О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений в секториальной окрестности нуля

Пусть X, Y - банаховы пространства, Л - линейное нормированное пространство. В работе рассматривается нелинейное операторное уравнение

В(А)ж = Д(ж, А) + 6(A),                               (1)

где В(А) - замкнутый линейный оператор с плотной в банаховом пространстве X областью определения, не зависящей от параметра А. Нелинейный оператор Д(т, А) непрерывен по ж и А в окрестности точки (0,0), В(0,0) = 0. Фунция 6(A) со значениями в Y непрерывна в нуле, 6(0) = 0.

Будем полагать, что

ЦВ-^А)!! = О ( при S Э А -9 0,                      (2)

где а(А) положительный функционал, непрерывный в окрестности нуля, а(0) = 0; S С Л - открытое множество, границе которого принадлежит точка А = 0. Далее множество S будем называть секториальной окрестностью нуля.

Требуется построить малое решение ж(А) -> 0 при S Э А —> 0 уравнения (1) максимального порядка малости или («минимальную ветвь») малого решения.

Впервые теорема о существовании и построении в нерегулярных случаях ветвей решений нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальных окрестностях были доказаны в 2004 году в работе [1]. Ряд результатов о решениях максимального порядка малости изложен в работах [2, 3].

В этой работе, следуя методу работ [2, 3], искомая минимальная ветвь решений тоже строится в секториальной окрестности особой точки (в частности, точки ветвления решений) методом последовательных приближений в условиях, отличных от условий работ [1 -3]. Теоремы этой работы уточняют результаты теоремы 1 в работах [2, 3] и применимы в некоторых случаях к более широкому классу уравнений.

Оценка (2) занимает особое место в данной работе, поэтому следует отметить, что подобная оценка может встретиться в прикладных задачах:

Пример 1. Пусть X = У = Н, Во - самосопряженный неотрицательный оператор, Bi - самосопряженный положительный оператор, то есть

(Sqt,t)>0, (В1Ж,ж) > 7(ж,ж); Уж € Н.

Тогда

Пример 2. Если элементы {у^}, к = l,Pi, г — 1,п образуют полный Bi - жорданов набор фредгольмова оператора Bq и р = шахр,;, тогда в некоторой области а(А) < е существует г=1,п ограниченный обратный оператор (Bq + a(A)Bi)”1, и выполнена оценка

||(В„ + «(А)В1ГЧ| = 0(йЕг).

Приступим к исследованию уравнения (1), после чего сформулируем теорему 1.

Поскольку в области S оператор В(А) имеет ограниченный обратный, то, используя замену ж = ^(А)р, где i/(A) некоторый непрерывный функционал А, приведем уравнение (1) к эквивалентному виду:

у = -^-В-1(А)[ВМА)у,А) + Ь(А)].

Обозначим оператор в правой части последнего выражения через Ф(у, А). Тогда наше уравнение примет вид у = Ф(у,А).                                     (3)

Выясним условия, при которых оператор Ф(у, А) является сжатием; поскольку от оператора Л(ж, А) существенно зависит поведение решений, а в нашем случае конкретный вид оператора Д(ж, А) неизвестен, то наложим следующее условие: пусть в шаре ||ж|| <  р, р > 0, выполнено неравенство

НОДАРА) - B(d(X)x2, А)|| < С • г/(А) • р|,Ж1 - ж2||, где / > 1, d^ - функционал, непрерывный в окрестности нуля, d(0) = 0, С = const, С > 0.

Тогда, учитывая, что мы производим оценку в окрестности нуля ||у|| <  г, имеем:

||Ф(У1, А) - Ф(у₂, А)II < ||С ■ В"ЧХ) • ^-!(Д)|| • Г ■ Из/! - у₂||.

Выберем i/(A) = О(а¹^^г~¹^(А)). Тогда ЦС • В^-1 (А) • z^^-1(A)|| < Ci, где Ci > 0 - const. Фиксируем 0 <  q < 1 и выбираем радиус шара го < г, в котором мы исследуем уравнение (3), так, чтобы

. / q 1

Го = mins —,г >.

Получим, что оператор Ф(у, А) является сжатием в шаре ||у|| < го при VA Е S с коэффициентом сжатия q.

Следующим шагом убедимся, что значения оператора Ф(у, А) не выходят из шаров радиуса го для всех элементов у таких, что ||у|| <  tq. Учитывая, что оператор Ф(у, А) является сжатием, получаем:

(|Ф(у, А)|| < ||Ф(у, А) - Ф(0, А)И + ||Ф(0, А)|| <  qr₀ + ||-L_S-i(A)b(A)|J.

Так как i^(A) = О(а¹/^^-1\А)), ||В^-1(А)|| = О(1/а(А)), то второе слагаемое в последнем выражении будет сколь угодно малой величиной при S Э А —> О, если ||Ь(А)|| = о(а^г^^г-1\А)). То есть, если ||Ь(А)|| = о(а^г^^г-1)(А)), то существует секториальная окрестность нуля Sq С S такая, что при VA Е Sq, Vy : ||у|| < го будет выполнено неравенство

||Ф(У, А) || <  qr₀ + (1 - q>o = r₀

Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть в секториалъной окрестности нуля S для уравнения (1) выполнено условие (2) и пусть:

• 1.    существует непрерывная функция 1фА) : S —> В*, z/(0) = 0 такая, что в шаре ||ж|| <  г при А Е S выполнено неравенство

• 2.    имеет место оценка ||6(А)|| = ota'-^A)).

||B(i,(A)2;i, А) — B(iv(A)t2, А)|| < С • ^г(А) ■ г||т1 — тгЦ, где I > 1, С > 0 - постоянная;

Тогда в некоторой окрестности нуля ЦтЦ <  tq < г для V А Е Sq С S существует малое решение уравнения (1) х = х*(Х), которое является минимальной ветвью из всех малых решений уравнения (1). Это решение момсно найти по формуле х = а^ (А)у, где у является пределом последовательности

/ 1 \Ш¹”^ г 1                   1

• -В-^А) B(a^T(A)y„__bA)+i>(A) , у₀ = 0.

Все остальные малые решения уравнения (1) имеют при S Е А —> 0 порядок малости не выше, чем «^(А).

Необходимо отметить, что в данной теореме не требуется условие существования производной Фреше оператора В(я, А), однако, если такая производная существует и является непрерывной по $ и А в окрестности нуля, то получаем слудующую теорему:

Теорема 2. Пусть для уравнения (1) в секториальной окрестности нуля S имеет место оценка (2) и пусть:

• 1.    существует непрерывная в нуле производная Фреше по первому аргументу нелинейного оператора R(x,X), и имеет место оценка

• 2.    имеет место оценка ||Ь(А)|| = оД¹-^ (А)).

||В_Ж(®, А)|| = О(||ж|р) при ||ж|| -> 0, I > 0;

Тогда в некоторой окрестности нуля ||ж|| < го < г для V А € So С S существует малое решение уравнения (1) х = ж*(А), которое является минимальной ветвью из всех малых решений. Это решение можно найти по формуле х = аЛ (А)у, где у является пределом последовательности

/ 1 \VZ Г 1                    1

Уп = ( ~ттт ) -В ^Т(А) Д(а'(A) y_n-i, А) + Ь(А) , у₀ = 0.

Все остальные малые решения уравнения (1) имеют порядок не выше, чем at (А).

Доказательство. Аналогично, как в теореме 1 уравнение (1) приведем к виду (3). Для этого воспользуемся обратимостью оператора В^-1 (А) в области S и заменой х = z/(A)y, где параметр р(А) - непрерывный функционал А, условия на который будут получены исходя из условий принципа сжимающих отображений. Применяя оценку нормы произведения, интегральную теорему Лагранжа и используя первое условие теоремы 2, получим цепочку неравенств:

||Ф(У1, А) - Ф(У2, А)|| = W^-B-HXWvWy^XV ВИХЪАШ <

< ll-Tn^-W • II [^ИЛ)(У2 + 0(У1 о

-у2)),А) d© • i/(A)(yi-у2)||

< HJ3-1 (А)|| • У G>(A)|Z||y2 + ©(У1 - y2)||z d© ■ ||У1 - у2|| < о

< сцв-^А)!! • P(A)|Z у [1Ы1 + е(||у1 II + ||у2||)]г d©||yi - у2ц. о

Здесь С - некоторая константа, которая неизбежно возникает в процессе оценки, но она не влияет на дальнейшие рассуждения. Выберем в качестве z/(A) любое выражение, удовлетворяющее условию z/(A) = O(a¹/^Z(A)) при А —> 0. Кроме того, используем условие, что все оценки производятся в шаре ||у|| <  г. Получим, что:

||Ф(У1, А) - Ф(у₂, А)|| <  Су . г¹ У[1 + 2©]^z d©^ - у₂||. о

Константа Су появилась после сокращения выражений ||В^-1(А)|| и ф(А)|^г, которые после введения условия на р(А) в виде оценки, зависящей от а(А) стали иметь порядки О(1/а(А)) и О(а(А)) соответственно. После вычисления интеграла, получаем:

||Ф(У1,А) - Ф(у2,А)|| < Ci Tz^-^y||yi -у2||.

Теперь, пусть 0 < g < 1 фиксированное, выберем го = min{r, (2g(Z + l)/(C’ir^z"~¹)}. Тогда оператор Ф(у, Л) является сжимающим в шаре ||у|| < го при VA € S.

Теперь необходимо проверить, что значения оператора Ф(у, А) не выходят из шаров ||у|| < ^о- Но поскольку условие сжимаемости оператора Ф(у, А) выполнено, а условие 2 в теореме 2 такое же, как и в теореме 1, то доказательство того, что ||Ф(у, А)|| < го в некоторой векториальной окрестности нуля So С 5 будет как в теореме 1. Поэтому опустим эту часть доказательства.

После того, как мы показали, что к уравнению (3) можно применять принцип сжимающих отображений, будем искать решение в виде предела последовательности {уп}, п = 1,2,.., где уп = Ф(у(п-1)1 А), а в качестве начального приближения выберем уо = 0 или любой другой элемент из шара ||у|| < го- То, что предел последовательности существует, гарантирует принцип сжимающих отображений. Поэтому решение уравнения (3) обозначим у = 11m уп. Но тогда решение уравнения (1) будет иметь вид ж = а1//(А)у. Кроме указан-и—^ОО ного решения уравнения (1) в общем случае могут существовать и другие малые решения уравнения (1), поскольку уравнение (1) в силу оценки (2) не относится к регулярному случаю. Но из всех малых решений найденное нами решение будет решением максимального порядка малости.                                                                 □

Замечание 1. Примеры 1, 2 показывают, что теоремы 1, 2 позволяют строить решения минимального порядка малости нелинейных уравнений 2-го и 1-го рода.

Работа выполнена при финансовой поддерэюке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы. Госкон-тракт по ФЦП «Кадры» П 696 от 20 мая 2010 года.