О семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с разрывными ядрами
Автор: Сидоров Денис Николаевич
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 18 (277), 2012 года.
Бесплатный доступ
Предложен метод построения параметрических семейств непрерывных решений одного класса интегральных уравнений Вольтерры первого рода, возникающих в теории развивающихся систем. Ядра рассматриваемых уравнений допускают разрывы первого рода на монотонно возрастающих кривых. В явном виде построено характеристическое алгебраическое уравнение. Отдельно изучается регулярный случай, когда характеристическое уравнение не имеет натуральных корней и решение интегрального уравнения единственное. В нерегулярном случае характеристическое уравнение имеет натуральные корни, а решение рассматриваемого интегрального уравнения содержит произвольные постоянные. При этом решение может быть неограниченными, если характеристическое уравнение имеет нулевой корень. Показано, что число произвольных постоянных, входящих в решение, зависит от кратности натуральных корней характеристического уравнения. Доказаны теоремы существования параметрических семейств решений и строится их асимптотика с помощью логарифмо-степенных полиномов. Асимптотика может уточняться численно или последовательными приближениями.
Интегральное уравнение вольтерры первого рода, асимптотика, разрывное ядро, последовательные приближения, логарифмо-степенные полиномы
Короткий адрес: https://sciup.org/147159138
IDR: 147159138 | УДК: 517.983
Solution to the Volterra integral equations of the first kind with discontinuous kernels
The method of parametric families of continuous solutions construction for the Volterra integral equations of the first kind arising in the theory of developing systems is proposed. The kernels of these equations admit a first-order discontinuities on the monotone increasing curves. The explicit characteristic algebraic equation is constructed. In the regular case characteristic equation has no positive roots and solution of the integral equation is unique. In irregular case the characteristic equation has natural roots and the solution contains arbitrary constants. The solution can be unbounded if characteristic equation has zero root. It is shown that the number of arbitrary constants in the solution depends on the multiplicity of positive roots of the characteristic equation. We prove existence theorem for parametric families of solutions and built their asymptotics with logarithmic power polynomials. Asymptotics can be specified numerically or using the successive approximations.
Список литературы О семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с разрывными ядрами
- Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications/N.A. Sidorov, B.V. Loginov, A.V. Sinitsyn, M.V. Falaleev. -Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 p.
- Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators/G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. -Utrecht; Boston: VSP, 2003. -216 p.
- Апарцин, А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы/А.С. Апарцин. -Новосибирск: Наука, 1999. -193 с.
- Маркова, Е.В. О моделях развивающихся систем типа Глушкова и их приложениях в электроэнергетике/Е.В. Маркова, И.В. Сидлер, В.В. Труфанов//Автоматика и телемеханика. -2011. -№7.-С. 20 -28.
- Denisov, A.M. On a special Volterra integral equation of the first kind/A.M. Denisov, A. Lorenzi//Boll. Un. Mat. Ital. B. -1995.-V. 7, №9. -P. 443 -457.
- Яценко, Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью/Ю.П. Яценко. -Киев: Наукова думка, 1991. -218 с.
- Evans, G.C. Volterra’s Integral Equation of the Second Kind with Discontinuous Kernel/G.C. Evans//Transactions of the American Mathematical Society. -1910. -V. 11, №4. -P. 393 -413.
- Хромов, А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях/А.П. Хромов//Математический сборник. -2006. -T. 197, №11. -C. 115 -142.
- Магницкий, Н.А. Асимптотика решений интегрального уравнения Вольтерры первого рода/Н.А. Магницкий//ДАН СССР. -1983. -T. 269, №1. -C. 29 -32.
- Сидоров, Н.А. Существование и построение обобщенных решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода/Н.А. Сидоров, Д.Н. Сидоров//Дифференц. уравнения. -2006. -T. 42, №9. -C. 1243 -1242.
- Сидоров, Н.А. Нелинейные операторные уравнения с функционально возмущенным аргументом нейтрального типа/Н.А. Сидоров, А.В. Труфанов//Дифференц. уравнения. -2009. -T. 45, №12. -C. 1804 -1808.
- Сидоров, Н.А. Существование и структура решений интегро-функциональных уравнений Вольтерры первого рода/Н.А. Сидоров, А.В. Труфанов, Д.Н. Сидоров//Изв. ИГУ, сер. математика. -2007. -T. 1. -C. 267 -274.
- Sidorov, N.A. Generalized solutions of Volterra integral equations of the first kind/N.A. Sidorov, M.V. Falaleev, D.N. Sidorov//Bull. Malays. Math. Soc. -2006. -V. 29, №2. -P. 1 -5.
- Сидоров, Н.А. О решении операторно-интегральных уравнений Вольтерры в нерегулярном случае методом последовательных приближений/Н.А. Сидоров, Д.Н. Сидоров, А.В. Красник//Дифференциальные уравнения. -2010. -T. 40, №6. -C. 874 -882.
- Сидоров, Н.А. О малых решениях нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности точек ветвления/Н.А. Сидоров, Д.Н. Сидоров//Изв. вузов. Матем. -2011. -№5. -C. 53 -61.
- Треногин, В.А. Функциональный анализ/В.А. Треногин. -Изд. 4-е. -М.: Физматлит, 2007. -488 с.
- Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей/А.О. Гельфонд. -М.: Физматлит, 1959. -400 с.
- Сидоров, Д.Н. Метод монотонных мажорант в теории нелинейных уравнений Вольтерры/Д.Н. Сидоров, Н.А. Сидоров//Изв. ИГУ, сер. математика. -2011. -T. 4, №1. -C. 97 -108.
