О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны
Автор: Выск Наталья Дмитриевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.8, 2006 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения по значениям коэффициентов Фурье функции, задающей начальную форму струны, заданным с погрешностью в равномерной норме. Приводится решение более общей задачи восстановления оператора, определенного на весовом пространстве векторов из l_2, по приближенным значениям координат этих векторов.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318193
IDR: 14318193
Текст научной статьи О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения по значениям коэффициентов Фурье функции, задающей начальную форму струны, заданным с погрешностью в равномерной норме. Приводится решение более общей задачи восстановления оператора, определенного на весовом пространстве векторов из l 2 , по приближенным значениям координат этих векторов.
1. Постановка задачи
Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью
U tt = U xx , u(0, t) = u(n, t) = 0, u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = 0.
Как известно, точное решение этой задачи имеет вид
где
∞
u(x,t) = ^^a j- (f) cos jt sin jx, j=i
a j (f ) = — [ f (x) sin jxdx n 0o
— коэффициенты Фурье функции f (x) .
Предположим, что f ( • ) e W ^ ([0,п]) , где
W 2n ([0,n]) = {f ( • ) e L 2 ([0,n]) : f <n - 1) ( • ) абс. непр. на [0,n], | f (n) ( • ) |^([о,п]) 6 1 },
а
IlgBl^ao©) =
π
— | g(x) | 2 dx.
π
o
Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции f ( • ) y i ,..., y N , причем
К (f) - y j I 6 5 j , 5 j > 0, j = 1,...,N. (3)
Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (2) в момент времени T на классе W^([0, п]) по информационному оператору F N (5 = 51,... ,5 v ) , который каждой функции f ( • ) G W 2k [0, п]) сопоставляет множество векторов у = (y i ,..., y N ) , удовлетворяющих условию (3).
В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы у: RN ^ L2 ([0, п]). Погрешностью восстановления для данного метода у назовем величину e^WnGO^XFN,у) = SUp lluGT) - y^KO^^n]).
f (•)eW 2n ([0,n]), y=(y i ,...,y)e R N
|a j ( fУ | 6 5 j , j =1V ,N
Величина
E(T, W 2n ([0, п]), F V ) = inf e(T, W 2 n ([0, п]), F N , y)
V: R N ^L 2 ([0,n])
называется погрешностью оптимального восстановления , а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления .
Рассмотрим более общую задачу оптимального восстановления оператора Q : X ^ l ∞ , заданного равенством
Qx = (П1Х1,П2Х2,...), j G N, где x = (x1, Х2,...) G X, а
X = J x = (x 1 ,x2,...) : ||x | x = ^2 v j | x j | < ro k
I j=1 J vj > 0, j G N. Положим ^j = nJ и будем предполагать, что ^j/vj ^ 0 при j ^ ro. Тогда при всех x G X Qx G 12. Нас интересует задача восстановления оператора Q по приближенным значениям первых N компонент x1,..., xv.
Положим
W = { x G X : ||x | x 6 1 } .
Будем считать, что для каждого x G W нам известен вектор y = (y 1 ,.
.
., y v ) такой, что
| x j - y j I 6 5 j , j = 1,...,N.
В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения у: 1 N ^ 1 2 . Погрешность восстановления для данного метода у определяется равенством
e(Q,W,I N ,5,у)= sup ||Qx - y(y)k l 2
x ∈ W, y ∈ l N∞
|xj —У б 1 6 5 j , j'=1,--,N
(здесь 5 = (5 1 ,..., 5 v ), I n x = (x 1 ,..., x v ) ).
Погрешностью оптимального восстановления называется величина
E (Q, W, I n , 5) = inf e(Q, W, I n , 5, y),
V : 12,^1 2
а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации I N , заданной с погрешностью в норме l ∞ N .
Случай, когда коэффициенты Фурье заданы с погрешностью в норме 1 N , как для задачи (1), так и для задачи (4), исследовался в работе [1].
-
2. Основные результаты
Пусть νj монотонно возрастает, lim vj = +го, lim ^j/vj = 0. j^+^ j^+^
Без ограничения общности можно считать, что
^1> ^2> >^
V i V 2
...
ν N
(этого можно добиться соответствующей перенумеровкой). Пусть q > N таково, что
µ q µ j
— = max —.
ν q j>N
ν j
Если vi§i < 1 и — > — , положим
p
P o = Po(5) = max p : ^ V j 5 j I j =i
<
1-^ >;?; • 1 6 p * n}-
в противном случае считаем, что p o = 0.
Положим
qo={
q,
P o + 1,
µ q ν q µ q ν q
> ^ P 0 + 1 ν p0+1 ,
<
µ p0+1 ν p0+1 .
Теорема 1. Имеет место равенство при этом метод
E ( Q,W,I n ,5) =
P0 / t +
-
^ q 0 vj) 5 2 ,
ν q 0 j
p 0
y) = X nj (1 j=i v
-
µ q 0 ν j ν q 0 µ j
y j e j ,
где e j , j = 1, 2,... — стандартный базис
в 1 2
(e j ) k = ^
1,
0,
k = j- k =1, 2,..., k = j, , , ’
является оптимальным.
Вернемся к задаче оптимального восстановления решения волнового уравнения. Если f ( • ) е W n ([0,n]) , то
∞ f (x) = ^Laj(f)sin jx, j=i
где
∞
E j j) 6 1, j=1
-
т. е. V j = j 2n . Из (2) вытекает, что ^ j = cos 2 jT . Соответственно q > N таково, что
- cos2 qT cos2 jT
--5-- = max —^--
- q2n j>N j2n
cos 2 qT q 2 n
Тогда в случае, если 5 i < 1 и cos 2 T >
-2nr2 cos 2 pT cos 2 qT 1
P0 = po(5)=max| p : E j 52 < 1, —2^" 2’ 1 6 p 6 NJ, иначе po = 0.
Соответственно
' cos 2 qT cos 2 (p0 + 1)T
= I q’ q 2n > (po + 1) 2n ’
0 cos2 qT cos2(p0 + 1)T p° + 1’ l2^ < (po + 1)2n ‘
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Имеет место равенство
E (T’W 2n ([0’n])’F N ) =
cos 2 qoT X / cos 2 qoT X 2
----2---+ E cos2 jT--2 j 2 52’ q2 q2 j при этом метод
p 0
u(x,T ) EE 1
j=1
j cos 2 qoT q0 cos 2 jT
y j cos jT sin jx
является оптимальным.
-
3. Доказательство
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим экстремальную задачу
∞∞
E ^ j | x j I 2 ^ max, | x j | 2 6 5 2 , j = 1,...’N, Ev j | x j | 2 6 1.
j =1 j =1
Положим U j = | x j | 2 , j E N , и перепишем эту задачу так:
∞∞
Е^ ^ j U j ^ max, U j 6 5 2 , j = 1,..., N, E^ V j U j 6 1, U j > 0.
j =1 j =1
Введем функцию Лагранжа для этой задачи
N
∞
+ E (-^j+Avj)Uj, j=N+1
L(u, A, Ai,..., An) = '(—^j + Aj + Avj)Uj j=1
где U { U j } j ^ n .
Из работы [2] (см. также [3]) вытекает, что если найдутся такие А, А 1 ,..., A n > 0 , что для допустимой в задаче (7) последовательности u = {u j } - r N выполнены условия
(a)
(b)
---ч ---ч ---ч ---ч ---ч ---ч min L(u, А, А 1 ,..., A n ) = L(U , А, A i , ..., A n ) , u j >0
XA- u j - — t?) =0, a(£ V j A - — 1) = 0, j=i v y S=i 7
то A — решение задачи (7), а ее значение равно
N
X А , 5 - + А.
j=1
Если при этом для всех y ∈ l∞N существует решение xy экстремальной задачи то
а метод
N
X Aj | x j - y j | 2 + b k x k X ^ min, x G X, j=1
E ( Q,W,In -
N
UU
A j 5 j + A , j=1
<A(y) = Qx y
является оптимальным.
Задача (8) может быть записана в виде
N∞
[A j (x j — y j ) 2 + bv j x2j + A v j x j ^ min, x G X.
j =1 j = N +1
Нетрудно убедиться, что ее решение есть
x y
N
= X j=1
---4
λ j y j e j .
a - + Av - - -
Поэтому достаточно найти А, A 1 ,...,A n > 0 и допустимую в (7) последовательность A = { a - } - g n , для которых будут выполнены условия (а) и (b) . При этом метод
N A b Cy) = 12 nn— jT" yj e j j =i A j + Av j
будет оптимальным.
Предположим, что po > 0. Положим А =
Po < j 6 N .
^qo A - „
, а - = ^ j ν q 0
-
µ q
—Vj , j = 1,.. .,P o , a - = 0 , ν q 0
---- uj =
-
5 2 ,
p 0
-
1- P V j S j
j =1
ν q 0
0,
j = 1,...,p o ,
, j = qo, j > po, j = qo.
Легко проверить, что последовательность b j — допустимая и выполнены условия (b) .
При этом
---4 ---4
L (u,A,A i ,..
b ∞ µ
• , A N ) = £ ( —^ j + “ v j ) u j > °, j=P o +i V V qo 7
так как в силу выбора q g
> j - j>p”.
Поскольку L(b, A, A i , • • •, A n ) = 0, условие (a) выполнено.
Подставляя A и Ai, • • •, An в (9) и (10), получаем погрешность оптимального восста- новления и оптимальность метода p0
Ь(у) = X П (1 - ) yj ej • j=i 0 Vq0 ij
Пусть pg = 0. При этом либо vid? > 1, либо — > —• В обоих случаях положим V1 Vq b = ^q0, bj = 0, j = 1, • • •, N, bq0 = —, bj = 0, j = qg. Тогда последовательность bj — νq0 νq0
допустимая,
L(u, b, bi, • • •, bN) = X f-^j + ^q°vj^ uj = X vj f^q° - ^j^ uj > 0 j=i 0 q0 / j=i \ q0 j / в силу выбора qg, а L(b, A, Ai, • • •, An) = 0, то есть условие (a) выполнено. Условия (b) также очевидным образом выполнены. При этом из (9) и (10) следует, что
E ( Q,W,I n ,^)= Ж, ν q 0
а метод (y) = 0 — оптимальный. B
Список литературы О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны
- Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным//Мат. заметки.-2007.-(в печати).
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных//Функцион. анализ и его прил.-2003.-T. 37.-С. 51-64.
- Осипенко К. Ю. Неравенство Харди -Литтлвуда -Полиа для аналитических функций из пространств Харди -Соболева//Мат. сб.-2006.-Т. 197, № 3.-С. 15-34.