О разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна - Вольтерра в критическом случае

Исследуется следующая система, нелинейных интегральных уравнений типа. Гаммер-штейна. - Вольтерра:

^ n fi(x) = Е / 1=1 j x

Vij(t - x)Qij (t,fj (t)) dt,

x E R⁺ = [0, +ro), i = 1, 2,... , n,

относительно искомой измеримой вектор-функции f (x) = (fi(x), f2(x),..., fn(x))T, определенной на. R⁺ T - знак транспонирования).

Элементы матриц-функций v = (vij)^П^Д удовлетворяют следующим условиям:

• I)    Vij (т ) > 0, т E R+ Vij E L1(R⁺) П L^(R⁺). i,j = 1, 2,...,n:

^

• II)    m₁(vij ) = J TVij (т )dT <  +to. i,j = 1, 2,...,n; 0

• III)    (условие критичности)

Спектральный радиус матрицы A равен единице

A=

^

V ij (т)

)nxn i,j=1

r (A) = 1

(т. e. модуль максимального по модулю собственного значения равен единице).

Фуикппп МДДу)}^ определены iю множестве R⁺ xR⁺, принимают вещественные значения и удовлетворяют условию критичности:

Qij(t, 0) = 0, i, j = 1, 2,... ,n, t E R⁺,                              (3)

и некоторым другим дополнительным условиям (см. формулировку теоремы).

• ¹    Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного комитета по науке Министерства образования и науки Республики Армения, проект № SCS 15Т-1А033.

• 2.    Некоторые обозначения и вспомогательные факты

Система (1), кроме самостоятельного математического интереса, имеет применение в различных областях математической физики (см. [1, 2]). Соответствующая линейная система, при условии r(A) 6 1, исследовалась в работах [3, 4]. В скалярном случае, когда r(A) > 1, соответствующее линейное уравнение исследовалась в работе [5]. В том случае, когда n = 1, а ядро имеет компактный носитель, исследованию уравнения (1), при определенных ограничениях на. нелинейность, посвящены работы [6-8]. В скалярном случае, когда для ядра миноранотой служит суммируемая на R⁺ функция, зависящая от разности своих аргументов при определенном ограничении на. нелинейность, уравнение (1) исследовалось в работе [9].

В настоящей работе, при некоторых условиях на функции Qij(t, у), i,j = 1, 2,... ,n, построено покомпонентно положительное решение системы (1) в пространстве ограниченных суммируемых функций с нулевым пределом в +то.

Пусть матрица A = (aij )nj . задаваемая согласно формуле (2), является примитивной, т. е.

• (1)    aij > 0. i^,j = 1, ²,...,n

• (ii)    существует число p Е N такое, что все элементы матрицы Ap положительны.

Тогда в силу теоремы Перрона [10] существует вектор р = (ПйП2,--. ,nn)T с положительными координатами ni (i = 1, 2,...,n) такой, что n

An = п ^11ЛП 52 aijnj = ni, i = 1, 2,...,n.                      (4)

j=i

В дальнейшем будем предполагать, что функции Qij(t, у) (i,j = 1, 2,... ,n), допускают следующее представление:

^ij (t,y) = Gij (t,y)+ wij (t,Xi - y), i,j = 1, 2,...,n.                  (5)

Здесь Xi - числовые параметры, a. wij (t,y) - определенныe на множестве R⁺ x R⁺ измеримые и вещественные функции, обладающие следующими свойствами:

• а)    существует число 5 > 0 такое, что фуиктщп wij (t,y) > 0. (t, у) Е R⁺ x [5, +w) = П_г, i, j = 1, 2,..., n;

• b)    при каждом фиксированном t Е R⁺ футщпп wij (t,y) ^ по y ii a. [5, +ro), i,j =

• ¹2,. n

• с)    функции wij (t,y), i,j = 1,2,...,n, удовлетворяют условию Каратеодори по аргументу у на миожестве П_г. т. е. при каждое l фиксированном у Е [5, +то) функции wij (t, у), i,j = 1, 2,..., n, измеримы по t Е R⁺ ii почти при всех t Е R⁺ фушщпп wij (t, у), i, j = 1, 2,..., n, непрерывны по у ii a. [5, +to).

Это условие в дальнейшем мы вкратце запишем следующим образом:

wij Е Cary (Q5), i,j = 1, 2, ...,n.

• d)    существуют supwij(t,y) = eij (t), t Е R⁺. ву Е Li(R⁺) П L^(R⁺). mi(eij ) < +^. y > δ

• i,    j = 1, 2,..., n.

Относительно функций Gij (t,y) предположим выполнение следующих условий:

• 1)    Gij(t,y) > у, (t,y) Е R⁺ x R⁺. i, j = 1, 2,... ,n;

• 2)    при каждом фиксированном t G R+ функции Gij (t,y) t и о у на y G R⁺, i,j = 1, 2,... ,n;

• 3)    существуют Yij(t) = sup(Gij(t,y) - у). Yij G Li(R ⁺ ) П L^(R ⁺ ). mi (Yij) < +^. y>0

i, j = 1, 2,..., n;

• 4)    Gij(t, y) G Cary(R ⁺ x R ⁺ ). i, j = 1, 2,... , n.

Примерами функций Gij (t,y) 1i wij (t,y) являются следующие функции:

Gij ^(t,y) = У ⁺ e-yYij^(t),

Gij (t,y) = y + Yi+ 1 ’

Gij (t,y) = y + Yij(t) c°s y+-y ’

Gij (t,y) = У ⁺

Gij ⁽t,y) = У ⁺

Yij(t)

Yij (t)y + 1 ’

2Yij(t)      ,

—-— arctg π

π y2 + 4 ’

Wij (t, y) = eij (t)e

-

y ²

,

wij (t, y) = eij (t)sin

π

eij- (t)y ² +2’

где функции Yij (t) ii eij (t) задаются согласно 3) 11 d).

Приводом также примеры функций Yij (t) 11 eij (t).

A1)

A2)

Yij(t) = Eije t,   Eij > 0, i, j = 1, 2,... ,n,

Yij (t) = Eij e

Bi)

eij (t) = qij

t _t,

E ij > 0, i, j = 1, 2, . . . , n,

B 2)

t ² + Г

^eij ^(t) — qij ( ^e t ⁺

Сначала наряду с (1) рассмотрим

qij > 0, i, j = 1,2,... ,n, t3"+y ’    qij > 0’ i,j = 1, 2’... ,n.

следующую вспомогательную систему линейных

неоднородных интегральных уравнений типа Вольтерра n∞

^i (x) = gi(x) + ^2 / Vij (t - x^^j (t)dt, i = 1’ 2, •

1=1 j x относительно искомой вектор-функпнн ^(x) = (^(x),^(x),.

.

., n, x G R ⁺ ,

..,^n(x))T. Предполагает-

ся, что в (6) свободные члены {gi(x)}n=i имеют следующую специальную структуру:

n∞                n∞ gi (x) = 52 / Vij(t — x)eij(t) dt + 52 / Vij(t - x^Yij(t) dt j x                            j x

∞ n

= gi(x) + 52 / Vij (t — x)Yij (t) dt, i = 1, 2,...,n, x G R+, j x

где

n∞ gi(x) = 52 / vij(t — x)eij(t) dt, i = 1, 2,... , n, x G R+. j x

Нетрудно убедиться, что gi G Li(R+) П L.(R+), mi(gi) < +то, i = 1,2,...,n.(9)

Следовательно, из результатов работы [4] следует, что система (6) имеет решение ^(x) = (^i(x),^2 (x), ... ,Фп (x))T, причем

^i(x) > 0, ^i G Li(R+) П 7X:RT, i = 1, 2,...,n,(10)

lim ^i(x) = 0, i = 1,2,...,n.(11)

Обозначим через к := max sup ^i(x), i = 1, 2, ...,n.(12)

^{1 6i}6ⁿ x>0

Теперь рассмотрим следующую вспомогательную систему нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Вольтерра n∞

^i(x) = 52 / Vij (t - x)(^j (t) - ^ij (t,^j (t))) dt, i = 1, 2, ...,n, x G R+, 1=1 j x и для этой системы введем в рассмотрение следующие специальные приближения:

n∞

^ ^P ₇ ^{+1) (x)} = X / vij^{(t - x)} (j}^{(t) -}

^ij ^(t,j^(t))) dt,

1=1 j x

^i0)(x) = Yni, i = 1, 2,... ,n; p = 0,1, 2,... ; x G R+, y G П, где множество параметров П задается согласно следующей формуле:

П: =

• 5    + 2к

—:---, +то min ni

L16i6n

p

Vtp (x) 1 n ° P (V Y G П, V x G R+, i = 1, 2,...,n), yip) (x) > Yni - ^i(x) (VY G П, Vx G R+, i = 1, 2,... ,n, Vp = 0,1, 2,...). Сначала, докажем (16). С учетом (2), (4), а) и I) из (14) будем иметь

n∞

^2(x) = 52 / vij(t - x)(njY - шij(t, njY)) dt j=1 Jx n∞               n

• ⁶    Y 52 nj / vij^{(t - x)} dt = Y 52 aijnj = Yni = ^v)^(x).

j=1 X                     j=1

В силу монотонности функций Wij (t, y), i,j = 1, 2,...,n, no y н a [5, +то), предполагая, что yip(x) 6 ^2 1)(x), x G R+, i = 1,2,...,n,

при некотором p G N из (14) будем иметь

∞ n

^i^{p+1) (x)} = X / vij ^{(t - x)} (jJ ^{(t) -} j=1 x

^ij(t’^jpY(t))} dt

n∞

• ⁶    X [ vij^(t - ^x) ( j' ^(t) - ^ij ^(t, j' ^(t)) ) dt = ^S ^(x)

• j x

Теперь докажем неравенства (17). При p = 0 эти неравенства очевидны. Предположим, что (17) выполняются при некотором p G N. Тогда из (4), (6), (7), (14), с учетом b) для функции wij(t, y),i,j = 1, 2,... ,n, имеем n∞

^i^{p+1) (x)} >  X [ vij ^(t - j=1 x

∞

^x) (Ynj ^- ^j ^{(t) -} Wij ^(t,Ynj ^- ^j ^(t))) ^dt

∞

nn

• = Yni - X / Vij(t - x^j (t) dt - X / Vij(t - x^ij (t’Ynj - ^j (t) ) dt

1=1 ~                          7 = 1

j x                            j x n∞

> Yni

• - X / Vij (t - x^^j (t) dt - gi (x) = Yni - ^i (x). 7=1

• 3. Основной результат

j x

Из (16) и (17) следует, что последовательность вектор-функций д1ушд=о, ду(x) = к*.(xulp)(xo-xS(x))T), имеет поточечный предел, когда p ^  х. :

lim ^(x = ^Y (x), ^Y (x) = (^1,Y (x),^2,Y (x),---,^n,Y (x))T, p^+^  1

причем предельная воктор-<1>уикция _Vy (x). y G П, в силу условия Каратеодори. е учетом предельных теорем М. Красносельского и Б. Леви (см. [11, 12]), удовлетворяет системе (13).

Итак, система (13) обладает однопараметрическим семейством положительных решений, причем имеют место следующие соотношения:

Yni - ^i(x) 6 ^i,Y(x) 6 Yni, i = 1, 2, . . . , n, Y G П, x G R⁺, x^^m^ Vi,Y (x) = Yni• (18)

Теперь займемся решением основной системы (1). Справедлива следующая

Теорема. Пусть в (1) ядра vij(x), i, j = 1, 2,... ,n, удовлетворяют условиям I)-III), функции ^ij(t,y), i,j = 1,... ,n, обладают свойствами (5), a)-d) и 1)~4). Тогда для каж дого Xi ^ Hi 5+2к i 11 min ni 16i6n

система. (1) имеет положительное суммируемое и ограниченное реше ние f (x) = (f1(x), f2 (x),..., fn(x))T, при чем x)llm^ fi(x) = 0.

<1 Пмсть y * ~ некоторое (фиксированное hi юно из множества параметров П. Для системы (1) введем следующие специальные последовательные приближения:

n∞ fiP+14x) = X / vij(t - x) (Gy(t, fjpHtT) + wij(t, Xj - /jp^t))} dt, 1=1 j x

fi(0)(x) = Y*ni - ^i,Y*(x); x € R+; Xi = Y*ni;  i = 1, 2,... ,n; p = 0,1, 2 ...; Y* €П.

p fiip)(x) t n° P (Vx € R+, i = 1, 2,... , n, p = 0,1, 2,...),(20)

fi(p)(x) 6 Y*ni - ^i,Y*(x) + ^i(x) (Vx € R+, i = 1, 2,... ,n, p = 0,1, 2,...).(21)

Сначала докажем (20). В силу монотонности функций wij(t,y), i, j = 1, 2,... ,n, no y на [5, +w) e учетом (4) ii условия 1) для фажктщй Gij (t, y), i,j = 1, 2,...,n, из (19) получим n∞ fi^x) > X/ 1=1 j x

vij ^{(t - x)(}Y* nj

^j,Y* ^{(t) + W}ij (t, ^Xj

- Y*nj + ^j,Y*(t)) dt

> Y ni

-

n ^∞

X/

j=1 x

vij ^{(t -} .Мщ. ^(t)

- Wij (t,7* (t)))dt = Y*ni - ^i,Y* (x) = fi^Hx).

Предполагая, что fp)(x) > fi(p-1)(x). i = 1,2,...,n. x € R+, при некотором p € N, из (19). учитывая моиотошкамв (функций wij (t,y), i,j = 1, 2,... ,n. no y ii a. [5, +ro), при условии 2) получим n∞ fi(p+1)(x) > X у vij (t -x) (Gij (t> fjp-1)(t))+ wij (t, Xj - fjp-1)(t)) j dt = fipЧx), j=1x i = 1, 2,..., n, x € R+.

Теперь докажем неравенства (21). При p = 0, эти неравенства очевидны, ибо f^Hx) = Y*ni - ^i,Y*(x) 6 Y*ni - ^i,Y*(x) + ^i(x), i = 1, 2,... ,n.

Предположим, что (21) имеют место при некотором p € N. Обозначим через

Xi(x):= Y*ni - Vi,Y* (x) + ^i(x).

Учитывая монотонность функций Wij (t, y), i, j = 1, 2,..., n, no y нa [5, +то) и условия (4),

1)—4), a)-d), из (19) будем иметь n∞ ftp+Hx) 6 X / vij(t - x)(Gij (t,Xj(t)) + ^ij(t,Xj - Xj(t))) dt j=1 X n∞

= X / vij(t - x)(Gij(t,Xj(t)) - Xj(t))dt + X / vij(t - x)(Xj(t) + ^ij(t,Xj - Xj(t))) dt j= Xj n∞

6 52 / vij (t - x)Yij (t)dt + ZL / vij (t - x)(Xj (t) + Wij (t,xj - Xj (t))) dt j Xj X n∞

= 52 / vij ^(t - ^x)Yij ^{(t)dt +} 52 / vij ^(t - ^x)(Y * nj - Vj,Y* ^{(t) +} ^j ^(t)

• j=1X

n ^∞

+ ^ij (t, Xj

-

Y*nj + j*(t) - ^j(t)))dt = X / vij(t - x)Yij(t)dt + Y*ni j=1 X n∞

-52 / vij (t — x)j (t) - ^ij (t,Xj - Y * nj + Vj,Y* (t) - ^j (t))) dt j= X n∞

+ X / Vij (t - x)^j(t)dt 6 Y *ni -j =¹X

n ^∞

^i,Y* (x) + gi (x) + 52 / Vij (t - x^j (t) dt j X

= Y^*n i -

^i,Y* (x) + ^i(x).

Из (20) и (21) следует, что последовательность вектор-функций {f ^(p)(x)}p=Q, f ^(p)(x) = (flp) (x), f2p)(x), • • • , fnp)(x))^T имеет пре дел. когда p ^ +^ :

lim fi(p) (x) = fi(x), f(x) = (fi(x),f2(x),... ,fn(x))T, f (x), теорем M. Красносельского и Б. Леви (см. [11, 12]) удовлетворяет системе (1).

Из (20) и (21) следует также, что имеют место следующие неравенства:

• Y*ni - Vi,Y* (x) 6 fi(x) 6 Y* Ш - Vi,Y* (x) + ^i(x),   X ^ R⁺, i = 1, 2, • • • , П.

Откуда, учитывая (11) и (18), будем иметь:

lim fi (x) = 0.

x →∞

Таким образом, существование решения f G Li(R⁺)nL[l(R⁺) системы (1) установлено, в В конце работы поясним существенность накладываемых условий I-III, a)-d) и 1)-4). Замечание 1. Условия, накладываемые на ядерные функции vij (t), i,j = 1,...,n, имеют одновременно и технический, и естественный характер.

Так, например, даже в линейном случае, если ядра, не обладают свойством неотрицательности, то соответствующая система во многих случаях не имеет неотрицательных решений.

Условие II) имеет технический характер и пока нам не удалось избавиться от этого условия. Условие III) связано с приложениями рассматриваемой задачи к задачам физической кинетики. В этих задачах, как правило, ядерные функции обладают свойством критичности.

Замечание 2. Основные условия, накладываемые на функции Hij (t,y), i,j = 1, 2,... ,n, являются естественными для получения суммируемых решений в следующих аспектах:

• 1)    так например, в случае, когда нарушается условие 3) (на функции G_ij (t,y), i,j = 1, 2,...,n) ii Gij зависят лишь от у, то из результатов работы [13] следует, что соответствующая система, обладает монотонно возрастающим ограниченным решением (решение не принадлежит пространству Li(R⁺));

• 2)    именно условие монотонности на функций Gij (t,y), i,j = 1,2,...,n, и wij (t,y), i,j = 1, 2,... ,n, обеспечивает получение неотрицательных нетривиальных (физических) решений;

• 3)    без условия d) на <1>у11кцпи wij (t,y), i,j = 1, 2,... ,n. даже соответствующая линейная система, не может обладать суммируемым решением;

• 4)    условие Каратеодори является в некотором смысле техническим условием, которое обеспечивает в дальнейшем предельный переход под знаком интеграла. Например, если функции Пу (t,y) i,j = 1,2,...,n, непрерывны по совокупности своих аргументов в данном множестве, то эти функции будут удовлетворять условию Каратеодори.