О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями

Автор: Рахмелевич Игорь Владимирович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 4 т.18, 2016 года.

Бесплатный доступ

Проведен анализ решений многомерного дифференциального уравнения в частных производных произвольного порядка, содержащего смешанную старшую частную производную и степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. Для исследования данного уравнения применяется метод функционального разделения переменных. В результате получены частные решения рассматриваемого уравнения. Доказаны некоторые теоремы, позволяющие понизить порядок уравнения.

Уравнение в частных производных, функциональное разделение переменных, степенная нелинейность

Короткий адрес: https://sciup.org/14318554

IDR: 14318554

Текст научной статьи О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями

В современной теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных большинство точных решений получено для уравнений первого и второго порядков. В то же время, как потребности развития теории,так и практических приложений приводят к задачам нахождения решений для уравнений более высокого порядка. Так, в работах [1-5] проводится исследование линейных уравнений высших порядков с переменными коэффициентами, содержащих смешанную старшую производную, в том числе получены необходимые и достаточные условия факторизации такого уравнения. Целью данной работы является исследование уравнения произвольного порядка, со смешанной старшей производной, содержащего степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. При этом используется метод разделения переменных, который является одним из наиболее эффективных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [6-10].

1.    Постановка задачи. Разделение переменных в уравнении со степенными нелинейностями

N относительно неизвестной функции u(x1,x2,.. .,xN):

∂Nu

∂x 1 . . . ∂xN

N

= v(u) п n=1

du Vn xn

Простейший случай двумерного уравнения вида (1) был рассмотрен в работе [11]. Предполагаем, что ^(u) = buY, т. е. уравнение (1) содержит нелинейности степенного типа как по неизвестной функции, так и по ее первым производным, причем y € R, вп € R. Также должны выполняться следующие ограничения:

  • 1)    если y € R \ Z (т. е. вещественное число с ненулевой дробной частью), то решение уравнения (1) u >  0:

  • 2)    при тех значениях п, при которых вп € R\Z, производная от решения уравнения (1) ∂u

dxn > 0

Для решения уравнения (1) будем использовать метод функционального разделения переменных [6, 7]. В соответствии с указанным методом решение уравнения (1) ищем в виде:

N

u(xi ,Х2, ...,XN )= U (y), y = ^Уп(Хп).                     (2)

n =1

В (2) входят неизвестные функции U(y) yn(xn). которые подлежат определению в дальнейшем. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), приходим к соотношению:

N

ф(у) = П[уП (xn )]en-1,                                  (3)

n =1

где

U (N )

(y) - b[U0 (y)^ [U (y)]Y                                    ( '

Здесь и далее будем использовать обозначения: Sv = PN=1 вп, I = {1,... ,N}, - множество значений индекса п. нумерующего незавценные переменные. П — множество значений п € I. для которых вп = 1 П = I \ П

Пусть П = 0. Тогда существует хс)тя obi одно значение п = п1. при к<зтором вщ = 1 Продифференцируем соотношение (3) по xnv Тогда в результате элементарных преобразований с учетом второй из формул (2), находим

Ф (y)                                yni(xni)_                             - .

Ф(у) -r„ (xn,-„2.

x n1

вольно выбрав некоторое значение n2 = n1 ii продиффершщировав (б) no xn2. получаем:

d ( Ф'(у) Л =0 dxn2 Ф(у)

Будем предполагать, что искомое решение существенно зависит от всех переменных, т. С. yn(xn) = const для любого п. Тогда, из (6) с учетом (2) следует:

d dy

ф'( у ) Ф(у)

= 0.

Решая уравнение (7) относительно Ф(у), находим:

Ф(у) = Фо exp(ay),

где Фо, a — произвольные постоянные. Из (8) и (4) следует обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно функции U (y):

U(N ) (y) - B o [U0(y)]e= [U(y)]Y exp(ay) = 0,

где введена новая постоянная

Во = ЬФо.

(Ю)

Для нахождения функций yn(xn) используем соотношение (3). Рассмотрим два случая. Случай 1. а = 0. Тогда из (3) с учетом (8) и (10). следует

откуда находим

N

П [yn (xn )]en-1 = В- , n=1

Уп(хп) = CnXn + УпО,    n € fi,

где yn(xn) — произвольна.я функция при n € Q.

Приведем некоторые частные решения уравнения (9) для произвольного N, и соответствующие им решения уравнения (1).

а) Степенное решение

U (у) = Uy .                                (13)

Подстановка, решения (13) в уравнение (9) позволяет получить выражения для постоян- U 0 σ

βΣ - N вз + Y - 1’

U0 = fQN^) Е QN (а) = У(У - 1 ... - N + 1).

B0σβΣ

Тогда, подставляя (12) в (13), получаем решение уравнения (1):

σ cnxn +    yn (xn) + y0

n Ω       n

где yn(xn) — произво.ты 1ыс функции. уо. cn — произвольные постояпные. Постоянные cn должны удовлетворять условию, вытекающему из (И):

П с П -1 = Т-                           '

n

На основании анализа, выражений (14) перечислим частные случаи, в которых решение (15) не существует или вырождается в тривиальное решение:

- при в3 + Y = 1 решение (15) не существует:

  • -    если ст = n при пекотором 1 6 n 6 N - 1. то U0 = 0 щ>н в3 + Y > 1- и решение (15) вырождается в тривиальное u(xT,x2,... ,xN ) = 0. а. при ^ + y 6 1 решение (15) не существует;

  • -    если ст = 0 (т. е. U = N), то при y < 1-N решение (15) вырождается в тривиальное, а при y > 1 - N это решение не существует.

б) Логарифмическое решение

U(у) = Uo ln(y).

Подставляя решение (17) в уравнение (9), находим, что постоянная Uo определяется

выражением

Uo =

(-1)N-1(N - 1)! 5 N1

B0

Подставляя (12) в (17), получаем решение уравнения (1)

u(xi ,Х2, . . . ,XN) = Uo ln У^ CnXn + ^ Уп(Хп) + У0 ‘ n Ω       n

в) Экспоненциальное решение

U (у) = Uo exp(ay).

U0                  σ

а = B0N-e= .

Соответствующее решение уравнения (1) имеет вид

u(x1 ,x2, ..., xn ) = Uo exp

a ^CnXn + У^Уп(хп) + У0   • n∈Ω       n∈Ω

В рассматриваемом случае решение (22) существует при выполнении условий a = 0,

"• + Y = 1    ' N

Выше было сделано предположение, что П = 0. Если же имеет место противоположный случай П = 0. т. о. вп = 1 при всех n Е I то из (3) следует, что функции yn(xn) являются произвольными при всех n Е Ра, уравнение для функции U (у) имеет вид (9). в котором необходимо положить a = 0.

Случай 2. a = 0. Тогда (3) с учетом (8) и (10) можно записать в виде

N           BN

П [уП п)]вп—1 = "У П exp[ayn(xn)].                      (23)

n=1                  n=1

Очевидно, что при a = 0 соотношение (23) может быть удовлетворено только в том случае, если П = I, т. е. вп = 1 при всех n Е I. Из (23) следует уравнение для функций yn (xn)

[уП (хп)]вп—1 exp[-ayn(xn)] = Цп, (24)

µn

N

П Цп = у■                           (23)

n=1

Решение уравнения (24) имеет вид

Уп(хп) = 1---— ln( —— X-Pn(en -1) (xn - Xno)l .                 (26)

a 1e

При a = 0 так же как и в предыдущем случае, уравнение (9) имеет частное решение (20).

Постоянные Uo, а определяются выражениями:

α а = 1 — W + Y) ’

σN-βΣ  βΣ+γ-1

B0

Используя выражения (2), (20), (26) и условие (25), после некоторых преобразований получаем соответствующее решение уравнения (1):

N

u(xi,X2,... ,XN) = Uo Ц (xn - Xno)pn , n=1

где pn, Uo определяются выражениями

1 N

Pn =     .-----7,     Uo = b1-(eE+Y) П P-Pn•( e^ + Y - 1n

Решение (27) нс существует в случае в^ + Y = 1-

Таким образом, уравнение (1) имеет решения, определяемые формулами (15), (19), (22), (27), а. входящие в них дополнительные параметры определяются выражениями (14), (18), (21), (28). При П = I (вп = 1 при всех n е I) формулы (15), (19) и (22) описывают решения уравнения (1) типа бегущей волны.

2.    Понижение порядка уравнения

В данном параграфе рассматриваются теоремы, которые позволяют понизить порядок и размерность (число независимых переменных) уравнения (1).

Пусть множество I. введенное выше, разбито на. K пепересекатощихся подмножеств Ik (k = 1,..., K) и. соответственно. mi южество переменных X = {x1,... ,xN} разбито на. K пепересекатощихся подмножеств Xk = {xn}nElk. Здесь ii далее Nk - число элементов в подмножествах Ik. Xk: в^к = PnEik вп- Тогда имеет место следующая

Теорема 1. Пусть функции uk(Xk ) при всех k = 1 ,...,K являются решениями уравнений

βn д-k) ,                    (29)

∂xn n∈ k удовлетворяющие условиям:

dNk Uk

Q dxn n∈Ik где bk — некоторые постоянные,

Тогда, функция

является решением уравнения (1).

C

^(u(X)) =

K bk = b.

k=1

K

u(X ) = П Uk (Xk ) k =1

∂Nu dx1... dxN

N

П

n =1

∂u

∂x n

- β n

Подставим в (32) выражение (31). Тогда Ф(и^)) можно представить в виде

K

Ф(u(X)) = П ^k(uk(Xk)), k =1

где

Nk                                  -βn

Ф(uk (Xk )) = Q дЗ [uk (Xk )]-«=+-**) Y M) .         (34)

n Ik ∂xn                     n Ik ∂xn

По условию теоремы, функции uk(Xk ) удовлетворяют уравнениям (29), поэтому из (34) получаем. Tito фk (uk (Xk)) = Ьk. Тогда, из (33) с утю том (30) следует, что Ф(u(X)) = Ь. Отсюда, учитывая (32), получаем, что функция (31) является решением уравнения (1). B

Доказанная выше теорема. 1 позволяет получить множество решений уравнения (1), которые могут быть представлены в виде произведения решений уравнений аналогичного вида, имеющих более низкий порядок.

Теоремы 2 и 3, которые приводятся ниже, определяют возможность понижения порядка. уравнения (1) для частных случаев, когда, параметры уравнения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. В этих теоремах предполагается, что K = 2, т. е. множество I разбито на. испсрссскатощиеся подмножества. I1. I2. которым соответствуют подмножества переменных X1. X2.

Теорема 2. Пусть параметры, входящие в уравнение (1), удовлетворяют условиям:

Y = 0 ,    вп = 0 ,

причем второе из этих условий выполняется для всех n Е I1- Тогда yjравнение (1) имеет решение вида

u(X ) = U 1 ( X 1 ) U 2 ( X 2 ) + U o ( X 1 ) .                            (36)

Здесь uo(X1) — произвольная ф,дикция, а функции u1(X1). u2(X2) удовлетворяют сле дующим уравнениям:

—1- = bl [U1(X1 б  ', xn n∈I1

N 2 u 2

П Эхп n∈I2

b 2

n I2

Un-2 Vn xn

Произвольные постоянные Ь1, Ь2, входящие в (37) , (38) , удовлетворяют условию

Ь 1 Ь 2 = Ь.

C Подставим выражение (36) в уравнение (1), откуда после элементарных преобразований получаем:

[ u i ( X i )] в"2 ) д П

∂xn n∈I n∈I          2

∂u 2

βn N 2 u 2

∂xn         ∂xn n∈I2

= pu^X i )^ (X 2 ) + u 0 ( X 1 ) ] 7 П f u 2 |n 1 + |n °

∂xn ∂xn n∈I1

В силу условий (35), второй и третий сомножители в правой части уравнения (40) равны 1. Тогда, это уравнение сводится к следующему:

/г .   -9x2 N11 U1 I Пп ( U22 ^ N 2 U2

)[u1 (1)]   П МТПUJ П 9х„/  • n∈I1                 2                n∈I2

Так как первый и второй сомножители в левой части (41) зависят от разных групп переменных, а. их произведение равно постоянной, то отсюда, следует, что функции u1(X1 ),u2(X2) должны удовлетворять уравнениям (37), (38), а входящие в них постоянные - условию (39). B

Теорема 3. Пусть параметры, входящие в уравнение (1), удовлетворяют условиям:

Y = 0, вщ = 0(42)

для некоторого подмножества I1. Тогда У1 ювпсппс (1) имеет решение вида:

u(X) = ui (zi)u2 (X2) + uo (zi).(43)

Переменная z1, входящая в (43), определяется выражением:

Z1 = У^ CnXn + У2 Zn(xn).(44)

n 1         n 1

Здесь П 1 С I1, П 1 С I1 - множества значений индекса n, для которых вп = 1 вп = 1 соответственно: cn — производим,ie постоянные. u0(z1). Zn(xn ) — производвпвю (функции: функция u2(X2 ) удовлетворяет уравнению (38). а фупкцпя u1 (z1) удовлетворяет следующему ОДУ:

N1

d-jU. = b i [u i (z i )l e =2.

dz1

Постоянные Ь1, b2, cn должны удовлетворять следующему дополнительному условию:

bib2 = b П cn -1.                                (46)

n 1

C Подставим выражения (43), (44) в уравнение (1). Тогда левая часть уравнения после элементарных преобразований приводится к виду:

П Cn • П zn(xn).                (47)

dN u       dN1 u1   d N2 u2

dx i ... дхд    dzN1   Q dxn

1      n I2       n 1     n 1

Преобразуем также правую часть уравнения (1) с учетом первого из условий (42)

N         β n

Y

∂xn n=1

∂u 1 ∂u 0

=b    и2(х2)эГ + эГ xn xn

n I1

n I2

В свою очередь, первое произведение в правой части (48) может быть записано в виде

∂u 1    ∂u 0 n            du 1    du 0 Σ1        β         0

(u2(X 2 ) dxn + dxn)   = (u 2 (X2) dzi + dzi)   • П cn П Z n (x n )-    (49)

n I1                                                              n 1      n 1

В силу второго из условий (42), первый сомножитель в правой части (49) равен 1. Тогда, используя соотношения (47)-(49), после элементарных преобразований уравнение (1) можно представить в виде f dN1 ui         8 1 f dN2 u         du2\ en

-^ [u1(zi )rez2 • -nsxnn (dd     =b П cnn-       <^> n∈I2           2                               1

Так как первый и второй сомножители в фигурных скобках в левой части (50) зависят от разных переменных, а. их произведение равно постоянной, то уравнение (50) можно удовлетворить только в том случае, если:

dNN1 [u i (z i )]-в=2 = b1, dz1

N 2 u 2

Q dxn n∈I2

п

n I2

∂u 2 ∂xn

-βn

= b 2 ,

b 1 b 2

Из (51) следует, что функции ui(zi). u2(X2) удовлстворяют уравнениям (45). (38) соответственно. в

Заключение. Таким образом, в данной работе с помощью метода, функционального разделения переменных исследовано многомерное дифференциальное уравнение, содержащее смешанную старшую частную производную по всем независимым переменным и степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. Получены частные решения со степенными, экспоненциальными и логарифмическими функциями от независимых переменных. Доказаны теоремы, позволяющие понизить порядок рассматриваемого уравнения.

Список литературы О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями

  • Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: ФАН, 1987. 146 с.
  • Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское мат. об-во, 2001. 226 с.
  • Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве//Диф. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 697-701.
  • Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в Rn//Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 584-594.
  • Жегалов В. И., Тихонова О. А. Факторизация уравнений с доминирующей старшей частной производной//Диф. уравнения. 2014. Т. 50, № 1. С. 66-72.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
  • Полянин А. Д., Журов А. И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике//Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 5. С. 606-611.
  • Рахмелевич И. В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных//Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 3. С. 37-44.
  • Рахмелевич И. В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных//Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 1. С. 42-50.
  • Miller J., Rubel L. A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions//J. of Physics A. 1993. Vol. 26. P. 1901-1913.
  • Рахмелевич И. В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным//Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 1. С. 12-19.
Еще
Статья научная