О риссовской суммируемости непрерывных функций из классов Никольского со смешанной нормой

Для непрерывной функции из класса. Никольского со смешанной нормой установлена, равномерная сходимость на. компактах средних Рисса. спектрального разложения функции к самой функции.

Каждую точку ж = (Ж1,Ж2, • • • ,х^ TV-мерного евклидова пространства En будем обозначать в виде пары ^N-кДД, ^где XN-k = (®ь • • • , XN-k^ ^и Д = (^jv-fc-n, •••,£©• Кроме того, пусть EN-k ^{и Е}к — пространства векторов XN-к ^и Д соответственно. Измеримая функция /(ж), заданная в En, по определению принадлежит пространству со смешанной нормой £(_Р1)Р2), если для нее конечно выражение

||/(®)||£_(р1,_Р2)(Е„) = ||||/(ж)|Ц_р1(Е_к)|Ц_Р2(Е,_у__к).

Если G произвольное измеримое множество в Er^ а /(ж) измеримая в G функция, то положим

||/(ж)|Ц_(р11Р2)(С) = II/(®)I|l_(p1jP2)(E„):

где /(ж) = / (ж) при ж Е G и /(ж) = 0 при ж Е En \ G.

Пусть G — произвольная Х-мерная область, А — какое-либо неотрицательное самосопряженное расширение оператора Лапласа в области G, Ца} — соответствующее оператору А разложение единицы и 6Д, у, А) — ядро Е\, называемое спектральной функцией.

Для каждой функции /(ж) Е ^(G) определим спектральное разложение

Exf^ = j 6Д,у,ХДД) dy G и его средние Рисса порядка s ^ О

A              s е№ = I (i-^ dEj^. о

В работе В. А. Ильина и Ш. А. Алимова [1] доказано, что достаточным условием равномерной на любом компакте К С G сходимости ЕДД) к функции / (ж) Е Hp(G) при 0 ^ s <  ^N — 1)/2, a > 0, р ^ 1 является выполнение следующих условий: а + s ^ (^ — 1)/2, pa > N: доказано также, что эти условия являются окончательными. В частности, выполнение неравенства pa ^ N допускает существование неограниченной

функции /(ж) Е H_p(G), средние Рисса которой заведомо не могут сходится к ней равномерно, поскольку разлагаемая функция не является непрерывной.

Случай pa = N при дополнительном требовании непрерывности разлагаемой функции изучался в работе Ш. А. Алимова [2]. Для непрерывной функции, при-О надлежащей классу Соболева Wlp, там был получен следующий результат.

О

Если функция /(ж) Е TK^G), Ip = N, является непрерывной в некоторой произвольной подобласти D области G, то для равномерной сходимости на каждом компакте К С D средних Рисса Е^/(ж) достаточно выполнения неравенства I + s > (А — 1)/2, где 0 < s < (7V — 1)/2, р ^ 1, I > 0.

Для классов Никольского H_p(G) аналогичный результат получен в работе Н. Н. Козловой [3].

В работе [4] изучались условия равномерной сходимости средних Рисса спектральных разложений для функций из классов Никольского H“_pi со смешанной нормой. В ней доказано, что равномерную сходимость на любом компакте К С G средних о

Рисса Е^/(ж) функции /(ж) Е H“_p^ _P^G^ обеспечивает выполнение условий

N - 1          к  N-к

Ot — ------- — S) Ot /* — ~h -------.

2                Pl P2

В настоящей работе изучается предельный случай а = ^^ + А- и доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть N > 2, G — произвольная N-мерная область, D — произвольная подобласть области G и пусть числа s ^ 0, а > 0, pi, р^ связаны соотношениями

М - 1

о Д —~— — s:

N - к к a —--h —;

Р2 Pi

2 < Pi < Р2,  0 <  к < N.

О

Тогда для любой непрерывной в области D функции J^ Е H“pi P2^G^ равномерно на каждом компакте К С D выполняется равенство lim Esxf (ж) = / (ж).

А^-оо

Вначале докажем несколько вспомогательных утверждений.

Введем сферические координаты (жо + т0) с центром в точке Жо и обозначим ^^m\r, в) производную по радиусу порядка m в направлении 9 от функции /(ж), через А^/(г, 0) — обозначим вторую разность по радиусу в направлении 0:

Д^Ж Д = / Д + 2/ц 0) - 2/Д + h, 0) + /Д, 0).

Через R — обозначим положительное число, меньшее расстояния от точки жо до границы ЭС области G.

Лемма 1. Пусть a = / + х, I = 0,1,2,... , О < х ^ 1- Для любой функции J^ Е H“_pi р^Ем') и любого h > О справедливо неравенство

\№(гДШ(Р1^<с\\п\нГр1^.

Так как норма || • ||l_{(pi р} ) принадлежит к классу норм, по отношению к которым для целых функций экспоненциального типа выполняется неравенство Бернштейна (см. [6]), то лемма 1 доказывается так же, как и лемма 3.3 в работе [1].

Введем обозначения

ФМ = — WN

Vm^) = Гт+х ^ф^ЧН, т = 0,1,...,1,

где wn — площадь поверхности TV-мерной сферы единичного радиуса.

Лемма 2. Пусть /(ж) Е Н^^ЕрД a = ^ + Ы и пусть ^ - s = I + х, где О < х < 1, / ⁼ 1,2,... тогда, если a > I + х, ^то для m = 1,2,... , I и любого h из интервала 0 <  h < R равномерно относительно х Е En справедлива оценка

R j ^m(r + 2h)-2(рт(т + 1ф+ (pm(r^dr

h

• <    Представим подынтегральную функцию в (1) в виде

A^_m(r) = (г + 2h)^m+x"¹ ^^Чг + 2h) - 2^^тЧг + h) + ^^тЧг^

+ 2^m\r + h) Vj + W^"1 + (г + НГ+х-^

- ф^Ч^ [(г + 2h)^m+x"¹ - r™^¹] . (2)

Оценим первое слагаемое в (2). Пусть r^-k = \$N-k — dN-k\i г^ = ж/; — уф- Тогда имеем

I =

R j (т + 2кГ+х"1 h

\^^\дт ^ с

/

/1^|ж-у|^Я

< С

гт+Х-^|Д2/(т)(у)|^

/

Tm*x-N\^dW^\dy

/l/ v^^ Ддг_),— UN-к I ^ R \ к1Л^\х_к-9кКК

+ /

0^ I^n-a- — Un-к I Eh/ Л ъ/ЛЕ\хк-9к\ЕК

Tm^X-N\^jW^^

\

+ у т^^х"^К\^^тЧд^

— 11 + ^2 + ^3-

h / V^E \$N-k-у n ~k-\ER

0Е\$к-Ук\Ек/Л                        /

Оценим вначале 1^. Пусть е > 0 и удовлетворяет неравенствам «>/+% +е, 0< А + £ < 1. Применим неравенство Гёльдера два раза с показателями qi, q^ и q2, q'^ где 91 и q^ определяются из условия к N -к

--1--= m + % + е.

91      92

Получим

т^с^и^Шц,,.,,, /

X

/

\h/V2^rN_k^R

/                             \ ^/«1

l ^m+X-N^ ^

V/V^r^R          /

<с||лЦ|™|(»Ж|„,„)

/

/

\ Пег dyN-k

\ 1/»2

dyN-k _TN-k+eq'₂/2

X

/

V/^tn-^R       /

\ Vel

-^    tCIIA^MIk,,,.,,,/.--.

V/V2^

Из леммы 1 и вложения Я^ _Р2) ^ Н"^^⁶, справедливого в силу (3), имеем

h^Cy\\H? h*.

(Р1,Р2>

Интегралы /2 и 1^ оцениваются одинаково. Рассмотрим, например, /2. Выберем q^ и q^ так, чтобы выполнялось условие т = к / qx — (^ — k^q^. Как и при оценке Ii, получим

/z^CIIA^I-lfoJk,,,,,,

Х /

\0^г„-а^/1/П2

/                           \ »2/Д        \ 1Л^

у ^m+x-N^ _dy_k dy_N-k

\i/V2^rK.^R                )            )

^сд^ХГЧ^^^сш^^

Второе и третье слагаемые в (2) оцениваются одинаково. Рассмотрим третье слагаемое. Учитывая оценку (г + 2h)^m+x-1 — /-^m+x-¹ ^ Chr^m+x-2, справедливую при h < г

(см. [3]), достаточно оценить интеграл

R

h

j _Tm_+X-2^W

(г) | dr < h

h

/

^^-N-^^^^

/1^|ж-у|^Я

^^-N-^yy^^

hjV2^\xk-yk\^R hlV2^\xN_k-yN_k\^R

Th       j       rm+x-N-1\^mHy)\dy

0^\xk-yk\^h/V2

h/V2yxN_k-yN_k\^R

+ h    j rW-^^Hy^dy^Ul^.

a/V2^\xk-yk\^R

0E\$ N-к-'УМ - k\EM V2

Применяя оценку l/<”)(«<.+r»>lkt„.„, < C\\S\\HTnM. m-l,2,...,l,            (4)

справедливую при a — k/pi — (N — k^p2 = m — k/qx — ^N — k^qi, q^ > Pi, г = 1,2, и неравенство Гёльдера, как и для ф, г = 1,2,3, доказываются оценки

^KCWfWH^hx. >

Лемма 3. Пусть / G C^E_Ny I у _х = (N - 1)/2 - s, 0 < % < 1, Z = 0,1,... . Тогда, если а = k/pi + (N — к)/р2 и a > Z + %, то при I ^ 0 для любого h из интервала О < h < R справедлива оценка

R j\po(r + 2h) -2

• <    Доказательство следует из леммы 2 и рассуждений, приведенных при доказательстве леммы 3 в работе [3]. >

Лемма 4. Пусть a = k/pi + (N — k')Ip2, 2 ^ pi < p₂, 0 < k < N, a + s > (^N — I')/2. ___                               0

Тогда для любой непрерывной в замкнутой области D функции f(x) Е H“pi py(G) справедливо неравенство

\EIf(x)UC

I^IIh™ (_G) ⁺ l^llc(D)

С — const,

равномерное на каждом компакте К С D.

< В работе [1] для средних Рисса получено следующее представление l          R

EsJ^ = XxC^Aml I VVrVxWrW + O^M\\H^ m=0 q где V^rVX) = (rVX)1/2Jn+8-ц Jv — функция Бесселя порядка v, Ami — некоторые постоянные.

Поскольку 2 ^ pi < р2, ^{т0 из} вложения H“_pi ^ —> Н^ следует, что последнее равенство может быть записано в виде

I у v^Vx>mMdr + 0M\\f\\Hrpi ^ о

Еу^ = \хС^Ат1

т=0

о

Так как множество функций Cq°^G^ является плотным в классе Н“_р^ ^(G), то для доказательства леммы достаточно получить для функции из Cq°^G) оценку

R

I V^rVx^m^ dr о

< с

Н“

(Р1 ,Р2)

+ 11Жоо] X-xG.

Представим интеграл в левой части (5) в виде

R тг / VX R /= /⁺ / ^;

О 0 _t/Va

Оценим первое слагаемое при т = 1,2,... ,Z. Применив (4), оценку ^(ж) ^ xv и неравенство Гёльдера, получим

•k/Vx

\Г?\ ^ j P(rVA)||

m(r)

dr < о

^/Va у Tm*X-^V^x^\\^m\r^\dr 0

/

6||/Ы(!/)||ц.1.„)

/

/

/

T(m + x-NVA

I’N-k — Un-

pI^tt/VA XO^I^fc-yA-l^^/VA

x (,г^У^⁺⁸"^Пс1,^у_к^

q'Gq'i

\ Ve^ dyN-k )

/

<^11/11я° ,

(Pl,P2>

/

V^l^p-yA-l^^/VA

\ 1/q'i dyk I

/-«I/2

' к             /

/

V92

/

^I^N-fc —У«

dyN-k

N-k-xq',/2 , , nr ' N-k к\^-к!\/Х

<сл-''2||/||я.

(P1.P2)

*

При m = 0 применим оценку (см. [3])

1Л° ^сх-х'ЧЛК..

Объединив оценки (6) и (7), получим

с\\Л\н?   Х"^\

(Р1,Р2>

CM»L„X-X'2,

m = 1,2,... ,1, m = 0.

Для оценки I™ представим подынтегральную функцию в виде

Vm ^V^rVx) = - [у (rVx + 2%) — 2У (rVx + тг)

+У(гх/А)] p_m(r) + (p_m(r)0(RVx).

где

0(t) = ^ ^V(t + тг) + 31Д1) - 21Д1 + 2%)] .

Справедлива оценка (см. [3]) /1(1) = 0(1 х). Следовательно,

№ 4 / ^/Va

Vm (г) V (rVX) dr R                       R <^ j ^hV^Vx>m^dr + 1 ^(rVx'jWipm^dr . (9) 7Г/VA                               7Г/ VA

Для оценки второго слагаемого в (9) при m > 0 применим (4) и неравенство Гёльдера:

R                        R

I /3(гх/А)| Д_т(г)| dr ^ -^= I_г^т+х-2|^(т) (_г) д_т тг/VA                             tt/VA

< ДУ1т111ь1...111|г'"+'‘-,'-11к1,1.,.1 < СА-^Ц/Ц^ и).

При m = 0 применим оценку

/ Н^)Цр»И|*«с||/11ьс»Л-^.

ТГ/ VA

Оценим первый интеграл в (9)

R

I ^2hV(rVx>m^ dr

7Г / s/A

R

= J V(rVA + 2?r) р_т

(г + ^) - 2У„ (г + -^)

+ VmM <1Г

л/Vx

Зтг/VA                      2T/VA

+ J V(rVA)y?_m(r) dr - 2 У V(rVx + тг)ф_т(г) dr л/Сх                    л/Сх

Н+2л/ Vx                   R+л/СХ

- j  Vm (r) dr + 2

R                       R

j V(rVx + тг)ф_т(г) dr .

Первый интеграл в этой сумме оценивается с помощью лемм 2, 3. Остальные интегралы оцениваются повторением оценок (8). >

После доказательства леммы 4 доказательство теоремы проводится по стандартной схеме с использованием того, что эта теорема справедлива для функции из С” и

О                      ___ множество таких функций плотно в Л“р1 Р2)(^) C^D).