О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах
Автор: Олисаев Э.Г., Лафишева М.М.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается краевая задача для уравнения параболического типа в цилиндрических координатах с нелокальным условием на правой границе. Для решения рассматриваемой задачи построена разностная схема и доказана сходимость полученной схемы со скоростью $O(h^{3\over 2}+\tau^2).$
Короткий адрес: https://sciup.org/14318051
IDR: 14318051
Текст научной статьи О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах
Рассматривается краевая задача, для уравнения параболического типа, в цилиндрических координатах с нелокальным условием на. правой границе. Для решения рассматриваемой задачи построена, разностная схема, и доказана, сходимость полученной схемы со скоростью О(/Л + т2).
1. Постановка задачи. В
области
Qt
= ДхД : 0
Эи 1 У dt х Эх
к , . Эи\
\xk(x,Q— \ — qu + f, 0 < ж < Z, 0 < t < Т,
г i9u о пт хк — = О, ж->о Уж
где ЦхД ^ Ci > 0, \q\ C^HQA а С(т-»)(9т)
9 Г ,
— xu ax = д(£), о
и(ж,0) = и0(ж),
< с2, Q(O,t) > с3 > 0, ЦхД G С^Д^тк q^Qk ДхД G — класс функций, определенных и непрерывных вместе со
своими производными до порядка m включительно по ж и до порядка n по t в области Qt-
Нелокальное условие типа (3) впервые возникло в теории влагопереноса [1]. Пользуясь уравнением (1), условие (3) можно переписать иначе:
, Эи "к^
I
Х = 1
= -- J xqu(x,t)dx + Ц1Д,
(3')
О
I где Р1Д = /x.f^x,Qdx — рД. о
Итак, мы будем заниматься в дальнейшем задачей (1), (2), (3'), (4).
2. Разностная схема. Введем в замкнутой области QT сетку ш^ х шт, где ш^ = {ж^ = ih, i = 1,2,... ,N - 1, Nh = /}, шт = {tj = jt, j = 0,1,... ,jo, j0T = T}.
При написании дискретного аналога условия ограниченности (2) мы следуем методике [2]. Дифференциальной задаче (1), (2), (3'), (4) поставим в соответствие разностную схему yt = wW^ + ф
((ж,1) Е wh х шт?
Ко
У t ,N
О) 7*7 *”"*
о ~h doyo ? h*
М„д. + 0,5hdNyN
^^^^^^^^
0,5/i
(1 G шт),
№j|* 1 '91 + /”-№;
(/ G шт),
у(ж,0) = u0(ж) ^GwJ, где X^y = | (жауД^ - dy, h* = |, к, = j^^, П = < 2 ’ ' '
[ h, -I ^ N.
Обозначим через z = у — u погрешность метода. Тогда для z получим задачу zt = N\tV ’ + ф,
(о-) 1 О)
z
Z
I.N
%Д,И +0,5hdNZN
0,5/г
+
1 „ J (<Т) Ь , ^2
-------- > ж. d. z. nA--- 0,5/ikJ^ ' 0,5/г
г(ж, 0) = 0, где ф = ^- <х^ + ф + ф*, у = Оф? + т™"), ф = О (^А , ф* = Оф? + тт<тф Vx = Оф? +/""), V, = Оф? +/"").
Положим а = | и перепишем задачу для погрешности в виде
^^^™ zt = 0, 5Л(г + г) + Ф,
где
Mz + z^
Mz + z^
К"^ + г)
Л+(г + г)
= ^xa(z + гф^
оНД+дДд
^^^^^^^™
^^^^^^^™
h* aN^ + Фг.,7
- d(z + г), x E wh; Ж
h*d0(z + z)0
--------------, ж = 0;
N + 0, 5hdN(z + z^N
0,5h
1 N
+ тт--;V$id^z + z^H, x = l,
0, oriKil z—'
i = 1
''Ф, х G шк\Ф = ’ х - и,
^2
I 0,5Д ’ w 2 w
Введем скалярное произведение (u, и] = 22 M»yi^, и норму ||и]|о = 22 Mi^-г=1 г=1
Априорную оценку для решения задачи (6) получим методом энергетических неравенств, для чего умножим уравнение (6) скалярно на t(z + г) :
(г,, т(г + г)] — 0, 5 (А^ + г), т(г + г) = (Ф, t(z + z)].
Преобразуем суммы, входящие в тождество (7)
(^
ж(г + %
/ 1 9 X
)] = (И,)
5 t
О, 5 (a(z + г), x(z + г)] = 0, 5 ^A(z + z), t(z + z)) + О, 5А+ (z + z) — х^ф + z)n
= ^ (xa(z + z)^x,z + z^-^xd, (z + zfj + ^-aN^ + z^^-^dN^ + z^N^XN^ + z^N
(^ + Z^N 2«i
N
^хф^ + z^H = г = 1
|( (xa(z + z^K Л + z) - ^xd, (z + z)2]
^Ф,ж(5 + г)] = (^N^ + z)) + V2XN(z + гД.
Подставим полученные выражения в тождество (7)
ж2 z]Qt + 0, 5^жа, (z + z)2] + 0, 5(жй, (z + г)2] +
xih*do 2
—2-- (z + z)0 +
—^-zt,o(z + z)o
^H^z + z)o + -V^-d^z + г)^ 2 о
/г2 , a , A h \ ^z + z^n
+ -^ZtiN^Z + Z^N + (1 - 7) —--- о \ 21 / 2кд
N
^x^z + z^n г = 1
^^^^^^^^
,ж(г + г) + Z
^^^^^^^™
-jv^z + z)
N-
^^^^^^^™
^Xidi^zA-z^h = --(^xa, (z + z)2] --^xd, (z + z)2] г = 1
— ^l^not^ + ^Jo +
h*
Tzt’°
- у J + z)o + -xNaNVz + z)$inVz + Z)N
— ^(^ + Z)N ^ — — dx\Z + Z)N
^^^^^^^™
h 1 A \
2^ + — ^x^z + z)ih + ^ 7=1
^^^^^^^™
1 X X (.Z + z'An
-xnQnVz + 2)$ijV(2 + z^n A------- 2 2K\
-^xa,(z + z)2^ - |
—— xido^z + г)д —
h2 , , ^2
"^"^^N^ + Z^N + "5“ О о
. „ . h \ (z + zAn zt,N^z + Z^N + (1 - 27/
2/$i
N
^xtd^z + z^H г = 1
h* x 1- —Ж1^,о(^ + г)о + -$iVi(z + z)o
N h
^xtd^z + z^H - ^^г(г + z^Nl г = 1
Оценим слагаемые, входящие в (8)
у^ + z)o = у Vdo(z + 2)0 •
^1 h2 ,
-7= < —d^z + z^
Vdo 1Ь
4d0’
t1 “ ---- ^хДД A- z^h < -(2 + 2)^ + у-||ж (г + г)]^,
V ~ 4Л2^ + Z^N ^ 2^ + 2 ^ + Z Nl
,x(z + z)^j < ^11Ж2No + ^II^(z + z)]|q.
Учитывая полученные оценки, из (8) получаем
(h2^]Qt + 0,5с1||ж2 (г + г)5]|о + ^(^2)цо ^ (Ц™ + ^^ + zyN
/Со/2 + С2 + 1 \ „ 1 . А 1 „ 1 , I 2 h2 / 2\ , ,
+ (----5----Jlk2(z + z)]|o + ThNllo + 7Т+ Q^T^ ^tN- (9)
\ Zi / Zi TcCZ-Q Zi О
Займемся оценкой величины (2 + z^2N. Возьмем на отрезке [О, Z] произвольную точку ж Е (О, Z). Пусть ж совпадает с одним из узлов сетки ш^, причем потребуем, чтобы точка ж = ж была общей для всей последовательности сеток.
Имеет место следующая
Лемма. Для любой функции ж (ж), заданной на сетке ш^ = {ж^ = %h, % =
-
1, 2,... , TV}, справедливо неравенство
max у2(ж) < |||ж2ж5]|2 + ^(~Цт + -)||ж2у]|^.
N$^z ж х Х1 - х е/
-
< Доказательство леммы будем проводить по аналогии с [4]. Запишем представление
у2(®«) = у2(^) + 52 ^^^h <г=Сг + 1
= у2(^) + 2 52 А^хОт,- 52 МАСлХ Ci=Ci+i Ci=£i+i
Отсюда имеем
Ж г1
у2(ж») < у2(^)+ е 52 ^(с^)^- 52 ^(с^
Ci=£i+i Ci=Ci+i
1 Е N1
< ту2(&)& + т52ж^ж^/1 + — ^L^^w.
х ж г=1«
(Ю)
Просуммируем (10) по ^ от ж до ждг = / :
(Z - ж)у2(ж^)
1 Л Д
£.=И1
G -®)
ЕХ
N ^х^х^к г = 1
1 Д I - Ж V. 4 eU - ж) „ 1
^ 7 U + ^ II® у]1о + , II® Л1о-
Откуда следует max у2 (ж) < |||ж2у,£ + 2 f —Т + -")h2y]lo-я^ж^г ж х М - х £/
На основании леммы имеем
(г + г)^
< III®2 (^ + ^)s]lo + If—Ц- + -) II®2 Д + Д]1о-ж х М — ж £)
(П)
Учитывая неравенство (И) и оценку ||ж2 (z + z)$]|q < 2||ж2 (z + z)$]|q, из (9) получим
(ik^ll^ + A^IIZ-U + zW^ + ^lE),,,
< М2||ж2 (г + Д]|2 + |||жЬД|2 + ^- + 1Д + (,2)t
где Mi = 0,5ci С^2 Н-С2 +1 ^ q
^^^^^^^™
^r > 0 при достаточно малом е, М^ = (^- + 9-) (Лт + ~) т +
Просуммируем (12) по j' от 0 до j :
\\хЪ^х + м1Ё^^3+1 + 23ь^т j'=o
^М2^ И^2 ^зЧ1 + ^')]1от + ^з 52 (ИжМо + ^1 + ^У + у №з+\ (13)
Т=о д=о где М3 = max
Рассмотрим
\2’ 4с3 ■ 2)'
1 А 2 АГ — 1
||^^+1и: - уйЕ1 = Е ^«У+1ь + мд^- ^ЙУ+1 г = 1
АГ-1 ,,
-^^ру^ + у^^иг^ г = 1 АГ-1 17
> 52 жМ^^ь + -хм^У+у > 2 Иж^+1^' *14^ г = 1
Принимая во внимание (14), из (13) получаем
\\х^Пл^:у>чу+1 + ^^
j'=o
< 2м2 52 ik2 ^зЧ1 + ^')]1от + 2мз 52 (|1ж^Ио + ^1 + ^У- (15)
д=0 д=о
Отсюда следует
I о JL 1 , ,
||ж2 ^+1]|о < 2М2 ^ ||®2 (^ +1 + г^ )]|2т + 2M3Fi, где ^ = у д=о
Ж^Ио +^1 +^22)
т.
Так как
Е ||Р(^41 + ^')«т < 2 Е ||Р^'«Кг + 2 Е 1|Р^]|^ д=о д=о д=о
= 2т||ж2^+1]|^ + 4 52 h2^ ]1от:
то
11 ,
(1 -4М2т)||ж2^+1]|^ < 8М2 W^3 WotHZM^F3.
Т=о
Отсюда, при достаточно малом т < щ = д^" имеем
||А^о<^5211жМ|от + Й, \д=о/ где М = тах(2Мз, 16Л12) и не зависит от сетки.
Применяя лемму из [3], получаем при малом т 11 щ требуемую априорную оценку ik2^+1]io + 52и®2 ^зЧ1%3'^Хт ^ м( 52 (и®2^']1о + ^?+^1)^^)- U6) д=о \д=о/
Из оценки (16) следует сходимость разностной схемы (5) со скоростью O^h^ + т2) в норме, стоящей в левой части (16). >
Список литературы О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах
- Чудновский А. Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло-и влагопереноса в почве//Сб. трудов АФИ.-1969.-вып. 23.-С. 41-54.
- Самарский А. А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.-656 с.
- Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа//ЖВМ и МФ.-1963.-Т. 3, № 2.-С. 266-298.
- Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений//ЖВМ и МФ.-1968.-Т. 8, № 6.-С. 1218-1231.