О решении одной обратной задачи, моделирующей двумерное движение вязкой жидкости

Рассмотрим начально-краевую задачу ut = vuxx + f (t) + g (x,t), u(x, 0) = uo(x),

^{x £ ( — 1 ,} 1) ^, t ^{£ [0 ,} T ^];

^{x £ ( — 1} , ^1);

(0.1)

(0.2)

u ( - 1 ,t )= u 1( t ) , u (1 ,t )= u 2( t ) ,

j u ( x,t ) dx = q ( t ) ,   t £ [0 , T ] .       (0.3)

- 1

Здесь функции g ( x,t ), u ₀( x ), u 1( t ), u ₂( t ), q ( t ) и постоянные v >  0, T >  0 считаются заданными, a u ( x,t ) , f ( t ) - искомыми. Таким образом, задача (0.1) - (0.3) является обратной. Для ее гладких решений необходимо потребовать выполнения условий согласования

u o( — 1) = u 1(0) , u 0(1) = u 2(0) , I u o( x ) dx = q (0) .

- 1

К задаче (0.1) - (0.3) приводит математическое моделирование двумерных ползущих движений вязкой жидкости специального вида, в плоском канале [1,2] или вязкой теплопроводной жидкости в модели микроконвекции [3]. При этом функция f (t) есть продольный вдоль канала градиент давления, который ищется вместе с полем скоростей и температур. Функции u 1(t), u2(t) задают движение стенок канала, a g(x,t) -известное распределение температуры в нем для уравнений микроконвекции. Третье условие (0.3) представляет собой заданный расход жидкости через поперечное сечение слоя. Постоянная v в уравнении (0.1) есть кинематическая вязкость жидкости. Конечно, возможна и чисто тепловая интерпретация задачи (0.1) - (0.3).

Следует отметить, что обратные задачи для параболических уравнений с интегральным условием переопределения более общего вида, чем (0.3), рассматривались в достаточно большом количестве работ, см., например, [4-8] и другие. Более полный обзор работ имеется в [9]. Как правило, в них доказывается существование и единственность решения, рассматриваются и обосновываются методы построения приближенных решений для случая (а он, по-видимому, представляет наибольшую трудность), когда неизвестная функция f ( t ) входит в правую часть основного уравнения (системы) мультипликативным образом.

В данной работе неизвестная f ( t ) входит в правую часть аддитивным слагаемым -это следует из постановок гидродинамических задач, упомянутых выше. Пользуясь спецификой задачи (0.1) - (0.3), ее одномерностью, удается получить достаточные условия сходимости ее решения к стационарному в равномерной метрике (в интегральной метрике подобный результат был получен в [7]), построить решение в виде рядов по специальному базису и тем самым решить уравнение второго рода для f ( t ), если перейти к задаче для нагруженного уравнения. Кроме того, получена конечная формула преобразования Лапласа ядра интегрального уравнения, полезная при численном нахождении f ( t ). Остальные гидродинамические характеристики: вертикальная компонента скорости, давление - легко восстанавливаются по функциям u ( x, t ), f ( t ) [2].

Произведем замену u ( x,t) = v ( x,t) + | [ u 1( t) + u 2( t)-q (t)] x2 + 2 Iu 2( t)-u 1( t)] x + 4 [3 q (t)-u i( t)-u 2( t)], тогда функции v(x,t), f (t) суть решение задачи

(0.4)

V t = vv xx + f ( t ) + h ( x,t ) ,   x G ( - 1 , 1) , t G [0 ,T ];               (0.5)

v ( x, 0) = u o( x ) - 4 I u 1(0) + u 2(0) - q (0)] x ² - 2 [ u 2(0) - u 1 (0)] x

- 4 [3 q (0) - u 1 (0) - u 2(0)] = v o( x ); (0.6)

v ( ± 1 , t )=0 ,   vx ( x,t ) dx = 0 , t G [0 ,T ] ,                   (0.7)

- 1

h ^{( x,} t ) = g ^{( x,} t ) ^- 4 ^{[ u} 1⁽ t ) + ^u 2 ⁽t ) ^- q ⁽ t ^)] x ^{2 -} 2 ^{[ u} 2⁽ t ) ^{- u} 1⁽ t ^)] x

^- 4 ^{[3 q} ‘ ⁽ t ) ^{- u} 1⁽ t ) ^{- u} 2⁽ t ^)] + 2 ^{v [ u} 1⁽ t ) ^{+ u} 2⁽ t ) ^- q ⁽ t ^)] (°-8)

и штрих означает дифференцирование по t.

Интегрирование уравнения (0.5) по x от — 1 до 1 с использованием второго условия (0.7) дает связь f (t) = 2 |[Vx (—1 ,t) — Vx (1 ,t)] — I h(x,t) X'

(0.9)

- 1

Итак, если u 1( t ) ,u 2( t ) ,q ( t ) npiina,тлежат C ¹ [0 ,T ]. g ( x,t ) G C (( — 1 , 1) x [0 , T ]). to задача (0.1) - (0.3) эквивалентна задаче (0.5) - (0.7), причем f ( t ) определяется (по известной v ( x, t )) равенством (0.9). Ниже и изучается задача определения функций v ( x, t ) и f ( t ). Дополнительные требования на входные данные будут сформулированы позднее.

1.    Априорные оценки

Лемма 1. Решение задачи (0.5) - (0.8) определяется единственным образом.

Доказательство. Умножение уравнения (0.5) на v ( x,t ) и интегрирование с использованием граничных условий (0.7) приводит к равенству

- Г¹ [ at 2 J

- 1

v ²( x, t ) dx^ + v j v 2 ( x,t ) dx

- 1

j h ( x,t ) ^v ( x,t ) dx.

- 1

Поскольку в нашем случае имеет место неравенство Стеклова.

v ²( x, t )

, , 4

dx 6 —    v X ( x,t ) dx,

π ²

- 1

то из (1.1) легко найти оценку

j ^v 2( x,t ) dx ⁶

- 1

[(У v 2( x ) dx )    + I

e ⁿ 2 ^{VT/ 2} k ( т ) dT

2 e - π ² νt

с функцией

k ( t ) = ( У h ²( x, t ) dx )    .

- 1

(1.1)

(1.2)

(1-3)

Из неравенства (1.2) и вытекает единственность определения v ( x,t ), а из (0.9) и f ( t ). □

Замечание 1. Если интеграл

∞ j в2VT/2k(т) dT                                (1.4)

сходится (это означает, что k ( t ) ~ в ^П 2 ^{vt/ 2} при t ^ то ), то L 2-норма функции v ( x,t ) экспоненциально убывает с ростом времени t.

Оказывается, что можно получить оценку |v(x,t)|, равномерную по x G [—1, 1] и t G [0, T]. Для этого заметим, что наряду с (1.1) имеет место другое интегральное тождество

j ^v 2 ^{dx +}

- 1

^v dt j ^v 2 dx

- 1

hv _t dx,

- 1

откуда, учитывая обозначение (1.3),

v _x ² dx 6

- 1

I v 0 x dx +

- 1

t

J к ²( т ) dT.

(1.5)

В силу неравенств (1.2), (1.5) имеем

x v2 (x, t) = 2 J vvx dx 6 2

- 1

(У v ² dx ) ¹ ’ ² (У v X dx ) ’ ² 6 2 [( ^ v 2( x ) dx )

- 1

- 1

1 / 2

+

t

+ I e ⁿ 2 ^{VT/ 4} к ( т ) dT

x

(у v 0 x dx +

- 1

t

J к ²( т ) dT^ 0

1 / 2

e - π ² νt/ 4

= k² ( t ) e - 2 ^{vt/ 4}

(1.6)

поэтому

|v ( x,t ) | 6 k( t ) e - ^{2 vt/ 8}                                    (1.7)

для всех x E [ — 1 , 1] и t E [0 ,T ]. Следовательно, если сходится интеграл (1.4), то функция к ( t ) ограничен а, для всех t E [0 , то ] i1 |v ( x,t ) | ^ 0 щ hi t ^ то равномерно по x E [ — 1 , 1].

Дифференцирование задачи (0.6) - (0.8) no t приводит к аналогичной задаче для vt(x,t), где нужно f (t) заменить на ft(t), h(x,t) нa ht(x, t), начальные данные (0.6) на vt(x, 0) = vv0xx + 2

-1

Здесь использовано уравнение (0.5) и равенство (0.9). Поэтому для vt(x,t) будут справедливы оценки (1.2), (1.7), где вместо к(t) будет функция k1

(t )=( jhx x,t) df,

-1

(L9)

а вместо v₀(x) - функция v₁₀(x) из (1.8). Значит,

|vt(x,t)I 6 к 1(t)e-^2vt/8

(1.Ю)

с ограниченной функцией к i( t)

=2

-1

v2₀(x) dx

)¹/ ²+j

t

eⁿ2^VT/4кi(т) dT

dx +

-1

^t                 1/2 1/2

j к 2( т) ^t)   J .

(1.11)

Оценку неизвестной функции f (t) получим следующим образом. Умножим уравнение (0.6) на полином 2-го порядка x2 — 1 и проинтегрируем по промежутку [—1, 1], найдем с использованием условий (0.7) представление для f (t), именно f (t)=3

j (x²— 1) h(x, t) dx

-1

j(x²— 1)vt(x, t) dx

-1

(1.12)

Применение неравенств Коши - Буняковского к первому интегралу в (1.12) и (1.10) для второго интеграла дает оценку

I f (t) I 6 \/| k(t) + ki(t)e-2^vt/8                           (113)

с функциями k(t), k1(t) из (1.3) и (1.11) соответственно. В выражении для k1(t) функция k 1(t) определяется равенством (1.9).

Замечание 2. Если дополнительно к (1.4) сходится интеграл

∞

I е^п2^VT/4ki(т) dT,                                 (1.14)

то k 1( t) ограничен а для всех t > 0 и |f (t) | ^ 0 пр и t ^ то по экспоненциальному закону. Кроме того, из (0.5) и оценок (1.7), (1.10) и (1.13) аналогичный результат имеет место и для |vxx|.

Нами доказана.

Теорема 1. Пусть v₀(x) G C[—1,1] QC²(—1,1), h(x,t), h_t(x,t) G C((—1,1) x [0,T]), ft(t) G C(0, T), и решение задачи (0.5) - (0.7) существует, тогда оно является единственным, и выполнены оценки (1.8), (1.10), равномерные для всех x G [—1, 1] и t G [0,T]. Если интегралы (1.4). (1.14) сходятся, то функции v(x, t). f (t) стремятся, к нулю с ростом времени по экспоненциальному закону.

В следующем пункте устанавливается существование решения.

2.    Построение решения в виде рядов по специальному базису

Подстановка (0.9) в (0.5) приводит к нагруженному уравнению на v(x,t) и первой начально-краевой задаче для него. Однако мы пока этого делать не будем, а. поступим следующим образом. Поскольку в (0.9) входят неизвестные производные vx(± 1,t), продифференцируем уравнение (0.5) по хи введем новую неизвестную функцию w (x, t) = vx (x, t).                                       (2.1)

Она - решение начально-краевой задачи

Wt = vwxx + hx(x, t), x G (—1, 1), t G [0,T];                  (2.2)

w(x, 0) = vоx(x) = wo(x),   x G (—1, 1);

w(x, t) dx = 0,

-1

xw(x, t) dx = 0,

-1

t G [0 ,T].

Первое из условий (2.4) следует из (2.1), так как

x

v

(x,t )= I

w(x, t) dx,

(2.3)

(2.4)

(2.5)

-1

а. второе - из интегрирования по частям второго равенства (0.7).

Неклассическая начально-краевая задача (2.2) - (2.4) решается методом разделе ния переменных, именно

∞

w(x,t) — ^2 wk(t) sin ц_kx,

k=1

Wk (t) — ak e^ kt +

ak —

^{1 + ц}k

J^w°( x^{)sin ц}xdx,

-1

t

У bk⁽T)

e-νµ²k(t-τ)_dτ_,

bk (t) — 1-#k µ_k

j^hx(x't^)sin"^kxdx-

-1

(2.6)

(2.7)

(2.8)

ц_k - положительные корпи уравнения tg ц — ц. причем [10] ц_k — € — €^-1— 2€-³/3 + O (€ - 5), € — п (к + 1 / 2). Легко доказывается (см., например, [11, с. 381], [12]) что ряд (2.6) представляет собой классическое решение задачи (2.2) - (2.4) при t > е > 0 и ^wо⁽x) G C[^{— 1}, 1^]. h_xЕ C^([—1, 1] х^[0,T]).

Замечание 3. Система функций sinцkx является ортогональной в L2 на отрезке [-1,1] с нормой цk(1 + цk)-1 // и образует там базис. Эти функции есть решения задачи на собственные значения

X_xx + XX — 0, x Е (—1, 1); ^X(x) dx — j xX(x) dx — 0

-1

-1

e X — Xk — ц_k.

Из (0.9) и (2.6), (2.7) находим

∞ f (t) — —v^ Wk (t) sin Цk — k=1

j^h(x,t) dx,

-1

(2.9)

а из (2.5) восстанавливаем v(x,t):

re 1

v (x,t)—        w_k (t )(cos ц_k— cos ц_kx).                    (2.10)

k=1 ^µk

Искомая функция u(x,t) определяется из замены (0.4). Формулы (2.9), (2.10) и дают классическое решение задачи (2.2) - (2.4) при указанных выше условиях на w₀(x), h (x, t).

Замечание 4. Легко видеть, что f (t) в задаче (0.5) - (0.7) определяется только по четной части решения v(x, t).

Действительно, пусть h(x,t) — h:(x,t) + h:(x,t). v0(x) — v40(x) + vn0(x) ii v(x,t) — v4 (x,t)+ vH (x,t). Тогда для vH (x, t) получим классическую первую начальнокраевую задачу для параболического уравнения с правой частью hH (x, t) и начальным значением vHо(x). Для четной части будет задача (0.5) - (0.7) с правой частью f (t) + h4(x,t), начальным значением v4о(x), а интеграл в (0.7) берется по промежутку [0,1]. Формулы (0.9), (2.9) упрощаются, f (t) —

• —vv,x.(1, t) — j h,_:(x,t) dx —

∞

• —v^Wk (t) sin Цk

k=1

—

1 j h.(x,t) 0

dx.

(2.11)

Далее предполагается, что в задаче (0.5) - (0.7) v = v₄, h = h₄, vо = v₄o, индекс “ч” всюду ниже опускается.

Будем искать теперь решение первой краевой задачи для нагруженного уравнения (0.5), где f (t) определена первой формулой (2.11), в виде ряда Фурье

∞ v (x,t ) = ^ Vn (t ) cos (nx, (n = 2(2 n + 1),                (2.12)

при этом v(± 1, t) = 0, второе условие (0.7) использовано при выводе равенства (0.9). Представляя h(x,t) и v₀(x) в виде аналогичных рядов с коэффициентами

h_n (t ) = 2 j h (x,t) cos (_nxdx, vn₀ = 2 j v₀( x) cos (nxdx

о

о и пользуясь ортонормальностью базиса cos (nx, из уравнения (0.5) находим эффициентов ряда, (2.12)

ДЛЯ KO-

Vn (t)

= Vn о e

A f (T) + hn (T )1 e ^v^n⁽t ^T) dT. ξ_n

(2.13)

Из (2.11) получим

∞ f (t) = V 2(- 1)n(nvn (t)

n=0

∞ f (0) = v £( -1) ”(„v„ (0)

n=0

-

-

j h(x t) dx, jh (X,0) dx.

(2.14)

Подстановка, v_n (t)

из (2.13) в (2.14) приводит к интегральному уравнению

второго

рода (уравнение Вольтерры) на f (t):

t∞ f (t) = -2 v / f (T) 2 e

₀       n=0

^v^n^(t-T) dT + m(t),

(2.15)

где

m(t) = - / h(x,t) dx + v ^(-1)ⁿ(n pn0e ₀                 n=0

t v^nt + I hn(T)e-v5n(t-T) dT^,

(2.16)

m(0) = f (0). Ядро интегрального уравнения есть сумма ряда Дирихле

K(у) = -2v ^2 e^-v^ny, У = t - t.

(2.17)

n=0

Лемма 2. Функция f (t), определяемая вторым равенством (2.11), является решением интегрального уравнения (2.15).

Доказательство. Проведем его для w₀(x) = A sinц_кx, где A = const, k - фиксированное, h(x,t) = 0. В общем случае доказательство проводится аналогичными выкладками. Из (2.11) f (t) = -vAe^-v^ kt sin ц_к. а из (2.10) -v (x,t) = p-¹Ae^-v^ kt (cos pk - cos p_kx).

Значит, коэффициенты ряда Фурье начальной функции v0(x) = jk 1(cos jk — cos jkx) по системе cos ^nx имеют вид vn 0

2 A (—1) n sin jk

<. (j k — en) ’

6.=4+2у

(2.18)

Функция m(t) из (2.16) с помощью формулы (2.18) перепишется так:

∞ m (t) = 2vA sin jk n=0

e j k-

νξn²t

-

С 2- n

(2.19)

Вычислим первое слагаемое правой части уравнения (2.15):

t

∞ e v"kт E e-v5n(t-T) dT = о         n=0

∞

—e^-^2kt E — n=0 <n

-

J I

-

^∞  _e-νξn²t

^2—ё n=0 ^k   ^n_|

Сумма первого ряда в квадратных скобках равна [13, с. 688]

1 п _ \    _    2

nj^k tg 2 ^kj , ^k = П ^k •

Поскольку tg jk = jk, эта сумма есть 1 /2. Значит, правая часть (2.20) с учетом (2.19)

и есть f (t) — m(t), что и доказывает лемму.

□

Уравнение (2.15) можно решить и методом преобразования Лапласа, продолжив функцию h(x,t) нулем вне отрезка [0, T], считая, что при t = T она имеет разрыв 1-го рода [14].

Пусть

∞

u( p )=к"11 (t)dt есть преобразование Лапласа u(t). Тогда в изображениях уравнение (2.15) имеет ре-

шение [15,16]

откуда

^K( p) m⁽p) f⁽p) = m⁽p) + ----,— ,

^{1 — K(}p)

t

f⁽t) = m⁽t) +I k (t — t ) m (t) dr, 0

(2.21)

где k(t) есть opигинал K(p)(1 — K(p)) 1. В нашем случае [14] из (2.17)

ZS

K (p)

^{1 — K(} p)

Поскольку [13]

-

∞

2 "Е n=0

p + ^v^n.

∞

1+2 vE , « n=0 p^{+ v}^

2 v e        \ Д th\ Д, n=0 p + v

/X

= k⁽p) •

получим

/X k (p) =

th p/v лУp/v + th д/p/v

(2.22)

Формула (2.22) может быть полезна при численном решении уравнения (2.15).

Замечание 5. Используя равенства (2.16), (2.22), можно доказать совпадение вы ражений для f (t) (2.11) ii (2.21).

3.    О поведении решения при t ^ го

Сначала найдем стационарное решение. В этом случае в задаче (0.6) - (0.8) начальные данные (0.7) не ставятся; функция hs не зависит от времени t, и решение vs (x), fs определяется по формулам

x vs (x) = C 1 x + C2 — — x2 —

j(x — z)hs(z) dz,

-1

f s = 3

j z²h-(z) dz

C1

j h(z) dz, 0

(3.1)

C2 =

ν

+ 2 z2^ hs(z) dz.

Исходное решение us(x) найдется из замены (0.4)

. .         3                                   _ ,        1         _                            1 . .

u (x) = v (x) + 4 (u 1 + u₂— q )x² + 2 (u₂— u 1)x + 4 (3q — u 1 — u₂).     (3.2)

В формулах (3.1) функция h^s(z) считается четной согласно замечанию 2.

Если в задаче (0.6) - (0.8) функция h(x, t) задана для всех t > 0, то возникает вопрос об асимптотическом поведении функций v(x, t) и f (t) при t ^ то. В частности, при каких условиях на h(x, t) решение задачи (0.6) - (0.8) с ростом времени выходит на стационарный режим (3.1)? Для ответа на этот вопрос произведем замену

V(x, t) = vs(x) — v(x, t),   F(t) = f^s — f (t),                     (3.3)

тогда, V(x,t) 11 F(t) являются решением задали (0.6) - (0.8) с заменой h(x, t) на, H (x,t) = hs (x) — h (x,t)

и начальных данных (0.7) на

V0 (x) = vs (x) — v₀( x).

Имеет место

Теорема 2. При условии сходимости интегралов

∞∞

0^KW'^2vv“- 0K""^:"^dT-

(3.4)

(3.5)

(3.6)

где

K (t ) = (У H2(x,t) dx)  , K1(t)= (УHt(x,t) dx)  ,

-1

-1

решение задачи (0.6) - (0.8) с ростом времени t стремится к стационарному режиму (3.1) по экспоненциальному закону.

Доказательство. Действительно, в этом случае для V(x, t) из (3.3) справедливы оценки (1.7), (1.10), а для F (t) - оценка (1.13) с указа иными выше заменами h (x,t) на, H(x,t) из (3.4) ii v₀(x) iiа, V₀(x) in (3.5). □

Замечание 6. В условиях теоремы 3 имеет место экспоненциальная устойчивость стационарного решения (3.1). В терминах исходных данных задачи (0.1) - (0.3) для ограниченности интегралов (3.6) достаточно потребовать сходимости интегралов

∞1

^[g^(x,T)

0   -1

- g"(x)]2dx eⁿ2^VT/4dT,

∞1

У У gT(x,T) dxe"2^vt/4dT;

0 -1

∞

У [Uj (T) - uj|²eⁿ²"<⁴dT, j = 1, 2, 0

∞

У [u(n)(T)]²e^n2VT/4dT,   n = 0, 1,2,

∞

[[q(T) - q"]²e^2VT/4dT,

∞

j^[q⁽n⁾(^T )|2 Z2^{VT/4 dT},   n .