О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий

Постановка задачи

Рассматривается задача восстановления функции v ( t ) = u (1, t ), z ( t ) e L₂ [0, ~ ) (граничного условия), где функция u ( x , t ) удовлетворяет условиям:

дu d2u . . ..., ,

— = —-a a (x) u (0 < x < 1; t > 0), dt дx2

u ( x ,0) = 0; u (0, t ) = 0

и дополнительному условию

u(x0,t) = p(t), x0 e (0,1), t > 0.(2)

Здесь a ( x ) e C ² [0,1], a ( x ) >  0, h 0 , h 1 - заданные постоянные, u ( • , t ) e C ² (0,1) П C ([0,1]); u ( x , ^ ) e W 1 ( 0, ~ ) .

Рассмотрим вспомогательную «прямую» задачу d u д2 u,

— = — - a a ( x ) u ,

^ешение

д t д x ²

u(x,0) = 0; u(0, t) = 0; u(x0, t) = p(t), где a(x)e C2[0,1], xe (0,x0), t > 0, u(•,t)e C2(0,x0)ПC([0,x0]); u(x,^)e W21 (0,~).

Лемма 1 . Пусть p ( t ), p '( t ) e L 2 [0, ~ ). Тогда задача (3) имеет

u ( • , t ) e C ² (0; x ₀) П C ([0; x ₀]); u ( x ,0 e W ₂ 1 ( 0, ~ ) .

Доказательство. Рассмотрим формальное решение задачи (3), которое может быть найдено методом Фурье:

x           t ^x 0

u ( x , t ) =-- p ( t ) + j j G ( x , £ t - t ) f ( ; , t ) d ^ d p , ^x 0        0 0

где f (x, t) = -—(p '(tt) + a (x) p(t)); x0

G ( x , _? , 7 ) = j^ e ^- ^ n t X_n ( 5 ) X n ( x )

n = 1

- функция Грина первой краевой задачи; X n ( x ) - собственные функции, образующие полную ортонормированную систему в L 2 [0; x ₀]; - A n - собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим следующие функциональные ряды, сходящиеся равномерно на [0; x 0 ]:

( X'n ( x )) ²

An с учетом неравенства Коши-Буняковского

^ ( X n ( x ))², ^

^Z ^2 ^{; Z} n = 1 ^A n      n = 1

[6, с. 500]. Для произвольных x , $ e [0,1], t >  1 ₀ >  0 имеем оценки:

т2. Z e "  A n t X n ( $ ) X n ( x )	< sup A 2 e " A t	∞ Z
n = 1	λ n	n = 1
- 2 Z e - A'tXn ( $ ) X n '( x )	< sup A n4 e A n t	∞ z-
n = 1	λ n	V n = 1
- 2 Z e - ^-t X n ( $ ) X n "( x )	< sup A4e A n t	∞ z
n = 1	λ n	V n = 1

( X n ( x ))

( X n *( x ))

( X n ( x ))

A2

^A n   7

A2

^A n   7

A 4

^A n    7

X n ⁽ $ ) X n ⁽ x ) <  sup A n e

Z ( e ^A * ) n = 1           t

∞

^A z

2 _А ^1/2 7 -

z

V n = 1

( X n ( $ )) A n

2 _А ^1/2 ₇ -

z

V n = 1

2 _А ^1/2 ₇ -

z

V n = 1

2 _А ^1/2

( X n ( $ )) A n

2 A ¹/²

< c ^, t

( X n ( x ))

V n = 1

( X n ( $ )) A n

2 _А ^1/2 ₇ -

A2

An   7

z

V n = 1

2 _A ^1/2

< c 1 t^г ’

< c2

( X n ( $ ))

2 _А ^1/2

, t2

A2

An   7

< c 3 . t ²

Из неравенств (5)-(8) следует, что функция G ( x , $ , t ) имеет непрерывные G_x ( x , $ , t ), G xx ( x , $ , t ), G t ( x , $ , t ) при всех x , $ e [0,1], t >  t ₀ >  0.

п^оизводные

Рассмотрим произвольное число t >  0 и зафиксируем 1 ₀ , 0 <  1 ₀ <  t . Очевидно, при 0 <  т <  1 ₀ функции G ( x , $ , t - т ), G_x ( x , $ , t - т ), G xx ( x , $ , t - т ), G t ( x , $ , t - т ) непрерывны. Рассмотрим ряд

^     2

P ( x , $ , т ) = Z e ^{- A} n ⁽ t ^{- т} ) | X n ( $ ) || X n ( x ) |

n = 1

и ряд, полученный почленным интегрированием (9):

∞ ^t                                 ∞

ZJ e" ^A n ⁽ t ^{- т} ) d т | X n ( $ )|| X n ( x ) = Z

^{n = 1} 1 0

n = 1

1      ^- A 2 ⁽ t ^- t 0 )

-------^-----1 X n ( $ )|| X n ( x )|.

^A n

Из оценки, аналогичной (5), следует сходимость ряда (10) при всех x , $ e [0,1]. По следствию из теоремы Б. Леви [7] ряд (9) сходится почти всюду на отрезке 0 <  т <  t и функция P ( x , $ , т ) (а, следовательно, G ( x , $ , t - т )) суммируема на отрезке 0 <  т <  t .

Используя свойство абсолютной непрерывности интеграла, по заданному числу е >  0 выберем 1 ₀ > 0 такое, что

J g ( x , ^ , t - т ) f ( $ , т ) d т < е . t ₀

Тогда

Jg(x, £ t - т) f ($,т)dт <

Рассмотрим функцию

J G ( x , ^ , t - т ) f ( $ , т ) d т + е <  C J f ( $ , т ) d т + е <  C max । g ( x , 1 0 |.

^{J                                                J}                            x e [0,1]

t 0

t 0

^x 0 t 0

g ( x , t ) = J J ( G ( x , £ t - т )( a( $ ) $ p ( т )) ) d т d $ .

0 0

Так как G ( x , $ , t ) e L 2 [0, — ); p ( t ) e L ^0, — ), то g ( x , t ) e L 2 [0, — ) при всех x e [0, x ₀]. Действительно, так как G ( x , $ , t ) e L 2 [0, T ); p ( t ) e L 2 [0, T ), то g ( x , t ) e L 2 [0, T ] при любом T >  0 в силу не-

Математика

^авенства

T ()

J J G ( x , 5 , t - т ) p ( t ) d T о к 0                        7

TtT dt < J J G2(x, 5, t - т)dTdt J p2(t)dT. Далее

00                   0

выполняется нера-

венство

j f j G ( x , 5 , t - т ) p ( t ) d T t к о                     7

dt <  2 j J G ² ( x , 5 , t - t ) d T dt j p ² (t ) d T + 2 J J G ² ( x , 5 , t - т ) p ² (t ) d T dt T 0                      0               Tt - 1

Оценим интегралы в правой части последнего неравенства:

j t - 1                          j t - 1 л j

J J G ² ( x , 5 ,t - т ) d T dt <  J J - d^

T 0                           T 0 ⁽ t ^T )

< In

T

T - 1

∞ t                         ∞∞

J J G ² ( x , 5 , t - т ) p ² ( t ) d T dt = J J Ф ² ( x , 5 , t - т ) p ² ( t ) d T dt ,

T t - 1                                   T 0

где функция

Г G ( x , 5 , s ), s e (0,1],

Ф ( x , 5 , s ) = ]

[ 0, s e (0,1]

интегрируема на [0, да).

Из (5)следует оценка

I u ( x , t ) l < C max I g ( x , t ) I. x e [0,1]

Рассмотрим ряд где fn (t) = J f (^, t) Xn (^)d^

^x 0

j

5(x,t,T) = ^2,2fn(t)e-^(t-T)Xn(x),(11)

n = 1

v'(t) - p'(t) 1                 p'(t) - xnv'(t) 1 v,

— ------ ^ X n ( ^ ) d ^ +------ ⁰--- X , ( ^ ) d ^ - коэффициенты

1 - x0    J                   1 - x0

0    x0                            0

Фурье функции f ( x , t ). Воспользуемся следующим утверждением [10, с. 414]:

Утверждение 1. Существует такая постоянная С , что для каждого пив каждой точке x e [ x ₀,1]

. . I 2 . „ C

Xn ( x ) - 4 -----^8Ш Л,x < — .

nn

\ 1 - x 0           n

Из утверждения 1 следует, что

J X n ( ^ ) d ^

^x 0

I 2     2 + C (1 - x 0 ) _;

^{(1 - x} 0 ) ²n        n ’

J ^ X n ( ^ ) d 5

x ₀

(1 - x 0 )

J fsin 2.5-15

x ₀

+ - j d^5 < ^^L+ c ² n λ n x ₀            ⁿ

Так как существует такая константа с , что при каждом n

2 n

_2 2

п ² n

-

(1 - x 0 ) ²

≤ c

[10, с. 414], то из оценок (12) и (13) следует существование такой постоянной D , что

J X n ( 5 ) d 5

x ₀

≤ ^D

2n ’

J 5 X n ( 5 ) d 5

x ₀

≤ ^D λ n

Табаринцева Е.В.         О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий при всех n. С учетом (14) и (15) из неравенства (12) следует

1 5 ( x , t , т ) i < D J^JU p WJ £ ^e" ^X t ^-т ) X_n ( x )

¹ — x 0       n = 1

,       i3/2 - X ²( t -T )

< max X e ⁽ )

X

^ ∑ n = 1

X n ( x ) 4X

Так как в силу утверждения 1 ряд в правой части (16) сходится при каждом x е [ x ₀;1], то оценка (16) принимает вид

| _s ( x , t , _т )_К - Tx )

.

V t - т

Следовательно, функция 5 ( x , t, т ) суммируема на отрезке т е [0, t ] при каждом x .

Далее, используя неравенство (5)

iux(x,t)i

i ut(x,t) i< C₃(i p(t)i + i p'(t)i).

Из полученных оценок следует, что uxx(x,t), u_t(x,t)е £2(0,~) при любом xе [0,x₀].

Таким образом, функция u(x, t) является решением задачи (3).

Решая задачу (3), определим функцию q(t) = u_x(x₀,t). Из оценки (17) следует неравенство

IIq⁽t)lL₂[0.^) ⁱ< C¹ \Ip⁽t)lL₂[0,™)"

Следовательно, исходная задача сведется к задаче восстановления функции v(t) = u(1, t), где u(x, t) удовлетворяет условиям:

д u д2 u . .

— = —-a a (x) u, d t dx²

u(x,0) = 0; u(x0,t) = p(t); ux(x0,t) = q(t), xе (x0,1), t > 0.

Замечание. Так как задачу (18) можно разбить на две задачи с однородными начальными условиями d u д2 u,

= ТГ- a (x)u, д t дx2

u(x,0) = 0; u(x₀,t) = p(t); u_x(x₀,t) = 0

и дu д2u. .

= ^- a(x)u, д t дx2

u(x,0) = 0; u(x0,t) = 0; ux(x0,t) = q(t), то далее для определенности рассматривается задача (20).

Сведение задачи (20) к задаче вычисления значений неограниченного оператора

Пусть функции q(t), q ’(t) в задаче (20) принадлежат £2(0,^). Рассмотрим вспомогательную прямую задачу

д u   д2 u     . .

— = —-a a (x) u, д t   дx 2

u(x,0) = 0; u(x₀,t) = 0; u(1,t) = v(t),

xе (x₀,1), t > 0.

Как и при исследовании вспомогательной задачи (3), убедимся, что задача (21) имеет решение

u(x,t): u(•,t)е C²(x₀;1)ПC([x₀;1]); u(x,-)е W₂1 (0,~). Из оценки i 5(x,t,t)i< r(xl_ следует также, V t - т

что функция

Математика

t ^x0

Uxx (x, t) = J J Gxx (x, £ t - T) f (;,T)d^dT, 0 0

интегрируема на любом отрезке t е [0, T], а из принадлежности функций Gxx (x, 5, t) и f (x, t) пространству L2(0,j) при всех x,§е[x₀;1] следует, что uxx(x,t) суммируема на [0,j) при всех

∞ xе [x0;1]. Следовательно, интеграл Juxx(x,t)e-Z dt сходится равномерно по xе [x0;1], Ze [0,j).

Таким образом, к задаче (20) применимо преобразование Фурье на полупрямой t е (0, j).

Применяя к задаче (20) преобразование Фурье, имеем следующую задачу для линейного обыкновенного уравнения второго порядка:

Uxx(x,Z) = iZU(x, Z) - a(x)U(x,Z); U(xo, Z) = 0; Ux (xo, Z) = Q(Z).

∞

Здесь U (x, Z) = Fu = J e^-i^Ztu (x, t)dt - образ Фурье функции u (x, t).

Обозначим через  ^( x, t)  решение уравнения (22), удовлетворяющее условиям

^(x₀,t) = 0; 9_x(x₀,t) = 1.

Теорема 1. Существуют постоянные C1,C₂,C₃,С₄,T такие, что

C sh Z^-x0)< ^x, Z) « C slZ-x);

λλ

C₃ ch VZ( x - x0) <19_x (x, Z) l< C₄ ch VZ( x - x₀) при Z > T.

Доказательство теоремы аналогично проведенному в [2].

Решение задачи (22) имеет вид

V (Z) = Q (Z)^(1, Z).

Рассмотрим следующие линейные нормированные пространства: X = L2(0, ~) - пространство функций, суммируемых с квадратом, определенных при t е [0, ~) (принимающих действительные значения), Ф - пространство функций, допускающих аналитическое продолжение в полуплоскость Im z< 0 и таких, что

J l F (5 + ia) l²ds< C

-∞ при всех а < 0. Выполняется следующая теорема (см., напр., [9])

Теорема 2. Класс функций Ф совпадает с классом функций, представимых в виде

F (Z) = J e " ^iZtf (t) dt,

J| f (t) |²dt <~ . 0

где интеграл сходится в среднем и

Рассмотрим равенство Парсеваля (см. [8]):

∞            +∞

J | f (t) |²dt = 2п J | F (Z) |²dZ.

0               -^

Так как, очевидно, для функции f (t) с действительными значениями выполняется равенство F(-Z) = F(Z), то из равенства Парсеваля следует

J | f (t) |²dt = 4nJ| F(Z) |²dZ. 00

Табаринцева Е.В.         О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий

Следовательно, линейный оператор F₀: ^210,1] ^ Ф , действующий по правилу

∞

Fo(Л) = 2 п J e" f(t) dt ’ является изометрией. Следовательно, пространства X и Y также изометричны.

Таким образом, задача (20) сводится к задаче вычисления элемента V(Л) еФ такого, что

V (Л) = ^(1, Л) Q (Л) = AQ (Л),                               (23)

где A :Ф^Ф - неограниченный линейный оператор.

Метод вспомогательных граничных условий

Пусть вместо точного начального условия q(t) в задаче (20) известны 5 -приближение q5 (t) и уровень погрешности 5 > 0 такие, что ||q - q^| < 5. Пусть известно также, что при точно заданном начальном условии q(t) задача (20) имеет решение, принадлежащее классу равномерной регуляризации

Mr = {vе X; v'е X, |v||²х +|Vfх<r²}.

Используя метрическую эквивалентность задач (20) и (23), построим предварительно приближенное решение задачи (23). Известно, что при заданном условии Q задача (23) имеет решение, принадлежащее классу равномерной регуляризации:

Мr = {G е Y; AG е Y, |^G||Y< r}.

Требуется построить устойчивое приближенное решение задачи (23) и оценить его уклонение от точного решения.

Вместо некорректно поставленной задачи (20) рассмотрим вспомогательную задачу с малым параметром £ > 0 :

д и д²и . .

=       a^(x) u’

д t дx2                                                                 (24)

и(x,0) = 0; и(x₀, t) = 0; u_x (x₀, t) + £и(1, t) = q5 (t),

В качестве приближенного решения задачи (20) будем рассматривать элемент

V5 (t) = и5 (1, t),                                              (25)

где и5(x, t) - решение задачи (24). Применяя к задаче (24) преобразование Фурье, находим, что в качестве приближенного решения задачи (23) рассматривается элемент

V £ =  ^(1, Л)

.

⁵ 1 + £^(1, Л)

Оценка погрешности метода вспомогательных граничных условий

Рассмотрим приближенное решение (26) задачи (23). В качестве характеристики точности приближенного решения (26) рассмотрим величину

А(£, 5) = sup {|V5^£ - V||: V е MI_r; V - V51| < 5}.

Воспользуемся очевидной оценкой

А(£, 5) < А1 (£) + А 2 (£, 5), где

А1(£) = sup{|V^£ - V||: V е Mr},

• V^£ = U_£(1,Л), где и^£(x, t) - решение задачи (24) с точно заданным условием q(t);

А 2(£, 5) = sup{| V5 - V ^£|| :| Q - Q5II < 5}.

Оценим величины А₁(£), А₂(£, 5).

Для величины А₂(£, 5) имеем очевидную оценку

Математика

ϕ(1,λ)             z δ

∆₂(ε,δ) ≤ δsup           ≤δ sup ≤ .

λ_≥0 1+ εϕ(1,λ)    Re_z≥0 1+εz   ε

Далее,

εϕ(1,λ)

.

∆₁(ε) ≤ r sup

λ≥0 1+λ²1+εϕ(1,λ)

Рассмот^им значение λε , выб^анное из условия εϕ(1,λε) = 1 . С учетом тео^емы 1 имеем следующее не^авенство:

εϕ(1,λ)             εe 2λ sup                     ≤ sup          ≤

0≤λ≤λε 1+λ²1+εϕ(1,λ)  0≤λ≤λε 1+λ^{2   (lnε)2}

Далее, очевидно,

εϕ(1,λ)1 sup                    ≤   ≤

λ≥λε 1+λ²1+εϕ(1,λ)  ^λε  ^(lnε)2

C

Следовательно, ∆ (ε) ≤

• ¹      (lnε)²

Выби^ая зависимость ε= ε(δ) из условия

δ₌C_rε (lnε)²

(квазиоптимальный выбо^ па^амет^а ^егуля^изации, [4]), получаем, что оценка пог^ешности приближенного решения (26) на множестве Mr имеет вид

∆(ε(δ),δ)≤ C5 . ln2δ

В силу изомет^ичности п^еоб^азования Фу^ье из оценки (27) следует

Теорема 3. П^и сфо^мули^ованных выше условиях существуют постоянные δ₀;C₆ такие, что для любого δ∈(0,δ₀) сп^аведливы оценки пог^ешности метода вспомогательных г^аничных условий на множестве M_r

∆(ε(δ),δ)≤ C6 ln2δ

.

Замечание. Из оценки (27) и оценки пог^ешности оптимального метода ^ешения задачи (20) (см., нап^., [2]) следует, что метод вспомогательных г^аничных условий является оптимальным по по^ядку.

Апостериорный выбор параметра регуляризации

Для выбо^а па^амет^а ^егуля^изации на п^актике может быть использована следующая схема, не использующая явно ап^ио^ную инфо^мацию о точном ^ешении поставленной об^ат-ной задачи (с^. [7]).

Пусть па^амет^ ^егуля^изации выби^ается из конечного множества

Λ_N ={ε_i : 0<ε₀<ε₁<...<ε_N} .

Обозначим че^ез V_ε^δ_i = R_εi Q_δ соответствующие п^иближенные ^ешения. Пусть V – точное ^ешение задачи (17), V∈M _r . Обозначим че^ез ε_opt квазиоптимальное значение па^амет^а ^егу-ля^изации, полученное по схеме М.М. Лав^ентьева. Обозначим че^ез ε* оптимальное значение па^амет^а ^егуля^изации, выби^аемое из множества Λ_N , т.е.

ε* = max{ε_i : ε_i∈M (Λ_N )} , где

M (A N) = ^/- e A N

Cr < 5

^ln2 Ei   ^ei

Пусть M (AN) *0 ; AN \ M (AN) * 0 .

Наряду с M (AN), рассмотрим множество

M+(An) = ] Ei e An : |^£ -v£ 11 < 45e2(j = 0,1,...,i)

Лемма 2. M (A_N) c M⁺(A_N)

Доказательство. Рассмотрим значения параметра регуляризации Ei, Ej- e A_N ; Ei e M (A_N), j< i. Имеем неравенство

IVE5 - VE511 < IV5 - V I+1V - VE511+1V - VE511 < -Cr- + — + -Cr- + 5 < 4 5 .

^Ei      ^Ejll   II  ^Ei      II II        ^Ej'll   II  ^Ei     ^EjH   ln²Ei    Ei    ln²Ej    Ej       Ej

Следовательно, Ei e M⁺(A_N).

Обоснование одного из п^авил апосте^ио^ного выбо^а па^амет^а ^егуля^изации дает следующая тео^ема.

Теорема 4. Пусть па^амет^ ^егуля^изации выб^ан из условия

E⁺= max {Ei: Ei e M⁺(A_N)} .

Тогда

Доказательство. Из определения e* = Ez следует, что для El+1 выполняется неравенство rEi+1 > <г rEoPt

• 1    -⁵       1.

e ^2ei+1          e ^2Eopt

Следовательно, в силу монотонности функции   s(x) = -rx- на промежутке x e (0, ~), e2x

^El+1 ^{- E}opt и

5e 2^Ei+1< 5e ^1E°^P‘ .

В силу леммы 2, так как M (A_N) c M⁺(A_N) ,

E* = El = max{/i: Ei e M(AN)} < E+ = max{/i: Ei e M+(AN)} .

Из определения M⁺(A_N) следует

<sup{G

. e⁺ '5

-

A(e + (5), 5) = sup{

E *

G5

G/⁺

g|:Ge Mtr;||Z-Z;|

:Ze MIr;||Z-Z5I|<5}+sup{

*

G5

-

w

G : G e Mr;

IIZ - Z5 < 5}<

< 45e ^2E‘ + 5e ^2e * + rE * < 6A(/o_pt (5), 5) < ^nC)

.

Тео^ема доказана.