О саморегуляризирующих свойствах коллокационно-вариационного метода для дифференциально-алгебраических уравнений

Многие математические модели из области химии, биологии, энергетики представляют собой взаимосвязанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и конечномерных уравнений, которые можно записать в виде системы ОДУ с тождественно вырожденной матрицей перед производной. Такие постановки задач принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Свойства ДАУ в значительной мере отличаются от свойств ОДУ, разрешенных относительно производной. Данный факт во многом объясняет сложность численного решения ДАУ. В частности, принципиально нельзя применять явные разностные схемы (в силу вырожденности матрицы перед производной), а неявные схемы могут быть неустойчивыми. Другими направлениями теории численного решения ДАУ являются «расширенные системы» [7] и подходы, основанные на различных полуобратных матрицах и проекторах [2; 9]). К их принципиальным недостаткам можно отнести тот факт, что они применимы для узкого класса задач и сложны в реализации.

Кроме того, все вышеобозначенные методы не учитывают следующую характеристику ДАУ. Рассматриваемые задачи относятся к классу некорректных задач. По Адамару, задача считается корректно поставленной, если ее решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от входных данных. Некорректной она называется в том случае, когда не выполняется хотя бы одно из вышеперечисленных условий. Статья [8] посвящена одношаговой разностной схеме первого порядка, которая учитывает погрешности входных данных (обладает регулязирующим свойством). В этой же работе приведен обзор методов регуляризации для ДАУ.

Перспективным подходом для численного решения ДАУ являются коллокационно-вариационные алгоритмы. В исследованиях [3-5] показаны их эффективность, простота в реализации и применимость для широкого класса задач. В настоящей работе проведено исследование саморе-гуляризирующих свойств данных численных методов.

1 Постановка задачи

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

A ( t ) х '( t ) + B ( t ) x ( t ) = f ( t ), t e [0,1],                          (1)

x ⁽⁰⁾ = x 0 ,                                ⁽²⁾

где A ( t ) и B ( t ) — ( n x n ) -матрицы, f ( t ) и x ( t ) — заданная и искомая n -мерные вектор-функции, причем det A ( t ) = 0. Как уже отмечалось, такие задачи принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями. Предполагается, что для ДАУ (1) начальное условие (2) согласовано с правой частью.

Как было отмечено во введении, ДАУ относятся к классу некорректных задач. Проиллюстрируем этот факт простым примером.

Пример 1.

f ¹ t Y u ¹ t ) U ^{0 a} Y u ⁽ t ) U q ⁽ t ) ) t e [0,1],

I0 0 J( v'(t) J (1 t J( v(t) J (g(t)У где a — скалярный параметр, a ^ 1, имеет единственное, не зависящее от начального условия решение

u ⁽ t ) = g ⁽ t ) ^- tv ⁽ t ), ^{v (} t ) = ⁽ g ⁽ t ) ^- q ⁽ t ))^{/(1 - a} ).

При a = 1 однородная задача с нулевым начальным условием имеет множество решений u (t) = - tv (t), где v (t) — произвольная гладкая функ ция с условием v(0) = 0.

Далее рассмотрим возмущенную задачу

t т u? t ⁾ 1 0 Л П t ) J

■ ⁰

V ¹

~z a ^{u (} t ) t Л ~( t ) J

q ⁽ t )

g ( t ) + s sin - t y

V s J

Если a Ф 1,0 < s << 1, то будем иметь и (t) - и (t) = -t (v (t) - v (t)) + s sin

-Ц , v ⁽ t ) ^{- v (} t )) = —cos - t y. s s s

При u(0) = и(0), v(0) = v(0) данный пример не имеет классического решения.

Некорректные задачи требуют создания так называемых регулязи-рующих алгоритмов.

Определение 1 (см., напр. [6]). Пусть дано операторное уравнение Az = и , где A — линейный оператор, действующий из нормированного пространства Z в нормированное пространство U . Тогда регуляризи-рующим алгоритмом (регуляризирующим оператором) называется оператор R( 3 , и ₃ ) ^ R ₃ ( и ₃ ), обладающий двумя следующими свойствами:

• 1.    R ₃ ( и ₃ ) определен для любых 3 >  0 и ₃ е U , и отображает (0, +да ) х U в Z .

• 2.    Для любого z е Z и для любого и ₃ е U , такого, что Az = и , | u - и ₃ | <  3 , ³ >  ⁰ , ^z 3 = R 3 ^{( и} 3 ) 3 ^ 0 ^ z .

В статье [1] впервые показано, что методы решения некоторых классов интегральных уравнений Вольтерра первого рода (ИУВ1), основанные на простейших квадратурных формулах, порождают регуляризирующий алгоритм с параметром регуляризации — шагом сетки, определенным образом связанным с уровнем возмущения правой части в метрике C _[0 1] . В таком случае принято говорить, что алгоритм обладает свойством саморе-гуляризации, а шаг интегрирования принято называть квазиоптимальным.

Определение 2 [10]. Шаг интегрирования принято называть квазиоп-тимальным, если погрешность Цх , ._{+ 1} - x ( t i _{+ 1})|| = p i _{+ 1} ( 3 , h ( 3 )) имеет максимальную скорость стремления к нулю.

Поскольку проблемы численного решения рассматриваемых задач в некотором смысле похожи на проблемы численного решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода, аналогичный результат [8] был получен для одношаговой схемы первого порядка, предназначенной для решения линейных ДАУ. Данная схема имеет невысокий порядок, поэтому есть смысл исследовать другие алгоритмы численного решения ДАУ на регуляризирующие свойства, например, коллокационно-вариационные.

2 Коллокационно-вариационная разностная

Рассмотрим построение конкретной коллокационно-вариационной разностной схемы [5].

Пусть L ₂ ( x, _{+ 1} , x i , x i , , t ), t е [ t i , , t i _{+ 1} ], — интерполяционный вектор-полином, проходящий через точки ( t i _ 1 , x i - 1 ), ( t i , x i ), ( t i _{+ 1} , x i _{+ 1} ). Подставив его в (2) и полагая t = t i _{+ 1} , получим

4 + 1 (3 x_{; + 1} _ 4 x_; + x i - 1 ) + 2 hB_M x_M = 2 hf _M,           (3)

Будем смотреть на разностную схему (5) как на одношаговую, т. е. будем иметь недоопределенную СЛАУ размером n х 2 n , которую дополним условием минимума выпуклой целевой функции Ф ( x ii _{+ 1} , x i ).

Определим | L 2 ⁽ x + , x , x _ 1 , t |², t ^{е [} - 1 , + ^], как

2 t > + 1

II L 2 ОЦ = ^ f L 2 j ) T ⁽ x i + 1 , x i , x i - 1 , t ) L 2 j ) ⁽ x i + 1 , x i , x i - 1 , t ) ^dt .                 ⁽⁴⁾

J ⁰ t , - 1

Данная функция аппроксимирует квадрат нормы решения на отрезке [ t i - 1 , t i _{+ 1} ]. Применяя для вычисления определенного интеграла (4) формулу левых прямоугольников, будем иметь

2 t i + 1

II L 2 ОЦ = ^ f L 2 j ) T ⁽ x i + 1 , x i , x i - 1 , t ) L 2 j ) ⁽ x i + 1 , x i , x i - 1 , t ) ^dt ~             ⁽⁵⁾

J = ⁰ t , - 1

(

2 h ||x- 1f +

V

1 z

—^(- xi + 1 ^{+ 4} xi

2 h

—

• ³    x i - 1 )   ⁺ 72⁽ x i + 1

h

—

• ²    x i + x i - 1 )    .

J

Здесь норма вектора — евклидова. Так как мы полагаем, что x i - 1 задано и постоянный множитель не влияет на поиск аргумента условного минимума целевой функции, то в качестве ее выбираем

• ^{ф (} x i + 1 , x i ) = h ^ ||^- x i + 1 ^{+ 4} x i ^{- 3} x i - 1|| ² +| x i + 1 ^{- 2} x i ⁺ x i - 1112 .             ⁽⁶⁾

Выражение (6) представляет собой некий аналог квадрата нормы интерполяционного векторного многочлена L ₂ ( x i _{+ 1} , x i , x i - 1 , t ), t е [ t i - 1 , t i + 1 ] .

Стандартно [3] перейдем от задачи на минимум функции (6) с ограничением (3) к задаче на безусловный минимум функции Лагранжа

• Z ^{( x} i + 1 , ^x i , ^{л )} = h ^||^{- x} i + 1 + ^{4 x} i ^{- 3 x} i -1112 +| x i + 1 ^{- 2 x} i + ^x i -1112 +

+ ЛТ [(3 Ai+1 + 2 hBi+1) xi+1 - 4 Ai+1 xi + Ai+1 x-1 - 2 hf+1 ], где Л = (Л1,Л2,...,Л„)T — n-мерный вектор множителей Лагранжа. Аргументы x;+1, x;■, Л , при которых функция (6) будет достигать минимума, удовлетворяют следующей СЛАУ

f (2 + 0.5 h 2) E — (4 + 2 h 2) E	— (4 + 2 h 2) E (8 + 8 h 2) E	(3 A * + 1 + 2 hB * + 1 ) T ) — 4 Al + 1	x * + 1 x *
3 Ai+ , + 2 hBi+, ^ * + 1             * + 1	— 4 A * + 1	0 J	UJ

(2 +1.5 h2) E f 0 1

с

(4 + 6 h ²) E x i - 1

—

A . + 1

J

1 2 f + 1 J

Таким образом, полагая x i _{+ 1} известным, x i и x i _— 1 находим из условия минимума функции (6) при ограничениях (3), т. е. продвигаемся сразу на 2 h . Далее процесс повторяется до исчерпания отрезка.

Далее выдвинем предположение, основанное на анализе поведения погрешности ||~ i _{+ 1} — x ( t i _{+ 1} )|| (см. Определение 2), что квазиоптимальный шаг h ^х 5 ^1/3 , и проверим его на численном расчете модельного примера. Обоснование данного результата предполагается провести в дальнейшем.

3 Численный расчет

Применим метод (7) для примера 1

f ¹ t 1f "^t ) 1+f ^{0 0} Y ~⁽ t ) 1=f q ⁽ t )     1 , t _e [0,1],

( 0 0 J( ?( t ) J ( 1 t J( ~( t ) J ( exp( — t ) + 5 (t ) J

Точное решение данного примера     " ( t ) = exp( — t ) + t exp( — t ),

v(t) = — exp(—t) в случае 5(t) = 0. Погрешности для нескольких значений шага интегрирования и пилообразного возмущения 5(t) ^ (—1)*5 даны в таблице 1. Под погрешностью понимается max1s*

Таблица 1

h 5	0.15	0.075	0.0375
0.1	0.035	0.099	0.11
0.075	0.0144	0.068	0.087
0.05	0.028	0.038	0.056
0.0125	0.069	0.085	0.0096
0.01	0.072	0.011	0.0065
0.002	0.081	0.02	0.0036
0.001	0.082	0.022	0.0048

Приведенные результаты согласуются с предположением, что квазиоп-тимальный шаг h ≍ δ^1/3 . В самом деле, уменьшая δ приблизительно в 6 раз, квазиоптимальный шаг уменьшается в 2 раза, то есть приблизительно как 6^1/3 .

Заключение

В статье рассмотрены линейные дифференциально-алгебраические уравнения. Перспективным подходом их численного решения являются коллокационно-вариационные методы. Исследованы саморегуляризи-рующие свойства коллокационно-вариационой разностной схемы с одной точкой коллокации на модельном примере.