О самопринадлежащих множествах как неподвижных точках

Подробно свойства множеств с само-принадлежностью описаны в работе [7].

В данной статье описаны свойства канонического отображения множества всех множеств в себя.

Как известно [7], [5], множество всех множеств обладает, в частности, следующими свойствами:

• а)    М ∈ М,

• б)    М = Exp(M),

• в)    М – единственно.

Имеется следующая теорема (доказательство в работах [7], [5]).

Теорема 1 (о транзитивности принадлежности)

Пусть объекты, принадлежащие само-принадлежащему объекту А, принадлежат и тому объекту В, которому объект А принадлежит А ∈ А, (A ∉∅ ), А ∈ В, тогда объекты из А принадлежат и объекту В, x ∈ A ⇒ x ∈ В, т. е. А ⊆ В.

С учетом свойств а) б) множества М имеется отображение ϕ : М → М такое, что

∀ А, А ⊆ М ⇒ [А] ∈ М ( ϕ (А) = [А]) ¹.

С учетом теоремы о транзитивности принадлежности неподвижными точками отображения ϕ ( ϕ (Х) = Х) являются самопри-надлежащие множества:

ϕ (Х) = Х ⇔ Х ∈ Х.

Очевидно, что если Y ∉ Y, то ϕ (Y) = [Y], где [Y] – единичный объект, |[Y]|=1. То есть в случае несамопринадлежащих множеств (Y ∉ Y) имеет место последовательность отображений:

Y = {a, …, b} → ; ^ϕ [Y] → ; ^ϕ [Y] .

Таким образом, отображение ϕ переводит все Несамопринадлежащие множества в единичные объекты (самопринадлежащие), которые являются неподвижными точками отображения ϕ .

Доказана теорема.

Теорема 2 (о неподвижных точках)

На множестве М задано каноническое отображение ϕ : М → М, такое что

∀ А, А ⊆ М ⇒ [А] ∈ М ( ϕ (А) = [А]);

неподвижные точки этого отображения ϕ – самопринадлежащие множества. □

То есть, несамопринадлежащие множества не являются неподвижными точками отображения ϕ порождаемого отношением принадлежности ¹.

Таким образом, общее свойство само-принадлежащих множеств быть неподвижными точками канонического отображения множества всех множеств в себя указано.