О симметрии математических действий

Правила симметрии математических действий позволяют применять переместительный закон ко всем математическим действиям: сложению, вычитанию, умножению и делению.

Изменения в окружающем мире выражаются математическими действиями. Количественные изменения выражаются сложением и вычитанием. Качественные изменения выражаются умножением и делением. Никакие количественные изменения не могут привести к изменению качества.

Количественные изменения отражают изменение количества отдельно взятой единицы измерения. Качественные изменения отражают изменения самих единиц измерения.

Сложение и вычитание являются симметричными математическими действиями, отражающими количественные изменения любой единицы измерения. Сложение и вычитание зеркально симметричны относительно нейтрального элемента – точки ноль.

Умножение и деление так же являются симметричными математическими действиями, отражающими качественные изменения единиц измерения. Умножение и деление обратно симметричны относительно нейтрального элемента – точки один.

Правила симметрии математических действий:

• 1.    Любое математическое действие начинается с нейтрального элемента.

• 2.    Знак математического действия является неотъемлемым атрибутом числа, перед которым он стоит.

Применение этих правил позволяет применять переместительный закон ко всем математическим действиям, отражающим качественные либо количественные изменения.

0 + 3 + 7 + 4 = 0 + 7 + 3 + 4 = 14

0 – 3 – 7 – 4 = 0 – 7 – 3 – 4 = –14

0 + 3 – 7 – 4 = 0 – 7 + 3 – 4 = –8

1 х 3 х 7 х 4 = 1 х 7 х 3 х 4 = 84

1 : 3 : 7 : 4 = 1 : 7 : 3 : 4 = 1/84

1 х 3 : 7 : 4 = 1 : 7 х 3 : 4 = 3/28

Переместительный закон не может применяться в случаях смешанного выполнения математических действий, отражающих качественные и количественные изменения в одном математическом выражении.

Изменение математических действий на симметричные дает симметричный результат, при этом точкой симметрии является нейтральный элемент. Применение переместительного закона не влияет на результат.

0 - 3 - 7 - 4 = 0 - 7 - 3 - 4 = -14

0 + 3 + 7 + 4 = 0 + 7 + 3 + 4 = 14

0 - 3 + 7 + 4 = 0 + 7 - 3 + 4 = 8

1 : 3 : 7 : 4 = 1 : 7 : 3 : 4 = 1/84

1 х 3 х 7 х 4 = 1 х 7 х 3 х 4 = 84

1 : 3 х 7 х 4 = 1 х 7 : 3 х 4 = 28/3

Изменение чисел в математических действиях на симметричные относительно нейтрального элемента числа дает симметричный результат.

0 + (-3) + (-7) + (-4) = 0 + (-7) + (-3) + (-4) = -14

0 - (-3) - (-7) - (-4) = 0 - (-7) - (-3) - (-4) = 14

0 + (-3) - (-7) - (-4) = 0 - (-7) + (-3) - (-4) = 8

1 х 1/3 х 1/7 х 1/4 = 1 х 1/7 х 1/3 х 1/4 = 1/84

1 : 1/3 : 1/7 : 1/4 = 1 : 1/7 : 1/3 : 1/4 = 84

1 х 1/3 : 1/7 : 4 = 1 : 1/7 х 1/3 : 1/4 = 28/3

Одновременное изменение математических действий на симметричные и изменение чисел на симметричные относительно нейтрального элемента числа оставляет результат без изменений.

0 - (-3) - (-7) - (-4) = 0 - (-7) - (-3) - (-4) = 14

0 + (-3) + (-7) + (-4) = 0 + (-7) + (-3) + (-4) = -14

0 - (-3) + (-7) + (-4) = 0 + (-7) - (-3) + (-4) = -8

1 : 1/3 : 1/7 : 1/4 = 1 : 1/7 : 1/3 : 1/4 = 84

1 х 1/3 х 1/7 х 1/4 = 1 х 1/7 х 1/3 х 1/4 = 1/84

1 : 1/3 х 1/7 х 4 = 1 х 1/7 : 1/3 х 1/4 = 3/28

Нейтральные элементы математических действий не принято писать при решении математических задач и примеров, поскольку они не влияют на результат. Перед применением переместительного закона введение нейтральных элементов позволяет правильно применить переместительный закон.