О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями
Автор: Рахмелевич Игорь Владимирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.18, 2016 года.
Бесплатный доступ
Проведен анализ решений многомерного дифференциального уравнения в частных производных произвольного порядка, содержащего смешанную старшую частную производную и степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. Для исследования данного уравнения применяется метод функционального разделения переменных. В результате получены частные решения рассматриваемого уравнения. Доказаны некоторые теоремы, позволяющие понизить порядок уравнения.
Уравнение в частных производных, функциональное разделение переменных, степенная нелинейность
Короткий адрес: https://sciup.org/14318554
IDR: 14318554
Текст научной статьи О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями
В современной теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных большинство точных решений получено для уравнений первого и второго порядков. В то же время, как потребности развития теории,так и практических приложений приводят к задачам нахождения решений для уравнений более высокого порядка. Так, в работах [1-5] проводится исследование линейных уравнений высших порядков с переменными коэффициентами, содержащих смешанную старшую производную, в том числе получены необходимые и достаточные условия факторизации такого уравнения. Целью данной работы является исследование уравнения произвольного порядка, со смешанной старшей производной, содержащего степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. При этом используется метод разделения переменных, который является одним из наиболее эффективных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [6-10].
1. Постановка задачи. Разделение переменных в уравнении со степенными нелинейностями
N относительно неизвестной функции u(x1,x2,.. .,xN):
∂Nu
∂x 1 . . . ∂xN
N
= v(u) п n=1
du Vn xn
Простейший случай двумерного уравнения вида (1) был рассмотрен в работе [11]. Предполагаем, что ^(u) = buY, т. е. уравнение (1) содержит нелинейности степенного типа как по неизвестной функции, так и по ее первым производным, причем y € R, вп € R. Также должны выполняться следующие ограничения:
-
1) если y € R \ Z (т. е. вещественное число с ненулевой дробной частью), то решение уравнения (1) u > 0:
-
2) при тех значениях п, при которых вп € R\Z, производная от решения уравнения (1) ∂u
dxn > 0
Для решения уравнения (1) будем использовать метод функционального разделения переменных [6, 7]. В соответствии с указанным методом решение уравнения (1) ищем в виде:
N
u(xi ,Х2, ...,XN )= U (y), y = ^Уп(Хп). (2)
n =1
В (2) входят неизвестные функции U(y) yn(xn). которые подлежат определению в дальнейшем. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), приходим к соотношению:
N
ф(у) = П[уП (xn )]en-1, (3)
n =1
где
U (N )
(y) - b[U0 (y)^ [U (y)]Y ( '
Здесь и далее будем использовать обозначения: Sv = PN=1 вп, I = {1,... ,N}, - множество значений индекса п. нумерующего незавценные переменные. П — множество значений п € I. для которых вп = 1 П = I \ П
Пусть П = 0. Тогда существует хс)тя obi одно значение п = п1. при к<зтором вщ = 1 Продифференцируем соотношение (3) по xnv Тогда в результате элементарных преобразований с учетом второй из формул (2), находим
Ф (y) yni(xni)_ - .
Ф(у) -r„ (xn,-„2.
x n1
вольно выбрав некоторое значение n2 = n1 ii продиффершщировав (б) no xn2. получаем:
d ( Ф'(у) Л =0 dxn2 Ф(у)
Будем предполагать, что искомое решение существенно зависит от всех переменных, т. С. yn(xn) = const для любого п. Тогда, из (6) с учетом (2) следует:
d dy
ф'( у ) Ф(у)
= 0.
Решая уравнение (7) относительно Ф(у), находим:
Ф(у) = Фо exp(ay),
где Фо, a — произвольные постоянные. Из (8) и (4) следует обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) относительно функции U (y):
U(N ) (y) - B o [U0(y)]e= [U(y)]Y exp(ay) = 0,
где введена новая постоянная
Во = ЬФо.
(Ю)
Для нахождения функций yn(xn) используем соотношение (3). Рассмотрим два случая. Случай 1. а = 0. Тогда из (3) с учетом (8) и (10). следует
откуда находим
N
П [yn (xn )]en-1 = В- , n=1
Уп(хп) = CnXn + УпО, n € fi,
где yn(xn) — произвольна.я функция при n € Q.
Приведем некоторые частные решения уравнения (9) для произвольного N, и соответствующие им решения уравнения (1).
а) Степенное решение
U (у) = Uy . (13)
Подстановка, решения (13) в уравнение (9) позволяет получить выражения для постоян- U 0 σ
βΣ - N вз + Y - 1’
U0 = fQN^) Е ’ QN (а) = У(У - 1 ... (а - N + 1).
B0σβΣ
Тогда, подставляя (12) в (13), получаем решение уравнения (1):
σ cnxn + yn (xn) + y0
n ∈ Ω n ∈ Ω
где yn(xn) — произво.ты 1ыс функции. уо. cn — произвольные постояпные. Постоянные cn должны удовлетворять условию, вытекающему из (И):
П с П -1 = Т- '
n ∈ Ω
На основании анализа, выражений (14) перечислим частные случаи, в которых решение (15) не существует или вырождается в тривиальное решение:
- при в3 + Y = 1 решение (15) не существует:
-
- если ст = n при пекотором 1 6 n 6 N - 1. то U0 = 0 щ>н в3 + Y > 1- и решение (15) вырождается в тривиальное u(xT,x2,... ,xN ) = 0. а. при ^ + y 6 1 решение (15) не существует;
-
- если ст = 0 (т. е. U = N), то при y < 1-N решение (15) вырождается в тривиальное, а при y > 1 - N это решение не существует.
б) Логарифмическое решение
U(у) = Uo ln(y).
Подставляя решение (17) в уравнение (9), находим, что постоянная Uo определяется
выражением
Uo =
(-1)N-1(N - 1)! 5 N—1
B0
Подставляя (12) в (17), получаем решение уравнения (1)
u(xi ,Х2, . . . ,XN) = Uo ln У^ CnXn + ^ Уп(Хп) + У0 ‘ n ∈ Ω n ∈ Ω
в) Экспоненциальное решение
U (у) = Uo exp(ay).
U0 σ
а = B0N-e= .
Соответствующее решение уравнения (1) имеет вид
u(x1 ,x2, ..., xn ) = Uo exp
a ^CnXn + У^Уп(хп) + У0 • n∈Ω n∈Ω
В рассматриваемом случае решение (22) существует при выполнении условий a = 0,
"• + Y = 1 ' N
Выше было сделано предположение, что П = 0. Если же имеет место противоположный случай П = 0. т. о. вп = 1 при всех n Е I то из (3) следует, что функции yn(xn) являются произвольными при всех n Е Ра, уравнение для функции U (у) имеет вид (9). в котором необходимо положить a = 0.
Случай 2. a = 0. Тогда (3) с учетом (8) и (10) можно записать в виде
N BN
П [уП (хп)]вп—1 = "У П exp[ayn(xn)]. (23)
n=1 n=1
Очевидно, что при a = 0 соотношение (23) может быть удовлетворено только в том случае, если П = I, т. е. вп = 1 при всех n Е I. Из (23) следует уравнение для функций yn (xn)
[уП (хп)]вп—1 exp[-ayn(xn)] = Цп, (24)
µn
N
П Цп = у■ (23)
n=1
Решение уравнения (24) имеет вид
Уп(хп) = 1---— ln( —— X-Pn(en -1) (xn - Xno)l . (26)
a 1 — e
При a = 0 так же как и в предыдущем случае, уравнение (9) имеет частное решение (20).
Постоянные Uo, а определяются выражениями:
α а = 1 — W + Y) ’
σN-βΣ βΣ+γ-1
B0
Используя выражения (2), (20), (26) и условие (25), после некоторых преобразований получаем соответствующее решение уравнения (1):
N
u(xi,X2,... ,XN) = Uo Ц (xn - Xno)pn , n=1
где pn, Uo определяются выражениями
1 N
Pn = .-----7, Uo = b1-(eE+Y) П P-Pn•( e^ + Y - 1n
Решение (27) нс существует в случае в^ + Y = 1-
Таким образом, уравнение (1) имеет решения, определяемые формулами (15), (19), (22), (27), а. входящие в них дополнительные параметры определяются выражениями (14), (18), (21), (28). При П = I (вп = 1 при всех n е I) формулы (15), (19) и (22) описывают решения уравнения (1) типа бегущей волны.
2. Понижение порядка уравнения
В данном параграфе рассматриваются теоремы, которые позволяют понизить порядок и размерность (число независимых переменных) уравнения (1).
Пусть множество I. введенное выше, разбито на. K пепересекатощихся подмножеств Ik (k = 1,..., K) и. соответственно. mi южество переменных X = {x1,... ,xN} разбито на. K пепересекатощихся подмножеств Xk = {xn}nElk. Здесь ii далее Nk - число элементов в подмножествах Ik. Xk: в^к = PnEik вп- Тогда имеет место следующая
Теорема 1. Пусть функции uk(Xk ) при всех k = 1 ,...,K являются решениями уравнений
βn д-k) , (29)
∂xn n∈ k удовлетворяющие условиям:
dNk Uk
Q dxn n∈Ik где bk — некоторые постоянные,
Тогда, функция
является решением уравнения (1).
C
^(u(X)) =
K bk = b.
k=1
K
u(X ) = П Uk (Xk ) k =1
∂Nu dx1... dxN
N
П
n =1
∂u
∂x n
- β n
Подставим в (32) выражение (31). Тогда Ф(и^)) можно представить в виде
K
Ф(u(X)) = П ^k(uk(Xk)), k =1
где
Nk -βn
Ф(uk (Xk )) = Q дЗ [uk (Xk )]-«=+-**) Y M) . (34)
n ∈ Ik ∂xn n ∈ Ik ∂xn
По условию теоремы, функции uk(Xk ) удовлетворяют уравнениям (29), поэтому из (34) получаем. Tito фk (uk (Xk)) = Ьk. Тогда, из (33) с утю том (30) следует, что Ф(u(X)) = Ь. Отсюда, учитывая (32), получаем, что функция (31) является решением уравнения (1). B
Доказанная выше теорема. 1 позволяет получить множество решений уравнения (1), которые могут быть представлены в виде произведения решений уравнений аналогичного вида, имеющих более низкий порядок.
Теоремы 2 и 3, которые приводятся ниже, определяют возможность понижения порядка. уравнения (1) для частных случаев, когда, параметры уравнения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. В этих теоремах предполагается, что K = 2, т. е. множество I разбито на. испсрссскатощиеся подмножества. I1. I2. которым соответствуют подмножества переменных X1. X2.
Теорема 2. Пусть параметры, входящие в уравнение (1), удовлетворяют условиям:
Y = 0 , вп = 0 ,
причем второе из этих условий выполняется для всех n Е I1- Тогда yjравнение (1) имеет решение вида
u(X ) = U 1 ( X 1 ) U 2 ( X 2 ) + U o ( X 1 ) . (36)
Здесь uo(X1) — произвольная ф,дикция, а функции u1(X1). u2(X2) удовлетворяют сле дующим уравнениям:
—1- = bl [U1(X1 б ', xn n∈I1
∂ N 2 u 2
П Эхп n∈I2
b 2
n ∈ I2
Un-2 Vn xn
Произвольные постоянные Ь1, Ь2, входящие в (37) , (38) , удовлетворяют условию
Ь 1 Ь 2 = Ь.
C Подставим выражение (36) в уравнение (1), откуда после элементарных преобразований получаем:
[ u i ( X i )] в"2 ) д П
∂xn n∈I n∈I 2
∂u 2
βn ∂ N 2 u 2
∂xn ∂xn n∈I2
= pu^X i )^ (X 2 ) + u 0 ( X 1 ) ] 7 П f u 2 |n 1 + |n °
∂xn ∂xn n∈I1
В силу условий (35), второй и третий сомножители в правой части уравнения (40) равны 1. Тогда, это уравнение сводится к следующему:
/г . -9x2 N11 U1 I Пп ( U22 ^ N 2 U2
)[u1 (1)] П МТПUJ П 9х„/ • n∈I1 2 n∈I2
Так как первый и второй сомножители в левой части (41) зависят от разных групп переменных, а. их произведение равно постоянной, то отсюда, следует, что функции u1(X1 ),u2(X2) должны удовлетворять уравнениям (37), (38), а входящие в них постоянные - условию (39). B
Теорема 3. Пусть параметры, входящие в уравнение (1), удовлетворяют условиям:
Y = 0, вщ = 0(42)
для некоторого подмножества I1. Тогда У1 ювпсппс (1) имеет решение вида:
u(X) = ui (zi)u2 (X2) + uo (zi).(43)
Переменная z1, входящая в (43), определяется выражением:
Z1 = У^ CnXn + У2 Zn(xn).(44)
n ∈ Ω1 n ∈ Ω 1
Здесь П 1 С I1, П 1 С I1 - множества значений индекса n, для которых вп = 1 вп = 1 соответственно: cn — производим,ie постоянные. u0(z1). Zn(xn ) — производвпвю (функции: функция u2(X2 ) удовлетворяет уравнению (38). а фупкцпя u1 (z1) удовлетворяет следующему ОДУ:
N1
d-jU. = b i [u i (z i )l e =2.
dz1
Постоянные Ь1, b2, cn должны удовлетворять следующему дополнительному условию:
bib2 = b П cn -1. (46)
n ∈ Ω 1
C Подставим выражения (43), (44) в уравнение (1). Тогда левая часть уравнения после элементарных преобразований приводится к виду:
• П Cn • П zn(xn). (47)
dN u dN1 u1 d N2 u2
dx i ... дхд dzN1 Q dxn
1 n ∈ I2 n ∈ Ω 1 n ∈ Ω 1
Преобразуем также правую часть уравнения (1) с учетом первого из условий (42)
N β n
Y
∂xn n=1
∂u 1 ∂u 0
=b и2(х2)эГ + эГ xn xn
n ∈ I1
n ∈ I2
В свою очередь, первое произведение в правой части (48) может быть записано в виде
∂u 1 ∂u 0 n du 1 du 0 Σ1 β 0
(u2(X 2 ) dxn + dxn) = (u 2 (X2) dzi + dzi) • П cn • П Z n (x n )- (49)
n ∈ I1 n ∈ Ω 1 n ∈ Ω 1
В силу второго из условий (42), первый сомножитель в правой части (49) равен 1. Тогда, используя соотношения (47)-(49), после элементарных преобразований уравнение (1) можно представить в виде f dN1 ui 8 1 f dN2 u du2\ en
-^ [u1(zi )rez2 • -nsxnn (dd =b П cnn- <^> n∈I2 2 1
Так как первый и второй сомножители в фигурных скобках в левой части (50) зависят от разных переменных, а. их произведение равно постоянной, то уравнение (50) можно удовлетворить только в том случае, если:
dNN1 [u i (z i )]-в=2 = b1, dz1
∂N 2 u 2
Q dxn n∈I2
п
n ∈ I2
∂u 2 ∂xn
-βn
= b 2 ,
b 1 b 2
Из (51) следует, что функции ui(zi). u2(X2) удовлстворяют уравнениям (45). (38) соответственно. в
Заключение. Таким образом, в данной работе с помощью метода, функционального разделения переменных исследовано многомерное дифференциальное уравнение, содержащее смешанную старшую частную производную по всем независимым переменным и степенные нелинейности по неизвестной функции и ее первым производным. Получены частные решения со степенными, экспоненциальными и логарифмическими функциями от независимых переменных. Доказаны теоремы, позволяющие понизить порядок рассматриваемого уравнения.
Список литературы О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями
- Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: ФАН, 1987. 146 с.
- Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское мат. об-во, 2001. 226 с.
- Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве//Диф. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 697-701.
- Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в Rn//Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 584-594.
- Жегалов В. И., Тихонова О. А. Факторизация уравнений с доминирующей старшей частной производной//Диф. уравнения. 2014. Т. 50, № 1. С. 66-72.
- Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.
- Полянин А. Д., Журов А. И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике//Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 5. С. 606-611.
- Рахмелевич И. В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных//Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 3. С. 37-44.
- Рахмелевич И. В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных//Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 1. С. 42-50.
- Miller J., Rubel L. A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions//J. of Physics A. 1993. Vol. 26. P. 1901-1913.
- Рахмелевич И. В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным//Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 1. С. 12-19.