О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны

В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения по значениям коэффициентов Фурье функции, задающей начальную форму струны, заданным с погрешностью в равномерной норме. Приводится решение более общей задачи восстановления оператора, определенного на весовом пространстве векторов из l 2 , по приближенным значениям координат этих векторов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью

U tt = U xx , u(0, t) = u(n, t) = 0, u(x, 0) = f (x), u _t (x, 0) = 0.

Как известно, точное решение этой задачи имеет вид

где

∞

u(x,t) = ^^a j- (f) cos jt sin jx, j=i

a j (f ) = — [ f (x) sin jxdx ⁿ 0o

— коэффициенты Фурье функции f (x) .

Предположим, что f ( • ) e W ^ ([0,п]) , где

W 2n ([0,n]) = {f ( • ) e L 2 ([0,n]) : f <^{n - 1}) ( • ) абс. непр. на [0,n], | f ⁽ⁿ⁾ ( • ) |^([о,п]) 6 1 },

а

IlgBl^ao©) =

π

—    | g(x) | ² dx.

π

o

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции f ( • ) y i ,..., y N , причем

К (f) - y j I 6 5 j , 5 j > 0, j = 1,...,N.                       (3)

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (2) в момент времени T на классе W^([0, п]) по информационному оператору F N (5 = 51,... ,5 v ) , который каждой функции f ( • ) G W 2k [0, п]) сопоставляет множество векторов у = (y i ,..., y N ) , удовлетворяющих условию (3).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы у: RN ^ L2 ([0, п]). Погрешностью восстановления для данного метода у назовем величину e^WnGO^XFN,у) =        SUp        lluGT) - y^KO^^n]).

f (•)eW 2n ([0,n]), y=(y i ,...,y)e R N

|a j ^{( f}У ^{| 6 5} j , j ⁼¹V ^,N

Величина

E(T, W ₂n ([0, п]), F ^V ) =      inf       e(T, W ₂ ⁿ ([0, п]), F N , y)

V: R N ^L 2 ([0,n])

называется погрешностью оптимального восстановления , а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления .

Рассмотрим более общую задачу оптимального восстановления оператора Q : X ^ l _∞ , заданного равенством

Qx = (П1Х1,П2Х2,...), j G N, где x = (x1, Х2,...) G X, а

X = J x = (x 1 ,x₂,...) : ||x | x = ^2 v j | x j | <  ro k

I                                 j=1               J vj > 0, j G N. Положим ^j = nJ и будем предполагать, что ^j/vj ^ 0 при j ^ ro. Тогда при всех x G X Qx G 12. Нас интересует задача восстановления оператора Q по приближенным значениям первых N компонент x1,..., xv.

Положим

W = { x G X : ||x | x 6 1 } .

Будем считать, что для каждого x G W нам известен вектор y = (y 1 ,.

.

., y v ) такой, что

| x j - y j I 6 5 j , j = 1,...,N.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения у: 1 N ^ 1 ₂ . Погрешность восстановления для данного метода у определяется равенством

e^(Q,W,I N ^,5,у)=       sup ||^{Qx -} y⁽y^)k l 2

x ∈ W, y ∈ l ^N∞

|xj —У б 1 6 ⁵ j , j'=1,--,N

(здесь 5 = (5 1 ,..., 5 v ), I n x = (x 1 ,..., x v ) ).

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E (Q, W, I n , 5) =   inf   e(Q, W, I n , 5, y),

V : 12,^1 2

а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации I N , заданной с погрешностью в норме l _∞ ^N .

Случай, когда коэффициенты Фурье заданы с погрешностью в норме 1 N , как для задачи (1), так и для задачи (4), исследовался в работе [1].

• 2.    Основные результаты

Пусть νj монотонно возрастает, lim vj = +го, lim ^j/vj = 0. j^+^          j^+^

Без ограничения общности можно считать, что

^1> ^2>  >^

V i     V 2

...

ν N

(этого можно добиться соответствующей перенумеровкой). Пусть q > N таково, что

µ _q         µ j

— = max —.

ν q   j>N

ν j

Если vi§i < 1 и — > — , положим

p

P o = Po(5) = max p : ^ V j 5 j I     j =i

<

1-^ >;?; • 1 6 p * n}-

в противном случае считаем, что p o = 0.

Положим

qo={

q,

P o + 1,

µ q ν q µ q ν q

> ^ P 0 + 1 ν p₀+1 ^,

<

µ p₀+1 ν p₀+1 ^.

Теорема 1. Имеет место равенство при этом метод

E ( Q,W,I n ,5) =

P0 / t ⁺

-

^ q ⁰ vj) 5 ² ,

ν q 0        ^j

p 0

^{y) = X nj (1} j=i ^v

-

µ _{q 0} ν j ν _{q 0} µ j

y j e j ,

где e j , j = 1, 2,... — стандартный базис

в 1 2

^(e j ) k = ^

1,

0,

k = j- k =1, 2,..., k = j, , ,     ’

является оптимальным.

Вернемся к задаче оптимального восстановления решения волнового уравнения. Если f ( • ) е W n ([0,n]) , то

∞ f (x) = ^Laj(f)sin jx, j=i

где

∞

E j j) 6 1, j=1

• т. е. V j = j ²ⁿ . Из (2) вытекает, что ^ j = cos ² jT . Соответственно q > N таково, что

• cos2 qT       cos2 jT

  --5-- = max —^--

• q2n     j>N j2n

cos ² qT q ^{2 n}

Тогда в случае, если 5 i < 1 и cos ² T >

-2nr2      cos ² pT   cos ² qT             1

P0 = po(5)=max| p : E j 52 < 1, —2^"      2’ 1 6 p 6 NJ, иначе po = 0.

Соответственно

'          cos ² qT   cos ² (p₀ + 1)T

= I q’           q 2ⁿ >  (po + 1) ²ⁿ ’

0              cos2 qT   cos2(p0 + 1)T p° + 1’ l2^ < (po + 1)2n ‘

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Имеет место равенство

E (T’W 2ⁿ ([0’n])’F N ) =

^cos 2 qoT X /         cos ² qoT X ₂

----2---+ E cos2 jT--2 j 2 52’ q2                              q2          j при этом метод

p 0

u(x,T ) EE 1

j=1

j cos ² qoT q0 cos ² jT

y j cos jT sin jx

является оптимальным.

• 3.    Доказательство

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим экстремальную задачу

∞∞

E ^ j | x j I ² ^ max, | x j | ² 6 5 ² , j = 1,...’N, Ev j | x j | ² 6 1.

j =1                                                    j =1

Положим U j = | x j | ² , j E N , и перепишем эту задачу так:

∞∞

Е^ ^ j U j ^ max, U j 6 5 2 , j = 1,..., N, E^ V j U j 6 1, U j >  0.

j =1                                               j =1

Введем функцию Лагранжа для этой задачи

N

∞

+ E (-^j+Avj)Uj, j=N+1

L(u, A, Ai,..., An) =   '(—^j + Aj + Avj)Uj j=1

где ^U   { ^U j } j ^ n .

Из работы [2] (см. также [3]) вытекает, что если найдутся такие А, А 1 ,..., A n >  0 , что для допустимой в задаче (7) последовательности u = {u j } _{- r} N выполнены условия

(a)

(b)

---ч ---ч                 ---ч                             ---ч ---ч                 ---ч min L(u, А, А 1 ,..., A n ) = L(U , А, A i , ..., A n ) , u j >0

XA- u j - — t?) =0, a(£ V j A - — 1) = 0, j=i ^{v      y}         S=i        ⁷

то A — решение задачи (7), а ее значение равно

N

X А , 5 - + А.

j=1

Если при этом для всех y ∈ l∞N существует решение xy экстремальной задачи то

а метод

N

X ^Aj | x j - y j | ² + b k x k X ^ min, x G X, j=1

E ( Q,W,In -

N

UU

^A j 5 j + A , j=1

<^A(y⁾ = Qx y

является оптимальным.

Задача (8) может быть записана в виде

N∞

[^A j (x j — y j ) ² + bv j x²j + A       v j x j ^ min, x G X.

j =1                             j = N +1

Нетрудно убедиться, что ее решение есть

x y

N

= X j=1

---4

λ j y j ^e j ^.

a - + Av - ^{- -}

Поэтому достаточно найти А, A 1 ,...,A n >  0 и допустимую в (7) последовательность A = { a - } - _g n , для которых будут выполнены условия (а) и (b) . При этом метод

N A b Cy) = 12 nn— jT" yj e j j =i ^A j ^{+ Av} j

будет оптимальным.

Предположим, что po > 0. Положим А =

Po < j 6 N .

^qo A - „

, ^а - = ^ j ν q ₀

-

µ _q

—Vj , j = 1,.. .,P o , a - = 0 , ν q ₀

---- uj =

• ⁵ 2 ,

p ₀

• 1-    P V j S j

j =1

ν q ₀

0,

^j = 1,...,p o ,

, j = qo, j > po, j = qo.

Легко проверить, что последовательность b j — допустимая и выполнены условия (b) .

При этом

---4  ---4

L (u,A,A i ,..

_b ∞         _µ

• , ^A N ) = £ ( ^—^ j ⁺ “ ^v j ) u j >  °, j=P o +i ^{V         V qo 7}

так как в силу выбора q g

> j - j>p”.

Поскольку L(b, A, A i , • • •, A n ) = 0, условие (a) выполнено.

Подставляя A и Ai, • • •, An в (9) и (10), получаем погрешность оптимального восста- новления и оптимальность метода p0

Ь(у) = X П (1 -      ) yj ej • j=i 0    Vq0 ij

Пусть pg = 0. При этом либо vid? > 1, либо — > —• В обоих случаях положим V1     Vq b = ^q0, bj = 0, j = 1, • • •, N, bq0 = —, bj = 0, j = qg. Тогда последовательность bj — νq0                                      νq0

допустимая,

L(u, b, bi, • • •, bN) = X f-^j + ^q°vj^ uj = X vj f^q° - ^j^ uj > 0 j=i 0          q0 /       j=i    \ q0      j / в силу выбора qg, а L(b, A, Ai, • • •, An) = 0, то есть условие (a) выполнено. Условия (b) также очевидным образом выполнены. При этом из (9) и (10) следует, что

E ( Q,W,I n ,^)= Ж, ν q ₀

а метод (y) = 0 — оптимальный. B