О счётности последователей типа PN и основаниях теории меры

Предисловие

Теория множеств с самопринадлежно-стью описана ранее в [5], [4]. В работе [4] описывались упорядоченные структуры этой теории. В связи с необходимостью обоснования теории меры в этой работе описано доказательство счётности последователей типа PN(.) и его приложения к основаниям теории меры.

1.    Последователи типа PN(.)

Натуральный ряд N в М (множестве всех множеств) выделяется как множество простых последовательных последователей к ничто (или к начальному, единичному элементу ряда):

N = {[х] ∈ М |([х] ∈∅ ) или ([x]=Pⁿ( ∅ ), где n ∈ N и Р(V(Р(х))) = х) ¹}.

Свойства натурального ряда

• 1.    Натуральный ряд не единственен.

• 2.    N – несамопринадлежаще, N ∉ N.

• 3.    Внутренность² натурального ряда совпадает с самим натуральным рядом, V(N) = N, что означает невозможность обратного счёта от абстракции бесконечности объектов счётного числового ряда к конечным числам³.

Имеются две возможности рассмотрения последователей к натуральному ряду N (N – либо как единичное, либо как многое):

• 1.    Простой последователь к N как к единичному объекту [N], Р([N]); [N] – единичный объект изоморфен единице [N] ≅ [1], Р([N]) – двойке, такое рассмотрение выявляет структуру, изоморфную натуральному ряду, но новых структур не выявляет.

• 2.    Бесконечный последователь – последователь к множеству всех объектов из N, последователь к натуральному ряду, взятому как многое, {N}: РN = {[х] ∈ М | ([х] ∈∅ ) или ([x] ∈ N либо х = РN( ∅ )) }.

Свойства бесконечного последователя РN:

• 1)    вообще РN не единственен,

• 2)    РN – самопринадлежащ,

• 3)    V(РN(∅)) = N.

2.    Счётность последователей типа PN(.)

Так же, как и для счётных последователей, определимы n-е бесконечные последователи типа PN: PN(PN( ∅ )) = PN²( ∅ ) и т. д. и бесконечные последователи:

PN^{PN( ∅ )}( ∅ )={[х] ∈ М|[х] ∈∅ или (х=(PN^α ( ∅ )), α ∈ РN( ∅ ) ) } и т. д.

Обозначается мощность последователя ность внутренностей натурального ряда неубывающая и совпадает с самим натуральным рядом.

PN(0) через о, тогда |P(PN(0))|=®+1, |PN(PN(0))|=|PN2(0)|=о+о, PNPN(0)(0)=о•о.

Счётность ω+1 очевидна: сначала считаем простой последователь, следующий за PN(0), затем простые последователи, входящие в PN(0).

Счётность о+о также легко видеть: считаются пары последователей Pn(0) и Pn(PN(0)), пар счётное число, ввиду счётной бесконечности пересчёта общее число о ■ о - счётно.

Рассмотрим счётность о-о. Счёт возможен различный: а) по строкам, сводя о-о к сложению о+о+о+... (о раз), ввиду счётности о+о эта сумма, равная о-о, счётна; или б) по диагоналям", пересчёт 1, 2, 12, 13, 22, 3, 4, 32 и т. д. ввиду счётной бесконечности пересчёта

о-о - счётно. 1 2 3 4 5 12 22 32 42 13 23 33 . ■         (1) . 1n 2n 3n Аналогично показывается счётность о-о-о и т. п. произведений (счётность о-о-о на диаграмме изображается в 3-мерном пространстве, как счётность о-о в 2-мерном в (1)).

Далее рассматривается ωω, это эквивалентно счётности в о-мерной диаграмме вида (1). Пересчёт по диагонали таков. Аналогично пересчёту, указанному выше для (1), пересчитываются диагонали, для пересчёта каждой диагонали требуется о шагов, для пересчёта первых двух диагоналей о+о шагов, затем в сумме по всем диагоналям получается о-о шагов, а это счётное число (см. выше).

Даже если имеются сверх-степени вида ^оо = о Л о Л “ Л. (о раз, о^ло=о^о), то для них рассуждения аналогичны вышеприведённым (то же для сверх-сверх-степеней и т. д.) ⁴.

С учётом вышесказанного, в общем виде счётность степеней о показывается на основании изоморфизма PN2(.)=PN(.), означающего равенство о+о = о.(2)

Так о-о преобразуется к равенству о-о = (о+о+о+.+о);      о раз,

(3) в котором о раз по (2) о+о заменяется на о, и в итоге получается о-о = о.(4)

оо преобразуется к равенству оо = (о-о-о-.-о);     “раз

(5) в котором о раз по (4) о-о заменяется на о, и в итоге получается оо=о.(6)

оо преобразуется к равенству оо= (“ЛоЛ“Л.Ло);     о Раз

(7) в котором о раз по (6) “Ло=о-о заменяется на о, и в итоге получается оо=о.(8)

И так далее. Тем самым доказана теорема.

Теорема 1 (о счётности последователей PN). Последователи вида PN(.) и их всевозможные бесконечные степени, строящиеся посредством самих последователей PN(.) и их PN(.) степеней, являются счётными. □

В том случае, если сложение и другие операции в (3), (5), (7) и т. п. выполняются недостижимое число раз, равное мощности недостижимого последователя |PO(.)|=у, то итоговые преобразования оказываются такими же, как и в предыдущей теореме. Причём о+у = о+у = v >о, т. е.

PN(PO(.)) = PO(PN(.))=PO(.), но Ошибка! , т. е. о-у = о ⁵ и т. п. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2 (о счётности последователей PN). Последователи вида PN(.) и их всевозможные бесконечные степени (даже недостижимые, типа PO(.)) - счётны. □

Тогда, по доказанной теореме, поскольку следующие за PN последователи - недостижимые PO(.) - несчётны, последователи

PN(.) остаётся (для простоты наименований) называть счётными последователями.

Таким образом, имеются: 1) простые (конечные) последователи P(.), 2) счётные последователи PN(.), 3) недостижимые последователи PO(.). Как указано в [ТМ 2], этими последователями исчерпывается иерархия последователей.

3.    Приложение к теории меры

При построении теории меры на много- мерных упорядоченных объектах требуется, чтобы указанное многомерие допускало изоморфное отображение на одномерие. Например, обычная двумерная мера площади (при определённых одномерных мерах) построима при наличии изоморфизма двумерия в одно-мерие (на который уже накладываются операции с мерами). Если имеется конечная упорядоченная совокупность K ограниченной мощности |K|=k, то при построении двумерной меры указанный выше требуемый изоморфизм двумерия на одномерие отсутствует: KxK =;/ K (это очевидно).

С другой стороны, так как (4) w« = ш, то при счётной бесконечности объектов имеется изоморфизм двумерия на одномерие, т. е. основания для отображения двумерной меры площади в одномерное её значение – налицо.

Вышесказанным доказана теорема.

Теорема 3 (о необходимости абстракции актуальной бесконечности). Для построения теории меры необходима абстракция актуальной бесконечности. □6

Заключение

Установлено, что последователи типа PN(.) являются счётными последователями. Тем самым показано, что имеется иерархия последователей (иерархия уровней бесконечности): 1) простые (конечные) последователи P(.), 2) счётные последователи PN(.), 3) недостижимые последователи PO(.). Мощность множества всех множеств больше мощности недостижимых последователей.

Обосновано, что для построения оснований теории меры необходима абстракция актуальной бесконечности.