ соответственно. Семейство 3 отображений /: X >  X ‘ называется равностепенно непрерывным в точке х ₀ G X , если для любого 6 >  0 найдется 5 > 0 такое, что d ‘ (/ (х), /(х ₀ )) < <  6 для всех / G 3 и всех х G X таких, что d(х, х ₀ ) <  5 . Говорят, что 3 равностепенно непрерывно , если 3 равностепенно непрерывно в каждой точке х ₀ G X . Семейство 3 непрерывных отображений /: X ^ X ‘ называется нормальным , если из

любой последовательности отображений / _т G 3 можно выделить подпоследовательность / _{т к} , которая сходится локально равномерно в X к некоторому непрерывному отображению /: X >  X ‘ [22, п. 20.2]. Хорошо известно, что в произвольных метрических пространствах (X, d) и (X ‘ ,d ‘ ) любое нормальное семейство 3 отображений /: X ^ X ‘ равностепенно непрерывно. Обратное заключение [22, теорема 20.4] также верно, если пространство (X, d) сепарабельное, а (X ‘ , d ‘ ) — компактное. Напомним, что сферическое (хордальное) расстояние между точками х и у в R ” есть величина h(х, у) = | ^(х) — ^(у) | , где ^ — стереографическая проекция R ” на сферу S ” ( 2 е „ ₊₁ , 2 ) в R ” ⁺¹ :

h(х, то) = —.        , h(х, у) = v ’    7 V1 + |х|2’

^{|х —} у |

V ¹ + | х| ² V ¹ + | у | ² ,

х = то = у.

Хордальным диаметром множества Е С R ” называется величина h(Е) = sup h(х,у). х,у Е Е

Всюду далее, если не оговорено противное, в обозначениях, принятых выше, X := D — область в R ” , d(х,у) := | х — у | , X ‘ := R ” , d ‘ := h(х, у) ( h — хордальная метрика).

Для областей D , D ‘ С R ” , z 1 ,z ₂ Е D, z 1 = z ₂ , z 1 , z' ₂ Е D' и произвольной измеримой по Лебегу функции Q(x) : R ” ^ [0, то ], такой, что Q(x) = 0 при ж Е D, обозначим символом R _z 1 ,_z 2 ,_z',_г ',q (D,D ‘ ) семейство всех кольцевых Q -гомеоморфизмов / : D ^ D ‘ , удовлетворяющих неравенству (3) в замкнутой области D, /(D) = D ‘ , таких что

^{/ ( z} 1 ) = ^z 1 , ^{/ ( z} 2 ) = ^z 2 . ⁽⁶⁾

(Другими словами, рассматривается семейство отображений в области D, которые a priori не заданы на dD, но так, что кольцевое условие (3) выполнено в каждой точке ж ₀ Е D. Такие отображения, вообще говоря, свойством непрерывного продолжения в граничные точки не обладают.)

Напомним, что окрестностью множества Л С R ” называется произвольное множество В , такое, что Л С IntB , где IntB обозначает совокупность всех внутренних точек множества В . Будем говорить, что граница dD области D сильно достижима в точке ж ₀ Е dD , если для любой окрестности U точки ж ₀ найдутся компакт Е С D , окрестности V С U точки ж ₀ и число 5 >  0 такие, что

М(T(E,F,D)) >  5 (7)

для любого континуума F в D , пересекающего dU и dV . Заметим, что соотношение (7), в частности, выполнено, если в качестве F взять произвольную кривую, имеющую одним из своих концов точку ж ₀ и лежащую полностью в D , кроме, быть может, этой концевой точки. Граница области D С R ” называется сильно достижимой , если указанное выше свойство выполнено в каждой точке ж ₀ Е dD .

Еще одно понятие, необходимое нам для формулировки основного результата заметки — определение конечного среднего колебания вещественнозначных функций (введено А. Игнатьевым и В. Рязановым в работе [1]). Это понятие обобщает свойство функций ограниченного среднего колебания по Джону — Ниренбергу (см. [16]). Будем говорить, что функция у : D ^ R имеет конечное среднее колебание в точке ж0 Е D, пишем у Е FМO(ж0), если lim е—>0

1 ^Г"^

/

В(х о ,е)

| у(ж) — у _е | dm(ж) <  то ,

где у _е = _Q ¹ J у(ж) dm(ж). Например, функция у имеет конечное среднее коле- В(х ₀ ,е)

бание в точке ж ₀ , если в точке ж ₀ Е D выполнено: lim _Q ¹ „ J | у(ж) | dm(ж) <  то . ^{е — 0}          В(х ₀ ,е)

Введем следующие обозначения: для фиксированной измеримой по Лебегу функции Q : R ” ^ [0, то ] и ж ₀ Е R ” запись вида q _{X 0} (г) означает среднее интегральное значение Q(ж) над сферой | ж — ж ₀ 1 = г,

Ч х о ^(г) :=

ж, , г^{! 1}

Q(ж) dS,

где ш _{п - 1} — площадь единичной сферы в R ⁿ , dS — элемент площади поверхности S . Обозначим через qX₀ (г) среднее значение функции

Q * (ж) = | Q^(z)’

Q(z) >  1,

Q(ж) < 1

по сфере S (х ₀ ,г) , определенное соотношением (8).

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Предположим, что D локально связна во всех граничных точках, 3D' сильно достижима, а заданная функция Q(x) в каждой точке х ₀ Е D удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий: 1) Q(x) Е FMO(x ₀ ); 2) q _x 0 (г) = O([log | ] ^{п - 1} ) при г ^ 0 ; 3) при некотором 5(х ₀ ) > 0

( ^ о )

dt tq*           ^

= то .

Тогда каждый элемент / Е R _z 1 ,_z 2 ,_z',_z ^ ,q (D,D ‘ ) продолжается до непрерывного отображения /: D ^ D ‘ , при этом семейство R _z 1 ,_z 2 ,_z^z ^ ,q (D,D ‘ ), состоящее из всех продолженных таким образо м отображений, является равностепенно непрерывным, а значит, и нормальным в D.

1.    Формулировка и доказательство основной леммы

Следующее утверждение можно найти, например, в [19, гл. 7, лемма 7.6].

Предложение 1. Пусть х ₀ Е D, /: D ^ R ⁿ — гомеоморфизм, удовлетворяющий в точке х ₀ соотношениям вида (3) - (4) при некоторой измеримой функции Q. Предположим, что найдется е ₀ = е(х ₀ ) >  0 , е ₀ < г ₀ = dist(x ₀ ,dD) , такое, что при некотором р Е (0, п] , постоянной К >  0 и е ^ 0 справедливо неравенство

/

Л ( е,е о ,ж о )

Q(x) • ^ ^п ( | х — х ₀ | ) dm(x) <  К • I ^р (е, е ₀ ),

где сферическое кольцо А(е, е ₀ ,х ₀ ) определено в (2) , а ^ — некоторая положительная борелевская функция, определенная на (0, то ) , такая, что при всех е Е (0 ,е ₀ ) выполнено условие

Z e o

^(t) dt <  то .

Пусть, кроме того, существует 5 >  0 такое, что h(R ⁿ \ / (D)) >  5. Тогда

h(/ (х), /(Х 0 )) <  ^ П exp {— 3 n I " " ( | х — Х 0 1 ) }                     (12)

для всех х Е В(х,х ₀ ) , где а _п — некоторая постоянная, p _n = ( ^^ ) ^1/(n 1) , ^ _пф = 1 — р - 1

“ п-т .

Замечание. Предположим, что в условиях предложения 1 имеем р < п и I ( е,е ₀ ) ^ то при е ^ 0 . Тогда семейство ^q^ (х ₀ ) , состоящее из всех кольцевых Q -гомеоморфизмов / : D ^ R ⁿ , таких что h(R ⁿ \ / (D)) >  5, равностепенно непрерывно в точке х ₀ .

Действительно, если по предложению р < п , то П - 1 < 1 и, следовательно, 7 _п,_р = = 1 — П-7 > 0 . Тогда I ^{У п}’^р ( | х — х ₀ | , е ₀ ) ^ то при х ^ х ₀ и, значит, правая часть соотношения (12) стремится к нулю при х ^ х ₀ . Отсюда следует, что для всякого е >  0 найдется такое 5 = 5 ( е ) , что условие | х — х ₀ | <  5 влечет h(/(х),/(х ₀ )) <  е . Это и означает непрерывность семейства отображений ^ q,^ (х ₀ ) в точке х ₀ .

Если, кроме того, сказанное выше справедливо для любой точки х ₀ Е D , то соответствующее семейство отображений нормально в D ввиду теоремы Арцела — Асколи.

Замечание. Пусть ct q,5 — семейство всех гомеоморфизмов /: D ^ R ” , удовлетворяющих в области D условию (3) и (4), таких, что h(R ⁿ \ /(D)) >  5 >  0 при некотором 5 . Предположим, что для каждой точки х ₀ Е D найдется 6 0 = 6(х 0 ) >  0 такое, что выполнено соотношение (10) для некоторой измеримой функции ^ , удовлетворяющей (11), причем I (6,6 0 ) ^ то при 6 ^ 0 и р < п . Тогда в силу предложения 1 и сделанного выше замечания семейство ct q,§ образует нормальное семейство отображений в D . Также, если / _т Е & q,s сходится к некоторому непрерывному отображению / в D при к ^ то локально равномерно, то / является либо гомеоморфизмом, либо константой в D (см.: [2, лемма 1.6; 21, теоремы 4.1-4.2]).

Следующее утверждение содержит в себе информацию о возможности непрерывного продолжения на границу гомеоморфизмов, удовлетворяющих соотношению (3) (см.: [9, лемма 4]).

Предложение 2. Пусть х ₀ Е dD, /: D ^ R ” — гомеоморфизм, удовлетворяющий в точке х ₀ соотношению (3) - (4) . Предположим, что найдется 6 0 = 6(х 0 ) >  0 такое, что выполнено соотношение (10) при р Е (0, п) для некоторой измеримой функции ^ , удовлетворяющей (11) , причем I(6,6 0 ) ^ то при 6 ^ 0 . Предположим, что D локально связна в точке х ₀ , а граница dD ‘ области D ‘ = /(D) сильно достижима. Тогда отображение / продолжается по непрерывности в точку х ₀ .

Следующее утверждение, установленное ранее Някки для границ несколько иного типа (см.: [17, теорема 1.16]), доказано Е. Севостьяновым для сильно достижимых границ (см.: [8, лемма 4.1]).

Предложение 3. Пусть х ₀ Е dD, х ₀ = то , и для любой окрестности U точки х ₀ найдутся компакт Е с D, окрестность V С U точки х ₀ и число 5 >  0 такие, что соотношение (7) выполнено для любого континуума F в D, пересекающего dU и dV. Тогда для любой окрестности U точки х ₀ и произвольного континуума Е * с D найдутся окрестность V С U точки х ₀ и число 5* >  0 такие, что М (Г(Е * ,F,D)) >  >   5 * для каждого континуума F в D такого, что F П dU = 0 = F П dV.

Основную смысловую нагрузку настоящей статьи несет в себе следующая лемма.

Лемма 1. Пусть область D локально связна в любой точке своей границы, а граница dD ‘ сильно достижима. Предположим, что найдется 6 0 = 6(х ₀ ) >  0 такое, что выполнено (10) для некоторой измеримой функции ^(t) >  0 , удовлетворяющей (11) , при этом I(6,6 0 ) ^ то при 6 ^ 0 и 0 < р < п. Тогда каждый элемент / Е R _{Z 1} ,_{Z 2} ,_z ' ,_Z ‘ ,Q (D,D ‘ ) продолжается до непрерывного отображения /: D ^ D ‘ , при этом семейство R _{Z 1} ,_{Z 2} ,_Z ‘ , _z ^ ,q (D,D '), состоящее из всех продолженных таким образо м отображений, является равностепенно непрерывным, а значит, и нормальным в D.

Доказательство. В силу предложения 1 и последующих за ним замечаний имеет место равностепенная непрерывность семейства R _{Z 1} ,_{Z 2} ,_Z ‘ ,_z ^ ,q (D,D ‘ ) внутри области D. Возможность продолжения каждого элемента / семейства R _{Z 1} ,_{Z 2} ,_Z ‘ ,_z ^ ,q (D,D ‘ ) до непрерывного отображения в замыкании D есть результат предложения 2.

Осталось показать, что семейство Rz1iZ2iZ‘,z‘,Q(D,D‘) (для удобства обозначения не меняем) равностепенно непрерывно в точках dD. Предположим противное. Тогда найдутся х0 G dD и число а > 0 такие, что для каждого т = 1,2,... существует точка хт G D и элемент /m семейства Rz1,z2,z',z2',q(D,D‘) такие, что |х — х0| < 1/т и

h(/ m (x m ), / m (x о )) >  а.

Ввиду возможности непрерывного продолжения каждого /т на границу D, мы можем считать, что хт G D. Поскольку всякое замкнутое подмножество компактного пространства компактно [3, гл. IV, л 47, теорема 2], множество D‘ является компактом в Rn. Следовательно, существует последовательность номеров тк и у0 G dD ‘ таких, что h(/mk (х0),У0) ^ 0                                   (14)

при к ^ то . Можно считать, что при всех к G N

h(/ m _k (х о ),у о ) <  а/2 .                                  (15)

Тогда из (13) и (15) и неравенства треугольника следует, что h(/ _{m k} (x _{m k} ),у ₀ ) >  а/2 при всех к G N . В силу локальной связности области D в точке х ₀ найдется последовательность окрестностей V n точки х ₀ с diamV m ^ 0 при т ^ то такая, что множества D Q V _m представляют собой области и x _{m k} G D^V _{m k} . Так как граничные точки области, локально связной на границе, являются достижимыми из D некоторым локально спрямляемым путем [19, гл. 13, предложение 13.2], можно соединить точки x _{m k} и х ₀ непрерывной кривой ^ к (t): [0,1] ^ R ⁿ такой, что ^ к (0) = х о , ^ к (1) = X m _k и ^ к (t) G V m _k при t G (0,1) . Обозначим через С _к образ кривой ^ _к (t) при отображении / _{m k} . Ввиду нормальности семейства отображений R _{Z 1 Z2iZ} ‘ ,_z ^ ,q (D,D ‘ ) в D можно считать, что / _{m k} ^ / при к ^ то локально равномерно в D . В таком случае, ввиду условий нормировки (6) и сделанных после предложения 1 замечаний, предельное отображение / является гомеоморфизмом в D . Так как граница dD ‘ сильно достижима, а С _к — последовательность континуумов в D ‘ таких, что h(C _k , у ₀ ) ^ 0 при к > то (см. (14)), для любого континуума С С /(D) С D ‘ , некоторого 5 >  0 и достаточно больших к G N согласно предложению 3 выполнено неравенство

М(Г(С к ,C,D ‘ )) >  5.                           (16)

Поскольку / — гомеоморфизм, при к ^ то последовательность / - ^ / ^{- 1} сходится локально равномерно в /(D) , поэтому, ввиду включения С С /(D) , компакты K _{m k} : = := /^(С ) при к ^ то сходятся к компакту / ^{- 1} (С) в смысле хаусдорфовой метрики. Тогда, учитывая, что х ₀ G dD , имеем

⁶ 1 ^:= infdist ^.ti^)) > ^{0 k}

Полагаем е ₂ := min { e ₀ ,6 ₁ } . Пусть Г _е,_к — семейство кривых, соединяющих шар В(х ₀ ,е) , е G (0,6 2 ) , с компактом K _{m k} .

Так как p(t) > 0 почти всюду по условию, I (е, е ₂ ) := Jp ^(t) dt >  0 при всех е G (0,е ₂ ) . Тогда функция

Г P(t)/I р,^),

0 ,

t G (е,62), t G (е,62),

определена корректно и является измеримой по Лебегу. Имеем:

Г£ 2                     1         £ 22

/ ^^dt =ж^ л ^{ф(<) dt} = ^1.

Следовательно, в силу (3) и (10)

м(U(Т_е ,к )) < Д^    QW " ( \ x

= W¹    /      ^Q(x)<4^|x

¹ " (^6,6 2 ) J А(е,е 2 ,ж о )

< Тп(¹    /      ^{Q( x}N" ^(|x

^{1 (в,6} 2 ) Аа^ооОо')

— x ₀ | ) dm(x)

— x o | ) dm(x)

— x o | ) dm(x)

< ^К " I ^{Р ( в,6 о )} = к f 1 + ^I(E 2 if ° l У. i р - п^ _е ).

" I" (6,6 2 )                  I (6,6 2 )              ’ ^J

Таким образом,

м(f _{m k} (Г _е,_к )) ^ 0

при в ^ 0 равномерно по к Е N. С другой стороны, для любого в Е (0, е2) при больших к имеет место включение D ^ Vmk С В(x0,e); таким образом, Ск С fmk(В(x0,e)). Кроме того, при тех же к Е N имеем Г(Ск,C,D‘) С fmk(Г£,к). Следовательно, в силу (17) и свойства монотонности модуля семейств кривых, мы получаем, что м (Г(Ск ,C,D ‘)) <м (fmk (Те,к )), откуда, согласно (16), вытекает, что при всех к > к0 = к0(в) и произвольном фиксиро ванном в > 0

м (f m k (Г _е,_к )) >  5.

Однако неравенство (18) противоречит соотношению (17). Полученное противоречие указывает на то, что изначальное предположение об отсутствии равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства было неверным.

Доказательство следующего утверждения можно найти, например, в работе [8, лемма 5.1].

Предложение 4. Пусть D С R " , п >  2 , Q : R " ^ [0, то ] — измеримая по Лебегу функция, равная тождественно нулю вне D, x ₀ Е D и выполнено хотя бы одно из условий: 1) Q(x) Е FMO(x ₀ ); 2) q _{X 0} (г) = О ([log 1 ] ^{п - 1} ) при г ^ 0 ; 3) при некотором 5(x ₀ ) > 0 выполнено условие (9).

Тогда найдутся в ₀ Е (0,1) и функция ^(t) >  0 такие, что в точке x ₀ выполнены условия (10) и (11) при р < п. При этом для указанной функции ф в обозначениях, принятых выше, I (в, в ₀ ) ^ то при 6 ^ 0 .

Доказательство теоремы 1 немедленно следует из леммы 1 и предложения 4.

2.    Некоторые примеры и замечания

Приложения результатов, связанных с исследованием кольцевых Q -гомеоморфизмов, касаются, прежде всего, изучения классов Соболева [4].

Пусть G — открытое множество в R ” и I = { ж G R ” : o _i < ж _i < b _i ,i = 1,... ,п } — открытый п -мерный интервал. Напомним, что отображение / : I ^ R ” принадлежит классу ACL ( абсолютно непрерывно на линиях ), если / абсолютно непрерывно на почти всех линейных сегментах в I, параллельных координатным осям. Отображение / : G ^ R ” принадлежит классу ACL в G, когда сужение / | i принадлежит классу ACL для каждого интервала I, I С G. Такие отображения почти всюду имеют обычные частные производные по каждой из переменных, при этом будем говорить, что / G Ж^^ если каждая такая частная производная локально интегрируема в G [4]. Если, кроме того, указанные частные производные локально интегрируемы в степени р >  1, пишем / G Ж^ [там же].

Пусть отображение / : D ^ R ” имеет почти всюду частные производные в области D. Полагаем II/ ‘ (ж) Н = max ^Цл^ , ^ (/ ‘ (ж)) = min |^ ы^)Л| , Напомним, что

Л- R {0} |Л| ’                                      Л- R {0}                ’                           , внутренней дилатацией Ki(ж,/) отображения / в точке ж называется величина

K i ^(ж,/)

| J ( ^ж ,/ ) 1 i(f 'МГ’

1 ,

J ^(ж,/) = °

^/ ‘ ⁽ж) = 0,

то , в остальных случаях

Для областей D, D ‘ С R ” , z 1 ,z ₂ G D, z 1 = z ₂ , z 1 , z 2 G D и произвольной измеримой по Лебегу функции Q(ж) : R ” ^ [0, то ], такой, что ^(ж) = 0 при ж G D, обозначим символом A _{Z 1 jZ} 2 _jZ ' ,_г, ' ,q (D,D ‘ ) семейство всех гомеоморфизмов / G Ж^ ” , таких, что / ^{- 1} G Ж^ ” , / (D) = D ’ ’ K i (ж, /) <  ^(ж) и

^{/ (z} 1 ) = ^z ‘ , ^{/ (z} 2 ) = ^z 2 .

Поскольку каждое отображение / G Ж^ такое, что / ^{- 1} G Ж у” является кольцевым Q -гомеоморфизмом в произвольной точке ж ₀ G D (см.: [19, теоремы 8.1 и 8.6; 20, теоремы 4.6 и 6.10]), из теоремы 1 немедленно вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Предположим, что D локально связна во всех граничных точках, dD ‘ сильно достижима, а заданная функция ^(ж) в каждой точке ж ₀ G D удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий: 1) Q(ж) G FMO (х ₀ ); 2) q _{X 0} (г) = O([log | ] ” ^{- 1} ) при г ^ 0 ; 3) при некотором 5(ж ₀ ) > 0 имеет место соотношение (9). Тогда каждый элемент / G A _{Z 1} ,_{Z 2} ,_Z ‘ ,_z ' ,q (D,D ‘ ) продолжается до непрерывного отображения / : D ^ D ‘ , при этом семейство A _{Z 1} ,_г 2 ,_г ‘ ,_z ' ,q (D,D ‘ ), состоящее из всех продолженных таким образом отображений, является равностепенно непрерывным, а значит, и нормальным в D.

Чтобы привести еще один важный результат, касающийся приложения основного утверждения заметки, дадим определения классов Орлича — Соболева.

Пусть р : [0, то ) ^ [0, то ) — неубывающая функция, / — локально интегрируемая вектор-функция п вещественных переменных ж ₁ ,...,ж „ , / = (/ 1 ,..., / _т ), / _i G Ж"^ ¹ , i = 1,...,т. Будем говорить, что / : D ^ R ” принадлежит классу Ж ,^ , пишем

/ 6 Ж^, если

j p ( |V /(х) | ) dm(х) <  то ,

G для любой компактной подобласти G С D, где |V/(х) | = называется классом Орлича — Соболева.

/ т п /    \ 2

VЕЕ «) . Класс W^

Отображение / : D ^ R ⁿ называется отображением с конечным искажением , пишем / 6 FD, если / 6 W^(D) и для некоторой функции К (х) : D ^ [1, то ) выполнено условие ||/ ‘ (х) ||^п<  К (х) • | J (х, /) | при почти всех х 6 D (см.: [15, п. 6.3, гл. VI]). Для отображений с конечным искажением корректно определена и почти всюду конечна так называемая внешняя дилатация К о (х, /) отображения / в точке х, определяемая соотношением

^К о ^(х,/)

I f Ъ)1Г

I J(=,f )l ,

1 ,

J (х,/ ) = 0,

^/ ' (х) = ⁰,

то , в остальных случаях

Заметим, что произвольный гомеоморфизм с конечным искажением класса Ж^, для которого К о (х, /) 6 Ц~ ¹ и

∞

/[ я

п — 2

dt <  то

(условие Кальдерона на функцию p ), является кольцевым Q -гомеоморфизмом в произвольной точке х ₀ 6 D при Q := К 0 ^{- 1} (х,/) (см.: [2, гл. 8, следствие 8.10; 21, теорема 14.2]).

Для областей D, D ‘ С R ⁿ , z ₁ ,z ₂ 6 D, z ₁ = z ₂ , ^ 1 , ^ 2 6 D, неотрицательной неубывающей функции p : (0, то ) ^ (0, то ) и произвольной измеримой по Лебегу функции Q(х) : R ⁿ ^ [0, то ], такой, что Q(х) = 0 при х 6 D, обозначим символом B^,_{Z 1} ,_{Z 2} ,_z',_Z2',q ( D,D ‘ ) семейство всех гомеоморфизмов / 6 Ж^ , таких, что /(D) = D ‘ , К 0 ^{- 1} (х,/) <  Q(х) и

У^(z i ) = ^z 1 , У^(z 2 ) = ^z 2 •

Ввиду сказанного выше, из теоремы 1 немедленно вытекает следующее утверждение.

Теорема 3. Предположим, что D локально связна во всех граничных точках, dD ‘ сильно достижима, p удовлетворяет условию Кальдерона (19), а заданная функция Q(х) в каждой точке х ₀ 6 D удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий: 1) Q(х) 6 РМО(х 0 ); 2) q _{X 0} (г) = O([log 1 ] ^{п - 1} ) при г ^ 0 ; 3) при некотором 5(х ₀ ) > 0 имеет место соотношение (9). Тогда каждый элемент / 6 B y,,_{z i} ,_{z 2} ,_z',_{z 2}',q (D,D ‘ ) продолжается до непрерывного отображения /: D ^ D ‘ , при этом семейство B ^,_z 1 , _z 2 , _z ‘ _z Pq(D,D ‘ ), состоящее из всех продолженных таким образом отображений, является равностепенно непрерывным, а значит, и нормальным в D.

Отметим, что приводимые в статье условия равностепенной непрерывности (нормальности) семейств отображений, в некотором смысле, не могут быть улучшены. Следующая теорема показывает, что требования на функцию Q из теоремы 1 (более общо, требования (10)-(11)) нельзя заменить более простым условием Q^) Е Lp ни для какого (сколь угодно большого) р > 1.

Полагаем D := B ” \{ 0 } С R ” , D ‘ := В (0, 2) \{ 0 } С R ” . Обозначим через A q семейство всех кольцевых гомеоморфизмов g : B ” \ { 0 } ^ R ” , удовлетворяющих неравенству (3) в замкнутой области D, таких что D ‘ = g(D).

Теорема 4. Для каждого р >  1 существуют функция Q : B ” ^ [1, то ], Q(ж) Е L ^P (B ” ) и последовательность g _m Е A q , такие, что каждое g _m продолжается в точку ж ₀ = = 0 по непрерывности и, при этом, семейство { g _m (ж) } // ₌₁ не является равностепенно непрерывным в точке ж ₀ = 0.

Доказательство. Рассмотрим следующий пример. Зафиксируем числа р >  1 и а Е Е (0,п/р(п — 1)). Можно считать, что а <  1 в силу произвольности выбора р. Зададим последовательность гомеоморфизмов g _m : B ” \ { 0 } ^ R ” следующим образом:

g m (ж) =

(   1+№ _

• ^ж,

]   1+(1 /т ) “

(1 /т )     • ^Ж ,

1/т < | ж | <  1, 0 <  | ж | < 1/т .

Заметим, что каждое отображение g _m переводит проколотый шар D = B ” \ { 0 } в кольцо D ‘ = В (0,2) \ { 0 } , которое, как известно, сильно достижимо. Кроме того, заметим, что точка ж ₀ = 0 является устранимой особенностью каждого g _m , т Е N, причем lim g _m (ж) = 0, и что последовательность g _m постоянна при | ж | >  1/т, а именно, g _m (ж) = j > 0

= g(ж) при всех ж : m <  | ж | < 1, т = 1,2... , где g(ж) = '/ • ж. Заметим, что g _m Е ACL(B ” ). Действительно, отображения g m ⁾ (ж) = ¹⁺(⁽₁¹/^/m_|⁾ • ж, т = 1,2,..., являются отображениями класса С 1 , скажем, в шаре В (0,1/т + в) при малых е >  0, а отображения g / 2 ⁾ (ж) = ^jj • ж — отображениями класса С 1 , скажем, в кольце А(1/т — е, 1, 0) = { ж Е R ” : 1/т — е <  | ж | < 1 } при малых е > 0. Отсюда вытекает, что гомеоморфизмы g _m являются липшицевыми в B ” и, значит, g _m Е ACL(B ” ) (см., например: [22, разд. 5 на с. 12]). Далее, вычисляя K _i (ж, /) для / := g _m , можно показать,

что

( / 1+ы^ V^-1

K i (ж, g m ) =       '^lj “ /

,   1/т < | ж | <  1,

0 <  | ж | < 1/т ,

см. [19, гл. 6, предложение 6.3].

Заметим, что при каждом фиксированном т Е N, K _i (ж, g _m ) <  c _m при некоторой постоянной c _m >  1. Значит, g _m Е W^ CB ” ) и g m ¹ Е ^^(В(0, 2)), поскольку условие K _i (ж,g _m ) <  c _m влечет, что g _m и g _m 1 квазиконформны (см., например: [22, следствие 13.3

и теорема 34.6]). Тогда [19, гл. 6, теорема 6.1] гомеоморфизмы gm удовлетворяют в области D = B” \ {0} неравенству вида М(/(Г)) < J Q(ж) • р”(ж) dт(ж) для произвольных D семейства Г кривых 7 и р Е admr при Q = Qm(ж) = Ki(ж,gm). Более того, после

довательность g _m удовлетворяет этому же неравенству для произвольных семейства Г

кривых 7 и р Е admr с общей мажорантой Q = ( ^jj^ )

Поскольку ар(п — 1) < п,

имеем, что Q Е L ^P (B ” ). С другой стороны, легко видеть, что

lim | gM | = ¹, j- > 0

и д отображает проколотый шар B ” \ { 0 } на кольцо 1 <  \ у \ <  2. Тогда, ввиду (20), мы получаем, что

|дт(х)| = |д(х)| > 1          V х : |х| > 1/т, т = 1, 2,..., то есть семейство {дт}т=1 не является равностепенно непрерывным в нуле.