О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах

Рассматривается краевая задача, для уравнения параболического типа, в цилиндрических координатах с нелокальным условием на. правой границе. Для решения рассматриваемой задачи построена, разностная схема, и доказана, сходимость полученной схемы со скоростью О(/Л + т2).

1. Постановка задачи. В области Qt = ДхД : 0рассмотрим задачу

Эи 1 У dt х Эх

к ,   . Эи\

\xk(x,Q— \ — qu + f, 0 < ж < Z, 0 <  t < Т,

г i^9u о пт хк — = О, ж->о Уж

где ЦхД ^ Ci > 0, \q\ C^HQA а С(^т-»)(9т)

9 Г ,

— xu ax = д(£), о

и(ж,0) = и0(ж),

< с₂, Q(O,t) > с₃ > 0, ЦхД G С^Д^тк q^Qk ДхД G — класс функций, определенных и непрерывных вместе со

своими производными до порядка m включительно по ж и до порядка n по t в области Qt-

Нелокальное условие типа (3) впервые возникло в теории влагопереноса [1]. Пользуясь уравнением (1), условие (3) можно переписать иначе:

, Эи "к^

I

Х = 1

= -- J xqu(x,t)dx + Ц1Д,

(3')

О

I где Р1Д = /x.f^x,Qdx — рД. о

Итак, мы будем заниматься в дальнейшем задачей (1), (2), (3'), (4).

2. Разностная схема. Введем в замкнутой области Q_T сетку ш^ х ш_т, где ш^ = {ж^ = ih, i = 1,2,... ,N - 1, Nh = /}, ш_т = {tj = jt, j = 0,1,... ,jo, j₀T = T}.

При написании дискретного аналога условия ограниченности (2) мы следуем методике [2]. Дифференциальной задаче (1), (2), (3'), (4) поставим в соответствие разностную схему yt = wW^ + ф

((ж,1) Е w_h х ш_т?

Ко

У t ,N

О) 7*7   *”"*

о ~^{h d}_oy_{o ?} h*

М„_д. + 0,5hd_Ny_N

^^^^^^^^

0,5/i

(1 G шт),

№j|* 1 '91 + /”-№;

(/ G шт),

у(ж,0) = u0(ж) ^GwJ, где X^y = | (жауД^ - dy, h* = |, к, = j^^, П = < 2 ’     ' '

[ h, -I ^ N.

Обозначим через z = у — u погрешность метода. Тогда для z получим задачу zt = N\tV ’ + ф,

(о-)       1 О)

z

Z

I.N

%Д,_И +0,5hd_NZ_N

0,5/г

+

1            „ J (<Т) Ь ,    ^2

-------- > ж. d. z. nA--- ⁰,5/ikJ^     '      0,5/г

г(ж, 0) = 0, где ф = ^- <х^ + ф + ф*, у = Оф? + т™"), ф = О (^А , ф* = Оф? + тт<тф Vx = Оф? +/""), V, = Оф? +/"").

Положим а = | и перепишем задачу для погрешности в виде

^^^™ zt = 0, 5Л(г + г) + Ф,

где

Mz + z^

Mz + z^

К"^ + г)

Л+(г + г)

= ^xa(z + гф^

оНД+дДд

^^^^^^^™

^^^^^^^™

h* aN^ + Фг.,7

- d(z + г), x E w_h; Ж

h*d0(z + z)0

--------------, ж = 0;

N + 0, 5hd_N(z + z^_N

0,5h

1 N

+ тт--;V$id^z + z^H, x = l,

0, oriKil ^z—'

i = 1

''Ф, х G шк\Ф =      ’ х - и,

^2

I 0,5Д ’ w                     2 w

Введем скалярное произведение (u, и] = 22 ^M»^yi^, ^и норму ||и]|_о = 22 ^Mi^-г=1                           г=1

Априорную оценку для решения задачи (6) получим методом энергетических неравенств, для чего умножим уравнение (6) скалярно на t(z + г) :

(г,, т(г + г)] — 0, 5 (А^ + г), т(г + г) = (Ф, t(z + z)].

Преобразуем суммы, входящие в тождество (7)

(^

ж(г + %

/   1   9 X

)] = (И,)

5 t

О, 5 (a(z + г), x(z + г)] = 0, 5 ^A(z + z), t(z + z)) + О, 5А⁺ (z + z) — х^ф + z)n

= ^ (xa(z + z)^x,z + z^-^xd, (z + zfj + ^-aN^ + z^^-^dN^ + z^N^XN^ + z^N

(^ + Z^_N 2«i

N

^хф^ + z^H = г = 1

|( (xa(z + z^K Л + z) - ^xd, (z + z)²]

^Ф,ж(5 + г)] = (^N^ + z)) + V₂X_N(z + гД.

Подставим полученные выражения в тождество (7)

ж² z]Q_t + 0, 5^жа, (z + z)²] + 0, 5(жй, (z + г)²] +

xih*do 2

—2-- (z + z)₀ +

—^-zt,o(z + z)o

^H^z + z)o + -V^-d^z + г)^ 2                  о

/г²      , a , A h \ ^z + z^n

+ -^ZtiN^Z + Z^N + (1 - 7)  —--- о                   \    21 /    2кд

N

^x^z + z^n г = 1

^^^^^^^^

,ж(г + г) + Z

^^^^^^^™

-jv^z + z)

N-

^^^^^^^™

^Xidi^zA-z^h = --(^xa, (z + z)²] --^xd, (z + z)²] г = 1

— ^l^not^ + ^Jo +

h*

Tzt’°

- у J + z)o + -x_Na_NVz + z)_$inVz + Z)N

— ^(^ + Z)N ^ — — dx\Z + Z)N

^^^^^^^™

h 1 A             \

2^ + — ^x^z + z)ih + ^ 7=1

^^^^^^^™

1                  X             X (.Z + z'An

-xnQnVz + 2)_$ijV(2 + z^n A------- 2                              2K\

-^xa,(z + z)2^ - |

—— xido^z + г)д —

h2 ,               , ^2

"^"^^N^ + ^Z^N + "5“ О                 о

. „     .            h \ (z + zAn zt,N^z + Z^N + (1 - 27/

2/$i

N

^xtd^z + z^H г = 1

h*                x 1- —Ж1^,о(^ + г)о + -$iVi(z + z)o

N              h

^xtd^z + z^H - ^^г(г + z^Nl г = 1

Оценим слагаемые, входящие в (8)

у^ + z)o = у Vdo(z + 2)0 •

^1 h² ,

-7= <  —d^z + z^

Vdo 1Ь

4d0’

t¹ “      ---- ^хДД A- z^h < -(2 + 2)^ + у-||ж (г + г)]^,

V ~ 4Л2^ + Z^N ^ 2^ + 2 ^ + Z Nl

,x(z + z)^j < ^11Ж2No + ^II^(z + z)]|q.

Учитывая полученные оценки, из (8) получаем

(h²^]Q_t + 0,5с1||ж² (г + г)₅]|о + ^(^²)цо ^ (Ц™ ⁺ ^^ + zy_N

/Со/² + С2 + 1 \ „ 1 . _А              1 „ 1 ,                 I 2 h² / 2\                 , ,

+ (----5----Jlk²(z + z)]|o + ThNllo + 7Т⁺ Q^T^ ^tN- (⁹)

\            Zi            /                                 Zi                      TcCZ-Q        Zi О

Займемся оценкой величины (2 + z^²_N. Возьмем на отрезке [О, Z] произвольную точку ж Е (О, Z). Пусть ж совпадает с одним из узлов сетки ш^, причем потребуем, чтобы точка ж = ж была общей для всей последовательности сеток.

Имеет место следующая

Лемма. Для любой функции ж (ж), заданной на сетке ш^ = {ж^ = %h,  % =

• 1,    2,... , TV}, справедливо неравенство

max у²(ж) <  |||ж²ж₅]|² + ^(~Цт + -)||ж²у]|^.

N$^z       ж           х ^Х1 - х ^е/

• < Доказательство леммы будем проводить по аналогии с [4]. Запишем представление

у²(®«) = у²(^) + 52 ^^^h <г=Сг + 1

= у²(^) + 2 52 А^хОт,- 52 МАСлХ Ci=Ci+i                 Ci=£i+i

Отсюда имеем

Ж г1

у²(ж») <  у²(^)+ е 52 ^(с^)^- 52 ^(с^

Ci=£i+i              Ci=Ci+i

1            Е N1

< т^у2(&)& + т52^ж^^ж^^{/1 +} — ^L^^w.

х        ж г=1«

(Ю)

Просуммируем (10) по ^ от ж до ждг = / :

(Z - ж)у2(ж^)

1 Л          Д

£.=И1

G -®)

ЕХ

N ^х^х^к г = 1

1 Д I - Ж V. 4 eU - ж) „ 1

^ 7 U + ^ II® у]1о +   , II® Л1о-

Откуда следует max у2 (ж) < |||ж2у,£ + 2 f —Т + -")h2y]lo-я^ж^г       ж          х М - х £/

На основании леммы имеем

(г + г)^

< III®² (^ + ^)s]lo + If—Ц- + -) II®² Д + Д]1о-ж                х М — ж ^£)

(П)

Учитывая неравенство (И) и оценку ||ж² (z + z)_$]|q < 2||ж² (z + z)_$]|q, из (9) получим

(ik^ll^ + A^IIZ-U + zW^ + ^lE),,,

< М2||ж2 (г + Д]|2 + |||жЬД|2 + ^- + 1Д +   (,2)t

где Mi = 0,5ci С^² Н-С2 +1 ^ q

^^^^^^^™

^r > 0 при достаточно малом е, М^ = (^- + 9-) (Лт + ~) т +

Просуммируем (12) по j' от 0 до j :

\\хЪ^х + м1Ё^^3+1 + 23ь^т j'=o

^М₂^ И^² ^^зЧ1 + ^')]1о^т + ^з 52 (И^жМо + ^1 + ^У + у №^з+\   (13)

Т=о                      д=о где М3 = max

Рассмотрим

\2’ 4с₃ ■ 2)'

1              А 2                АГ — 1

||^^⁺¹и: - уйЕ¹ = Е ^«У⁺¹ь + мд^- ^ЙУ⁺¹ г = 1

АГ-1                          ,,

-^^ру^ + у^^иг^ г = 1 АГ-1                   17

> 52 ^жМ^^ь + -х_м^У⁺у > 2 И^ж^⁺¹^' *¹⁴^ г = 1

Принимая во внимание (14), из (13) получаем

\\х^Пл^:у>чу+1 + ^^

j'=o

< 2м₂ 52 ik² ^^зЧ1 + ^')]1о^т + ^2мз 52 (|1^ж^Ио + ^1 + ^У-       (¹⁵)

д=0                      д=о

Отсюда следует

I о           JL 1    ,         ,

||ж2 ^+1]|о < 2М2 ^ ||®2 (^ +1 + г^ )]|2т + 2M3Fi, где ^ = у д=о

Ж^Ио +^1 +^22)

т.

Так как

Е ||Р(^⁴¹ + ^')«т < 2 Е ||Р^'«Кг + 2 Е 1|Р^]|^ д=о                    д=о              д=о

= 2т||ж²^⁺¹]|^ + 4 52 h²^ ]1о^т:

то

11 ,

(1 -4М₂т)||ж²^⁺¹]|^ < 8М₂    W^³ WotHZM^F³.

Т=о

Отсюда, при достаточно малом т < щ = д^" имеем

||А^о<^5211жМ|от + Й, \д=о/ где М = тах(2Мз, 16Л12) и не зависит от сетки.

Применяя лемму из [3], получаем при малом т 11 щ требуемую априорную оценку ik2^+1]io + 52и®2 ^зЧ1%3'^Хт ^ м( 52 (и®2^']1о + ^?+^1)^^)- U6) д=о                    \д=о/

Из оценки (16) следует сходимость разностной схемы (5) со скоростью O^h^ + т²) в норме, стоящей в левой части (16). >