О решении одной граничной обратной задачи для параболического уравнения

— = —y-a(x)w (0 < х < 1; t > 0), и(х,0) = 0; м(0,?) + ^0^(0,?) = 0 dt дх и дополнительному условию

м(х_о,О = p(t), х_о Е (0,1), t > 0.

Здесь а(х) 6 С²[0,1], а(х) > 0, h₀, h_A - заданные постоянные, и(«,/)еС²(0,1)ПС([0,1]); k(x,*)g 1Т₂ (0,оо).

Рассматривая вспомогательную «прямую» задачу

Эи d2u , .

— = —т - а(х)и, dt дх²

m(x,O) = O;m(O,Z) + Aomx(O,Z)=:O; ы(х0,/) = /?(/), где а(х)еС2[0,1], х g (0,х0), Z > 0, u(*,t) е С2(О,хо)ПС([О,хо]); Дх^е И^1 (0,°о), определим функцию q(t)-ux(x0,t). Следовательно, исходная задача сведется к задаче восстановления функций v(0 = m(U)h w(t) = ux(\,t), где u(x,t) удовлетворяет условиям: ди д2и — =—--а^и, u(x,O) = O;u(xQ,t') = p(ty,ux^xo,t) = q(t),                (3)

dt дх хе (х0,1), t > 0.

Сведение задачи (3) к задаче вычисления значений неограниченного оператора

Пусть функции p(t),q(t),p\tyq\t) в задаче (3) принадлежат Л2(0,и). Рассмотрим вспомога тельную прямую задачу

ди dt

д2и , .

—v - а(х)и, дх²

w(x,0) = 0; и(х_о,О = Р^У, uQ,t) = v(Z), хе (х₀,1), t > 0.

Лемма 1. Пусть p(t),pXtyv(tyv’(t) е Z₂[0,oo) . Тогда задача (4) имеет решение и(«,/)еС²(х₀,1)ПС([х₀,]]); u(_X,*)eW2 (0,оо).

Доказательство. Рассмотрим формальное решение задачи (4), которое может быть найдено методом Фурье: t 1

м(х, Z) = g(x, Z) + J ^G(x, У, t - r)/^, Tykdr,                         (5)

где gM^-F^x^-V^, №,) = 1Wz£W, + £WzWS2 1 - х0          1 - х0                  1 - х0           1 - х0

G(x,^T) = ^e-^Xn^)Xn(x)

- функция Грина первой краевой задачи; Х„ (х) - собственные функции, образующие полную ортонормированную систему в ./^[xq,!], ~А~ собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим следующие функциональные ряды, сходящиеся равномерно на [х₀,1]:

У£М?.х-<Х?м?

П=1

(см. [6, с. 500]). Для произвольных Буняковского имеем оценки:

Коши- с учетом неравенства

П=1

И=1

П=1

	<зирй.2е ^ Ai	9 X Л=1 Лп J	/2,	ЧЛ=1     An    J	/2	c0 t ’	(6)
^„№„'(Х)	^supA^e Ai	'^уСДх^ vn=l    ЛП     7	1/2	лп /	1/2	A2’	(7)
Х^ХДх)	^supA^-A' 4	y«=i А? j	1/2	'^ (Xn(^ 2-1    ^4 \n=l At >	1/2	" i2 ’	(8)
) Х„№п(х t	) <^1-^ 4	'^ (X„(x))2 \ n=l    лп	Y/2 /	<и=1 Лп	\l/2		(9)

Из неравенств (6)—(9) следует, что функция G(x,q,t) имеет непрерывные производные

G_x(x,g,t), G_xx(x,<;,t), G_t(x,$,f) при всех х,^е[0,1],/>1₀ >0 .

Рассмотрим произвольное число t > 0 и зафиксируем t₀, 0Q Очевидно, при 0 < т < /₀ функции G(x,^,t-r), G_x(x,g,t-r), G_xx(x,<;,t-т), G₍(x,g,t-т) непрерывны. Рассмотрим ряд

СО 2

Л(х,?,г) = £^(<-А^(?)11^^(10)

л=1

и ряд, полученный почленным интегрированием (10):

ос /    2                             00 1 _

^\Х^-тУг\Х^Хп(х^^----^---|X„(g)||Xn(x)|.(11)

И=1 /₀                                    П=1 А1

Из оценки, аналогичной (6), следует сходимость ряда (11) при всех х,^ е [0,1]. По следствию из теоремы Б. Леви [7] ряд (10) сходится почти всюду на отрезке 0<т и функция Р(х,^,г) (а, следовательно, G(x,g,t - г)) суммируема на отрезке 0 <  т < t.

Используя свойство абсолютной непрерывности интеграла, по заданному числу f > 0 выберем /0 > 0 такое, что

|С(х,£д-г)./(g, т^т

1й

Тогда

^x^^-t^J^xW

о

z0

^х^-тУ^тУт

о

^8<С

\/^,тУт

о

+ f

хе[0,1]

С учетом последнего неравенства из (5) следует оценка

| и(х, t) 1< С max I g(x, t) I. хе[0,1]

Рассмотрим ряд

S(x,t,T) = ^Ht)e-^^,-^T)X_n(x),                     (И)

n=l где /„(0 = \А5АХпАА§ = ^^рМ                 /^«W - коэффициенты

Фурье функции f(x,t). Воспользуемся следующим утверждением [10, с. 414].

Утверждение 1. Существует такая постоянная С, что для каждого и и в каждой xg[x₀,1]

точке

хп^-

s"mAnx < —.

и

Из утверждения 1 следует, что

*0

J^sinA„^

^0

Так как существует такая константа с, что при каждом п

₀2 ЛИ

(см. [10, с. 414]), то из оценок (12) и (13) следует существование такой постоянной D, что

х0

^Хп(^

х0

D

при всех и. С учетом (14) и (15) из неравенства (11) следует

|5(,,,,г)|<С|Иф1М21

<тахЯ3/2^Л,"г) f n=\                                               n=l

Так как в силу утверждения 1 ряд в правой части (16) сходится при каждом хе[х0;1], то

оценка (16) принимает вид

№,t,f)|<

г(х)

Следовательно, функция S(x,t,r) суммируема на отрезке те [0,/] при каждом х.

Далее, используя неравенство (5)

|«^(х,/)|<С?!max|^(х,/¹)[; |^^(х,/)|<С7₂max|g"(x,^)j; |г/,(д,/)|<С₃ max |g(x,/)| + |g'(^0l хе[0,1                                   л-£[0,1                                 ухе[0,1]

Из полученных оценок следует, что ^(^,1), u_t(x,t) g С₂(0,со) при любом х е [0,1]. Таким образом, функция и^хА является решением задачи (4). Из полученных оценок следует также, что к задаче (3) применимо преобразование Фурье на полупрямой / g (0,оо).

Применяя к задаче (3) преобразование Фурье, имеем следующую задачу для линейного обыкновенного уравнения второго порядка:

U_xx0,A) = P(Ay,U_x(x₀,A) = Q(A).         (17)

Здесь U(x,A) = Fu = ^e”^i;uu(x,t)dt - образ Фурье функции u(x,t\ о

Обозначим через ф(х,0 решение уравнения (17), удовлетворяющее условиям

o,t) = O;u_x(x_o,t) = 'V; tp(x,t)

- решение уравнения (17), удовлетворяющее условиям Их_о,О = 1;^(х_о,О = О.

Теорема 1. Существуют постоянные С,, С₂, С₃, С₄, D_x, D₂, D₃, D₄, т такие, что

С,^—””7=—~ -I Пт^) I- С2 ^S          ; с₃ ch 4а(х - х₀) <| ф_х(х, А) |<С₄ ch4~А{х- х₀);

nA                 nA

D_x ch 4~A(x - x₀) <| i//(x, A) |< D₂ ch д/Я(x -x₀); D₃4a sh 4~A(x - x₀) <| ф_х(x,Я) |< D₄4a sh V^(x - x₀) при A > r.

Доказательство теоремы аналогично проведенному в [2].

Решение задачи (17) имеет вид

U(A) = P(AMV) + ^W), ww = Р(Л>ХМ + QWX(1,A).

Рассмотрим следующие линейные нормированные пространства: Z,₂(0,co) - пространство функций, суммируемых с квадратом, определенных при /е[0,да) (принимающих действительные значения), X = L₂(0,co)x Т₂(0,да); ф - пространство функций, допускающих аналитическое продолжение в полуплоскость Imz < О и таких, что

11 F^s + icr) |2 ds <С при всех ст < 0; У = Ф х Ф . Выполняется следующая теорема (см., напр., [9])

Теорема 2. Класс функций Ф совпадает с классом функций, представимых в виде

FW =

О

ОО где интеграл сходится в среднем и J| /(?) |2dt < да.

о

Рассмотрим равенство Парсеваля

J| ДО |²^ = 2я J] ДЯ)|НЯ 0                   -ОО

(см. [8]). Так как, очевидно, для функции /(Z) с действительными значениями выполняется равенство F^-A^ = У'(Я), то из равенства Парсеваля следует

/|/(?)|²Л = 4л- j\F(A)pdA.

о                  о

Следовательно, линейный оператор Fo : ZL2 [0,1] -» Ф, действующий по правилу fqW-

2.4л

\e-^utf^dt, о

является изометрией. Значит, пространства X и У также изометричны.

Таким образом, задача (3) сводится к задаче вычисления элемента

еК

VW4

такого, что

W))₌r HU) ^(1,Я) YPW) _a(pW ^(А)) (yHU) ф_х(1,А)Хе(А))   <д(А),’

где А :У -> У - неограниченный линейный оператор.

Метод приближенного решения

Пусть вместо точных исходных данных p(t),q(t) в задаче (3) известны 3- приближения ^(^^(О ^и уровень погрешности 3>0 такие, что Ц/^-^Ц^^; ||^-^||<. Пусть известно также, что при точно заданных начальных данных p(t), q^ задача (3) имеет решение, принадлежащее классу равномерной регуляризации

M_r = {(v,w) е X; (v^w^gX, ||(v',w')||_% 5 г}.

Используя метрическую эквивалентность задач (3) и (6), построим предварительно приближенное решение задачи (6). Известно, что при заданных начальных условиях Р и Q задача (6) имеет решение, принадлежащее классу равномерной регуляризации

М_г={СеГ; AGgY, ||2G||_y<г}.

Требуется построить устойчивое приближенное решение задачи (3) и оценить его уклонение от точного решения.

Рассмотрим регуляризованные начальные данные:

vU0 = v₅(0*(9_E(t) = ^v₆(t-TX(T)dT; wj(t) = w₆(t)*ю_Е(?) = Jm^(t-т)®_Е(r^dr.

где

e

^(0 = 11² + А ’

В качестве приближенного решения задачи (3) будем рассматривать элемент

<>W)

Аб А

образ Фурье которого имеет вид

-А6-Ле

Таким образом, в качестве приближенного решения задачи (6) рассматривается элемент Z^E₅W = Ae-^X6P₈=A^£P₅.                           (19)

Оценка погрешности метода проекционной регуляризации

Рассмотрим приближенное решение (18) задачи (17). В качестве характеристики точности приближенного решения (18) рассмотрим величину

A(s, А) = sup {||gJ - g||: Z g M_r; \\Z - Z_s || < a}.

Воспользуемся очевидной оценкой АО^АД^ + А^), где

A₁(s) = sup{||G^f-G||: GgMA G^E = A_eZ , A₂(f,5) = sup{|G^-G^^IZ-Z^U^^}.

Оценим величины АД^), A2 (£,).

Для величины A2(f,^) имеем очевидную оценку A2(f, <5") < Ц^^Ц, где ||Ла|| = maxfVz A е sp(BE), X > 0}, где

BJ УДЫ) Ф^АЙ^А^ Ф^АА^х WU) ^(Ы)Д^(М) W)/

Далее, где

е ММ)А "I о

^(Ы) кгЛ о J

о

о

, В2 =

2 (ММ) ^(М)

е"вХ

Зафиксируем ^ > О. Рассмотрим матрицу

с,А)=

ИЛ)|2

^OAWA)

е-геХ

Максимальное собственное значение матрицы Q имеет вид у = (Ы2 (М)+М2 (1АМа

Следовательно,

|| Д || < sup Vkl² ОА+М²IW^EX -

Из последнего неравенства и теоремы 1 следует существование постоянной Д такой, что

ИаИа^25-

Аналогично, максимальное собственное значение матрицы

с2А) =

IMWI2 ^ОАЖОА)

^алжсАР1^(М)12 ,

-2ея

имеет вид

Следовательно,

;М1^1А12+1М1А12К2£*.

И < sup Vl^OAlAi^

^а

Из последнего неравенства и теоремы 1 следует существование постоянной Д такой, что

И<А^.

Из неравенств (19) и (20) следует существование постоянной Д > 0 такой, что

A₂(f,^) < рде¹⁵ .

Оценка для величины А] (г) имеет вид

A, (f) < sup {||(А_Ё - Л)/ГА|: G е M_r} < г sup-—-— < rs.

Л>0

Замечание. Оценивая снизу величины A](s) и A₂(s,A), можно убедиться, что оценки (20) и (21)

являются точными по порядку.

Выбирая зависимость г = s(A) из условия

5егЕ — rs

(квазиоптимальный выбор параметра регуляризации [4]), получаем, что оценка погрешности при ближенного решения (18) на множестве Мг имеет вид

6.W№<~^-.                   (22)

Из замечания следует, что оценка (22) является точной по порядку.

В силу изометричности преобразования Фурье из оценки (21) с учетом оценки погрешности приближенного решения задачи (17) следует теорема 2. При сформулированных выше условиях существуют постоянные 0;Сб;С7 такие, что для любого 8 g (0,80) справедливы оценки погрешности метода проекционной регуляризации на множестве Мг:

• 8)    <........

ln(l/^)               Ь(1/)

Апостериорный выбор параметра регуляризации

Для выбора параметра регуляризации на практике может быть использована следующая схема, не использующая явно априорную информацию о точном решении поставленной обратной задачи (ср. [7]).

Пусть параметр регуляризации выбирается из конечного множества Лд, = {^:00<£•, <„.N>.

Обозначим через G® = R_EZ_S соответствующие приближенные решения. Пусть G - точное решение задачи (17), GeM_r. Обозначим через е _t квазиоптимальное значение параметра регуляризации, полученное по схеме М.М. Лаврентьева. Обозначим через е * оптимальное значение параметра регуляризации, выбираемое из множества X_N, т.е.

е* = шах{^ : 8, 6 М^Х^, где

M(X_N) = (8j е Ад,: rSj < 8е^2Е' >

Пусть M(X_N)*0; Ад, \M(A_y) Ф 0 . Наряду с М(А_У) рассмотрим множество '                                                                         1                                        '

A7+^) = LzGAw:||G^-GfJ|<4^ (у =0,1,...,/)> .

Лемма 2. M(X_N)^ M4X_N) .

Доказательство. Рассмотрим значения параметра регуляризации s,, 8j g XN; s, g Л/(Адг), j

||g/ -G® <||g^ -gI+Ig-G/ |+||G_f-G®, . <^5e^1Ej .

Следовательно, s_tg M⁺(X_n) .

Обоснование одного из правил апостериорного выбора параметра регуляризации дает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть параметр регуляризации выбран из условия s* = max |s,: s, с Л/⁺(Лд,)^.

Тогда

А(е⁺(8), 8) = sup (||gJ - G||: G g M • l|Z - Z_s II <             .

) ln(l/^)

Доказательство. Из определения s* = s_t следует, что для f_/+1 выполняется неравенство

Г£М > S_ Г£°Р‘ 1 ~              1 ‘ g2ff/+1           e'2'Eopl

Следовательно, в силу монотонности функции s(x) = ^- на промежутке яб(0,оо), f/+1 >80pt и е2х i                      i

Зе^6м < 5е2Е°р' .

В силу леммы 2, так как M(K_N) с М⁺ (Л^) ,

£* = £,= max {Sj: е, е M(X_N^<е* = max I s, : s₄ e M* (Ад,

Из определения M⁺ (Л^) следует

A(£⁺(<5),5) = sup! Gj

^Gj

-г*

гз

:ZGM_r;\\Z-Z₅\\<3 +sup Gj

<48e2£* + 5e2s* + rs* <6^sfinX3\8A<— opt In(lM)

Теорема доказана.