О размерностях групп аффинных преобразований, транзитивно действующих на вещественных гиперповерхностях в C3

Задача описания однородных многообразий и, в частности, вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств, представляет интерес в различных разделах математики. При этом задача о голоморфной однородности весьма тесно переплетается с «более простой» аффинной постановкой (см.: [12; 15–17; 20; 22]). Важную роль в исследовании однородности играет вопрос о возможных размерностях групп, транзитивно действующих на изучаемых однородных гиперповерхностях.

Ниже этот вопрос изучается для аффинно-однородных гиперповерхностей 3-мерного комплексного пространства. Cхема, предлагаемая в статье, существенно использует размерность объемлющего пространства, однако сам подход допускает обобщения на произвольные размерности.

Однородность многообразия мы понимаем как существование группы Ли, транзитивно действующей на этом многообразии. В то же время уточним, что ниже обсуждается лишь локальная однородность, связанная с транзитивным действием вблизи выделенной точки обсуждаемой гиперповерхности. Термин аффинная однородность означает, что мы рассматриваем в качестве действующих групп только подгруппы Ли группы Af f (3, C) . При этом мы сразу переходим к работе с алгебрами Ли, отвечающими этим группам и состоящими из векторных полей, касательных к изучаемым (вещественно-аналитическим) гиперповерхностям.

Основными инструментами в нашей статье являются аффинные канонические уравнения изучаемых поверхностей. Напомним, что согласно [11], уравнение произвольной строго псевдо-выпуклой (СПВ) вещественно-аналитической гиперповерхности в C3 можно (локально) привести аффинным преобразованием к виду v = |z1|2 + |z2|2 + 61(z2 + z2) + 62(z2 + Z2) +           Fklm(Z, Z)Um.         (1)

k+l+2m > 3

Здесь z 1 ,z ₂ ,w — комплексные координаты в C ³ , и = Rew,v = Imw ;

F k_lm — многочлен степени к по переменным z = (z 1 ,z ₂ ) , степени I — по Z = = (z 1 ,z ₂ ), т — по переменной и ; (6 1 ,6 2 ) — вещественные неотрицательные числа.

Роль канонических уравнений (или нормальных форм) в комплексном анализе общеизвестна (см., например, [18; 19; 21; 23–25]). С использованием таких уравнений удается получать как оценочные результаты, так и полные списки аффинно-однородных поверхностей, коэффициенты которых удовлетворяют некоторым естественным ограничениям (см., например, [10; 13; 14]). Основными целями настоящей работы являются систематизация и обобщение излагаемых в этих работах подходов (как математических, так и алгоритмических) к задаче об однородности. Такое обобщение, как ожидается, позволит получить в ближайшее время полное описание однородных вещественных гиперповерхностей в 3-мерных комплексных пространствах.

Основным общим результатом настоящей статьи является следующее утверждение. Теорема 1. Для размерности алгебры д(М ) аффинных векторных полей, касательных к аффинно-однородной СПВ-гиперповерхности М вида (1) в пространстве C ³ , справедлива оценка

5 < dim R д(М ) < 10.                               (2)

Несложно проверить, что для аффинно-однородной квадрики («сферы Мозера»)

v = |z i | ² + ^| ²                                         (3)

алгебра д(М ) является в точности 10-мерной. Однако во всех остальных случаях размерность таких алгебр существенно снижается. Можно показать, что для аффиннооднородных СПВ-гиперповерхностей, не сводимых аффинными преобразованиями к квадрике (3), верхняя оценка в обсуждаемой теореме может быть понижена до 7 (см. также: [7; 9]).

Такая уточненная оценка подробно обсуждается в статье (теорема 2) для поверхностей вида (1), описываемых парой 6 1 = 1/2, 6 2 = 0 (другими словами, имеющих тип (1/2, 0) ). Интересная особенность семейства однородных поверхностей типа (1/2, 0) обсуждается в теореме 3. В ней доказано существование 5-мерной «транзитивной» подгруппы в любой группе большей размерности, обеспечивающей однородность рассматриваемой поверхности данного типа.

В качестве примера, поясняющего смысл этой теоремы, можно упомянуть 2-мерную сферу в R ³ . В 3-мерной группе S0(3) , транзитивно действующей на этой поверхности, не существует никаких 2-мерных подгрупп, и в том числе подгрупп с транзитивным действием на сфере.

Аналогичные результаты о размерностях транзитивно действующих групп можно получать описанными ниже методами и для других типов аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей в C ³ . В то же время отметим, что полные описания однородных поверхностей типов (1/2,1/2) и (1/2,0) уже получены (см.: [10; 13; 14]), тогда как изучение остальных пяти типов из семи, указанных в [5], лишь близится к завершению.

Укажем также на применимость обсуждаемых в статье схем к задачам изучения аффинно-однородных поверхностей с индефинитной формой Леви (см.: [3]), а также (с некоторыми модификациями) голоморфно-однородных многообразий. Результаты настоящей статьи анонсированы в [5]; они вошли также в доклад, сделанный автором на международной конференции «Complex Analysis and Related Topics» (Санкт-Петербург, апрель 2014г.).

1. Схема изучения однородности и доказательство теоремы 1

Пусть М — аффинно-однородная (вблизи начала координат) СПВ-гиперповерх-ность пространства C ³ , заданная уравнением (0.1). Тогда определяющая функция М задается формулой

Ф = —и + F(z, z, и), где F = F(z,z,u) — правая часть формулы 1.

Пусть еще д(М ) — соответствующая этой поверхности алгебра Ли, состоящая из касательных к М аффинных векторных полей. Каждое из них имеет вид

d

^Z = ⁽Л 1 ^z 1 + A 2 ^z 2 + Л з ^w+P 1 ) —— dz i

1" (B 1 Z 1 +B 2 Z 2 +B 3 W+P 2 ) ——+ (az i +bz 2 +cw+q) —— .

UZ 2                 aw

В матричном представлении

/ ^A i ^A 2 ^A 3 p i \

_Z = B i B 2 B 3 P 2 a   b   c   q

\ 0   0   0   0 / полей из такой алгебры особый интерес представляет четвертый столбец матрицы. Эти столбцы отвечают сдвиговым компонентам векторных полей, содержащихся в д(М). Поэтому в каждой точке однородной поверхности, в частности, в начале координат, вещественная линейная оболочка таких «сдвиговых» векторов совпадает с касательной плоскостью к поверхности и имеет размерность, равную 5. Для размерности самой алгебры д(М) отсюда следует естественная оценка снизу 5 < dimRд(М).

Большое количество различных утверждений об однородных поверхностях и в том числе верхние оценки для размерности действующих на таких поверхностях транзитивных групп, можно получить из тождества

Re{Z (Ф)| _м } = 0.

Мы будем называть его далее основным тождеством ; геометрически оно означает факт касания поверхности М векторным полем Z .

Опишем кратко используемую нами схему исследования задачи об аффинной однородности, связанную с основным тождеством (6).

Из него можно получить ряд взаимных ограничений на параметры векторных полей (4), входящих в изучаемые алгебры Ли, и на коэффициенты канонического уравнения (1). Из этого же тождества выводятся и оценки размерности таких алгебр.

Использование полученных оценок позволяет детально рассмотреть вопросы существования и полного описания матричных алгебр Ли, элементы которых подчиняются полученным ограничениям. Эти вопросы сводятся к исследованию (больших, но конечных!) систем квадратичных уравнений, означающих замкнутость матричных алгебр Ли относительно коммутатора или матричной скобки.

Всякую построенную таким образом алгебру Ли необходимо еще проинтегрировать, чтобы получить отвечающую ей аффинно-однородную гиперповерхность. Существование интегральных многообразий у алгебр Ли гарантируется в данной ситуации известной теоремой Фробениуса (см., например, [2]).

Подчеркнем еще раз, что содержание данной статьи составляет лишь один фрагмент описанной схемы, связанный с возможными размерностями интересующих нас алгебр Ли. Реализация схемы в полном объеме оказывается возможной, но весьма трудоемкой даже для поверхностей отдельного типа (1/2, 0), представляющего главный интерес в рамках настоящей статьи.

Переходя к доказательству теоремы 1, запишем основное тождество в развернутой

форме:

(P i + (A i z i + A 2 z 2 ) + A 3 (и + iF)) dz 1 + Re (p 2 + (B i z i + B 2 z 2 ) + В з (и + iF1 )) 8z 2 +   — 0.                (7) . (q + (az i + bz 2 ) + с(и + iF )) 2 (i + ^) ,

Левая часть тождества (7) представляет собой вещественнозначную аналитическую функцию переменных z, z, и . Основой нашей схемы изучения однородности является рассмотрение младших слагаемых тейлоровского разложения этой функции.

Для этого введем понятие веса для переменных z, Z, и и мономов от них. Будем считать, что переменные z 1 , z ₂ , z 1 , z ₂ имеют вес 1, а переменной и припишем вес 2. Веса отдельных мономов, построенных из переменных z 1 , z ₂ , z 1 , z ₂ , и , будем определять по естественному принципу сложения весов. Например, вес монома z 1 u равен 3.

Выделяя в степенном разложении функции F ( z,z,u ) однородные весовые компоненты, перепишем уравнение (1) в виде

V = F(z, z, и) = F 2 (z, z) + F b( z, z, и) + F 4 (z, z, и) + .... (8)

Тогда для всех типов поверхностей, задаваемых уравнениями (1), справедливы весовые следствия основного тождества:

вес 0:

Re{ 2 }   0;

вес 1:

Re^p^ + s^ + (azi + bz2)-- + | ^} = 0;

9zi    9z2              22 вес 2:

, d F3    9F3   ,           x 9F2X

Re{p~9+ s     + (Aizi + A2z2)—+ (Bizi + B2z2)—+

OZi     OZ2                  OZi

,       1 x 19F3   c1

^{+ (az} 1 + t,^)-— + ₅(« - ^F 2 ) + ^ -u } = ^0;

вес 3:

9Fa   9Fa              9F39F

Re{pdF 4 + s^ ⁴ ₊ (A i z i + A 2 z 2 ) dF 3 ₊ (B i z i + B 2 Z 2 ) dF ³ ₊ uz i      UZ 2                   uz i

+ ^(az i + ^bz 2 )--z + ^A 3 ^(u + iF^) —+ ^B 3 ^(u + ^-F 3 ⁾"z_l ⁽¹²⁾

2 9u               9zi

• - ^CF₃ + ^C(u + -F₂) ^F ³ + ^ldF 5 } = 0.

2 ³    2^{V 2}’ 9u 2 9u^s

Простейшее в этой совокупности уравнение (9), описывающее компоненту нулевого веса, означает, что параметр । любого векторного поля, касательного к поверхности (1), является вещественным.

Для детального рассмотрения следующих компонент основного тождества запишем в развернутой форме младшие весовые слагаемые основного тождества (6). Помимо

^F 2 = ^{| z} i | ² + ^{| z} 2 | ² + ^ i ^{(z 2} + ^{z 2 )} + ^ 2 ^(z 2 + ^{z 2 )}

нам потребуются еще формулы для

F3 = F3(0)(z, z) + F3i)(z,z)u, F4 = F4(0)(z, z) + F4i)(z,z)u + Au2, A G R, содержащие уточнения о вхождении переменной и в слагаемые F3,F4.

Здесь, в частности, подразумевается, что

^3) = ((^izi + M2z2) + (^izi + M2z2)) , ^i, F2 G c.

С учетом этих формул тождество (10) примет вид

• -a                     ,-b

^{Re p} i ^(z i + ²^ i ^z i ) + "2" ^z i + ^lp i ^z i + ^p 2 ^(z 2 + ²^ 2 ^z 2 ) + 2^ ^z 2 + ^lp 2 ^z 2 ) = ⁰-

Отсюда следует, что параметры a, b касательного поля Z выражаются через коэффициенты канонического уравнения и набор (p, |), где p = (pi,p2), по формулам a = 2г (pi + 2eipi + |^i), b = 2- (p2 + 2^2p2 + 1^2).

Отвечающие за сдвиги и обеспечивающие в однородном случае размерность алгебры g(M ) не меньшую, чем 5, параметры p _i ,p ₂ ,| касательного к поверхности М поля Z естественно назвать его основными параметрами.

Из тождества (11) можно выразить через основную пятерку вещественных параметров еще несколько параметров поля Z , не являющихся основными. Для этого необходимо учесть формулы типа

М        dF 2

= ² 1 + 2^ 1 2 1 , —   — ² 2 + 2^£ 2 ² 2 .

02 1                 02 2

Всего в (11) имеется семь различных (с учетом рассмотрения вещественной части обсуждаемых выражений) типов мономов

2 2 , |2 1 | 2 ,2 2 , |2 2 1 ² ,2 1 2 2 , 2 1 2 2 , U.

Рассматривая коэффициенты при этих мономах, получаем следующее техническое утверждение.

Предложение 1. Для параметров векторного поля (4), касательного к произвольной поверхности вида (1), выполняются следующие уравнения, получаемые из компоненты веса 2 основного тождества:

• 2          1^x1

• ² 1    ^: 2^£ 1 ^(Л 1 ^— ^Rec) + ^^аМ 1 + ^(3/ зо ^р 1 + ^/ 21 ^р 2 + 9 20131 + ^ 20^р)2 ⁾ + ^(q) ^— О,

  • ² 2    : 2^ 2 (В 2 ^— ^Rec) + 2 b^ 2 + ^(/ 12 ^р 1 + 3^/ 03 ^р 2 + ⁹ 02 ^р 1 + ^ 02 73 2 ) + ^(^q) ^— 0,      ⁽¹⁷⁾

² 1 ² 2 ^{: 2}(^B 1 + ^£ 1 ^Л 2 ) + 2^(bP 1 + a^p 2 ) + ^(2/ 21 ^р 1 + ^2/ 12 ^р 2 + ⁹ 11 ^р 1 + ^ 11 7^ 2 ) + ^(q) ^{— 0},

• ² 1 ² 2 ^: B 1 + ^ 2 + 2^(bp 1 + 07/ 2 ) + (²^ 20 ^р 1 + ^ 11 ^р 2 + ⁹ 11 ^р 1 + ²g 02 ^p 2 ⁾ + ^(^{q) —} 0,

  |2 1 | ² : Re (Л 1

  
  

  2 c + 2 ap, 1 ) + Re(29 20 P 1 + 9 11 Р 2 ) + ^p(q) — 0,

|22|2 : Re (B2 — ^c + ^bp2) + Re(^11p1 + 2^02р2) + ^(q) — 0, u : Re (р1Р1 + 72Р2 + ^c + qX) — 0.

Замечание. В шесть из семи выписанных уравнений входят выражения, для упрощения единообразно обозначенные через ^p(q) . Точный вид этих выражений нас здесь не интересует, можно отметить лишь, что q входит в каждое из них в виде линейного множителя.

Для требуемой нам оценки размерности достаточно рассмотреть более детально некоторые из этих семи уравнений. Записывая их в краткой форме, получим:

u : Re (^р 1 Р 1 + 7 2 Р 2 + ^ c + qX) — 0.

2 1 2 2 и 2 1 2 2   : 2(£ 2 B 1 + £ 1 Л 2 ) — ^р 1 (р, q, c),    B 1 +Л 2 — ^р 2 (р, q, c),

|2 1 | ² и I2 2 I ² : Re (Л 1 ) — ^р з (р, q, c), Re (B 2 ) — ^р 4 (р, q, c).

Здесь через p ^ обозначены выражения, зависящие (с учетом формул (15)) лишь от указанных в скобках аргументов, а не от всей совокупности параметров векторного поля (4) (или матрицы (5)).

Аналогично, выделяя в уравнении (12), отвечающем компоненте веса 3 основного тождества, слагаемые г р а и Z 2 U , получим уравнения

^A 3 + 2⁶ i ^A 3 = p 5 ⁽p, q, A i , ^A 2 , B i , 6 2 , с),                        ⁽¹⁹⁾

^B 3 + 2E 2 ^B 3 = P 6 ^(p, ^,q,A 1 , ^A 2 , ^B 1 ^,B 2 , ^с).

Заметим, что из четырех уравнений (18), не содержащих 6 1 ,6 2 , пять вещественных параметров-коэфициентов матрицы (5), не входящих в число основных, а именно ReA 1 , ReB 2 , A ₂ , Im с , выражаются через другие элементы этой матрицы.

Далее приходится рассматривать случаи, связанные со значениями пары (6 1 ,6 2 ) .

Если оба эти параметра равны нулю, то второе уравнение из (17) не дает дополнительных ограничений на параметры поля. Но в этом случае уравнения (19) позволяют однозначно выразить A ₃ ,B ₃ через другие элементы матрицы (5). При этом свободными параметрами поля остаются не более чем 5 основных параметров, а также пять вещественных параметров Im A 1 , ImB ₂ , Rec, B 1 . В целом получаем в этом случае желаемую верхнюю оценку 10 для размерности алгебры д(М ) , отвечающей аффинно-однородной поверхности.

Если 61 = 62 = 1/2, то выписанные ограничения (15), (18), (19) позволяют получить лишь оценку dimR д(М) < 11.

Однако за счет рассмотрения других следствий основного тождества в работе [13] показано, что в этом случае (аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа) алгебра д(М ) является не более, чем 7-мерной.

Наконец, во всех остальных случаях ограничения (19) оставляют на долю A ₃ ,B ₃ не более одного вещественного параметра в дополнение к набору p, s,q, A 1 ,A 2 ,B 1 ,B ₂ . В свою очередь, второе уравнение (18) дает здесь как минимум одно дополнительное вещественное ограничение на пару (A 2 ,B 1 ) , так что и в этих случаях оценка (2) остается справедливой.

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Как уже отмечалось выше, для квадрики v = |г 1 | ² + Iz 2 l 2 , называемой еще сферой Пуанкаре — Мозера, размерность алгебры д(М ) равна в точности 10. Тем самым теорему 1 можно считать аффинной иллюстрацией известного голоморфного принципа (см.: [1]) максимальной размерности групп и алгебр квадрик (по сравнению с произвольными поверхностями, к которым эти квадрики являются «касательными»).

Замечание 2. Оценку теоремы 3 можно получить также и из голоморфной теории (см.: [18]). Например, идейно она следует из того, что все аффинные преобразования являются голоморфными, а размерность группы (локальных) голоморфных преобразований достигает максимума, равного 15, на квадрике (3). Ограничиваясь рассмотрением лишь аффинной подгруппы в группе дробно-линейных преобразований этой квадрики, необходимо считать тривиальными 5 из 15 вещественных параметров, описывающих такую группу.

• 2.    Специальные канонические уравнения

Одним из звеньев схемы исследования аффинной однородности, описанной в §1, является изучение систем квадратичных уравнений, связанных с аффинно-однородными поверхностями. Неизвестными в этих системах по существу можно считать некоторые из коэффициентов канонических уравнений и комбинации таких коэффициентов.

Количества уравнений и неизвестных в таких системах достаточно велики: в уже изученных ситуациях порядок этих чисел колеблется от 15 до 20. При этом решение упомянутых систем существенным образом упрощается даже при незначительном уменьшении числа неизвестных величин в этих системах. Такое уменьшение возможно при использовании специальных канонических уравнений изучаемых поверхностей. Техника построения таких уравнений и их применения апробировалась на задачах о голоморфной однородности (см. [6; 8; 12]). Вариант применения такой техники в аффинном случае описывается ниже на примере семейства вещественных гиперповерхностей типа (1/2, 0) пространства C ³ .

Предлагаемая ниже процедура построения специальных канонических уравнений содержит два этапа. На первом из них аффинное уравнение вида (1) «упрощается» в ситуации произвольной пары коэффициентов ( 6 1 ,6 2 ).

Второй этап улучшения канонического уравнения (зависящий, вообще говоря, от пары (6 1 ,6 2 ) ) обсуждается ниже лишь для случая поверхностей типа (1/2,0).

Итак, рассмотрим афинное каноническое уравнение (1) и преобразование координат

г * = г 1 + M ₁ w, < г * = Z 2 + М 2 Ю, w * = w

с произвольными комплексными параметрами Mi, М 2 . Справедливо следующее утверждение, доказываемое простой подстановкой формул (20) в каноническое уравнение (см., например, [10]).

Предложение 2. При замене (20) канонический вид (1) уравнения произвольной вещественной гиперповерхности сохраняется, а коэффициенты /1,/2 суммы (14) из- меняются по формулам

( / * = / 1 + ^{( М} 1 + ²⁶1^М 1 ⁾,

I / 2 = / 2 + (М 2 + 26 2 М 2 ).

Полученные формулы (21) приводят к следующему утверждению.

Предложение 3. (О связи канонических коэффициентов 2-го и 3-го весов):

• а)    если ни один из коэффициентов 6 1 ,6 2 уравнения (1) не совпадает с числом 1/2 , то за счет аффинного преобразования координат оба коэффициента / 1 ,/ ₂ можно сделать равными нулю и освободить многочлен F3 = F3°\z,Z) от переменной и;

• b)    если хотя бы один из коэффициентов 6 1 ,6 2 уравнения (1) совпадает с числом 1/2 , то аффинным преобразованием пару (6 1 ,6 2 ) можно превратить в (1/2,6 * ) , где 6 * = 6 1 + 6 2 — 1/2 , а многочлен F 3 привести к виду

F 3 = i/(z i — z i )u + F 3⁽⁰⁾ (г, г),

где / G {0,1} .

Доказательство. Заметим, что при е = 1/2 отображение, определяемое формулой

( ^ ( + 2е^, является взаимно-однозначным в комплексной плоскости. При е = 1/2 формула (23) превращается в ^ ^ 2R 1. Такое «вырожденное» отображение переводит комплексную плоскость в точки вещественной оси, накрывая при этом всю ось.

С учетом этого замечания утверждение п. а) очевидно: решая уравнения

(M i + 2в 1 М 1 ) = —Ц 1 , (М 2 + 2Е 2 М 2 ) = —Ц 2

и применяя преобразование (20) с найденными М 1 ,М ₂ , получим нулевые значения коэффициентов ц 1 , ц 2 в каноническом уравнении обсуждаемой поверхности.

В первом подслучае случая b), когда ровно один из пары коэффициентов Е 1 ,Е 2 совпадает с числом 1/2, можно считать (за счет замены 2 1 о 2 2 ), что

Е 1 = 1/2, Е 2 = 1/2.

Тогда за счет преобразования вида (20) можно получить равенства

Re ц* 1 = 0, ц 2 = 0.

Если при этом еще оказывается выполненным равенство Гт ц * = 0 , то предложение 3 автоматически верно в этом подслучае. Если же Гт ц* = 0 , то воспользуемся растяжением координат вида

2 ^ t2, W ^ t ² W. (24)

При любом вещественном коэффициенте t = 0 преобразование (24) сохраняет вид (1) и при этом умножает все коэффициенты многочлена F 3 на t . Полагая t = (Гтц 1 ) ^-1 , приводим коэффициент ц 1 к виду ц ** = г , что доказывает предложение 3 в этой ситуации.

Наконец, в случае поверхностей трубчатого типа, характеризуемом равенствами

Е1 = е2 = 1/2, утверждение предложения 3 получено в [10], [13]. Помимо преобразования (20) и растяжения (24) здесь приходится дополнительно использовать «ортогональный поворот»

(22) Ч

cos у — sin у

sin у cos у

К 22)

в пространстве C 2 . Суперпозиция такого поворота и растяжения координат позволяет

перевести ненулевой вектор

(Ц1)

с чисто мнимыми координатами в положение

Предложение 3 доказано полностью.

Следствие 1. Для поверхностей типа (1/2, 0) каноническое уравнение (0.1) можно считать имеющим следующий специальный вид

V = |2 i | 2 + ^| 2 + ^(2 2 + 2 2 )+ гц(2 1 — 2 i )u + F ^ 4,2) + )Ч F _klm (2,2)u , (26) k+l+2m > 4

где вещественный параметр ц Е {0,1} .

На втором этапе упрощения уравнения (26) мы воспользуемся преобразованием

2 ₁ ^ 2 ₁ + itw (t E R).

Из сказанного выше следует, что такое преобразование сохраняет вид (26) и не затрагивает слагаемого F ₃ ⁽¹⁾ •n = 2^(2 1 —2 ₁ )u = —2цг/ ₁ и . В то же время это преобразование, вообще говоря, изменяет многочлен третьей степени f 3⁽⁰( 2, 2) из этого уравнения.

В целом такой многочлен допускает представление

F30)(2,2) = F300 + F210 + (комплексно сопряженные слагаемые), где

F 300 = Е / 2 2 ¹ , k + l =3

^F 210

= (е

\k+ l =2

к е

9 kt4 2 2

) 2 + ( Е

/       \ k+l=2

h k£ 2 ^k : 2

2 2 ,

а f _ke , g _ke , h _kl — некоторые комплексные коэффициенты.

Для краткости дальнейших формулировок удобно ввести в рассмотрение «матрицу» из 10 коэффициентов

/30        /21        /12

920        911

^20        ^11

определяющую описанные выше многочлены.

Несложными вычислениями доказывается следующий факт.

Предложение 4. При замене (2) изменение многочлена F ₃ ⁽⁰⁾ описывается формулами

F3 = F3 - 2t^1F2 = F3 - t(21 + 21) f |21|2 + |22|2 + 2(21 + 22)^ .

В силу этого предложения поправки, вносимые в многочлен F ₃ ⁽⁰⁾ заменой (2), описываются тремя слагаемыми

-

/1 3

2 ² 1 + "2" ² 1 ² 1 ^{+ t 2} 1 ² 2 ²2 )

и комплексно сопряженными к ним выражениями.

С учетом этого получаем следующее следствие.

Следствие 2. За счет замены (2) можно обнулить вещественную часть одного (любого!) из трех коэффициентов многочлена F ₃ ⁽⁰⁾ : либо Re / ₃₀ , либо Re9 ₂₀ , либо Reh ₁₁ .

Везде ниже мы будем считать равной нулю вещественную часть коэффициента h ₁₁ канонического уравнения любой из рассматриваемых аффинно-однородных гиперповерхностей типа (1/2, 0).

Замечание. Еще одно преобразование, упрощающее уравнение поверхности (26), можно использовать, если в этом уравнении коэффициент ц равен нулю, но имеется хотя бы одна нетривиальная компонента веса к > 3 . За счет растяжения координат 2 ^ ^ t2, w ^ t ² w модуль произвольного ненулевого коэффициента из такой нетривиальной компоненты можно приравнять единице.

• 3.    Аффинно-однородные поверхности типа (1/2, 0)

  • 3.1.    Оценки размерности в случае поверхностей типа (1/2, 0)

Цель этого раздела статьи — доказательство следующего утверждения.

Теорема 2. Для размерности алгебры д(М ) , соответствующей аффинно-однородной

СПВ-гиперповерхности М типа (1/2, 0) в пространстве C ³ , справедлива оценка

5 < dim R д (М ) < 7.

Если при этом:

• a)    отличен от нуля хотя бы один из трех коэффициентов

  
  

  / 21 , ^д 11 , ^ 20

канонического уравнения (26) поверхности М, то алгебра д(М ) является в точности 5-мерной;

• b)    если все коэффициенты тройки (29) равны нулю, но нарушается хотя бы одно из двух равенств

д 20 = 3^/ зо , ^ 11 = ^2/ 30 ^{,                                 (30)}

то алгебра д(М ) является не более, чем 6-мерной.

Доказательство теоремы 2 мы проведем в несколько шагов. Сначала будет доказана уточненная общая оценка размерности алгебры д(М ) для однородных поверхностей типа (1/2, 0). После этого мы обсудим частные случаи, связанные с выполнением отдельных ограничений на коэффициенты канонических уравнений и обозначенные в формулировке теоремы 2 под пунктами а) и b).

Как и в §1, базой для получения желаемых оценок является исследование младших компонент основного тождества.

Подставляя обсуждаемые значения 6 1 = 1/2, 6 2 = 0 в формулы (17), получим следующее утверждение.

Предложение 5. Для параметров векторного поля (4), касательного к произвольной поверхности типа (1/2,0), выполняются следующие уравнения, получаемые из компоненты веса 2 основного тождества:

2 2 : А 1

-

2 1 2 2 :

1 г

2 Re с + 2ар + (З/ 30 Р 1 + / 21 Р 2 + д 2о Р 1 + ^£2 ) + ^(q) = 0,

2 2 :  (/ 12 Р 1 + З/ 03 Р 2 + д о2р1 + ^ 02 р 2 ) + ^(q) = 0,

А 2 + |bp + (2/ 21 Р 1 + 2/ 12 Р 2 + д_ИР 1 + ^_ПР 2 ) + ^(q) = 0,

г

² 1 ² 2 ^: В 1 + ^А 2 + 2 Ьр + ⁽ 2^ 20 ^р 1 + К 11 Р 2 + ^д 11]Э1 + 2д 02' Р 2 ⁾ + ^^(q) = ⁰,

|² 1 | ^{2 : Re (А} 1 — 2 ^с

-

г ,       _ ,

2 ар) + Re(2д 20 р 1 + д^) + ^(q) = 0,

|2 2 | ² : Re (В 2 -

2 с) + Re(^_nр 1 + 2 К о2 Р 2 ) + ^(q) = 0,

и

Re (грр 1 + -с + qX") = 0.

Учтем еще формулы a = 4iRep1 — 2qp, b = 2гр2,                          (32)

получаемые в (1/2, 0)-случае из (15). Так мы приходим к следующим формулам для элементов A ₁ ,A ₂ ,B 1 ,B ₂ ,c матриц (5), отвечающих полям, касательным к однородным поверхностям:

Im c = 2Xq — 2pImp ₁ ,

A i = ^ Rec + 2pRep i — (3/ 30 P 1 + / 21 P 2 + g 2o P i + h 2o P 2 ) — p(q) = 0,

A 2 = pp 2 — (2/ 21 P 1 + g_np i + h ii p 2 ) — p(q),                   (33)

B i = —2pp 2 + (<7 ii — 2h 2o )p i + (h_n — h ii )p 2 + (2/ 21 — g_n)p i + ^(q), Re B 2 = 2Re c — Re(h ii p i ) + p(q).

Эти формулы означают, что помимо основной пятерки параметров свободными в алгебре g(M ) , отвечающей однородной поверхности M типа (1/2, 0), могут быть не более, чем шесть вещественных элементов Rec, ImB ₂ , A3,B3 матриц (5).

Получаемую отсюда грубую оценку dim R g(M ) < 11 можно, как и в общем случае, уточнить, рассматривая слагаемые веса 3 основного тождества.

Всего имеется 12 типов таких слагаемых. Уже упоминавшиеся выше равенства нулю коэффициентов при z 1 u и z ₂ u превращаются в этом случае в уравнения

2ReA 3 A^pRec = p(p,s,q), B 3 = p(p,s,q).               (34)

Эти уравнения позволяют исключить B 3 и Re A 3 из числа свободных параметров поля и выразить их через основную пятерку параметров g(M ) .

Тем самым получаем улучшенную оценку размерности алгебры в обсуждаемом случае dim R g(M ) < 8 . Такая оценка тоже не является окончательной. Для доведения ее до желаемой цифры 7 придется рассмотреть часть компоненты веса 3, зависящую только от переменных z, z .

Здесь мы имеем еще 10 уравнений, означающих обращение в нуль коэффициентов перед мономами степени 3 от переменных z 1 , z ₂ ,Z 1 ,z ₂ . В силу уже проведенных рассмотрений каждое из них можно записать в виде

U k (В 3°° ,Rec,ImB 2 ,ReA 3 ) = р _к (p i ,P 2 ,q), к = 1,..., 10.             (35)

Зависимость обеих частей таких уравнений от параметров — линейная, а точный вид левых частей можно описать в «матричной» форме следующим утверждением (его доказательство является чисто техническим и потому здесь опущено).

Предложение 6. «Матрица» левых частей U _k (Fg ⁰) , Rec, Im B ₂ ,Im A 3 ) системы (35) имеет вид

/ У зО • ^t 1 ^— ^З        Ai^i + ^^ 2 )        A2 ⁽F + 2^2)       ^/ 03 ⁽^ 1 + ³^ 3 ) \

I         g 20 • t i — 3t 3               g ii (t i + H2)               g 02 (t i + 2H 2 )        I ,     (36)

^h 20 ⁽^ 1 ^— i^t ₂ ^{)               h} ii • ^t i ^{— 2t} 3                 ^h 02 ^(t 1 + ^t 2 ⁾

где через t ₁ ,t ₂ ,t ₃ обозначены, соответственно, Rec/2, ImB ₂ , Im A 3 .

Первое из уравнений (35) дает нам формулу

1т А з = / 30 • 2 Rec + р(р, s,q),

показывающую, что параметр 1т А ₃ не является свободным для аффинно-однородных поверхностей типа (1/2,0) . Тем самым доказана первая часть теоремы 2, связанная с оценкой dim R д(М ) < 7 для однородных поверхностей типа (1/2,0).

Для доказательства остальных утверждений рассмотрим 2 2 2 ₂ -, z^ Тг , и z 2 z ₂ -уравнения, обозначенные в предложении 6 и содержащие в левых частях в виде множителей коэффициенты / ₂₁ , gi ₁ ,^ ₀₂ соответственно.

Пусть хотя бы один из тройки этих коэффициентов, например, / ₂₁ , отличен от нуля.

Тогда соответствующее уравнение (35), то есть

У 21

^-Re c + г 1т В ₂

^ = p⁽p,s,q),

(после деления на / ₂₁ ) позволяет однозначно выразить из него Rec и 1т В ₂ . Тем самым доказано утверждение п. а) теоремы 2.

Для доказательства п. b) подставим формулу (37) в z 1_ z ₁ - и 2 ₁ 2 ₂ 7 ₂ -уравнения системы (35), содержащие параметр 1т А ₃ .

После подстановки эти уравнения примут вид

2⁽g 20 ^- 3 ^/ 30 ^)Rec = p⁽p^,s,q),   2⁽^_n — ^2/ ₃₀ ^)Rec = p⁽p^,s,q⁾.

Если хотя бы одна из скобок-множителей в левых частях двух полученных уравнений отлична от нуля, то параметр Rec выражается через основную пятерку (р, s, q) . Размерность алгебры д(М ) в этом случае не превысит 6. Это и есть требуемое в п. b) утверждение.

Теорема 2 доказана полностью.

• 3.2.    Ограничения на коэффициенты канонических уравнений

Общая схема изучения однородности, описанная в первом параграфе статьи, подразумевает использование различных ограничений не только на размерности рассматриваемых алгебр Ли, но и на отдельные элементы таких алгебр.

В силу предложения 5 матрицы, входящие в алгебру д(М ) , отвечающую аффиннооднородной поверхности, зависят от коэффициентов канонического уравнения поверхности М . В связи с этим получение дополнительной информации о таких коэффициентах (например, в духе работы [4]) дает дополнительные возможности в решении исходной задачи описания однородных поверхностей. Обсудим некоторые свойства коэффициентов, пока остававшиеся «в тени».

При получении оценочных результатов теоремы 2 мы использовали пять из семи формул, связанных с компонентой веса 2 основного тождества (см. предложение 6). Рассмотрим оставшиеся два уравнения, отвечающие z 2 и |z ₁ | ² .

Например, из 2 2 -равенства следует, что

У 12 = ^/ 03 = д 02 = ^ 02 = ^{0 (38)}

для любой однородной гиперповерхности типа (1/2,0).

А подставляя в |г ₁ | 2 -уравнение формулу для А ₁ из (34), получим завершающее следствие системы (31) в виде

Де ( (—З/ зо + 2^ 20 ^- g 2o) p i + (9 11 ^- / 21 ^- 1 20 )p ₂ ) + plma + p(q) = 0.

С учетом первой формулы из (32) получаем отсюда еще два равенства

• ^{— 3/} 30 ⁺ 29 20 ^{— g} 20 ^{+ 4}р = 0,      g ii ^{— /} 21 ^{— 1} 20 = 0.               ⁽³⁹⁾

Далее нас будут интересовать в первую очередь однородные поверхности с «богатыми» группами G(M ) , размерность которых строго больше 5. Согласно теореме 2, тройка коэффициентов (/ ₂₁ ,g ₁₁ , 1 ₂₀ ) для таких поверхностей тривиальна, и второе из равенств (39) неинформативно. А вот первое дает нам формулу

3/30 = 2g20 — g20 + 4р, уменьшающую число неизвестных элементов в базисных матрицах алгебры д(М).

Такие упрощения позволяют представить базисы изучаемых матричных алгебр д(М ) в обозримой форме. Например, согласно рассмотрениям [10], наиболее значимой часто оказывается первая четверка матриц, отвечающая следующим наборам (p ₁ ,p ₂ ,q) :

(1, 0, 0), (г, 0, 0), (0,1, 0), (0,г, 0).

Отметим, что при описании матричных элементов нумеруемых матриц здесь и далее используются «компьютеризированные» обозначения, содержащие номер матрицы в качестве нижнего индекса; номера самих этих элементов (например, А1,В 3 ) включаются в «строчные» обозначения.

С учетом этого можно сформулировать, например, следующее утверждение.

Предложение 7. При / ₂₁ = g ₁₁ = 1 ₂₀ = 0, 1 ₁₁ = г1(1 Е R) первая четверка базисных матриц алгебры д(М ) может быть представлена в виде

/ m1 + (6р + 2r + 4гt) 0 А31 1 m2 + (2t — 4гр) 0 А32 г 0 m1 В 31 0 0 m2 + 1 В32 0 ⎝ 4г 0 2m1 0 0 0 2(m2 — гр) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /    тз     (р — г1) А3з 0 \ /    m4     — - г(р — г1) А34 0 \ —2(р + г1) m3 В 3з 1 —2г(р + г1) m4 в 34 г 0 2г 2m3 0 , 0 2 2m4 0 0 0 0 0 0 0 00 с некоторыми вещественными r,t,m1, ...,m4 и комплексными АЗ^, ВЗ^.

Доказательство предложения 7 получается за счет подстановки в матрицы соответствующих значений параметров (p ₁ ,p ₂ ,q) и использования обозначений

9 20 = r + гt (r = Де9 20 , t = Im 9 20) .

Аналогичные упрощения базисных матриц будут использоваться и в следующем параграфе. Отметим еще один момент, связанный с коэффициентами канонических уравнений однородных поверхностей и с первой формулой (39).

Следствие 3. Если сумма S = —3/ ₃₀ + 2g ₂₀ — g ₂₀ коэффициентов канонического уравнения аффинно-однородной поверхности типа (1/2,0) является чисто мнимой, то вся эта сумма равна нулю, и коэффициент р также нулевой.

• 4.    Сведение задачи к случаю 5-мерных алгебр

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 3. Если для размерности алгебры Ли д (М), отвечающей аффинно-однородной поверхности М типа (1/2,0), выполняется оценка dimR д (М) > 5, то существует 5-мерная группа Н(М) аффинных преобразований пространства C3, транзитивно действующая на поверхности М. Алгебра Ли этой группы является подалгеброй д(М).

Доказательство. Согласно предложению 2 считаем, что уравнение любой обсуждаемой поверхности имеет специальный вид (26), то есть

У = ^{| г} 1 | + ^{| г} 2 | ⁺2⁽^ 2 + ^г 2 ^{) + F} 3 (Х ^ + ^^⁽^ 2 ^— ^N + У^ ^F klm ⁽Z, Z)U , Ц Е ^{{ 0, 1 }} . k+l+2m > 4

С учетом теоремы 2 нам достаточно разобрать следующие два случая возможных размерностей алгебры д(М ) и сопутствующих этим размерностям ограничений на коэффициенты многочлена F ₃ ⁽⁰⁾ :

1-й случай: dim R д(М ) = 7 , свободными параметрами в алгебре д(М ) являются основная пятерка, а также Rec , 1тВ ₂ ; «матрица» (27) коэффициентов многочлена F ₃ ⁽⁰⁾ имеет вид

/ гг 0       00

3гг       0       0       ,

\     0      2гг     0/ с некоторым вещественным г.

2-й случай: dim R д(М ) = 6 , свободными параметрами в алгебре д(М ) являются основная пятерка, а также 1т В ₂ ; «матрица» (2.7) коэффициентов многочлена F (⁰⁾ имеет вид

/ /з о       0       00 д2о       0       0       ,

0     Иц0

с чисто мнимым Иц и некоторыми комплексными /з₀,д ₂₀ .

• 4.1.    Случай 7-мерных алгебр

В рамках 1-го случая многочлен F ₃ ⁽⁰⁾ может иметь не более трех ненулевых коэффициентов / ₃₀ ,д ₂₀ , Ни ; в силу (40) все они — чисто мнимые. Но тогда, в силу следствия, завершающего предыдущий параграф статьи, все эти коэффициенты — нулевые. Также нулевым является и коэффициент ц из слагаемого F ₃ ⁽¹⁾ . Следовательно, необходимым условием для 7-мерной алгебры д(М ) является обращение в нуль всего многочлена

F 3 = F^ + F® = г,ф 1 - ^ 1 )м + F®.

С учетом этого формулы (33) для элементов семи базисных матрицы алгебры д(М )

можно считать

имеющими следующий достаточно простой вид:

Е 1 =

⎝

4г

А3 1

В 3 1

/

, ^Е 2 =

⎜ 0

⎜ ₀

г \0⎟

Е 4

V

А3 4 ВЗ 4 0 0

г

, ^Е 5 =

/

(

А3 2 в 3 2

0	0	, Е 3	=
0	0
⎛	А1 5	А2 5	АЗ 5
	в 1 5	В 2 5	В З 5
⎝	0	0	2iA
	0	0	0

2г

/

А3 з

В3 з

\

/

,

,

/ 1 0 АЗб 0 \ / 0 0 А3 0 1 В 36 0 0 г в 3 Е6 = 00  2  0 , Е7 = 00  0 00  0  0 00  0 является

.

/

Предложение 8. Набор матриц вида (42) лишь в тривиальном случае

базисом матричной алгебры Ли

Е 1 =

⎝

4г

Е 4 =

^Е 6 =

V

V

000			г \		0
	0000				0
, Е 2 =	0000			, Е 3 =	0
0000				0
0 0 0 0 ⎞		⎛ 0 0 0 0 ⎞
000	г		0000
0200		,Е 5 =	000		1 ⎟
0000		0000
1 0 0 0 ⎞		⎛ 0 0 0 0 ⎞
0100			0 г 00
0020		, Е 7 =	0 0 0 0 ⎟
0000		0000

,

.

основывается на

0	0	0
0	0	1 ⎟
2г	0	0 ⎟
0	0	0

,

Доказательство этого

предложения

свойстве замкнутости алгебры

Ли относительно операции коммутирования

[Ек, Е1] = ЕкЕ£ - Е£Ек и получается за счет рассмотрения скобок (коммутаторов) отдельных матриц из набора (42). Требование разложимости каждой такой скобки по обсуждаемому базису позволяет постепенно упрощать матрицы, составляющие базис, и в конце концов приводит этот базис к виду (43).

Замечание. Аккуратное вычисление всех таких скобок естественно проводить, используя средства символьной математики. При подготовке данной работы использовался пакет MAPLE.

• 4.2.    Случай 6-мерных алгебр

Помимо пятерки основных параметров свободным в алгебре д(М ) в этом случае может оказаться либо Rec , либо 1т А 2 . Здесь базисы гипотетических алгебр Ли, отвечающих однородным поверхностям, должны иметь вид ( h,m 1 , ...,т _б ,п Е R, т б +п ² — 0 )

E

А1 1 0 4 г 0

0 В 2 1 0	А3 1 В 3 1 2 т 1	1 0 0	\	5 Е 2 —		А1 2 0 0	0 В 2 2 0	А3 2 В3 2 2 т 2 — 2 гр	г 0 0	,       (44)
0	0	0	)			0	0	0	0

E 5 =

V

А1 5 В 1 5 —2 р 0

А2 5

В 2 5 0 0

АЗ 5

В З 5

2 т ₅ + 2 г\

0 0

1 0

/

^{5 Е} 6 ^—

⎝

т б	0	А3 б	0
0	т б + гп	В3 б	0
0	0	2 т б	0
0	0	0	0	/

.

\

(    тз —2а — 2 ih 0	р — ih т з 2 г	А3 з В3 з 2т з	0 1 0		, E 4 —	<	т 4 —2 г (р + zh) 0	—г (р — zh) т 4 2	А3 4 В 3 4 2 т 4	0 г 0
0	0	0	0				0	0	0	0	/

Как и в предыдущем случае, будем рассматривать попарные скобки W ^e таких матриц. Например, комбинация

E ,ЕД

^[E 2 , ^Е б \ ^{+ т} б ^Е 2 ^—

т б А1 2

0     А1 2 А3 6 + 2А3 2 т ₆ — А3 6 (2т 2 — 2 ip)

т б В2 2 (2 т б — г) В3 2 + (В2 2 —

т б (2 т 2 0

-

- 2 т ₂ + 2 гр,) В 3 6 2 гр)

должна разлагаться по базису E 1 ,

..

.,E 6 такой алгебры.

Обращение в нуль последнего столбца матрицы (45) означает, что ее разложение по базису (44) не содержит матриц E1 — E5. А так как (3,3)-элемент матрицы E6 из базиса (44) является вещественным, то мы получаем первое необходимое условие на элементы матриц (44) в виде тб • р — 0.

Теперь предлагается рассмотреть два подслучая, связанные с равенством (46).

В первом случае, то есть при т ₆ — 0 мы сразу можем считать, что п — 1 . Здесь справедливо следующее утверждение.

Предложение 9. Если базис 6-мерной алгебры д(М ) имеет вид (44), и т _б — 0 , п — 1 , то либо

а) линейная оболочка матриц E 1 ,

..

.,E 5 является 5-мерной подалгеброй д(М ) ,

либо б) матрицы базиса (44) имеют специальный вид

E i —

	—2 га	0	0	1		( 2 а	0	0	г
⎜	0	0	0	0	5 Е 2 —	0	2 а	0	0
⎝	4 г	0	0	0		0	0	2 а	0
	0	0	0	0	0		0	0	0	/

^Е з ^—

( 0

-

2 га

5 Е 4 —

2 а 0

-га

2 г

—а

Е 5 —

	0	0	0		0	0	0
/ 0	0	0	0 ^	( 0	0	0	0 \
0	0	0	0	0	г	0	0
0	0	0	1   5 Е 6 —	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0

⁰ г

при некотором а G R \ {0} .

Доказательство предложения пользованием пакета MAPLE).

9 состоит из нескольких шагов (выполненных с ис-

Шаг 1. При т ₆ — 0 из рассмотрения скобки Ж ₁₆ следует, что Е 6 — тривиальная, то есть т ₆ — А3 6 — В3 6 — 0 .

Шаг 2. При тривиальной Е 6 из рассмотрения скобок Ж 16 , Ж ₂₆ , Ж 56 , Ж 36 , Ж ₄₆

полу-

чаем частичные упрощения

матриц Е 1 ,Е 2 , Е ₅ ,Е 3 ,Е ₄ . Теперь

они имеют

вид

^Е з ^—

Е 1

V

(

V

—2 ц

-

Е 5

Л1 1

4 г

2 гh

V

В 2 1

А3 1 0 2 т 1 0

1 0 0

(

ц — гh

2 г

В 3 з

• ^{5    Е} 2 ^—

V

Е 4 —

V

А1 5 0

—2 ц 0

В 2 5

А3 5 0 2т 5 + 2 г\ 0

А1 2

0 0

В 2 2

А3 2

• 2    т ₂ — 2 гц

г

\

/

-

2 г (ц + гh)

• —г (ц — гh)

0 гВ3 з

⁰ г

^{5 Е} 6 ^—

V

г

/

.

Шаг 3. При обозначенных упрощениях рассматриваются (2,2)-элементы попарных скобок пяти первых базисных матриц (4.9). Здесь

⁽Ж з4 ) 2 , 2 ^{— 4(г}Ц 2 ^{+ гh 2 + В} 3 з )⁵

тогда как (2,2)-элементы всех остальных — нулевые.

Дальнейшие рассмотрения базиса (48) и его возможные упрощения свяжем с проверкой равенства

В3 з — —г(ц ² + h ² ).                                 (49)

Если оно выполняется, то в разложениях всех попарных скобок пяти базисных матриц Е 1 5...5Е 5 НЕ участвует матрица Е 6 . В силу этого для любой 6-мерной алгебры Ли д с базисом (48) при выполнении условия (49) линейная оболочка <  ^Е 1 ⁵ ."^{5 Е} 5 >  является 5-мерной «транзитивной» подалгеброй Ли алгебры д .

Поэтому далее имеет смысл рассматривать ситуации, в которых равенство (49) для элемента В3 3 не выполняется. Информацию об этом матричном элементе дают последующие рассмотрения скобок базисных матриц.

Шаг 4. Из рассмотрения скобки W 13 следует, что

В 3 3 = - (—2 h + 2 гц + г А1 1 ) (— h + гц) .

Это означает, что интересующий нас элемент (W ₃₄ ) ₂ , ₂ имеет следующий вид

(W^ = 2 г (—h + гц) (г А1 1 - 4 h).                    (50)

Шаг 5. Из рассмотрения скобки W 23 и соответствующей ей «исправленной скобки» В 23 = W 23 — ^ / =1 r _k Е / , имеющей нулевые элементы в 4-м столбце, следует, что В2 2 = = m 2 + h, и

(Я 23 ) 2 , 1 = —2 г (— 2 h + 2 гц + A1 2 ) (— h + гц) = 0.

Это означает с учетом неравенства (W ₃₄ ) ₂ , ₂ = 0 и формулы (50), что A1 2 = 2 h — 2 гц.

Но в силу равенства ImA12 = —4ц, вытекающего из предложения 3.3, это приводит к важному условию ц = 0.

Шаг 6. С учетом всех полученных выше упрощений изучение оставшихся скобок базисных матриц (48) приводит к единственному случаю, в котором матричный элемент (W ₃₄ ) ₂ , ₂ может быть ненулевым. Этот случай описывается в точности формулами (47).

Предложение 9 тем самым доказано.

Несложно проверить, что при любых вещественных а линейное пространство с базисом (47) является алгеброй Ли. При этом за счет матричных подобий параметр а = 0 можно превратить в единицу.

Линейная оболочка пяти первых матриц из базиса (47) полученной алгебры не образует, в отличие от п. а) предложения 5.2, замкнутую подалгебру, так как

[Е 3 , Е 4 ] = 2Е 1 — 4Е ₃ + 4Е б .

Тем не менее утверждение о существовании «транзитивной» 5-мерной подалгебры в 6-мерной алгебре д(М ) справедливо и в этом случае. Опираясь на коммутационные соотношения в д(М ) , имеющие вид

^[Е 1 ^,Е 2 ^] = ^{— 4Е} 5 , ^[Е 1 ^,Е 3 ^] = ^2Е 4 , ^[Е 1 ^,Е 4 ^] = ^{— 2Е} 3 , ^[Е 2 ^,Е 5 ^] = ^2Е 5 ,

[Е3, Е4] = 2Е1 — 4Е5 + 4Е6, [Е3, Е6] = —Е4, [Е4, Е6] = Е3, легко видеть, что требуемой транзитивной подалгеброй в ней является линейная оболочка пяти матриц

^(Е 1 ^{+ 2Е} 6 ), ^Е 2 , ^Е 3 , ^Е 4 , ^Е 5 .

Замечание. С точностью до аффинных преобразований интегральным многообразием, отвечающим алгебрам с базисом (47), при а = 1 является (см. [14]) поверхность

^2 = Ы2 + |^2|2, получаемая из рассмотрений 5-мерных алгебр Ли.

Второй подслучай 6-мерных алгебр: / = 0, т ₆ = 0 . Этот случай фактически соответствует свободному параметру Re с ; здесь базис алгебры можно считать имеющим вид ( г з ,Т 4 ,Т 6 , A G R ):

Е 1 =

⎛ ⎝

А1 1 0 4 г 0

0 В2 1 0 0

А3 1 В3 1 0 0

1 0 0 0

⎞ ⎠

, Е 2 =

⎛

А1 2    0

А3 2 В 3 2 0 0

г 0 0 0

⎞ ⎠

,

⎝

0 0 0

В2 2 0 0

⎛

0

А2 з

А3 з

0

⎞

⎛

0

А2 4

А3 4

0

⎞

Е з =

⎝

В 1 з 0

гт з 2 г

В3 з 0

1 0

⎠

, Е 4 =

⎝

В1 0

4 гТ 4 2

В 3 4 0

г 0

⎠

,

(51)

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛

A1 5

А2 5

А3 5

0

⎞

⎛

1

0

А3 б

0

⎞

Е 5 =

⎝

В 1 5 0

В2 5 0

В3 5 2 гА

0 1

⎠

, Е 6 =

⎝

0 0

1 + гт б 0

В3 б 2

0 0

⎠

.

0

0

0

0

0

0

0

0

Предложение 10. Если базис 6-мерной алгебры Ли д(М) имеет вид (51), то линейная оболочка матриц Е 1 , ...,Е 5 является 5-мерной подалгеброй Ли этой алгебры.

Доказательство этого утверждения получается по той же схеме, что и доказательство предыдущего предложения 9.

Рассмотрим в первую очередь коммутаторы [Е 2 ,Е ₆ ] и [Е 2 ,Е _з ] матриц из базиса (51). В случае алгебры Ли обе эти скобки, как и скобки любых других пар базисных матриц из (51), должны разлагаться (с вещественными коэффициентами) по этому базису. При этом

^[Е 2 , ^Е 6 ^] + ^Е 2 =

(

Л1 2

В 2 2

V

^[Е 2 , ^Е 3 ^] =

(

2 гА3 ₂

2 гв з ₂

V

Отсюда следует сначала, что В 2 2 = 0, АЗ 2 = 0.

Это означает, что Е ₂

тривиальные матрицы.

\

А1 2 А3 6 + 2АЗ 2

В2 2 В З б + 3В3 2 - (1 + гТ б )В3 2

—А2 з В 3 2

- в 1 _з А3 ₂ — гт ₃ В3 ₂

—2 гВ3 ₂

^{— гВ} 1 3

/

.

⁰ ^

,

= 0, А1 2 = 0, а затем, аналогично, В 1 3 = 0, В 3 2

г

, так же, как и Е 5

/

\

—

После этого рассмотрение скобок [Е _к , Е 5 ] при к = 1, 3,4 приводит

нулевых элементах В3 1 ,В3 3 ,В3 4 базисных матриц (51). Весь вид

этот

базис

к выводам о теперь имеет

Е 1

Е 4

V

Л1 1	0	Л3 х	1		0	0	0	г \		0	0	А3 з	0
0	В 2 1	0	0		0	0	0	0		0	В 2 3	0	1 ⎟
4 г	0	0	0	, Е 2 =	0	0	0	0	, Е 3 =	0	2 г	0	0 ⎟
0	0	0	0	0		0	0	0	0		0	0	0

,

V

0 В 2 4 2	А3 4 0 0	0 г 0		, Е 5 =	<	0 0 0	0 0 0	0 0 0	0 0 1	\	, Е 6 =	<	1 0 0	0 1 + гГ б 0	А3 б 0 2	0 0 0
0	0	0				0	0	0	0	J			0	0	0	0

.

Для завершения доказательства предложения 10 достаточно убедиться, что (2,2)-

и (3,1)-элементы десяти скобок [Е ^ , Е _/ ], к,1 Е {1,2, 3,4, 5} являются нулевыми. Это означает, что разложение любой такой скобки по базису (4.15) 6-мерной алгебры в действительности является разложением по первым пяти ее матрицам.

Предложение 10 доказано.

Замечание. В качестве примера, подтверждающего содержательный жения 4.3, можно упомянуть 6-мерную алгебру Ли с базисом характер предло-

Е 1 =

Е 4 =

⎝

V

4г

0 г 0

/

\

, ^Е 2 =

/

, ^Е 5 =

V

1 0

г

/

/

, ^Е 3 =

, ^Е 6 =

V

2г

1 + гг б

2 0

/

,

0⎟0⎟

.

При любом

вещественном г ₆ такая

алгебра, очевидно, является подалгеброй Ли 7- мерной алгебры (43) и содержит в себе 5-мерную подалгебру h =< Е1, Е2, Е3, Е4, Е5 >.

Теорема 3 доказана полностью.

В силу этой теоремы описание всех аффинно-однородных гиперповерхностей типа (1/2, 0) сводится к построению списка таких поверхностей, обладающих в точности 5-мерными группами и алгебрами Ли. Полный список именно таких многообразий построен в [14].

ПРИМЕЧАНИЕ

• ¹    Работа поддержана грантом РФФИ № 14-01-00709.