О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений

В работе, продолжающей исследования работ [1, 2], рассматривается нелинейное операторное уравнение вида:

F ( x , λ ) = 0 , (1) где F : X × Λ → Y , X , Y – банаховы пространства, Λ – линейное нормированное пространство. Предполагается, что F (0,0) = 0 , оператор F ( x , λ ) имеет частную производную Фреше по первому аргументу F_x ( x , λ ) , а линейный оператор F_x (0, λ ) имеет ограниченный обратный оператор F_x ^{- 1} (0, λ ) при λ ∈ S , где S ⊂ Λ – открытое множество, границе которого принадлежит точка λ = 0 . В дальнейшем любое подобное множество будем называть секториальной окрестностью нуля. Будем считать, что оценка для оператора F_x ^{- 1} (0, λ )

известна и имеет следующий вид:

II Fx40 - = O [ Od J при S ∋ λ → 0,

где функционал a ( λ ) → + 0 при λ → 0 .

Основная цель исследования – поиск достаточных условий существования и единственности малого решения уравнения (1) x(λ) → 0 при S ∋ λ→ 0 и предложить способ нахождения этого решения. Следует отметить, что при данной постановке задачи теорема о не- явном операторе не выполняется, поскольку из условия (2) вытекает, что оператор Fx (0,0) не является непрерывно обратимым.

Пусть Ω = {( x , λ ) ∈ X ×Λ , x ≤ a ( λ ) r , λ ∈ S } , где константа r >  0 . Далее уравнение (1)

будем рассматривать только на множестве Ω .

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Пусть для уравнения вида (1) в области Q выполнены условия:

• 1)    оператор F ( x , Л ) и его производная Фреше F x ( x , Я ) непрерывны на Q ;

• 2)    линейный оператор F x (0, Л ) имеет ограниченный обратный при Ле S и выполнена оценка (2);

• 3)    \\ F_X ( x , Л ) - F x (0, Л )|| <  L ( Л )|| x || при Ле S , причем L ( Л ) ^ 0 при S э Л ^ 0 ;

• 4)    3 элемент V ₃ е X такой, что линейное уравнение

F x (0, Л ) x = F ( a ( Л )V 0 , Л )                              (3)

имеет решение x *( Л ) , и выполнена оценка || x *( Л )|| = o ( а ( Л )) при S э Л ^ 0 .

Тогда 3 секториальная окрестность нуля S o с S такая, что У Ле S ₀ в шаре ||x - а( Л )К 0|| <  а( Л ) р существует единственное решение уравнения (1) вида x( Л ) = а( Л )V( Л ) , где V ( Л ) ^ V 0 при S ₀ э Л ^ 0 .

Доказательство . Приведем уравнение (1) к эквивалентному виду с помощью эквивалентных преобразований:

x = x - Fx-1(0, Л) F (x, Л).(4)

В уравнении (4) сделаем замену x ( Л ) = а( Л )V( Л ) . Получим:

V = V - 4F Fx4(0, Л) F (а (Л)V, Л).(5)

а ( Л )

Оператор, стоящий в правой части уравнения (5) обозначим Ф ( V , Л ) :

Ф( V, Л) = V -     Fx"1 (0, Л) F (а (Л)V, Л).(6)

а ( Л )

'о'

Покажем, что существует секториальная окрестность нуля S0 с S такая, что УЛ е S0 и для некоторой фиксированной константы 0 < р < r оператор (6) является сжимающим в шаре V - V)|| < р. Действительно, применяя стандартные оценки и формулу конечных приращений Лагранжа, имеем следующую цепочку неравенств:

II Ф СЦ, Л ) -Ф ^ . , Л )|| =

( V 1 - V 2 ) - Th Fx"^Y(°, Л ) [ F ( а U ) V 1 , Л ) - F ( а ( A )V . , Л ) ] а ( Л )

(вынесем оператор F_x ^{- 1}(0, Л ) )

F x -¹(0, Л ) 1 F x (0, Л ) ! - V . ) -

• -2-    [ F ( а ( Л 1 , Л ) - F ( а ( Л ) V . , Л )] [ а ( Л )

(поскольку операторы F(x, Л) и Fx (x, Л) непрерывны, то воспользуемся формулой конеч- ных приращений Лагранжа)

F , -‘(0, Л > ! F x (0, Л ) ! - V . ) -

—J F x ( а ( Л )( V ₁ + 0 ( V . - V 1 )), Л ) d 0 а ( Л )( V ₁ - V . ) [ ^{а ( Л )} 0

F x "¹(0, Л ) J [ F x (0, Л ) - F x ( а ( Л )( Р 1 +0 ( V . - V 1 )), Л ) ] d 0 (V 1 - V . ) 0

≤

< I| f_v -‘(0, 2 )|| J| F x (0, Л ) - F x ( а W( V 1 +e ( V . - V 1 )), Л ) d 0K V - V 2)|| <  0

(воспользуемся условием 3) теоремы 1)

< I| f , -‘(0, Л )||J а ( Л ) L ( Л )|I V +0 ( V . - V , )| d 01 ( V 1 - V . )|| <

< ||f,-‘(G, Л)| a(Z) L(Z) J [| - V, + V,|| +8| - V, + V, - Vj|]d8 |KV, - V2)| <

(поскольку || V - V G|| <  p , то)

• <    I | f , -‘(g, z ) a ( Z ) l ( Z )J ( p +| V ,|| + 2 p e ) d 8 к v , - V )|| = (вычисляем определенный интеграл)

= I | F r4G, Z )|| a ( Z ) L ( Z ) ( 2 p + | | g| I) IK V 1 - V ,)|l = q < Z >|( V 1 - V 2)|| •

Поскольку имеет место оценка (2), то 3 постоянная C >  G такая, что V Z e S будет выполнено Ц к До, Z )|| a ( Z ) <  C • Далее, поскольку L ( Z ) ^ G при S э Z ^ G , то выбором значения Ze S величину L ( Z ) можно сделать сколь угодно малой. Но тогда 3 секториальная окрестность нуля S ₀ с S такая, что VZe S ₀ будет выполнено G <  q ( Z ) <  1 и оператор (6) VZe S ₀ в шаре || V - V ₀|| <  p будет сжимающим.

Теперь покажем, что 3 секториальная окрестность нуля S ₀ с S ₀ такая, что V Z e S ₀ значения оператора Ф ( 1 , Z ) не выходят из шаров ||ф ( 1 , Z ) - V ₀|| <  p при || V - V ₀|| <  p . Действительно, в силу сжимаемости оператора Ф ( 1 , Z ) , имеем следующую цепочку нера-

|Ф ( 1 , Z ) - V g|| <||Ф( 1 , Z ) -Ф < V o, Z )|| + ^( V g, Z ) - V g|| <  q|V - V g||+||O( V g, Z ) - V g| <  (подставляем Ф ( 1 , Z ) из тождества (6))

<    qp+||O(Vg, Z) - Vg|| < qp+-L ^."‘(G, Z) F (a (Z)Vg, Z)|| < a(Z)

(используем условие 4) теоремы)

. *( Z )||

< q p +      F ^G, Z ) F . (0, Z ) . *( Z ) = q p ■

•

a ( Z )                                    a ( Z )

Поскольку из 4) условия теоремы || . ( Z )|| = o ( a ( Z )) при S э Z ^ 0 , то 3 секториальная окрестность нуля S ₀ с S ₀ такая, что V Z e S ₀ || . ( Z )||/ a ( Z ) <  (1 - q ) p , и значения оператора Ф ( 1 , Z ) не выходят из шаров ||Ф ( 1 , Z ) - V ₀|| <  p V Z e S _G при || V - V ₀|| <  p .

Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (5) V Z e S , в шаре ||V - V ₀|| <  p будет иметь единственное решение V ( Z ) ^ V ₀ при S ₀ э Z ^ 0 . И это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:

• V , = Ф ( | - ', Z )                                   (7)

при любом начальном приближении из шара || V - V ₀|| <  p . Но тогда и уравнение (1) V Z e S g будет иметь единственное решение вида . ( Z ) = a( Z )V ( Z ) в шаре ||. - a( Z )V , || <  a( Z ) p , где V ( Z ) ^ V ₀ при S ₀ э Z ^ 0 . Теорема доказана.

Далее будем полагать, что оператор F ( . , Z ) имеет вид:

F ( . , Z ) = B ( Z ) . + R ( . , Z ) + b ( Z ) ,                        (8)

где B( Z ) = B + a ( Z ) A + й ( 2 ) , || ® ( Z >|| = o ( a ( Z )) . Следующая лемма дает достаточные условия, при которых выполняется условие 4) теоремы 1.

Лемма 1. Пусть для уравнения (8) в области Q выполнены условия:

• 1)    b ( Z ) = a ²( Z ) b 2 + ^ ( Z ) , где | ^ ( Z )|| = o ( a ²( Z )) ;

  2) оператор B ( Л ) непрерывно обратим при Ле S и

  
  

  I B ^{( Л} = O [ а Л )

  
  

  при S э Л ^ 0 ;

  
  

• 3)    уравнение Bx = b ₂ + A ( c , ф ) имеет решение x ₀ , где ф е N ( B ) , c - постоянный вектор;

• 4)    || R ( а ( Л )( c , ф ), Л )|| = o ( а ²( Л )) при S э Л ^ 0 ;

• 5)    R_x (0, Л ) = 0 , R (0,0) = 0 , b (0) = 0 .

Тогда уравнение (3) из условия 4) теоремы 1 имеет требуемое решение при V = ( c , ф ) .

Доказательство. Подставим в уравнение (3) V ₀ = ( c , ф ) . Тогда с учетом (8) имеем: B ( Л ) x = B ( Л ) а ( Л )( c , ф ) + R ( а ( Л )( c , ф ), Л ) + b ( Л )

или

B ( Л ) x = ( B + а ( Л ) A + « ( Л )) а ( Л )( c , ф ) + R ( а ( Л )( c , ф ), Л ) + b ( Л ) .

Поскольку ф е N ( B ) , то используя условие 1) леммы 1 и несложные преобразования из предпоследнего выражения получаем:

B ( Л ) x = а ²( Л )( A ( c , ф ) + b ₂) + « ( Л ) а ( Л )( c , ф ) + R ( а ( Л )( c , ф ), Л ) + ^ ( Л )

Так как имеет место условие 3) леммы 1, то из последнего выражения получаем:

B ( Л ) x = а ² ( Л ) Bx ₀ + « ( Л ) а ( Л )( c , ф ) + R ( а ( Л )( c , ф ), Л ) + ^ ( Л ) .

Все преобразования проводятся на множестве Q . Это значит, что Ле S . Поэтому оператор B ( Л ) непрерывно обратим и получаем:

x = B ^ч( Л ) { а ²( Л ) Bx ₀ + « ( Л ) а ( Л )( c , ф ) + R ( а ( Л )( c , ф ), Л ) + ^ ( Л ) } .

Очевидно, что мы выписали явный вид решения уравнения (3) при V = ( c, ф ) . Обозначим это решение x *( Л ) . Теперь покажем, что || x *( Л )|| = о ( а ( Л )) при S э Л ^ 0 . Для этого воспользуемся тождеством B = B ( Л ) - а ( Л ) A - « ( Л ) :

x * (Л) = B' (Л){а 2(Л)( B (Л) - а (Л) A - «(Л)) x 0 + «(Л) а (Л)( c, ф) + R (а (Л)( c, ф), Л) + ^(Л)} или x *(Л) = а 2(Л) x 0 + B ч(Л){а 2(Л)(- а (Л) A - «(Л))x 0 + «(Л) а (Л)( c ,ф) + R (а (Л)( c ,ф), Л) + ^(Л)} (9) Далее из условий 1), 2), 4) леммы 1 и (8) несложно заметить, что второе слагаемое выражения (9) при S э Л ^ 0 имеет оценку:

|| B “¹( Л ) { а ²( Л ) ( - а ( Л ) A - « ( Л )x ₀ + « ( Л ) а ( Л )( c , ф ) + R ( а ( Л )( c , ф ), Л ) + ^ ( Л ) }| = о ( а ( Л )) .

А следовательно и || x ( Л )|| = о ( а ( Л )) при S э Л ^ 0 . Лемма доказана.

Для уравнений вида (8) из теоремы 1 и леммы 1 получаем следующий результат:

Следствие 1. Пусть для уравнения вида (8) в области Q выполнены условия:

• 1)    оператор R ( x , Л ) непрерывен на Q и имеет на Q непрерывную частную производную Фреше R_x ( x , Л ) ;

• 2)    оператор B ( Л ) имеет ограниченный обратный, причем | B ^-1( Л )|| = O (1/ а ( Л )) при S э Л ^ 0 ;

• 3)    I R x ( x , Л ) <  L ( Л )| x || , где L ( Л ) ^ 0 при S э Л ^ 0 ;

• 4)    b ( Л ) = а ²( Л ) b 2 + ^ ( Л ) , где | ^ ( Л )|| = о ( а ²( Л )) ;

• 5)    уравнение Bx = b ₂ + A ( c , ф ) , где ф е N ( B ) , c - постоянный вектор, имеет решение

x ₀ ;

• 6)    || R ( а ( Л )( c, ф ), Л )|| = о ( а ²( Л )) при S э Л ^ 0 ;

• 7)    R_x (0, Л ) = 0 , R (0,0) = 0 , b (0) = 0 .

Тогда 3 секториальная окрестность нуля S o с S такая, что V2e S ₀ в шаре ||x - a ( 2 )( c, ф )|| <  a( 2 ) р существует единственное решение уравнения (1) вида x ( 2 ) = a( 2 )V ( 2 ) , где V ( 2 ) ^ ( c , ф ) при S ₀ э 2 ^ 0 .

Доказательство. Преобразуем уравнение (8), используя условие 2) следствия 1 и замену x ( 2 ) = a( 2 )V ( 2 ) . Получим:

V = -      B-1 (2){R (a (2)V, 2) + b (2)}.

a (2)

Обозначим оператор в правой части выражения (10), как Ф ( V , 2 ) :

Ф ( V , 2 ) = - B ^-1( 2 ) { R ( a( 2 )V , 2 ) + b ( 2 ) } . a ( 2 )

Покажем, что 3 секториальная окрестность нуля S ₀ с S такая, что в шаре || V - ( c, ф )|| <  р , где 0 <  р <  r - некоторая фиксированная константа, оператор (11) является сжимающим. Действительно, имеем цепочку неравенств:

II Ф ( V ₁, 2 ) -Ф (V 2 , 2 )|| =

-

4b B - ( 2 ) { R ( a ( 2 ) V 1 , 2 ) - R ( a( 2 )V > , 2 ) } <  a ( 2 )

(поскольку операторы R ( x , 2 ) и R x ( x , 2 ) непрерывны, то воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа)

≤

a ( 2 )

B "¹( 2 ) j R x ( a ( 2 )( V 2 +e ( V 1 - V 2 )), 2 ) d e a( 2 ) ( V 1 - V 2 ) <  0

< I B -'( 2 ) j| R x ( a ( 2 )( V 2 +e ( V - V 2 )), 2 )| d e I |V - V >|| <

(используем условие (3) следствия 1)

< I B -'( 2 )|| a ( 2 ) L ( 2 ) J| V , + e ( V - V , )|| d @| |V - V 2W <

(поскольку || V - ( c , ф )|| <  р , то)

< I B '< 2 >|| a ( 2 ) L ( 2 )(2 р + ( c , ф )) V - V ,|| <  q ( 2 )| V - V 2Ц.

Так как выполнена оценка (2) следствия 1, то 3 постоянная C >  0 такая, что a ( 2 )| B ^-1( 2 )|| <  C при 2 е S . Далее, поскольку L ( 2 ) ^ 0 при S э 2 ^ 0 , то выбором значения 2 е S величину q ( 2 ) можно сделать сколь угодно малой. Но тогда 3 секториальная окрестность нуля S ₀ с S такая, что V2e S ₀ будет выполнено 0 <  q ( 2 ) <  1 и оператор (11) V2e S 0 в шаре | |V - ( c , ф )|| <  р будет сжимающим.

Покажем теперь, что 3 секториальная окрестность нуля S 0 с S 0 такая, что V 2 е S 0 значения оператора Ф ( V , 2 ) не выходят из шаров ||Ф ( Г , 2 ) - ( c , ф )|| <  р при ||V - ( c , ф )|| <  р . Действительно в силу сжимаемости оператора Ф ( V , 2 ) имеем следующую цепочку неравенств:

||Ф( V , 2 ) - ( c , ф )|| <  q р + ||Ф(( c , ф ), 2 ) - ( c , ф )|| <

≤ q ρ +

-

4b B -¹ ( 2 ) { R ( a ( 2 )( c , ф ), 2 ) + b ( 2 ) } - ( c, ф ) <  a ( 2 )

≤ q ρ +

-

B ⁴ ( 2 ) { R ( a ( 2 )( c , ф ), 2 ) + b ( 2 ) + a ( 2 ) B ( 2 )( c , ф ) } <  a ( 2 )

(воспользуемся условием 4) следствия 1 и тождеством B ( X ) = B + a ( X ) A + to ( X ) , с учетом, что ф e N ( B ) )

≤ qρ+

-

—B '( X ) { ^ ( a ( X )( c , ф ), X ) + a ²( X ) b₂ + ^ ( X ) + a ( X )( a ( X ) A + to ( X ))( c ф ] <  a ( X )         ¹

(используем условие 5) следствия 1)

≤ qρ+

-

—B "¹( X ) { ^ ( a ( X )( c , ф ), X ) + a ²( X ) Bx ₀ + ^ ( X ) + a ( X ) to ( X )( c , ф ) } <  a ( X )                                    ⁰

(воспользуемся тождеством B ( X ) = B + a ( X ) A + to ( X ) )

≤ q ρ +

-

¹   B ^-1( X ) { r ( a ( X )( c, ф ), X ) + a ² ( X )(B ( X ) - a ( X ) A - to ( X )) x ₀ + ^ ( X ) + a ( X ) to ( X )( c , ф ) } <

a ( X )         ¹ 1

(выполним преобразования и применим правило треугольника для норм)

< q p + | a ^{( X )} x о|| +

B 1 ( X ) { ^ ( a ( X )( c , ф ), X ) + a ² ( X )( - a ( X ) A - to ( X )) x о + ^ ( X ) + a ( X ) to ( X )( c , ф ) ] a ( X )

•

Далее из условий 2), 4), 6) следствия 1 и (8) несложно заметить, что второе и третье слагаемые последнего выражения при S э X ^ 0 стремятся к нулю. Следовательно, выбором Xe S0 их можно сделать в сумме сколь угодно малыми. Но тогда 3 секториальная окрестность нуля S0 e S0 такая, что VX е S0 будет выполняться:

|| a ( X ) x 0|| +

B ⁴( X ) { ^ ( a ( X )( c , ф ), X ) + a ² ( X )( - a ( X ) A - to ( X )) x ₀ + ^ ( X ) + a ( X ) to ( X )( c , ф ) ] a ( X )

< (1 - q ) p

и значения оператора Ф (V , X ) не выходят из шаров ||Ф( С , X ) - ( c , ф )|| <  p V X e S ₀ при |V ^{- (} c , Ф )|| <  Р .

Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (10) V X e S 0 в шаре |V - ( c, ф )|| <  p будет иметь единственное решение такое, что V ( X ) ^ ( c, ф ) при S 0 э X ^ 0 . И это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле V n = Ф ( V n - 1 , X ) при любом начальном приближении из шара || V - ( c , ф )|| <  p . Но тогда и уравнение (8) V X e S ₀ будет иметь единственное решение вида x ( X ) = a( X )V ( X ) в шаре || x - a ( X )( c , ф )|| <  a( X ) p , где V ( X ) ^ ( c , ф ) при S ₀ э X ^ 0 . Следствие доказано.

Пример 1. Покажем, что уравнение

J tsx (s) ds + Xx (t) - X J x3 (s) ds - f (t, X) = 0, где x(t) e C[0,1], f (t, X) = m(t)X2, m(t) e C[0,1], S - проколотая окрестность нуля, имеет непрерывное решение xx(t) ^ 0 при S э X ^ 0.

Обозначим левую часть уравнения F ( x , X ) . Здесь дифференциал Фреше имеет вид:

F_x ( x , X ) h = J tsh ( s ) ds + X h ( t ) - 3 X J x ² ( s ) h ( s ) ds .

При этом

F ⁴ (0, X ) h = h ( t )-- 3- ---J sh ( s ) ds .

x X   (3X + 1)X J Из (12) очевидно, что I Fx "‘(0, X)|| ( =O (и \ при S э X ^ 0.

Проверим, что выполняются все условия теоремы 1. Действительно, F ( x , λ ) и F_x ( x , λ )

непрерывные операторы по x и λ. Далее Fx (0,λ) непрерывно обратим при λ≠ 0 и вы- полнена оценка

f ^

II F x (0, ^д = O I _д J - 0 < ^д

< r . Следовательно условие 2) теоремы 1 вы-

I

полнено. Проверяем условие 3) теоремы 1:

F x ( x , λ ) - F x (0, λ ) =

≤ L ( λ ) x ,

3Дj x 2( s )[•] ds где L(λ) = Cλ, C -константа, и L(λ) → 0 при S ∋ λ→ 0 .

Проверяем последнее условие теоремы 1. Покажем, что при

V ₀( t ) = m ( t ) -

3 t ¹

—— j sm ⁽ s ) ds

3 λ + 1 ₀

уравнение (3) из условия 4) теоремы 1 будет иметь требуемое решение x*(λ) такое, что будет выполняться оценка x*(λ) = o(λ) при S ∋ λ→ 0 . Выпишем вид уравнения (3) для рассматриваемого примера:

11   1

j tsx ( s ) ds + Д х ( t ) = Д j ts V ₀ ( s ) ds + Д V ₀ ( t ) - Д j V ₀³ ( s ) ds - m ( t ) Д = 0 .

00   0

Если подобрать V ₀ ( t ) так, чтобы выполнилось равенство:

j ts V ₀ ( s ) ds + Д V ₀ ( t ) = m ( t ) Д ,

то уравнение (14) примет вид:

j tsx ( s ) ds + Д х ( t ) = - Д .4 j V ₀³ ( s ) ds , 00

решением которого будет:

_* x ^*( t )

f -Ml 16Д + 2

) 1

- Д j V 0 ³( s ) ds .

Осталось получить V ₀( t ) . Решив уравнение (15), получим выражение (13). Далее, очевидно, что условие 4) теоремы 1 выполнено, поскольку уравнение (14) имеет решение вида (16), где V ₀( t ) имеет вид (13) и выполнена оценка x ^*( λ ) = o ( λ ) при S ∋ λ → 0 . Следовательно, по теореме 1 данное уравнение будет иметь непрерывное решение x ( λ ) → 0 при S ∋ λ → 0 .