О сходимости последовательности операторов внутренней суперпозиции

Будем обозначать через 7? - пространство действительных чисел, Т - локально компактное пространство, счетное в бесконечности, Я - положительная мера на Т. Через ЕЛ(Т), ре[1,со] обозначим банахово пространство суммируемых в степени р относительно меры X функций у у: Г -> й с нормой Ы^(т\Л) = (^T^d^-W .

Пусть 7] 2 Г . Зададим отображение г: Т -> Т_х и q-.T -> R . Обозначим Е = \1еТ ; г(/) е Г} и

%_Е - характеристическая функция множества Е .

Оператор внутренней суперпозиции 5 зададим равенством

Jg(Oy(z"(/)), УОеТ,

<                          у: Т -> R .

[    0, т(0еТ,

В дальнейшем оператор 5 нам будет удобнее записывать в виде (SyXO^XE^MOyWO').

Сужение функции /меры / / на множество А обозначим через f_A . Через КУ") обозначено пространство функций у: Т -> R с компактным носителем.

Придерживаясь обозначений и терминологии Н. Бурбаки [3], пару (^,g) будем называть X-приспособленной (здесь тс: Т -> Тх, g-.T -> R, g > 0, X - положительная мера на Т), если функции я и g Я-измеримы и для любой функции / еК(Т) отображение t —> g^O/^V)) X-интегрируемо. Всякая Я-приспособленная пара (^,g) определяет на Тх меру ц, которая задается равенством j/№(s) =             Ф^К(Тху

Меру ц будем обозначать через 7r(gЯ).

Приведем теорему из [4], условия которой обеспечивают действие оператора внутренней суперпозиции.

Теорема 1. Пусть ре[1,со], Я - положительная мера на Т, пара (r_E,\q_E\^p) Х_Е-приспособлена и \q_E\^p ограничена. Пусть далее существуют такие неотрицательные числа а, А, что для любого X-измеримого множества АаТ множество c~\A)r\{t е E\\q(t}\>Q} X-измеримо и

Х(т"\А) n^teE;\q(t)\ > 0}) < аХ(А) + А.

Тогда 1) Существуют положительная мера v на Т и числа М такие, что пара (г^,^^) v_Е-приспособлена и p = T_E^q_E\^p v_E)МТ ■ [Х^Я (•»! ^ve -интегрируема.

Следствие. В условиях теоремы 1 существует мера v такая, что оператор внутренней суперпозиции S непрерывно отображает пространство С_р{Т) в себя.

Рассмотрим вопрос о сходимости последовательности операторов внутренней суперпозиции.

Пусть т_к : Т —> Т_х, q_k : Т -> R , Е_к = {Г е Т: T_k(t) еГ}, к = 0,1,... Зададим операторы внутренней суперпозиции:

(skyXO = хЕк QWtWkW) ■

Здесь будем предполагать, что для числа ре[1,оо] и положительной меры л пары ^-кЕк^кЕ^ ^Е_к -приспособлены и ^q_{k Ек} |^Р ограничены. Далее, существуют такие числа а_к и А_к, что для любого Л -измеримого множества АсТ множество тфЧА)гЦ1 е Е_к : |^(0| >0} А- измеримои

A(Tf\A)nV е Е_к : |^_£jt (/)| > 0}) <  а_кЛ(Л) + А_к, к = 0,1,...

Как следует из теоремы 1 для каждого к = 0, 1,..., существует мера v_k такая, что оператор S_k : Ik* (Г) —> Zp (Т) непрерывен и существуют ограниченный в существенном относительно v_k производные —, где ц_к = т_Е (\q_kE v_A).

dvk

Лемма 1. Пусть Т - локально компактное пространство, / :Т —> R - непрерывная функция с компактным носителем Кj. Тогда fравномерно непрерывна на Т

Доказательство. На Т существует компактификация Александрова [1]. Обозначим ее Т. Тогда Т -Т и{оо} и Т - компактное пространство. Топология Т такова, что открытыми окрестностями точек из Т ^Т' являются те же открытые окрестности точек локально компактного пространства Т , а открытыми окрестностями точки со являются все дополнения T'\F, где F - замкнутые множества из Т . На компактном пространстве Т' существует единственная равномерная структура U, согласующаяся с топологией в Г' [1].

, - ,        -            хеТ,

Функцию f ;Т —> R продолжим на Т . f: Т -> R и /(х) = <

[ 0, х = со.

Покажем, что / непрерывна. Непрерывность ее в любой точке хе Г следует из непрерывности / . Покажем, что / непрерывна в точке со . Базу окрестностей точки 0 & R задают множества Vq = {у е 7?,|у| < г}, е > 0 . Найдем прообраз /^ч(Р^) = {хе Т'^ф (х)|<г}. Открытая окрестность точки со Т\Ку содержится в ф^Ч(УоЗ для любого г>0. Значит, / непрерывна в точке оо, а, следовательно, и во всем пространстве Т . Тогда, функция ф;Т ->R , заданная на компактном пространстве Т' равномерно непрерывна. Ее сужение на множество Т будет также равномерно непрерывно на индуцированном равномерном пространстве Т .

Лемма доказана.

Через f_kE обозначим произвольное v₀-измеримое продолжение на множество Е_о .

Лемма 2. Пусть Т - локально компактное пространство, S_k:L^v_p^,(T)-> I^QTY k = 0,1,... Пусть последовательность {Хе^нУ сходится по мере v₀ к Хе_оЯо> последовательность Иф сходится по мере vy к т₀ и для любого компактного множества КсТ lim v_Q(K CA(E_kAE₀Y = 0. Тогда последовательность {^у} сходится по мере v₀ к S_oy для любой функции уеК(Т).

Математика     

Доказательство. Пусть К - компактное множество из Т, у g £(£). Обозначим

М = maxly(Z)l. Зададим произвольное е > 0 . Справедливо равенство teK 1      1

v₀(^ гл^еТ :| (ЗД№ - (S_QyXO М) = -

= v^K гл {Z g Е_й8Е_к : \(S_kyXD - (S₀yXO\ ^}) + *МК о {z g Е_г^Е_к : |(^у)(0 -(S_oy)(Z)| > г}) •

Имеем lim и₀ {К n {Z е Е₀АЕ_к : |(S_Ay)(z) - (S_oy)(Z)| > f}) < lim (К гл (Е₀АЕ_к )) = 0.

А->оо                                                             Л->со

Далее, vAK n {Z е £0 л £, : \

= V₀(K n {Z 6 Е₀ГлЕ_к : |^£-_оП^ (ОУ<АкЕ_о^Е_к (0) - ЧШрЕ;. ^У^^ТОЕ_о^Е_к (0)| ^ ^})

• <    v₀(Kгл {Z е Е_о глЕ_к :|^_£оп£₄ (0~Чое^е, (ОМ У^_кЕ^Е_к (0)|^ j}) +

^Д п^еЕ_оглЕ_к:\q_kE^_Ek (z) | • | у<А_кЕ^_Ек (0)-У^б^б, (0)| ^ |}) •

По условию lim v₀(£ n{z g £₀ n£_A^qkE^E^VqoE^E^Wh^

• <    lim v^K n {Z g £₀ n £^ : k_£   (Z) - q_QEE (Z)| > ~}) = 0 .

Так как qOEo и0-измерима, то для КсТ и любого д>0 найдется такое компактное Кх с К, что на Кх qQE непрерывна и sup\q0E = Q < со, v0(K -£Д< 8. Тогда v0(K гл {Z e £0 n Ek : |^£o^(01 I У<ЧЕ^Ек ^ "У<т0Ейг.Ек (0)| j})

• <    5 + v₀(£, n {Z e £₀ : ^(t^^ (Z)) - у(т_0Е^_Ек (Z))| > ™}).

Из леммы 1 следует, что функция у равномерно непрерывна на Г. Значит для заданного е > 0 найдется окрестность U равномерной структуры пространства Т такая, что \у(ЧЕ₀пЕ_к (0) - У^_ЕоГ.Е_к (0)| < ™, как только (,t_kEa (Z),т_№о (Z)) е U .

Таким образом, учитывая сходимость ткЕо(О к t0£q(Z) по мере v0, можно утверждать, что для заданных е > 0, 8 > 0 существует номер N такой, что при п> N имеют место неравенства v0(K n {Z е £0 n Ек : |^£on£t (Z) М y(TkEor,Efc (Z)) - у(.т0Е^Ек (Z))| > |}) <

• <8 ₊ v₀(К_} гл{Z е £₀ :(f_kEq(Z),r_O£o(Z)) еЩ)<23 .

Следовательно, lim v₀(K n {z e Е_ослЕ_к: [(^yXz) -(S_oy)(Z)[ > f}) = 0 и, значит, {S^y} сходится по мере и₀ к S_oy для любой функции уеК(Т).

Лемма доказана.

Определение: Подмножество Н из Ь^ц_р называется равностепенно /z -интегрируемым порядка р, если оно удовлетворяет условиям:

• 1)    для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что для любого ц -интегрируемого множества А, р(А)<8 и любого /еЯ следует, что ^J\^P %_Adp

• 2)    для любого е > 0 найдется такое компактное множество КаТ, что для любого / g Я

V\XT\Kd^-s'

Лемма 3. Пусть Т - локально компактное пространство, S_k:Cy{T')-> Ту^Гу £ = 0,1,... Пусть последовательность \XE_k Чк} равностепенно v₀-интегрируема порядка р . Тогда для любой функции у & К(Т) последовательность {S^y} равностепенно v₀-интегрируема порядка р.

Доказательство. Пусть у еКП") и max |у(/)| = М. Зададим £->0 и произвольное v₀ интег-teT '       '

рируемое множество А а Т .

\\S_ky\^PZA^dvo = ^(^Г)Г АМ^Х Z_E^A^dv₀< М^р ^чСХ Хе^а^о <М^р^ = е, при v₀(A)<5, так как последовательность VXE_t4k^ равностепеннои₀-интегрируема порядка р .

Для любого компактного множества К сТ имеем flM%\A = Л^(ОГА*к<1Х Хе^тхк^о ^мР ^ЧккХ XEkr>№dv0 ■

Так как последовательность {%_Ekq_k} равностепенноv₀ -интегрируема порядка р, то существует такое компактное множество К_о с Т, что для любого натурального числа к и заданного е

\\чМ^Р Хе^тхеХо-”^^{и тогда} JlM^n^o^- ^и> значит, последовательность ^S_ky^

равностепенно и₀ -интегрируема порядка р для любой функции у<=К(Ту

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть Т - локально компактное пространство, 8_к;Т'ууГ)-> Еу(Ту £ = 0,1,... Пусть последовательность 1х_ЕкЧС сходится в пространстве Тр (О ^к Х_ЕйЧо> последовательность {т_к} сходится по мере v₀ к т₀ и для любого компактного множества КсгТ lim v_o(Kn(E_kAE_oy = 0. Тогда последовательность {S^y} сходится к S_oy в пространстве к^-со

Су (Г) для любой функции у е К(Т).

Доказательство. Так как ^Х_ЕкЧС сходится в пространстве L^t) к Хе^о» ^т0 {Zf^jJ ^схо" дится по мере v_Q и равностепенно v₀-интегрируема порядка р [2]. Согласно леммам 2 и 3 последовательность {g^y} сходится по мере v₀ к S_oy и равностепенно v₀ -интегрируема порядка /7. Тогда последовательность {S^y} сходится к S_oy в пространстве Су(Т) для любой функции

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть Т - локально компактное пространство, Sk : Су (Г) -^ Су (ТУ к = 0,1,.... Пусть существуют положительные числа g*k gk, g*, g такие, что для мер vk, £ = 0,1,... выполнены неравенства g^o 5 g*Co 5 5 g«vo g^o ’                           (1)

последовательность vraisup^-^-(t) ограничена числом К*и lim v₀(Kг\(Е_кг\Е_оу = 0. Тогда, teT ^dV_k                                      к-г-”

если последовательность {х_ЕкЧк.} сходится в пространстве Су{Т) к Хе_оЧо- а последовательность Ус С сходится по мере и₀к т₀, то для любого xeCiyr^ lim U^jc-SqxII =0.

<£—>00                 V0

Математика

Доказательство. Из условия (1) следует, что меры v_k абсолютно непрерывны относительно и₀ и классы эквивалентности в пространствах Ур{Т) совпадают для всех £ = 0,1,...; нормы в

УрУ^ эквивалентны.

Пусть х е Ур (Т), тогда для любого s > 0 можно подобрать непрерывную функцию х с компактным носителем К такую, что

J                       1                             1

fl^O-^Ol^o)^ ^<\\^хУУУУ\^Р^у_кУ< —(^(^-Д^Хд^)?

Справедливы оценки

+ 11^-50^0 + hx-Ml0 5

ч                         dv_oy =

1ЖМ,.„51ЖМ1,0

llsJ < {К*У , так как

^J^C-OlX/Zo^ = (^x(s)\^p ^-dv_oy <(К*У (^(5)1^0)^ < (7С*)^Р ||дс]|^ . у                   т                                Т                             °

L₀->^₀^^^К* g* g*^AY , k = 0,1,..., так как

IML₀ ч^чориХ =(^z_Ekq№yytX^dvoV⁵ х^?чччо)|

т

I

т

-_г(^(5)рД)^Р = (gf) '

(gH т

\^p^ydv_ty <Уу<\ “^Vk           g* 7

т

g.

Ж,,-

По лемме 4 lim HS^i-^QX^ =0, то есть, начиная с некоторого номера и, Ц^х — ^ол

Значит Нт IXx - 50т|| = 0. 4->оо               V0

Теорема доказана.

ПРИМЕР

Определим операторы S_o и S_k, к = 0, 1, ... . Положим Т= [0, 1] и q_k(t) = 1. к = 0,1,...

Зададим го(О =

t,tE 0;- ,

L 3j

1        21

з Г.з зJ и туу =

£ + 1    1 Га 1'

----Г--,/е 0;- , к Зк 3

k + \

k

3k

1        2 ,

Г—,/е — ;1 3      3

¹ I 1 21 -Де -,- , 3 (з 3/ к +1 к + 2 ^к Зк"

,/е У ■ 3

k = 0,1

E₀=[0;l], ^=[-L- ;1], £_оДЕ^_[О;^]; Hm v₀(E₀^E_k) = 0 .

3k + 3                 3k + 3   k^oo

Ally           Ally

Р 1 А Р         к ^Р 1 Л к

1-1 зз (^-i)^{2 к} ^/3-1  ^{3 3} (/УМХ^!-!)

Здесь e(t) - единичная атомическая мера, сосредоточенная в точке t и /3 > 1.

1 1 к              к + 1       .       , „ ,

-А:<—— v₀a<-—v₀<2v₀, ^ = 0,1,...

2 к + 1           к

	2{3           1 _—.—_ / ^
dvk	——/3+1     5          .   <1цк.. 2Д ,            кг dvk      /7 + 1

Последовательность {гД сходится к т₀ в каждой точке /е[0;1], значит, последовательность ^к} сходится по мере и₀ к г₀.

Таким образом, условия теоремы 2 выполнены и, следовательно, последовательность операторов S_k : IP* (Е)-+ Щ (Г), заданных равенством (S^x) = х(т_к(1)), ?е[0,1] сходится по норме к оператору (S_ox) = х(т₀(О) .