О решении методом регуляризации А.Н. Тихонова одной обратной задачи физики твердого тела и оценка погрешности этого метода

Многочисленные практически важные задачи приводят к некорректно поставленным задачам, как, например, уравнениям Фредгольма первого рода. При численном решении некорректных задач возникает проблема, дискретизации исходной задачи, то есть замены непрерывной математической модели некоторым ее конечномерным аналогом. Наиболее употребительным способом дискретизации является конечноразностный, при котором нахождение приближенного решения обычно сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

В данной работе рассмотрен метод регуляризации А.Н. Тихонова. [1] для решения одной обратной задачи физики твердого тела. [2]. Используемый в работе конечноразностный вариант метода, регуляризации при решении данной задачи подробно описан в работе [3], но в ней отсутствует обоснование данного алгоритма. В частности, нет увязки параметров дискретизации с исходными данными задачи, а. также значение параметра, регуляризации никак не зависит от погрешности дискретизации. В [3] отсутствует оценка, погрешности предложенного алгоритма.

В данной работе даны ответы на. все указанные вопросы. Для этой цели использована. теория, развитая в работе [4] для интегральных уравнений Фредгольма, первого рода. На ее основе получена, оценка, погрешности в интегральном операторе, вызванная его дис- кретизацией. Значение параметра а, определенного из принципа невязки [5], в методе регуляризации увязано не толвко с погрешностью исходных данных, но и с погрешностью дискретизации.

Использование данного подхода проиллюстрировано на примере задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости. Исследование возможности выявления тонкой структуры, в первую очередь, количества, положения и величины пиков функции и разработка для этого эффективных, т.е. требующих минимальной априорной информации и оптимальных по точности методов решения некорректно поставленных задач, имеет важное теоретическое и практическое значение, не ограничивающееся рамками рассматриваемой обратной задачи.

В разделе 1 рассматривается одномерное интегральное уравнение Фредгольма I рода с замкнутым ядром, имеющее единственное в пространстве W^a, b] решение. В разделе 2,3 исследован регуляризующий алгоритм приближенного решения интегрального уравнения первого рода, включающий конечномерную аппроксимацию исходной задачи. Получена оценка погрешности этого алгоритма, использующего дискретизацию интегрального уравнения первого рода по двум переменным. В разделе 4 данный подход проиллюстрирован на примере задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости.

1.    Постановка задачи

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода

Au(s) = J P(s,t)u(s)ds = f (t), c <  t < d,

где P(s,t) E C ([a, b] x [c, d)), d~ может быть то. f (t) E L2[c,d) и япро P(s,t) опер;.пора A замкнуто.

Предположим, что при f(t) = fo(t) существует точное решение uo(s) уравнения (1), которое принадлежит множеству Mr, где

M r

= ^u(s)

u(s),u'(s) E L2 [a, b], u(a) = 0,

/ b[u'(s)] a

ds \leq r

,

a u ' (s)— npoirшодпая u(s) по s.

Из замкнутости ядра P(s,t^ следует единственность решения uo(s) уравнения (1).

Пусть точное значение fo(t) нам неизвестно, а вместо него даны f g (t) E L 2[c, d) и 8 > 0 такие, что

\Ш ^(t) - ^f0^(t)\ < ⁸

Требуется по f g (t), 8 11 M r определить приб.тпжешюе решение u g (s) 11 оценить его уклонение от точного решения uo(s) в метрике пространства L2[a, b].

Сделаем некоторые преобразования уравнения (1). Для этого введем оператор B, отображающий пространство L2[a, b] в L2[a, b], формулой

u(s) =

^Bv(s) = j ^v(£Ж

v(s), Bv(s) E L2[a, b].

Оператор C зададим следующим образом:

Cv(s) = ABv(s); v(s) E L2[a, b], Cv(s) E L2 [c, d).

Из (3) и (4) следует, что где

Cv(s) = j K(s, t)v(s)ds,

к (s,t) = j^s p «,м.

Для численного решения уравнения (1) аппроксимируем оператор C конечномерным оператором Cn.

Для определения оператора C n разобьем отрезок [a, b] нa n равных частей и введем функции K i (t) ii Kn(s,t) формулами

K i (t) = K (s i ,t),                                             (7)

™ -s, = S+s+L , s₁₊₁ = a .   ■' b ■, „ = a ± Т.Ж

2                    n                  n

i = 0,1, ..., n — 1. ii

Kn(s,t) = K i(t); S i < s < Si+1, t E [c,d), i = 0,1,...,n — 1.                  (8)

Используя (8), определим конечномерный оператор C n формулой

Cnv(s) = j K n (s,t)v(s)ds;   t E [c,d),

где C n отображает пространство L2[a, b] в L2[c, d) Теперь оценим величину ||C_n — C||.

Для этого введем функцию N (t) формулой

N (t) = max |P(s,t)|, t E [c, d).                                  (10)

a \leq s \leq b

Так как P(s,t) E C ([a, b] x [c, d)), то из (10) следует, что

N (t) E C [c,d).

Дополнительно предположим, что

N (t) E L2[c,d).

Используя функцию N (t), определенную (10), перейдем к оценке |C_n — C||.

Лемма 1. Пусть h = -—a, а операторы C и Cn определены формулами (5) и (9). Тогда n справедлива оценка

||Cn — C || <  hVb—^ |N(t)|L2.

Доказательство. Так как из (5) и (9) следует, что

Cv(s) — Cnv

(s) = /^Ь a

(K (s, t) — Kn(s, t))v(s)ds,

а

IC - C ||2 < sup^^d^b |Kn(s,t) - K (s,t)| |v(s)|dsj dt

M < 1},

то, учитывая (7), (8), (10) и то, что

/ |Kn(s,t) - K (s, t)| |v(s)|ds < / |K(s, t) - K (si, t) | |v(s) |ds < h • N (t) / |v(s)|ds, aa   a

\|Cn-C\|2 \leqh2

/d N 2(t) [/b ca

|v(s)|ds dt.

(И)

Из того, что |v(s)| < 1. a

| a

v(s)|ds < Vb — a|v(s)|, учитывая (11), получим

||Cn - C || < Vb-a||N(t)^h.

Тем самым лемма доказана.

В дальнейшем величину h^b - a |N(t) | l ₂ будем обозначать через ^ n .

2.    Метод невязки

Введем конечномерное подпространство X n пространства L2[a, b], состоящее из функций, постоянных на промежутках [si, Si+i), i = 0,1, 2,..., n - 1.

Через Y n обозначим подпространство пространства L2[c, d), определяемое формулой

Yn = C n X n

Через fn(t) обозначим функцию пространства Yn, определяемую формулой fn(t)= pr(fs ; Yn), где pr(f ; Yn) метрическая проскпня в пространстве L2[c, d) фуш<щш fg(t) iia. Yn.

Для решения уравнения (1) воспользуемся конечномерным вариантом метода регуляризации А.Н. Тихонова [1]

inf| ||Cnv(s) - f n (t)|² + a a v ² (s)ds : v(s) E Xn^ , a> 0.

Известно, что задача (12) имеет единственное решение Vyn(s). Значение параметра регуляризации а в решение v^_n(s) задачи (12) выберем из принципа невязки [5] .

^|Cnvgn^{(s) - f},n^(t)| = ^{5 +} r^n,

Известно, что при условии

Hf n (t)H >r^ n + 5

существует единственное решение a(5, n) уравнения (13).

Если решение Vsnf’nHs) задачи (12), (13) обозначим через vsn(s), то приближенное решение usn(s) уравнения (1) будет иметь вид usn(s) = Bvsn(s).

Для сведения задачи (12) к системе линейных алгебраических уравнений, в пространстве Xn введем ортоиормироваипый базис {^i(s)} формулой

^ i ^(s) =

n b — a

0 ;

s i ^ s < si +1 ;

s / [si,Si +i ), i = 0,1, ...,n — 1.

Используя этот базис, определим изометричный оператор Jx, отображающий Rn нa Xn, формулой

П- 1

Jx[x](s) = ^Xi^i(s), x = (x o ,X 1 , ...,X n— 1 ). i =0

Используя оператор Jx для замены переменных в задаче (12), сведем ее к следующей inf{\\CnJx[J—^v(s))]— fn(

где Jx¹ оператор, обратыый оператору Jx.

Задача (15) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений n-1

h^bij Vi + “Vj = qj;   j = 0,1,...,n — 1,                         (16)

i=0

где bij =

c

K i(t)K j (t).

qj =

h

c

Kj (t)O)-

Теорема 1. Пусть vnn(s) и (v“) решение задач (12) и (16) соответственно. Тогда эти решения связаны соотношением n-1

(s) = ^ ^ViVi^(s)-                                     (17)

i=0

Доказательство этой теоремы приведено в [4].

Решение системы (16) обозначим через v“ = (v0',v“,•••,-“- 1).

Для выбора параметра регуляризации уравнение (13) сведем к следующему

П^п—1

Vh £ki(t)v“ i=0

— fs (t)] dt} 2 = rjn + 5.

Решение уравнения (18) обозначим через a(6,n). Тогда решение задачи (16), (18) обо-зпачим через v^a(5n).

Теорема 2. Пусть оператор Jx определен формулой (14), vsn(s) — решение задачи (12), (13), a v^a(s’ⁿ)— решение системы (16), (18). Тогда эти решения связаны соотношением

VSn(s) = J 1- ' ' s .

Методика доказательства этой теоремы приведена в [4].

3.    Оценка погрешности приближенного решения usn(s)

Для оценки погрешности введем функцию

ш(т, r) = sup{|u(s)| : u(s) = Bv(s), ||v(s)| < r, ||Au(s)| < т}, T,r> 0.

Из теоремы, сформулированной в [6], следует

Теорема 3. Пусть ugn(s) приближенное решение уравнения (1), a uo(s) — его точное решение. Тогда

|u^n(s) - uo(s)| < 2w(r^n + 5,r).                               (19)

4.    Численное решение задачи определения фононного спектра кристалла

Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнением первого рода

Au(s) = / P(s,t)u(s)ds = ^-^;

at

0 < t < то, b > a > 0,

s2

где P(s,t) = -------—

2t3 4 у

u(s) € L2[a, b],

f (t)

—— € L2[0, то), u(s) — спектральная

плотность кристалла, a f (t) — его теплоемкость,

зависящая от температуры [2].

Предположим, что при f(t) = fo(t) существует точное решение uo(s) уравнения (20), которое принадлежит множеству Mr, где

Mr = ^u(s) : u(s),U(s) € L2[a, b], u(a) = 0, j [U(s)]2ds < r2^, r известное пиело. U(s) — производна я от функции u(s) и о s.

Пусть точное значение fo(t) нам неизвестно, а вместо него даны fg(t) и 6 > 0 такие, что f^^ € L2[0, то), а.

^fg^{(t)    f}0^(t)

-

t

t

\leq \delta.

L2

Требуется по fg(t), 6 11 Mr определить приб.тижешюе решение ug(s) 11 оцепить его уклонение от точного решения uo(s) в метрике пространства L2[a, b].

Заметим, что единственность решения уравнения (20) доказана в [7].

Введем оператор B. отображающий пространство L2[a, b] в L2[a, b]. формулой

u(s) = Bv(s) = j v(£)d£, v(s), Bv(s) € L2[a, b]

II оператор C

Cv(s) = ABv(s); v(s) G L2[a, b], Cv(s) G L2[0, to).

Из (3) и (6) следует, что

Cv(s) = / K(s,t)v(s)ds, где K(s,t) = / P(^,t)d^.

ab

Теперь, для замены оператора C конечномерным оператором Cn, воспользуемся конструкцией, описанной формулами (7)-(9). Тогда

Cnv

(s) = / b a

Kn(s, t)v(s)ds;

t G [0, to),

где Kn(s,t) определена формулой (8) ii Cn отображает пространство L2[a,b] в L2[0, to).

После этого перейдем к оценке погрешности дискретизации, то есть оценим величину IC — CII-

Из леммы 1 следует, что

IC - CII < \b a||N(t)Kh,(21)

b-a тле h =---- n

, a N(t) следуя (10), определяется формулой

N(t) = max |P(s,t)|, t G [0,to).(22)

a\leqs\leqb

Из (20) и (22) следует, что

N (t) < .

^2t3^sh2 (21)

Таким образом, из (23) следует, что при t ^ то b4

^4t6 ^sh4( at)

=

V2 a   t²,

а при t ^ 0

—^b*^ 0.

^4t6 ^sh4( 2t)

Из (24) и (25) следует, что b2

--------_?---^ ^{G L}2^[0,to), 2t3=^h2(2()

а. следовательно, ii N(t) G L2[0, то).

Из (21), (23) и (26) следует, что

|| Cn — C || < Vb — a

b2Г 0Jo

^\inftydt

t6 sh4( ю

h = ^n.

Для решения уравнения (20) используем конечномерный вариант метода регуляризации

А.Н. Тихонова [1]

f Cnv(s) — f^

+ aj [v(s)]²ds : v(s) Е Xn}, а> 0.

Обозначим через fn(t) функцию пространства Yn, определяемую формулой f4t) = prf) Yn), где Yn определено в разделе 2. a pr^gt ; Yn)— метрическая проекция функции     на.

Yn.

Известно, что задача (28) имеет единственное решение Vgn(s). Значение параметра ре гуляризации а в решении Vjn(s) выберем из принципа невязки [5]

Cnv?n(s) — fs(t) = 5 + r^n.                                 (29)

При условии

11№)1Ь >r^n + 5

уравнение (29) имеет единственное решение a(5,n).

Если решение Vyn^'n^s) задачи (28), (29) обозначим через vgn(s), то приближенное решение ugn(s) уравнения (20) имеет вид ugn(s) = Bv5n(s)

Для сведения задачи (27) к системе линейных алгебраических уравнений воспользуемся изометричным оператором Jx, отображающим Rn нa Xn формулой n-1

Jx[x](s) = ^x^s), x = (xo,X1, ...,Xn-1), i=0

где {^i(s)} — ортонормированный базис пространства Xn, введенный в разделе 2.

Используя оператор Jx, сведем задачу (27) к следующей inf{| Cn Jx [ J—1 v(s)] — f(< + allJ-WWlR. : J^) Е Rn},         (30)

где J^—1 оператор, обратиый оператору Jx.

Задача (30) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений (16)

n-1

h^bijVi + avj = qj; j = 0,1,...,n — 1,                          (31)

i=0

где bij = / Ki(t)Kj(t)dt. a, qj = Vh [ Kj(tYfn(t)dt. ^{0                                       0}

Решение системы (31) обозначим через (v“), а следуя теореме 1, решение задач (27) и

(31) связаны соотношением

П-1

^(s) = ^ <^i^(s). i=0

Для выбора параметра а в решение v“ системы (31) используем уравнение (29), которое в дискретном варианте перейдет в уравнение (18)

I  Vh Ук,(t)v“ - f№)

⁰        i=0

dt

= r^n + 5.

Решение системы уравнений (31) и (18) обозначим через v“(g’n).

Из теоремы 2 будет следовать, что решение задачи (27), (29) имеет вид vsn(s) = J ' V s .

Используя формулу (20), получим приближенное решение ug_n(s) уравнения (17)

U5n(s) = Bvgn(s).

Из соотношения (19) следует оценка уклонения приближенного решения u§_n(s) уравнения (27) от его точного решения uo(s) в метрике пространства L2[a, b]

Wu6n(s) - uo(s)H < 2w(rq_n + 5, r).

В работе [8] доказано, что для уравнения (27) на множестве Mr, определенном формулой (2), для модуля непрерывности ш(ст, г) справедлива оценка

ш(ф г)< r

l + M И т      4ст

Из (32) и (33) получим окончательную оценку

||u5n(s) - uo(s)H < 2r

1 +

\pi

4   F-

\ 4(глп + 5)

Заключение

Фундаментальная научная проблема связана с обоснованием новых численных методов. При численном решении обратных задач одним из важнейших показателей используемого метода является его точность и, как следствие, наилучшая информативность приближенного решения. С возрастанием объема экспериментальной информации и улучшением ее качества (повышением точности наблюдений) для интерпретации эксперимента необходимо применять новые более полные математические модели и решать обратные задачи в рамках этих моделей новыми методами. Работа направлена на решение фундаментальной проблемы, связанной с исследованием точности этих методов, применимых для решения обратных задач математической физики в новых постановках, а также на разработку новых оптимальных и оптимальных по порядку методов и их программную реализацию.

В данной работе усилены результаты работы [8] за счет учета погрешности дискретизации интегрального уравнения. Показано, что для применения численных методов не требуется значительных преобразований физической модели. Это позволяет учитывать априорную информацию при решении задачи. Разработанный метод использован для численного решения одной обратной задачи физики твердого тела. Главная трудность этих задач заключается в том, что они, с одной стороны, являются некорректными, а с другой — имеют решение сложного вида.