О решении нелокальной обратной задачи для параболического уравнения

Вводные замечания

Тепловые и диффузионные процессы, как правило, моделируются параболическими уравнениями в частных производных.

При исследовании таких математических моделей часто приходится учитывать неустойчивость модели по отношению к малым возмущениям исходных данных.

В настоящей работе предлагается метод приближенного решения нелокальной задачи с обратным временем для полулинейного параболического уравнения. Оценка точности предложенного метода доказывается с применением заданной дополнительной информации о точном решении.

Обозначим через u ( x,t ) решение следующей полулинейной задачи с интегральными условиями переопределения:

d U      d U

• — = k ( t )—- + f ( u ) ;0 <  x <  1; t ₀ <  t <  T                     (1)

u ( 0, t ) = 0; 1 ₀ <  t <  T ; u ( x , 1 ₀ ) = у ( x ) ;0 <  x <  1; p ( t ) u ( t ,1 ) + J u ( x , t ) dx = 0.

Задача с интегральным условием переопределения в линейном случае была поставлена и впервые исследована А.А. Самарским [1].

В обратной задаче требуется определить функцию у ( x ) = u ( x , 1 ₀ ) e L ₂ [ 0,1 ] ( 0 < 1 ₀ < t ) , если известна функция x ( x ) = u ( x , T ) e L ₂ [ 0,1 ] .

Пусть A 0 : L ₂ [ 0,1 ] ^ L ₂ [ 0,1 ] – оператор, действующий по правилу

А 0 У ( x ) = x ( x ) .                                       (2)

Обратную задачу можно сформулировать в виде операторного уравнения (2).

Обратная задача может быть сформулирована также в форме задачи оптимизации. Рассматривается проблема минимизации функционала J ( у ) = J | u ( x , T ) - x ( x )| 2 dx для функции u ( x , T, у ) - решения задачи (1). Здесь T >  0 и х ( x ) е W 21 [ 0,1 ] заданы и удовлетворяют условиям Х ( 0 ) = 0 и J 1 х ( x ) dx = 0.

Эта задача возникает, в частности, при математическом моделировании технологических процессов, применяемых для очистки кремнивых плат от примесей. В этом случае у ( x ) - распределение примеси в плате ( 0 <  x <  1 ) в начальный момент времени t = t ₀ , а u ( x , t ) - распределение примеси в момент времени t . Коэффициент диффузии k ( t ) в этом процессе может зависеть от температуры [2, 3].

Исследование нелокальных задач для уравнений в частных производных вызвано необходимостью построения адекватных математических моделей и получения надежных результатов численных расчетов на основе построенных математических моделей в различных областях естествознания и технологий, таких как физика плазмы [1], авиационная и космическая техника, биология и медицина. Методику решения нелокальной задачи теории теплопроводности разработал Н.И. Ионкин. Этот прием основан на разложении функций в ряд по биортогональной системе [4, 5]. В дальнейшем вопросы корректности краевой задачи с нелокальными данными в различных, в том числе более общих постановках, изучались многими авторами [6-16]. Задачи, сочетающие локальные и интегральные условия для параболических уравнений второго порядка, исследуются такими методами, как метод потенциалов, метод Фурье, метод энергетических неравенств и другие. Приведем некоторые работы, содержащие важные результаты в исследовании нелокальных прямых и обратных задач. В работе [6] получен ряд результатов о разрешимости краевых задач для операторного уравнения вида But - Lu = f ( t е (0,»)) .

В статье [7] изучается разрешимость нелокальных по пространственной переменной краевых задач для одномерных параболических уравнений, а также для некоторых уравнений соболевского типа. В статьях [8, 9] изучаются нелокальные задачи с обобщенным условием Самарского -Ионкина по пространственной переменной, для которых доказаны теоремы существования и единственности решения. В статье [10] рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения. Доказано существование и единственность обобщенного решения.

В работах [11, 12] [рассматривается вариационная постановка обратной задачи об пределении коэффициентов многомерного параболического уравнения с нелокальными условиями. Исследованы вопросы корректности постановки задачи в слабой топологии пространства управлений. Доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели и установлено необходимое условие оптимальности. В работе [13] рассмотрена краевая задача для одномерного параболического уравнения, в которой оба краевых условия являются интегральными. Установлены условия существования и единственности классического решения данной задачи путем сведения ее к эквивалентной первой краевой задаче для того же уравнения

В статье [14] изучается вопрос об однозначной разрешимости обратной задачи определения правой части для параболического уравнения со старшим коэффициентом, зависящим и от временной и от пространственной переменной, при условии интегрального переопределения по времени. Найдено два типа условий, достаточных для локальной разрешимости рассмотренной обратной задачи, а также исследована так называемая фредгольмова разрешимость данной обратной задачи. В работе [15] исследуется разрешимость нелокальной задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности. Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения. В работе [16] рассмотрены вопросы однозначной разрешимости и построения решения нелокальной краевой задачи для трехмерного неоднородного интегро-дифференциального уравнения псевдопараболического типа третьего порядка с вырожденным ядром. Использован спектральный метод, основанный на разделении переменных.

В настоящей работе предложен метод приближенного решения нелокальной обратной задачи в классической постановке и получена оценка погрешности приближенного решения.

Приведем необходимые определения [17].

Пусть U и F - метрические пространства, M с U , а C [ U,F ] - пространство непрерывных отображений U в F .

Рассмотрим операторное уравнение, частным случаем которого является уравнение (2).

A o W = z ; ^ е U; хе F , ⁽³⁾

где A 0 е C [ U , F ] - взаимно-однозначный оператор, отображающий U в F .

Предположим, что при х = х ₀ существует единственное точное решение v ₀ уравнения (3) , которое принадлежит множеству M , но точное значение правой части нам не известно, а вместо него даны приближенное значение Xs е F и уровень погрешности 5 >  0 такие, что р ( х ₀, х₅ ) < 5 . Требуется по исходым данным задачи Х з и 3 определить приближенное решение уравнения (3) и оценить его уклонение от точного решения для х е M •

Определение 1 . Семейство операторов {Т ₅ : 0 <  5 <  5 ₀} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве M , если для любого 5 е (0; 5 ₀] оператор Т₅ непрерывно отображает пространство F в U и Т ₅х₅ ^ х ₀ при 5 ^ 0 равномерно на множестве M при условии р ( A 0 v ₀ , х₅ ) <5 .

Рассмотрим следующую величину, характеризующую точность метода {Т ₅ :0 <  5 <  5 ₀} на множестве M :

^5 (Т5 ) = suPp (u, Т5Х5 ) : V е M, Р (A0 V, Х5 )< 5}-Обозначим щ1 (т;M) = sup {р (V1, V2 ): V1, V2 е M, р(A0V1, A0V2 ) < т} модуль непрерывности оператора, обратного к A0 , на множестве AM .

Определение 2 . Метод { Т₅ : 0 <  5 <  5 ₀} будем называть оптимальным по порядку на множестве M , если существует число c такое, что для любого 5 е (0; 5 ₀]

^ 5 ( Т 5 ) < е Ю 1 ( 2 5 ; M ) .

Для численного решения некорректно поставленных задач, как правило, необходима дополнительная информация о точном решении [18]. В классической постановке задачи в качестве дополнительного условия известно множество M , содержащее точное решение [17].

Обратная задача с нелокальным граничным условием для уравнения (1) сводится к интегральному уравнению. Основным приемом аналитического исследования задачи является разложение суммируемых с квадратом функций в ряд по собственным функциям несамосопряженной краевой задачи, образующим биортогональный базис.

Вспомогательная (регуляризованная) задача также сводится к интегральному уравнению

В этом случае также используется разложение функций в ряд по биортогональной системе собственных функций нелокальной краевой задачи.

Применяя интегральное представление для решений нелинейной задачи, можно получить неравенства для решений линейной и нелинейной задач. Используя полученные неравенства, можно оценить точность регуляризованного решения нелинейной задачи на классе корректности M . Методы приближенного решения некоторых обратных задач для полулинейного параболического уравнения с локальными краевыми условиями исследовались в работах [19, 20].

Задача с обратным временем

В этом разделе будет сформулирована и исследована обратная задача с финальным условием переопределения.

Линейная задача с обратным временем

Сформулируем линейную задачу с обратным временем для линейного параболического уравнения:

I; =|4 (x <1, t0 < t < Т);

о t

v(0,t) = 0(10 < t < Т);(5)

v ( x , Т ) = х ( X ) ; j V ( x , t ) dx = 0; v ( x , t ) e C ( w22’⁰ [ 0,1 ] ; [ 1 0 ; Т ] ) n C ¹ ( L 2 [ 0;1 ] ; ( 1 0 ; Т ) ) ,

v(x, t0) = v(x)е L2[0,1] требуется определить. Выполняя элементарные преобразования, 11

J vt (x, t) dx = J vxx (x, t) dx = vx (1, t) - vx (0, t) = 0, 00

убедимся, что задачу (4)–(5) можно сформулировать в виде

|v = dv(0

• dt

• 2.2.    Точное решение нелокальной линейной задачи

v(0,t) = 0;v(x,T) = x(x)(0 < x < 1,t0 < t < T);(7)

vx (1,t)^-vx (°,t) = ⁰(t0 < t< ^T).

Решая линейную задачу (4) методом разделения переменных, получим следующую задачу на собственные функции и собственные значения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

X"(x) + ZX (x) = 0    (0 < x< 1)

X (0) = 0; X '(0) = X '(1).

Собственными значениями полученной задачи являются

Xk =(2nk)², k = 0,1,...

Нормированными собственными функциями и присоединенными собственными функциями, соответствующими собственному значению λ_k , являются

X₀(x) = x, X_2k-1 = xcos(2nkx),X_2k = sin(2nkx)(k = 1,2,...)                (8)

Нормированные собственные функции и присоединенные функции сопряженной задачи, соответствующие собственному значению λ , имеют вид

• Y(x) = 2, Y_2k-1 = 4cos(2nkx), Y_k = 4(1 -x)sin(2nkx).                (9)

Функции семейств (8) и (9) обладают свойством биортогональности, т. е. для всех i , j

(Xi, Yj) =J1 Xi (x)Yj (x)dx = 5,, где Sj - дельта-символ Кронекера.

Далее произвольную функцию ф(x) е L2 [0,1] можно разложить в ряд по собственным функциям и присоединенным функциям:

ф(x) = Ф0X0 (x) + ЁФ2kX2k (x) + ^2k-1X2k-1 (x), k =1

где ф₀,ф_2k,ф_2k । - коэффициенты Фурье функции ф(x), которые вычисляются по формулам

• 1                                                    1                                                          1

Ф0 =Jф(^x) ^Y0 (^x)^dx; Ф2k =Jф(^x) ^Y2k (^x)^dx; Ф2k-1 =Jф(^x) ^Y2k-1 (^x)^dx.

0                             0                                0

Для любой функции ф(x)е L2 [0,1] выполняются неравенства

^

A¹11^ф1 L₂[0,1] - ^ ^Ф ” A² И^ф1 L2[0,1] , k =1

и A1 = —, A₂= 16. Здесь ф₀,ф_2k,ф_2k-1 - коэффициенты Фурье функции ф(x)

В работе [4] доказана следующая теорема:

Теорема [4, теорема 2] Если функция ф (x) имеет непрерывную производную на отрезке

[0,1] и удовлетворяет граничным условиям

ф(0) = 0, ф' (0) = ф'(1) , то линейная нелокальная задача (4)–(5) имеет единственное решение, которое может быть представлено в виде то                                   то

v(x, ¹) = Е[фkX2k⁽x)]e" k +Е^ф2k-1⁽X2k-1⁽x) ^{- 2}J^TX2k⁽x))]e" k • k=1                          k=1

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке [0,1] и удовлетворяет гранич ным условиям и представлена суммой ряда то                           то                                      ____

х(x) = E[Х2kX2k(x)] + E| Х2k-1 (X2k-1 (x)-2^1X2k (x)) |, k=1

в котором x₀ = Jx(x)dx = Jv(x,T)dx = 0 •

Выполняются равенства

Ф2k-1 = Xk-1 e^, Фk = X2ke^ + 2 V^TTZ'k-1e4T ■

Следовательно, если линейная задача с обратным временем имеет решение для заданной функции x(x)G L2 [0,1] , то это решение может быть представлено в виде то                                                                     то     ____

Ф(x) = E[Х2kX2k(x) + X2k-1X2k-1(x)]e"k(T-t0) + E[лДГ(T -10)X2k (xi e'(T-' k=1

В дальнейшем будем рассматривать метод приближенного решения задачи с обратным временем и равномерную оценку погрешности построенного метода.

Для получения равномерных оценок точности методов приближенного решения некорректно поставленных задач рассматриваются множества равномерной регуляризации (множества, на которых равномерную оценку для данной задачи возможно получить [2]).

Рассмотрим следующий пример такого множества.

Определим классическое множество равномерной регуляризации для задачи (6)–(7) следующим образом.

Предположим, что для заданной функции х(x)^GL₂[0,1] задача (6)-(7) имеет решение v (x, 1). Предположим также, что функция v(x, 1) удовлетворяет условиям (6)-(7) при 1 е [0, T], таким образом мы можем продолжить точное решение обратной задачи, определив решение для значений переменной 1 из промежутка 0 < 1< T. Обозначим ф(x) = v(x,0) •

Множество равномерной регуляризации имеет вид

M = {ф⁽x) = v⁽x,¹0):|^ф(x)L[_ОД] <r²}.

Предположим, что существует точное решение обратной задачи для заданной функции, но точные значения заданной функции х (x) не известны. Вместо точных значений известны значения функции х₈ и уровень погрешности 5 > 0 такие, что ||х^ - XI < ^ и д достаточно мало. Требуется построить приближенное решение исходной обратной задачи и оценить его уклонение от точного решения.

Полулинейная задача с обратным временем

Рассмотрим нелокальную задачу для полулинейного параболического уравнения du = ^2^ + f (u)(0

u(0,1 ) = 0( 1₀< 1< T);                                        (13)

u(x,T) = x(x)(0 < x< 1); Ju (x, 1)dx = 0(1₀< 1< T);

u (x,t₀) = ^(x)e L₂[0,1] требуется определить. Здесь f: L₂[0,1] > L₂[0,1] - отображение, удовлетворяющее условию Липшица (например, заданное с помощью непрерывной функции).

Далее, задача (12)–(13) может быть записана в виде

|U = du+f (u )(0 < x< 1,10 < t< t );                          (14)

u(0,t) = 0(t₀< t < T);

u (x, T ) = x( x )(0 < x < 1);                                    (15)

ux (1, t)- ux (0, t ) = 0, u (x, t )e C (H2'°: C [ t0; T ])n C1 (L2 [0;1]; (t0; T)), u (x,t0) = T(x) e L2 [0,1] требуется определить.

Из представления решения неоднородной линейной задачи, полученного в [21], следует, что нелинейная задача (12)–(13) сводится к интегральному уравнению

-1Л-1Л u (x, t ) = Д^2kX2 k (x )] e k + ДФ2 k-1 (X2 k-1 (x )-2 4MX2 k (x ))l e k + k=1

EJ[f2kX2k(x)]e4(t T)dT+EJ[f2k-1X2k-1 (x)+2Ж(t-t)X2k(x)]e4(t T)d- k=1 0

Здесь

1                                                                11

Jo(u,T)= Jf (u(x,T))Y0(x)dx; f2k(u,т)=Jf (u(x,т))Y2k(x)dx; f2k-1(u,T)=Jf (u(x,т))Y2k-1(x)dx. 000

В задаче с обратным временем (14)-(15) требуется определить функцию Т(x) = u (x, 1₀), если известны значения функции х(x) = u (x.T).

• 3.    Метод регуляризации нелокальных обратных задач

• 3.1.    Приближенное решение линейной задачи

В этом разделе мы построим регуляризованное решение линейной задачи (6)–(7) и полулинейной задачи (14)–(15) и оценим точность регуляризованного решения.

Для построения приближенного решения линейной обратной задачи (6)–(7) рассмотрим задачу с малым параметром в условии переопределения, т. е. рассмотрим задачу восстановления функции ^5 (x) = v^£_s (x,1₀), где V5 (x)eL₂ , vg (x,t) удовлетворяет условиям

Svx   д'2Vx

• --^ = -^g (0 < x < 1; 10 < t < T);(17)

dtd

• -X (0, t) = 0(10 < t < T);(18)

xv^ (x,0) + -X (x,T) = x₅ (x)(0 < x< 1); J-X (x,t)dx = 0(1₀< t< T).

Здесь x > 0 - параметр регуляризации, который требуется выбрать, используя подходящую зависимость x = x(5).

Обозначим -x (x, t) решение задачи (17)-(18) для приближенно заданной функции х§ (x) • Будем рассматривать функцию ^g (x) = -x (x, 1₀) в качестве приближенного решения исходной линейной задачи (6)–(7).

Дифференцируя интегральное условие (18) по переменной t , получим

1

1 X dx-^(x• t)dx-^t tV(°.t) = 0.

V ^t J       dx             хлdx

Следовательно, смешанная краевая задача (17)–(18) сводится к задаче

6v£   d2v£ /

—T - —^ (о < x < 1; t0 < t < T). tx v£ (0.t)- 0(tо < t < T);

£v£ (x,0) + v£ (x • T)-X8 (x )(0 < x < 1) • ^v8 (1. t h^v8 (0. t)-0 (t0 < t < T )• оxd

• 3.2.    Решение вспомогательной задачи

Решая регуляризованную задачу (19)–(20) методом разделения переменных и исследуя стандартным способом сходимость соответствующих рядов, убедимся, что вспомогательная задача (19)–(20) имеет единственное решение, представимое суммой ряда w                             TO r                         ___ v£ (x.t)-S[^2TX2k (x)]e" k + ЁГ^Ч (X2k-1 (x)- 2 J^ktX2k (x))! e" k • k-1                             k-1

Подставляя соотношение (21) в условие переопределения с малым параметром (20), найдем связь между коэффициентами разложения полученного решения и заданной функции: v8 pkkT  2      8  pkT         v£’8 pkT

„s .8 _ ^X2 k-1 e     ,  V ^knT ^X2 k-1e      „Е .8 _^X2 k -1 e

^2 k^-       i T ⁺          i T i , ^2 k -1 ^-         T •

1 + £e ^k       (1 + £e ^k )              1 + £e ^k

Подставляя (22) в (21), убедимся, что для любой функции х(x) е L2 [0.1] решение вспомогательной задачи представимо в виде то

WES ( x) - Е k-1

x2kX_гk (x) e^{kk (T -}t⁰> 1 + £e^kk^T

^kkTT_Z⁸k-1X₂k (x) e^{kk (}T  t⁰)

(1 + £e^kkT )²

”  у⁸  X    (х\р^Л-⁽T  t⁰)

EX2 k-1X 2 k-1 ^{( x} ) ^e_________

1    kT k-1          1 + £e k

”[24Tkt0xtk-1X2k (x)e^kk(T  t⁰)

^Е          1 + £e^kk^T

• 3.3.    Оценка погрешности приближенного решения линейной задачи

Определим величину, которую будем использовать в качестве характеристики точности регуляризованного решения.

Пусть ^ (x) - решение линейной обратной задачи (6)-(7). Рассмотрим величину ^(£.8) - sup{||^^£ -^||: у е M;|X - Хт|| ^ 8} , характеризующую точность построенного приближенного решения на множестве M .

Зависимость е = е(6) выберем так, чтобы величина А(2.8) была минимальна.

Очевидная оценка следует из неравенства треугольника

А(£. 8 )<А1 (2.8) + А2 (2.8).

где а2(£.8)-  sup  |И -w£I;     А1 (£)- sup|Vs-И!•

IIX^-Х81|<⁸                                Ф^еM

Здесь через ψ_ε обозначено решение регуляризованной задачи (19)–(20), построенное по точно заданному финальному условию.

Оценим величину А2 (s. 8). Из (22) следует, что решения регуляризованной задачи (17)-(18) с точными и приближенными данными удовлетворяют равенству w v8 (x )=z k=1

(X2. - X k) X2 k (X) e⁽T^-t0)

1 + ee^kT

w

2 Я (X8k-1 - X2k-I) X2 k (X) 8^{я (}T  t0)

(1 + e^k¹ )2

w z k=1

Xk (T

( X2 k-1  X2 k-1) X2 k-1 ( X ) e-^

Я1

1 + ee k .

2^k10 (Zlk-1 - X2k-1 )X2k (X)e ^^

1 + ee^¹

Оценим дробь

_e^Я(^T-10) ^F(k)=■

Обозначим 5 = e^kT , 5 > 1. Вычислим наибольшее значение функции.

T -10

T

F ( 5 ) = -----

^V ’  1+e5

.

Критической точкой функции F (5) является

T -1₀ 1

⁵ 0 = —

¹0   ^e

.

Далее F (1) = -¹-, f (50 ) =

1 + e

C

, lim F (5 ) = 0.

1 -10               v / т   5 ^+W e 1

Следовательно,

а = sup ^{F (Я)}< -C^, C1

Я>0

e^T

JXe^{11 -1}0)

Оценим дробь G (Я) =------, Я > 0.

^{V 7}   1 + ee^

Заметим, что для любого т > 0, я > 0 7я< 6^Ят

Следовательно,

G (^Я)<

.

Д. T+^{т -}10)

где 11 = 1₀- т . Заменяя в оценке (25) 1₀ на

G (^Я)<

T -11

t

T -11

T   t1

^{1 -1}0t₀

^{1 -1}0

T t₀

.

T

ek ^{1 -}t1)

1+ee^kT 1+ee^kT,

11 = 1₀- т, имеем неравенство

T-(10 -т)

T T -11

_ f T - (1о - т)

¹0 ^{- т}

¹    10 -

T

т 1

e^T

Так как т > 0 - произвольное число, то из неравенства (27) следует

Y = sup G (Я)<   C1  .

Я>0             ¹¹0

e T

T-(10-т). e ^T

Так как для всех Я > 0

^{я 1!}< v2e^(T:to)

(1 + ee^ )²" JL ^{я( 1 - 1}0 )

1 + ee^

, то

sup------.,,< sup

Я1 \2

+ ee  )   я>0

ЯёЛ^{T -1}0)      с.

1 + eekT    Y <  Tzta e T

Используя равенство (24) и неравенства (25), (28), (10), получаем оценку

Aad,S)<

4 C1S

т -10

3e t

Оценим величину A] .

Воспользуемся равенствами (11) для коэффициентов Фурье функции ф(x) и равенствами (22) для коэффициентов Фурье вспомогательной задачи. Записывая равенства (22) с учетом (11), убедимся, что решение вспомогательной задачи может быть представлено суммой ряда

ГС

V (x) = Е( V2k£X2k (x) + V2k-1X2k-1 (x)), k =1

где

X T

• ^£   - ^2 k -1  . „_е _  ^ф2 k     ^2exl^k^T^2 k-1 e

• ^V2k-1   1 , - ^T ; ^V2k   1 ,    XT        Л , - XT\2     .

1 + ee          1 + £ e        (1 + ee  )

Далее, для разности точного и приближенного решений имеем разложение

ГС

D (x) = V (x) - Ve (x) = У d£kX2k (x) + d2k-1X2k-1 (x), k=1

где

,e     £^2k-1 . e    £Ф2k    ^2e4^Xk¹0^£Ф2k-/kT , 2^e^|^Xk^TeФ2k-1^

2k-1   , rr^{; d}2k   . it                 + T        '              XTx2

1 + ee^X         1 + ee^X'        1 _{+ ee}^XkT             (1 + ee^T)

Следовательно, в силу (10)

I^{V  v£}L₂[0,1] <A^{1 y}_^(d£k) ^+(d£k)

ГС

3^£A1У ^ф2k-1

k=1

_e^X(^T-t0 )²

1 + ee^XT

^{+ 2}t0

ГС

< 3e 2 A1УФ22k k=1

f 4XeX^

• 1    + ee^XT

+ 2T

Из неравенства (30) с учетом (25), (28), (10) следует оценка

T -10

A1 (e )< 6 rC1 (1 + 4 (T²+1₀²)) e  ^T

Следовательно,

T -10

t₀

eT

_eX( T -10 D²

• 1    + ee^XT

^fTee^-^T-10)1² (1 + ce" )² ,

.

где C = 6rC1 (1 + 4(T²+12)). Выберем параметр регуляризации e = £ (А) так, чтобы полученная оценка погрешности была минимальной. Вычисляя наименьшее значение функции в правой части (33), получим соотношение

T -10 CS e T =--- t₀

.

Из (33) следует, что

e (3) = 3.

Здесь C = 6rC1 (1 + 4 (T²+102)) - постоянная, не зависящая от 3.

С помощью соотношения (34) запишем оценку погрешности построенного приближенного т -10

решения: a(s*,5)<C3 ^T .

• 3.4.    Приближенное решение полулинейной задачи

Чтобы получить устойчивое приближенное решение полулинейной задачи (14)–(15), рассмотрим задачу, которая содержит малый параметр в условии переопределения, то есть вспомогательная задача состоит в восстановлении функции T_e (x) = u_e (x, t₀), где T_e (x)e L^ [0,1] и u_e (x,t) удовлетворяет условиям

• du^   d²u^e     /                        \

  
  

—= —³ + Hug (0 < x< 1, t₀< t< T);

dt    dx^{2   3} V ^{6             0}

uS (0,t) = 0(1₀< t< T);

euS (x,0) + uS (x,T) = x_S (x)(0 < x < 1); juS (x, t) dx = 0(1₀< t < T).

Необходимо также выбрать параметр регуляризации е(5). Обозначим u£s (x,t) решение регуляризованной задачи (35)-(36). Будем рассматривать функцию Т^ (x) = u^ (x,10) в качестве приближенного решения задачи (14)–(15).

Вспомогательная задача (35)–(36) может быть записана в виде due = 1^ + f (uS)(0 < x < 1,10 < t < T);(37)

ue (0,t) = 0(10 < t < T);(38)

, .,            .    aue.    .a eu£5 (x,0) + uS (x,T) = Xs (x)(0 < x < 1). —3(1,t)--S(0,t) = 0.

dxd

Параметр регуляризации e > 0 выбирается с использованием подходящей зависимости в = e(5).

Применяя разложение в ряд по системе собственных и присоединенных функций соответствующей линейной задачи, убедимся, что вспомогательная задача сводится к интегральному уравнению

^                            ГС

• u(x,t) = £^kX2к (x)]e"+У ф2k-1 (X2k-1 (x)-244X2k (x)) e""kt +

k=1

• -" tt - /I

Z j[f 2kX2k (x)]e ^k(    )d/ + Z jrf 2k-1 (X2k-1 (x) - 24T_ntX2k (x))1 e"^k(t-^T).

k=10

Здесь

• 1                                                               11

fJ(^u,T) = jf(^u(г))У0(^x)^dx; f,k(u,T) = jf(^u(r))Y2k(^x)^dx; f2k-1 (^u,T) = jf(^u(r))Y2k-1 (x)dx.

0                                        00

Существование и единственность решения вспомогательной задачи могут быть доказаны стандартным способом с применением принципа сжимающих отображений.

Таким образом, решение вспомогательной задачи может быть представлено суммой ряда

^

T^S (x) = Z(T2 kX2 k (x) + T 2 k-1X2 k -1 (x)), n=1

где

T:

• в

4 T _ X2 k-1^{e k}

^{2 k -1}= 1     4 T

1 + ee ^k

T^f 2k-1 (^u (^x,r )) ^e"^k(r) ,

⁺J      ,    4 t      ^аг,

0      1 + ee ^k

Ш£  _ Xk-\^ee^{kT  (Х}2^k + ²^k^Х2k¹) e k

^' k = 1 + .       +      (1 + £    )²       +

T

2^ j

f2 k-1⁽u^(x,T )) e^k^(T) (1 + .e^k^T )²

T dr + £ j 0

⁽f2k (u(^x,T)) + ²j^kf2k-1⁽u^(x,^T)))e^k^(T) (1 + £e^k^T )²

dr.