О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями

В современной теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных большинство точных решений получено для уравнений первого и второго порядков. В то же время, как потребности развития теории,так и практических приложений приводят к задачам нахождения решений для уравнений более высокого порядка. Так, в работах [1-5] проводится исследование линейных уравнений высших порядков с переменными коэффициентами, содержащих смешанную старшую производную, в том числе получены необходимые и достаточные условия факторизации такого уравнения. Целью данной работы является исследование уравнения произвольного порядка, со смешанной старшей производной, содержащего степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. При этом используется метод разделения переменных, который является одним из наиболее эффективных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [6-10].

1.    Постановка задачи. Разделение переменных в уравнении со степенными нелинейностями

N относительно неизвестной функции u(x1,x2,.. .,xN):

∂Nu

∂x 1 . . . ∂xN

N

= v(u) п n=1

du Vn xn

Простейший случай двумерного уравнения вида (1) был рассмотрен в работе [11]. Предполагаем, что ^(u) = bu^Y, т. е. уравнение (1) содержит нелинейности степенного типа как по неизвестной функции, так и по ее первым производным, причем y € R, в_п € R. Также должны выполняться следующие ограничения:

• 1)    если y € R \ Z (т. е. вещественное число с ненулевой дробной частью), то решение уравнения (1) u >  0:

• 2)    при тех значениях п, при которых в_п € R\Z, производная от решения уравнения (1) ∂u

dxn > 0

Для решения уравнения (1) будем использовать метод функционального разделения переменных [6, 7]. В соответствии с указанным методом решение уравнения (1) ищем в виде:

N

u(xi ,Х2, ...,XN )= U (y), y = ^Уп(Хп).                     (2)

n =1

В (2) входят неизвестные функции U(y) y_n(x_n). которые подлежат определению в дальнейшем. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), приходим к соотношению:

N

ф(у) = П[уП (xn )]^en^-1,                                  (³)

n =1

где

^{U (}N )

^(y) - b[U⁰ (y)^ [U (y)]Y                                    ⁽ '

Здесь и далее будем использовать обозначения: Sv = PN₌₁ вп, I = {1,... ,N}, - множество значений индекса п. нумерующего незавценные переменные. П — множество значений п € I. для которых в_п = 1 П = I \ П

Пусть П = 0. Тогда существует хс)тя obi одно значение п = п₁. при к<зтором вщ = 1 Продифференцируем соотношение (3) по xn_v Тогда в результате элементарных преобразований с учетом второй из формул (2), находим

^{Ф (y)}                                yni(xni)_                             - .

^Ф(у⁾ -r„ (xn,^-„2.

x n1

вольно выбрав некоторое значение n₂ = n₁ ii продиффершщировав (б) no x_n2. получаем:

^d ( ^Ф'(у) Л =₀ dxn2 Ф(у)

Будем предполагать, что искомое решение существенно зависит от всех переменных, т. С. y_n(x_n) = const для любого п. Тогда, из (6) с учетом (2) следует:

d dy

ф'( у ) Ф(у)

= 0.

Решая уравнение (7) относительно Ф(у), находим:

Ф(у) = Фо exp(ay),

где Фо, a — произвольные постоянные. Из (8) и (4) следует обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно функции U (y):

U^(N ) (y) - B o [U0(y)]^e= [U(y)]^Y exp(ay) = 0,

где введена новая постоянная

Во = ЬФо.

(Ю)

Для нахождения функций yn(xn) используем соотношение (3). Рассмотрим два случая. Случай 1. а = 0. Тогда из (3) с учетом (8) и (10). следует

откуда находим

N

П [yn (xn )]^en^-1 = В- , n=1

Уп(хп) = CnXn + УпО,    n € fi,

где y_n(x_n) — произвольна.я функция при n € Q.

Приведем некоторые частные решения уравнения (9) для произвольного N, и соответствующие им решения уравнения (1).

а) Степенное решение

U (у) = Uy .                                (13)

Подстановка, решения (13) в уравнение (9) позволяет получить выражения для постоян- U 0 ^σ

βΣ - N вз + Y - 1’

U0 = fQN^) ^Е ’ ^QN ^(а) = ^У(У - ¹ ... ^(а - N ^{+ 1)}.

B0σβΣ

Тогда, подставляя (12) в (13), получаем решение уравнения (1):

σ cnxn +    yn (xn) + y0

n ∈ Ω       n ∈ Ω

где yn(xn) — произво.ты 1ыс функции. уо. cn — произвольные постояпные. Постоянные cn должны удовлетворять условию, вытекающему из (И):

П с П -1 = Т-                           '

n ∈ Ω

На основании анализа, выражений (14) перечислим частные случаи, в которых решение (15) не существует или вырождается в тривиальное решение:

- при в3 + Y = 1 решение (15) не существует:

• -    если ст = n при пекотором 1 6 n 6 N - 1. то U0 = 0 щ>н в₃ + Y > 1- и решение (15) вырождается в тривиальное u(x_T,x₂,... ,x_N ) = 0. а. при ^ + y 6 1 решение (15) не существует;

• -    если ст = 0 (т. е. U = N), то при y < 1-N решение (15) вырождается в тривиальное, а при y > 1 - N это решение не существует.

б) Логарифмическое решение

U(у) = Uo ln(y).

Подставляя решение (17) в уравнение (9), находим, что постоянная Uo определяется

выражением

Uo =

(-1)^N-1(N - 1)! 5 N^—1

B0

Подставляя (12) в (17), получаем решение уравнения (1)

u(xi ,Х2, . . . ,XN) = Uo ln У^ CnXn + ^ Уп(Хп) + У0 ‘ n ∈ Ω       n ∈ Ω

в) Экспоненциальное решение

U (у) = Uo exp(ay).

U0                  σ

а = B0N-e= .

Соответствующее решение уравнения (1) имеет вид

u(x1 ,x₂, ..., xn ) = Uo exp

a ^CnXn + У^Уп(хп) + У0   • n∈Ω       n∈Ω

В рассматриваемом случае решение (22) существует при выполнении условий a = 0,

"• + Y = 1    ' N

Выше было сделано предположение, что П = 0. Если же имеет место противоположный случай П = 0. т. о. в_п = 1 при всех n Е I то из (3) следует, что функции y_n(x_n) являются произвольными при всех n Е Ра, уравнение для функции U (у) имеет вид (9). в котором необходимо положить a = 0.

Случай 2. a = 0. Тогда (3) с учетом (8) и (10) можно записать в виде

N           BN

П ^[уП ^(хп^)]вп—1 = "У П ^exp^[ayn⁽xn^)].                      (23)

n=1                  n=1

Очевидно, что при a = 0 соотношение (23) может быть удовлетворено только в том случае, если П = I, т. е. в_п = 1 при всех n Е I. Из (23) следует уравнение для функций y_n (x_n)

[уП (хп)]^вп—1 exp[-ayn(xn)] = Цп, (24)

µn

N

П Цп = у■                           (23)

n=1

Решение уравнения (24) имеет вид

Уп(хп) = ¹---— ln( —— X-Pn^(en ^-1) (xn - Xno)l .                 (26)

^{a 1} — ^e

При a = 0 так же как и в предыдущем случае, уравнение (9) имеет частное решение (20).

Постоянные Uo, а определяются выражениями:

α а = 1 — W + Y) ’

σN-βΣ  βΣ+γ-1

B0

Используя выражения (2), (20), (26) и условие (25), после некоторых преобразований получаем соответствующее решение уравнения (1):

N

u(xi,X2,... ,XN) = Uo Ц (xn - Xno)pn , n=1

где pn, Uo определяются выражениями

1 N

Pn =     .-----7,     Uo = b1-(eE+Y) П P-Pn•( e^ + Y - 1n

Решение (27) нс существует в случае в^ + Y = 1-

Таким образом, уравнение (1) имеет решения, определяемые формулами (15), (19), (22), (27), а. входящие в них дополнительные параметры определяются выражениями (14), (18), (21), (28). При П = I (вп = 1 при всех n е I) формулы (15), (19) и (22) описывают решения уравнения (1) типа бегущей волны.

2.    Понижение порядка уравнения

В данном параграфе рассматриваются теоремы, которые позволяют понизить порядок и размерность (число независимых переменных) уравнения (1).

Пусть множество I. введенное выше, разбито на. K пепересекатощихся подмножеств Ik (k = 1,..., K) и. соответственно. mi южество переменных X = {x₁,... ,x_N} разбито на. K пепересекатощихся подмножеств X_k = {x_n}_nElk. Здесь ii далее N_k - число элементов в подмножествах Ik. Xk: в^_к = P_nEi_k в_п- Тогда имеет место следующая

Теорема 1. Пусть функции u_k(Xk ) при всех k = 1 ,...,K являются решениями уравнений

βn д-k) ,                    (29)

∂xn n∈ k удовлетворяющие условиям:

dNk Uk

Q dxn n∈Ik где bk — некоторые постоянные,

Тогда, функция

является решением уравнения (1).

C

^(u(X)) =

K bk = b.

k=1

K

u(X ) = П Uk (Xk ) k =1

∂Nu dx1... dxN

N

П

n =1

∂u

∂x n

- β n

Подставим в (32) выражение (31). Тогда Ф(и^)) можно представить в виде

K

Ф(u(X)) = П ^k(uk(Xk)), k =1

где

Nk                                  -βn

Ф(uk (Xk )) = Q дЗ [uk (Xk )]-«=+-**) Y M) .         (34)

_{n ∈ Ik} ∂xn                     _{n ∈ Ik} ∂xn

По условию теоремы, функции uk(Xk ) удовлетворяют уравнениям (29), поэтому из (34) получаем. Tito ф_k (uk (Xk)) = Ь_k. Тогда, из (33) с утю том (30) следует, что Ф(u(X)) = Ь. Отсюда, учитывая (32), получаем, что функция (31) является решением уравнения (1). B

Доказанная выше теорема. 1 позволяет получить множество решений уравнения (1), которые могут быть представлены в виде произведения решений уравнений аналогичного вида, имеющих более низкий порядок.

Теоремы 2 и 3, которые приводятся ниже, определяют возможность понижения порядка. уравнения (1) для частных случаев, когда, параметры уравнения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. В этих теоремах предполагается, что K = 2, т. е. множество I разбито на. испсрссскатощиеся подмножества. I1. I2. которым соответствуют подмножества переменных X1. X2.

Теорема 2. Пусть параметры, входящие в уравнение (1), удовлетворяют условиям:

Y = 0 ,    вп = 0 ,

причем второе из этих условий выполняется для всех n Е I1- Тогда yjравнение (1) имеет решение вида

u(X ) = U 1 ( X 1 ) U 2 ( X 2 ) + U o ( X 1 ) .                            (36)

Здесь uo(X1) — произвольная ф,дикция, а функции u1(X1). u2(X2) удовлетворяют сле дующим уравнениям:

—1- = bl [U1(X1 б  ', xn n∈I1

∂ ^{N 2} u 2

П Эхп n∈I2

b 2

n ∈ I2

Un-2 Vn xn

Произвольные постоянные Ь1, Ь₂, входящие в (37) , (38) , удовлетворяют условию

Ь 1 Ь 2 = Ь.

C Подставим выражение (36) в уравнение (1), откуда после элементарных преобразований получаем:

^[ u i ⁽ X i ^{)] в}"² ) ^д П

∂xn n∈I n∈I          2

∂u 2

^βn ∂ ^{N 2} u 2

∂xn         ∂xn n∈I2

= pu^X i )^ ^(X 2 ) ⁺ u 0 ⁽ X 1 ) ] ⁷ П f u 2 |n 1 ⁺ |n °

∂xn ∂xn n∈I1

В силу условий (35), второй и третий сомножители в правой части уравнения (40) равны 1. Тогда, это уравнение сводится к следующему:

/г .   -9x2 N1¹ U1 I Пп ( U2² ^ N ² U2

)[u1 (1)]   П МТПUJ П 9х„/  • n∈I1                 2                n∈I2

Так как первый и второй сомножители в левой части (41) зависят от разных групп переменных, а. их произведение равно постоянной, то отсюда, следует, что функции u1(X1 ),u2(X2) должны удовлетворять уравнениям (37), (38), а входящие в них постоянные - условию (39). B

Теорема 3. Пусть параметры, входящие в уравнение (1), удовлетворяют условиям:

Y = 0, вщ = 0(42)

для некоторого подмножества I1. Тогда _У1 ювпсппс (1) имеет решение вида:

u(X) = ui (zi)u2 (X2) + uo (zi).(43)

Переменная z1, входящая в (43), определяется выражением:

Z1 = У^ CnXn + У2 Zn(xn).(44)

n ^{∈ Ω}1         n ∈ Ω 1

Здесь П 1 С I1, П 1 С I1 - множества значений индекса n, для которых вп = 1 в_п = 1 соответственно: cn — производим,ie постоянные. u₀(z1). Zn(xn ) — производвпвю (функции: функция u₂(X2 ) удовлетворяет уравнению (38). а фупкцпя u1 (z1) удовлетворяет следующему ОДУ:

N1

d-jU. = b i [u i (z i )l ^e =².

dz1

Постоянные Ь1, b2, cn должны удовлетворять следующему дополнительному условию:

bib2 = b П cn ^-1.                                (46)

n ∈ Ω 1

C Подставим выражения (43), (44) в уравнение (1). Тогда левая часть уравнения после элементарных преобразований приводится к виду:

• П Cn • П zn(xn).                (47)

d^N u       d^N1 u1   d ^N2 u₂

dx i ... дхд    dzN¹   Q dxn

1      n _{∈ I2}       n ∈ Ω 1     n ∈ Ω ₁

Преобразуем также правую часть уравнения (1) с учетом первого из условий (42)

N         β n

Y

∂xn n=1

∂u 1 ∂u 0

=b    и2(х2)эГ + эГ xn xn

n ∈ I1

n ∈ I2

В свою очередь, первое произведение в правой части (48) может быть записано в виде

∂u 1    ∂u 0 ⁿ            du 1    du 0 ^Σ1        _{β         0}

(u^2(X 2 ) dxn ⁺ dxn)   = (^u 2 ⁽X²⁾ dzi ⁺ dzi)   • П ^cn • П ^{Z n (}x ^{n )}-    ⁽⁴⁹⁾

n ∈ I1                                                              n ∈ Ω 1      n _{∈ Ω 1}

В силу второго из условий (42), первый сомножитель в правой части (49) равен 1. Тогда, используя соотношения (47)-(49), после элементарных преобразований уравнение (1) можно представить в виде f dN1 ui         8 1 f dN2 u         du2\ en

-^ [u1(zi )rez2 • -nsxnn (dd     =b П cnn-       <^> n∈I2           2                               1

Так как первый и второй сомножители в фигурных скобках в левой части (50) зависят от разных переменных, а. их произведение равно постоянной, то уравнение (50) можно удовлетворить только в том случае, если:

dNN¹ [u i (z i )]-^в=2 = b1, dz₁

∂^{N 2} u 2

Q dxn n∈I2

п

n ∈ I2

∂u 2 ∂xn

-βn

= b 2 ,

b 1 b 2

Из (51) следует, что функции ui(zi). u₂(X2) удовлстворяют уравнениям (45). (38) соответственно. в

Заключение. Таким образом, в данной работе с помощью метода, функционального разделения переменных исследовано многомерное дифференциальное уравнение, содержащее смешанную старшую частную производную по всем независимым переменным и степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. Получены частные решения со степенными, экспоненциальными и логарифмическими функциями от независимых переменных. Доказаны теоремы, позволяющие понизить порядок рассматриваемого уравнения.