О риссовской суммируемости непрерывных функций из классов Никольского со смешанной нормой
Автор: Созанов Валерий Гаврилович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Для непрерывной функции из класса Никольского со смешанной нормой установлена равномерная сходимость на компактах средних Рисса спектрального разложения функции к самой функции.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318052
IDR: 14318052
Текст научной статьи О риссовской суммируемости непрерывных функций из классов Никольского со смешанной нормой
Для непрерывной функции из класса. Никольского со смешанной нормой установлена, равномерная сходимость на. компактах средних Рисса. спектрального разложения функции к самой функции.
Каждую точку ж = (Ж1,Ж2, • • • ,х^ TV-мерного евклидова пространства En будем обозначать в виде пары ^N-кДД, где XN-k = (®ь • • • , XN-k^ и Д = (^jv-fc-n, •••,£©• Кроме того, пусть EN-k и Ек — пространства векторов XN-к и Д соответственно. Измеримая функция /(ж), заданная в En, по определению принадлежит пространству со смешанной нормой £(Р1)Р2), если для нее конечно выражение
||/(®)||£(р1,Р2)(Е„) = ||||/(ж)|Цр1(Ек)|ЦР2(Е,у_к).
Если G произвольное измеримое множество в Er^ а /(ж) измеримая в G функция, то положим
||/(ж)|Ц(р11Р2)(С) = II/(®)I|l(p1jP2)(E„):
где /(ж) = / (ж) при ж Е G и /(ж) = 0 при ж Е En \ G.
Пусть G — произвольная Х-мерная область, А — какое-либо неотрицательное самосопряженное расширение оператора Лапласа в области G, Ца} — соответствующее оператору А разложение единицы и 6Д, у, А) — ядро Е\, называемое спектральной функцией.
Для каждой функции /(ж) Е ^(G) определим спектральное разложение
Exf^ = j 6Д,у,ХДД) dy G и его средние Рисса порядка s ^ О
A s е№ = I (i-^ dEj^. о
В работе В. А. Ильина и Ш. А. Алимова [1] доказано, что достаточным условием равномерной на любом компакте К С G сходимости ЕДД) к функции / (ж) Е Hp(G) при 0 ^ s < ^N — 1)/2, a > 0, р ^ 1 является выполнение следующих условий: а + s ^ (^ — 1)/2, pa > N: доказано также, что эти условия являются окончательными. В частности, выполнение неравенства pa ^ N допускает существование неограниченной
функции /(ж) Е Hp(G), средние Рисса которой заведомо не могут сходится к ней равномерно, поскольку разлагаемая функция не является непрерывной.
Случай pa = N при дополнительном требовании непрерывности разлагаемой функции изучался в работе Ш. А. Алимова [2]. Для непрерывной функции, при-О надлежащей классу Соболева Wlp, там был получен следующий результат.
О
Если функция /(ж) Е TK^G), Ip = N, является непрерывной в некоторой произвольной подобласти D области G, то для равномерной сходимости на каждом компакте К С D средних Рисса Е^/(ж) достаточно выполнения неравенства I + s > (А — 1)/2, где 0 < s < (7V — 1)/2, р ^ 1, I > 0.
Для классов Никольского Hp(G) аналогичный результат получен в работе Н. Н. Козловой [3].
В работе [4] изучались условия равномерной сходимости средних Рисса спектральных разложений для функций из классов Никольского H“pi со смешанной нормой. В ней доказано, что равномерную сходимость на любом компакте К С G средних о
Рисса Е^/(ж) функции /(ж) Е H“p^ P^G^ обеспечивает выполнение условий
N - 1 к N-к
Ot — ------- — S) Ot /* — ~h -------.
2 Pl P2
В настоящей работе изучается предельный случай а = ^^ + А- и доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть N > 2, G — произвольная N-мерная область, D — произвольная подобласть области G и пусть числа s ^ 0, а > 0, pi, р^ связаны соотношениями
М - 1
о Д —~— — s:
N - к к a —--h —;
Р2 Pi
2 < Pi < Р2, 0 < к < N.
О
Тогда для любой непрерывной в области D функции J^ Е H“pi P2^G^ равномерно на каждом компакте К С D выполняется равенство lim Esxf (ж) = / (ж).
А^-оо
Вначале докажем несколько вспомогательных утверждений.
Введем сферические координаты (жо + т0) с центром в точке Жо и обозначим ^m\r, в) производную по радиусу порядка m в направлении 9 от функции /(ж), через А^/(г, 0) — обозначим вторую разность по радиусу в направлении 0:
Д^Ж Д = / Д + 2/ц 0) - 2/Д + h, 0) + /Д, 0).
Через R — обозначим положительное число, меньшее расстояния от точки жо до границы ЭС области G.
Лемма 1. Пусть a = / + х, I = 0,1,2,... , О < х ^ 1- Для любой функции J^ Е H“pi р^Ем') и любого h > О справедливо неравенство
\№(гДШ(Р1^<с\\п\нГр1^.
Так как норма || • ||l(pi р ) принадлежит к классу норм, по отношению к которым для целых функций экспоненциального типа выполняется неравенство Бернштейна (см. [6]), то лемма 1 доказывается так же, как и лемма 3.3 в работе [1].
Введем обозначения
ФМ = — WN
Vm^) = Гт+х ^ф^ЧН, т = 0,1,...,1,
где wn — площадь поверхности TV-мерной сферы единичного радиуса.
Лемма 2. Пусть /(ж) Е Н^^ЕрД a = ^ + Ы и пусть ^ - s = I + х, где О < х < 1, / = 1,2,... тогда, если a > I + х, то для m = 1,2,... , I и любого h из интервала 0 < h < R равномерно относительно х Е En справедлива оценка
R j ^m(r + 2h)-2(рт(т + 1ф+ (pm(r^dr h < Представим подынтегральную функцию в (1) в виде A^m(r) = (г + 2h)m+x"1 ^^Чг + 2h) - 2^тЧг + h) + ^тЧг^ + 2^m\r + h) Vj + W^"1 + (г + НГ+х-^ - ф^Ч^ [(г + 2h)m+x"1 - r™^1] . (2) Оценим первое слагаемое в (2). Пусть r^-k = \$N-k — dN-k\i г^ = ж/; — уф- Тогда имеем I = R j (т + 2кГ+х"1 h \^^\дт ^ с / /1^|ж-у|^Я < С гт+Х-^|Д2/(т)(у)|^ / Tm*x-N\^dW^\dy /l/ v^^ Ддг_),— UN-к I ^ R \ к1Л^\хк-9кКК + / 0^ I^n-a- — Un-к I Eh/ Л ъ/ЛЕ\хк-9к\ЕК Tm^X-N\^jW^^ \ + у т^х"К\^тЧд^ — 11 + ^2 + ^3- h / V^E \$N-k-у n ~k-\ER 0Е\$к-Ук\Ек/Л / Оценим вначале 1^. Пусть е > 0 и удовлетворяет неравенствам «>/+% +е, 0< А + £ < 1. Применим неравенство Гёльдера два раза с показателями qi, q^ и q2, q'^ где 91 и q^ определяются из условия к N -к --1--= m + % + е. 91 92 Получим т^с^и^Шц,,.,,, / X / \h/V2^rN_k^R / \ ^/«1 l ^m+X-N^ ^ V/V^r^R / <с||лЦ|™|(»Ж|„,„) / / \ Пег dyN-k \ 1/»2 dyN-k TN-k+eq'2/2 X / V/^tn-^R / \ Vel -^ tCIIA^MIk,,,.,,,/.--. V/V2^ Из леммы 1 и вложения Я^ Р2) ^ Н"^^6, справедливого в силу (3), имеем h^Cy\\H? h*. (Р1,Р2> Интегралы /2 и 1^ оцениваются одинаково. Рассмотрим, например, /2. Выберем q^ и q^ так, чтобы выполнялось условие т = к / qx — (^ — k^q^. Как и при оценке Ii, получим /z^CIIA^I-lfoJk,,,,,, Х / \0^г„-а^/1/П2 / \ »2/Д \ 1Л^ у ^m+x-N^ dyk dyN-k \i/V2^rK.^R ) ) ^сд^ХГЧ^^^сш^^ Второе и третье слагаемые в (2) оцениваются одинаково. Рассмотрим третье слагаемое. Учитывая оценку (г + 2h)m+x-1 — /-m+x-1 ^ Chrm+x-2, справедливую при h < г (см. [3]), достаточно оценить интеграл R h j Tm+X-2^W (г) | dr < h h / ^^-N-^^^^ /1^|ж-у|^Я ^^-N-^yy^^ hjV2^\xk-yk\^R hlV2^\xN_k-yN_k\^R Th j rm+x-N-1\^mHy)\dy 0^\xk-yk\^h/V2 h/V2yxN_k-yN_k\^R + h j rW-^^Hy^dy^Ul^. a/V2^\xk-yk\^R 0E\$ N-к-'УМ - k\EM V2 Применяя оценку l/<”)(«<.+r»>lkt„.„, < C\\S\\HTnM. m-l,2,...,l, (4) справедливую при a — k/pi — (N — k^p2 = m — k/qx — ^N — k^qi, q^ > Pi, г = 1,2, и неравенство Гёльдера, как и для ф, г = 1,2,3, доказываются оценки ^KCWfWH^hx. > Лемма 3. Пусть / G C^ENy I у х = (N - 1)/2 - s, 0 < % < 1, Z = 0,1,... . Тогда, если а = k/pi + (N — к)/р2 и a > Z + %, то при I ^ 0 для любого h из интервала О < h < R справедлива оценка R j\po(r + 2h) -2 < Доказательство следует из леммы 2 и рассуждений, приведенных при доказательстве леммы 3 в работе [3]. > Лемма 4. Пусть a = k/pi + (N — k')Ip2, 2 ^ pi < p2, 0 < k < N, a + s > (^N — I')/2. ___ 0 Тогда для любой непрерывной в замкнутой области D функции f(x) Е H“pi py(G) справедливо неравенство \EIf(x)UC I^IIh™ (G) + l^llc(D) С — const, равномерное на каждом компакте К С D. < В работе [1] для средних Рисса получено следующее представление l R EsJ^ = XxC^Aml I VVrVxWrW + O^M\\H^ m=0 q где V^rVX) = (rVX)1/2Jn+8-ц Jv — функция Бесселя порядка v, Ami — некоторые постоянные. Поскольку 2 ^ pi < р2, т0 из вложения H“pi ^ —> Н^ следует, что последнее равенство может быть записано в виде I у v^Vx>mMdr + 0M\\f\\Hrpi ^ о Еу^ = \хС^Ат1 т=0 о Так как множество функций Cq°^G^ является плотным в классе Н“р^ ^(G), то для доказательства леммы достаточно получить для функции из Cq°^G) оценку R I V^rVx^m^ dr о < с Н“ (Р1 ,Р2) + 11Жоо] X-xG. Представим интеграл в левой части (5) в виде R тг / VX R /= /+ / ; О 0 t/Va Оценим первое слагаемое при т = 1,2,... ,Z. Применив (4), оценку ^(ж) ^ xv и неравенство Гёльдера, получим •k/Vx \Г?\ ^ j P(rVA)|| m(r) ^/Va у Tm*X-^V^x^\\^m\r^\dr 0 / 6||/Ы(!/)||ц.1.„) / / / T(m + x-NVA I’N-k — Un- pI^tt/VA XO^I^fc-yA-l^^/VA x (,г^У^+8"Пс1,^ук^ q'Gq'i \ Ve^ dyN-k ) / <^11/11я° , (Pl,P2> / V^l^p-yA-l^^/VA \ 1/q'i dyk I /-«I/2 ' к / / V92 / ^I^N-fc —У« dyN-k N-k-xq',/2 , , nr ' N-k к\^-к!\/Х <сл-''2||/||я. (P1.P2) * При m = 0 применим оценку (см. [3]) 1Л° ^сх-х'ЧЛК.. Объединив оценки (6) и (7), получим с\\Л\н? Х"^\ (Р1,Р2> CM»L„X-X'2, m = 1,2,... ,1, m = 0. Для оценки I™ представим подынтегральную функцию в виде Vm ^V^rVx) = - [у (rVx + 2%) — 2У (rVx + тг) +У(гх/А)] pm(r) + (pm(r)0(RVx). где 0(t) = ^ ^V(t + тг) + 31Д1) - 21Д1 + 2%)] . Справедлива оценка (см. [3]) /1(1) = 0(1 х). Следовательно, № 4 / ^/Va Vm (г) V (rVX) dr R R <^ j ^hV^Vx>m^dr + 1 ^(rVx'jWipm^dr . (9) 7Г/VA 7Г/ VA Для оценки второго слагаемого в (9) при m > 0 применим (4) и неравенство Гёльдера: R R I /3(гх/А)| Дт(г)| dr ^ -^= Iгт+х-2|^(т) (г) дт тг/VA tt/VA < ДУ1т111ь1...111|г'"+'‘-,'-11к1,1.,.1 < СА-^Ц/Ц^ и). При m = 0 применим оценку / Н^)Цр»И|*«с||/11ьс»Л-^. ТГ/ VA Оценим первый интеграл в (9) R I ^2hV(rVx>m^ dr 7Г / s/A R = J V(rVA + 2?r) рт (г + ^) - 2У„ (г + -^) + VmM <1Г л/Vx Зтг/VA 2T/VA + J V(rVA)y?m(r) dr - 2 У V(rVx + тг)фт(г) dr л/Сх л/Сх Н+2л/ Vx R+л/СХ - j V R R j V(rVx + тг)фт(г) dr . Первый интеграл в этой сумме оценивается с помощью лемм 2, 3. Остальные интегралы оцениваются повторением оценок (8). > После доказательства леммы 4 доказательство теоремы проводится по стандартной схеме с использованием того, что эта теорема справедлива для функции из С” и О ___ множество таких функций плотно в Л“р1 Р2)(^) C^D).
Список литературы О риссовской суммируемости непрерывных функций из классов Никольского со смешанной нормой
- Алимов Ш. А., Ильин В. А. I. Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих самосопряженным расширениям эллиптических операторов. II. Самосопряженное расширение оператора Лапласа с произвольным спектром//Дифференц. уравнения.-1971.-Т. 7, № 5.-С. 851-882.
- Алимов Ш. А. О разложимости непрерывных функций из класса Соболева по собственным функциям оператора Лапласа//Сиб. мат. журн.-1978.-Т. 19, № 4.-С. 721-734.
- Козлова Н. Н. О риссовской суммируемости непрерывных функций из классов Никольского//Дифференц. уравнения.-1984.-Т. 20, № 1.-С. 46-56.
- Созанов В. Г. О равномерной сходимости спектральных разложений из H^{\alpha}_{(p_1,p_2)}//Дифференц. уравнения.-1984.-Т. 20, № 1.-С. 124-128.
- Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М.: Наука, 1975.
- Никольский С. М. Об одной задаче С. Л. Соболева//Сиб. мат. журн.-1962.-Т. 3, № 6.-С. 845-851.