О решениях однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени

Пример 1. Пусть

( - i 4 1                 — 4 i ( x 2 + У 2 ) 1

I, Ф( z ) = v 1 3i)          уx2 + 3y2 -1 - 2xyi;

Матрица J в (3) имеет кратное собственное число λ = i . Здесь вектор-полином второй степени φ ( z ) будет функцией, J -аналитической с данной матрицей J , что проверяется непосредственной подстановкой в (1). При этом Re φ ( z ) | _Γ = 0 на эллипсе x 2 + 3 y 2 =1.

В пункте 3 приведен общий метод построения аналогичных примеров.

Замечание 1. Сложность задачи (2) состоит именно в конечности области D . Если D неограничена, то построение нетривиальных решений задачи (2) не представляет каких-либо трудностей. Например, пусть n =1, J = i , f ( z )= z ² - 1= x ² - y ² - 1 + 2 xyi . Тогда Re f ( z ) | _Γ = 0 на гиперболе Γ : x ² - y ²=1.

• 2.    Преобразование уравнения (1) к системе второго порядка

Выполним некоторые предварительные преобразования. Запишем n -вектор-функцию φ ( z ) в виде φ ( z ) =u( x , y ) + i v( x , y ), где u( x , y ), v( x , y ) – вещественные n -вектор-функции. Также введем следующие обозначения:

J=A+Bi,A,B∈Rn×n,detB≠0.(4)

Подставим матрицу (4) в уравнение (1), после чего приравняем к нулю действительные и мнимые части в получившемся выражении. Имеем:

∂ u ∂ u ∂ v       ∂ v ∂ v ∂ u

-A +B=0,    -A -B=0.(5)

∂y    ∂x    ∂x      ∂y    ∂x∂

Выразим из уравнений (5) частные производные функции v=v(x,y) через частные производные функции u=u(x,y):

^{∂ v} = B ^{- 1} A ^{∂ u} - B ^{- 1 ∂ u}, ^{∂ v} = ( B + AB ^{- 1} A ) ^{∂ u} - AB ^{- 1 ∂ u}.

∂x       ∂x∂y∂y              ∂x∂

С учетом условия замкнутости

∂∂ v ₌ ∂∂ v

∂y∂x ∂x∂y из уравнений (6) вытекает следующее равенство:

∂ ∂ y

B ^{- 1} A ^d u - B ^{- 1 d} u 1 = — [( B + AB ^{- 1} A ) ^d u - AB ^{- 1 d} u . Э x Э y J Э x L Э x dy _

Применим в (8) операторы дифференцирования, после чего обе части равенства умножим слева на матрицу B. В результате получим следующую однородную n× n -систему уравнений в частных производных второго порядка:

( B ² + BAB ^{- 1} A ) ^{∂ 2u} - B ⋅ ( AB ^{- 1} + B ^{- 1} A ) ^{∂ 2u} +^{∂ 2u}=0.                  (9)

∂ x ²                     ∂ x ∂ y ∂ y ²

Относительно системы (9) докажем приведенную ниже теорему.

Теорема 1. Справедливы следующие два утверждения.

• 1)    Если φ ( z ) =u( x , y ) + i v( x , y ) – решение однородной задачи Шварца (2), соответствующее матрице J = A + Bi , det B ≠ 0, то функция u( x , y ) будет решением однородной задачи Дирихле

u( x , y )| _Γ =0                                        (10)

для системы (9);

• 2)    если существует решение задачи (10) для системы (9) в виде вектор-полинома u=u( x , y ), то можно однозначно восстановить функцию φ =u + i v как решение задачи (2), соответствующее матрице J = A + Bi .

• 3.    Общий метод построения решений задачи (2) в виде вектор-полиномов второй степени

Николаев В.Г.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из алгоритма построения системы (9). Для доказательства пункта 2) заметим, что если функция u( x , y ) - решение (9), то она есть решение

О                                   „ dv д v системы (8). При этом с учетом (8) для функций —, — вида (6) выполнены условия ∂x ∂y замкнутости (7). Поэтому вектор-функцию v = v( x, y) при заданной функции u = u( x, y) можно покоординатно единственным образом (с точностью до вектор-постоянной) восстановить из уравнений (6).

Так как для полученной функции v( x , y ) по построению выполнена пара равенств (6), то для пары функций u( x , y ), v( x , y ) выполнены равносильные им равенства (5). Следовательно, функция ф = u + i v соответствует исходной матрице J = A + Bi . При этом по построению выполнено граничное условие (2). Теорема 1 доказана.

Опираясь на теорему 1, получим необходимое и достаточное условие существования решений однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени.

Замечание 2. Будем называть эллипсом не только кривую Г на плоскости, но также и область K , ограниченную кривой Г , - в зависимости от контекста. Такая договоренность упростит изложение.

Как известно, произвольный эллипс Г с центром в точке ( x ₀, y ₀) можно задать следующим уравнением:

a ( x - x ₀)² + 2 c ( x - x ₀)( y - y ₀) + b ( y - y ₀)² - 1 = 0,     ab - c ² > 0.             (11)

Пусть ф = u + i v - решение задачи (2) в виде вектор-полинома второй степени в конечной области D . В этом случае контур Г может быть только эллипсом. Обозначим u = (p 1 , . ,p n ). Тогда каждое из уравнений p 1 ( x , y ) = 0, . ,p n ( x , y ) = 0 будет уравнением данного эллипса. Задание эллипса в виде (11) как множества точек на плоскости - единственно с точностью до множителя. Поэтому функции p k ( x , y ), k = 1,..., n будут с точностью до множителя совпадать с левой частью (11) при одних и тех же параметрах a , c , b .

Для упрощения дальнейших вычислений сделаем замену переменных x = x ' + x 0 , y = y ' + y 0 . Тогда после элементарных преобразований с учетом (1) получим, что функция ф ( x‘, y ‘ ) = u( x ‘ , y ‘ ) + i v( x ‘ , y ‘ ) будет J -аналитической с той же матрицей J . Но в этом случае компоненты p k ( x ‘ , y ‘ ), k = 1, . , n вектор-функции u = u( x ‘ , y ‘ ) в силу (11) с точностью до множителя примут вид p _k ( x ‘ , y ‘ ) = ax‘ ² + 2 cx‘y‘ + by‘ ² - 1.

Таким образом, вектор-функцию u(x, y)=Яеф(z), не умаляя общности, можно искать в следующем виде:

2.о 2

t 1 • ( ax + 2 cxy + by - 1)

^{u( x} , y )= ........................

ab - c ² > 0.

Параметры ( a, c,b ) для (13) находим из следующего условия. Как известно, однородная система (13) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель Д ( a , c , b) равен нулю, то есть

Д ( a , c , b ) = det[ a • ( B ² + BAB ^{- 1} A ) - c • B • ( AB ^{- 1} + B ^{- 1} A ) + b • E ] = 0. (14)

В (14) функция Д ( a , c , b ) - полином степени n от трех переменных. Пусть ( a , c , b ) - такое решение (14), что ab - c ² >0. В этом случае квадратичные формы в (12) будут положительно (или отрицательно) определенными и неособыми. Поэтому все компоненты (12) будут задавать один и тот же эллипс.

Подставим ненулевое решение t = t₀ алгебраической системы (13) с этими параметрами в (12). Тем самым будет найдено решение u₀=u₀( x , y ) задачи Дирихле (10) для системы дифференциальных уравнений (9) в эллипсе Г : ax ² + 2 cxy + by ² = 1.

Далее в силу теоремы 1 по функции u( x , y ) можно восстановить восстановить функцию ф ( z ) как решение задачи (2) в эллипсе Г . С учетом формул (6) ф ( z ) будет вектор-полиномом второй степени. Сделаем замену переменных x = x ‘-x ₀, y = y ‘-y ₀. Тогда в силу (1) получим решение ф ( x ‘ , y ‘ ) задачи (2), соответствующее той же матрице J . При этом данное решение будет определено в эллипсе Г (11) с произвольным наперед заданным центром ( x ₀, y ₀). В итоге доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть выполнено равенство (14) при ab - c ²>0. Тогда существует решение ф ( z ) задачи (2), соответствующее матрице J = A + Bi , det B * 0. При этом контур Г — эллипс, а ф ( z ) есть вектор-полином второй степени.

Преобразуем уравнение (14). Заметим, что если ab - c2 >0, то a * 0. Поэтому можно, не умаляя общности, положить в (14) a = 1. Тогда неравенство ab-c2>0 перепишется в виде b > c2, что равносильно условиям a = 1, c = c, b = c2 + s2, s * 0. (15)

Замечание 3. Так, если s * 0, то в (15) допустима так же ситуация c = 0.

С учетом (15) равенство (14) перепишем в следующем равносильном виде:

det[ B ² + BAB ^{- 1} A - c • B • ( AB ^{- 1} + B ^{- 1} A ) + ( c ² + s ²) • E ] = 0, s * 0. (16)

Равенство (16) можно рассматривать как алгебраическое уравнение n -й степени относительно вещественной переменной c , где s - вещественный параметр. При этом существенным является условие s * 0. Относительно формулы (16) докажем следующее основное утверждение.

Теорема 2. Существование ( произвольного ) вещественного решения ( c , s ), где s * 0 алгебраического уравнения (16) является необходимым и достаточным условием существования соответствующего данной матрице J = A + Bi е C^{n х n} , det B * 0 решения ф ( z ) однородной задачи Шварца (2) в виде вектор-полинома второй степени.

Доказательство. Достаточность. Пусть ( c ₀, s ₀), где s ₀ * 0 - вещественное решение уравнения (16). Для этого решения с учетом (15) выполнено условие леммы 1. Поэтому согласно утверждению этой леммы существует искомое решение ф ( z ) задачи (2).

Докажем необходимость: пусть ф = u + i v - вектор-полином второй степени, который есть решение задачи (2) в конечной области K с границей Г . В этом случае область K представляет собой эллипс. Обозначим, как и выше, u = (p 1 , _ ,p n ). Тогда уравнения p 1 =0,...,p n =0 задают один и тот же эллипс Г = d K . Следовательно, функции p k ( x , y ), k = 1, . , n совпадают с точностью до множителя с левой частью (11). После замены переменных x = x ' + x ₀, y = y ' + y ₀ вектор-функция u( x ', y ') с точностью до обозначения переменных примет вид (12). При этом ф = u + i v останется J -аналитической с той же матрицей J .

Николаев В.Г. О решениях однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени

Так как для φ =u + i v выполнено равенство (1), то для u=u( x ', y ') в силу преобразований пункта 2 справедливо уравнение (9). Подстановка (12) в (9) дает алгебраическую систему (13). Вектор t = ( t1,...,t n ) в (12) по условию ненулевой, так как функция u( x ', y ') не равна нулю тождественно. То есть вектор t является ненулевым решением системы (13). Следовательно, выполнено равенство (14) при ab - c ² >0. Таким образом, с учетом подстановки (15) выполнено и равносильное (14) равенство (16) при некоторых ( c ₀, ε ₀), где ε ₀ ≠ 0, что и требовалось. Теорема 2 доказана.

4. Применение формулы (16) для построения примера 1

В качестве иллюстрации к теореме 2 построим два решения задачи (2) для матрицы J (3) из примера 1. Они будут определены в разных эллипсах. Имеем:

i 4

, A =

1 3i\

1 1 0 7 B =

- 10

,   det B = - 3 ≠ 0.

{ 0 3 7

Выпишем уравнение (16) с учетом конкретных матриц A , B (17), не приводя промежуточные вычисления. При этом для упрощения вычислений положим c =0:

det[ B ² + BAB ^{- 1} A - c • B • ( AB ^{- 1} + B ^{- 1} A ) + ( c ² + e ²) • E ]| _c = ₀=( - 3 + e ²) • ^- 3 + e ² ^ = 0.     (18)

Таким образом, имеем следующую пару решений уравнения (18):

c =0, b = c ² + ε ²=3; c =0, b = c ² + ε ²= ¹ ₃.                       (19)

Как показывают вычисления, первой паре (c, b) в (19) при a =1 соответствует ненулевое решение (t1,t2)=(0,1) алгебраической системы (13). Матрицы J (3) и (17) совпадают. Поэтому при полученных значениях параметров a,c,b,t1,t2 по функции u(x, y) (12) с помощью алгоритма, описанного при доказательстве пункта 2) теоремы 1, восстанавливается решение φ(z) (3) задачи (2).

Второй паре ( c , b ) в (19) при a =1 соответствует ненулевое решение ( t ₁, t ₂) =(1,0) системы (13). В данном случае по алгоритму теоремы 1 можно построить функцию

φ ₁( z ) =

1 ² + y ²

-

1 + ₃ xyi

.

Функция (20) соответствует той же матрице решением задачи (2) в эллипсе x ² + ¹ ₃ y ²=1.

-( x ² + У 2 )

3          7

J (3), то есть и матрице J (17). Она является