О сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевую задачу для псевдопараболического уравнения с вырождением
Автор: Бештоков Мурат Хамидбиевич, Канчукоев Владимир Зедунович, Эржибова Фарида Александровна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
В работе исследуется псевдопараболическое уравнение в трехмерной области. Уравнение такого вида предполагает наличие цилиндрической или сферической симметрии, что сразу позволяет перейти от трехмерной задачи к одномерной задаче, но с вырождением. В этой связи проводится исследование разрешимости устойчивости решений краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка общего вида c переменными коэффициентами с условием третьего рода, а также разностных схем, аппроксимирующих эту задачу на равномерных сетках. Основной результат работы заключается в доказательстве априорных оценок, полученных методом энергетических неравенств, для решения задачи как в дифференциальном, так и в разностном виде. Полученные неравенства означают устойчивость решения относительно начальных данных и правой части. В силу линейности рассматриваемых задач эти неравенства позволяют утверждать, что приближенное решение сходится к точному решению рассматриваемой дифференциальной задачи в предположении существования самого решения в классе достаточно гладких функций. На тестовых примерах проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты, полученные в работе.
Уравнение с вырождением, краевая задача, условие третьего рода, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностной схемы, уравнение влагопереноса, псевдопараболическое уравнение
Короткий адрес: https://sciup.org/143162434
IDR: 143162434 | УДК: 519.635 | DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9164
A boundary value problem for a degenerate moisture transfer equation with a condition of the third kind
In this work, we study the pseudoparabolic equation in the three dimensional space. The equation of this form implies the presence of cylindrical or spherical symmetry that enables one to move from a three-dimensional problem to one-dimensional problem, but with degeneration. In this regard, we study the solvability and stability of solutions to boundary value problems for degenerate pseudoparabolic equation of the third order of general form with variable coefficients and third kind condition, as well as difference schemes approximating this problem on uniform grids. The main result consists in proving a priori estimates for a solution to both the differential and difference problems by means of the method of energy inequalities. The obtained inequalities imply stability of the solution relative to initial data and right side. Because of the linearity of the considered problems these inequalities allow us to state the convergence of the approximate solution to the exact solution of the considered differential problem under the assumption of the existence of the solutions in the class of sufficiently smooth functions. On the test examples the numerical experiments are performed confirming the theoretical results obtained in the work.
Список литературы О сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевую задачу для псевдопараболического уравнения с вырождением
- Дзекцер Е. С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах//Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, № 3. C. 540-543.
- Рубинштейн Л. И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах//Известия АН СССР. Cер. геогр. 1948. Т. 12, № 1. C. 27-45.
- Ting T. W. A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction//J. Math. Anal. Appl. 1974. Vol. 45, № 9. P. 23-31.
- Hallaire M. L'eau et la production vegetable//Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. № 9.
- Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
- Баренблат Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах//Прикладная математика и механика. 1960. Т. 25, № 5. C. 852-864.
- Бештоков М. Х. Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа//Изв. высш. уч. зав. Сев.-Кавк. рег. № 5. С. 6-9.
- Бештоков М. Х. Разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка//Диф. уравнения. 2013. Т. 49, № 9. С. 1170-1177.
- Бештоков М. Х. Об одной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с нелокальным условием. // Изв. высш. уч. зав. Сев.-Кавк. рег. 2013. № 1. C. 5-10.
- Бештоков М. Х. Численный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. 2014. T.54, № 9. С. 1497-1514.
- Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 c.
- Олисаев Э. Г. Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Владикавказ, 2003. 117 c.
- Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
- Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений//Журн. вычисл. математики и матем. физ. 1968. Т. 8, № 6. С. 1218-1231.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 c.
