О системных критериях в задачах представления сигналов

The structure of the system criterion of basis selection of spectral decomposition for two-dimensional signals (images) is discussed. This criterion includes the error performance of signal representation and computational cost of calculating the spectrum. Particular attention is paid to the choice of the loss function in the calculation of the risk assessment and computational costs. Simulation results for a number of bases of presentation of images are given.

Systems, signals, images, spectrum, basis, risk , loss function

Использование системного подхода в задачах обработки сигналов вытекает из необходимости использования многомерных критериев, в частности, критериев, учитывающих как погрешность представлении сиг- нала, так и затраты вычислительных или аппаратных ресурсов1. Такие критерии особенно существенны при обработке двумерных сигналов (изображений) и телевизионных сигналов2.

В системах цифровой обработки сигналов широко используются спектральные представления, хорошо согласующиеся с алгоритмами цифровой обработки. Для обработки сигналов необходимо на основе некоторого критерия выбирать систему базисных функций с учетом свойств исследуемых сигналов. Выбор базиса в значительной степени определяет эффективность алгоритмов обработки изображений.

При решении трудоемких прикладных задач представляется целесообразным осуществлять выбор базиса спектрального разложения на основе критерия, включающего как погрешность представления сигнала, так и вычислительные затраты при реализации процедур спектрального анализа.

Если использовать статистические критерии оптимальности, то одним из наиболее общих является критерий минимума среднего риска. Он состоит в том, что каждому решению приписывается некоторая «стоимость», определяемая последствиями ошибочных решений (функции потерь), которая усредняется по всем возможным реализациям сигналов. При этом получается условный риск, усредняемый в дальнейшем по подклассам сигналов. Оптимальным решающим правилом является такое, которое обеспечивает минимум среднего риска. Для получения среднего риска необходимы априорные сведения о встречаемости разных подклассов сигналов, которые обычно отсутствуют. Поэтому будем в дальнейшем мини- мизировать только условный риск, который для краткости назовем просто риском.

Пусть имеется изображение f ( x , y ) , которое можно представить в виде обобщенного ряда Фурье по m -й базисной системе u ( m ) ( x , у):

ад ад f (x, y)(k*=zz c k)um.’(x ,y).               (1)

u = 1 v = 1

Его при конечном числе членов ряда M и N можно охарактеризовать погрешностью sm‘) (M, N) = Pf(‘) (x, y); f(‘) (x, y; M, N)],          (2)

где p ] - расстояние в некоторой метрике, f ⁽ ‘ ) ( x , y ; M , N ) - частичная сумма M и N членов ряда (1), k - номер реализации процесса.

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье в базисе u⁽ m ) ( x ,у) необходимы     определенные вычислительные затраты

Q_m ( M , N ), зависящие как от класса анализируемых сигналов, так и от выбранного базиса спектрального разложения. Как правило, в прикладных задачах используется усеченный ряд Фурье для уменьшения объема вычислений. Введем функцию потерь, учитывающую как потери, связанные с погрешностью усечения ряда Фурье, так и вычислительные затраты:

w m, ‘ ) = ^ [ s m‘ ⁾ ( M , N ); Q m‘ ) ( M , N ) ]                     (3)

Усредняя функцию потерь (3) по реализациям, получим значение риска, зависящего от базиса:

R m =< W mk ¹ >= JJ ^ S m‘ ) ( M , N ); Q m‘ ) ( M , N ) kx . y ) dxdy        (4)

где w ( x , y ) - плотность вероятности анализируемых сигналов, а угловые скобки означают операцию статистического усреднения.

Данный подход использовался при спектральном представлении изображений различных типов в базисах непрерывных функций (Фурье, Хартли, косинусное преобразование), а также кусочно-постоянных функций Уолша и Хаара. Моделирование осуществлялось с использованием среды моделирования MatLab .

В работе рассматриваются цифровые двумерные сигналы – 8-битные полутоновые изображения (256 градаций серого) размером 128 х 128 пикселей. Изображение описывается некоторой матрицей f(x, y), x = 0...N-1 , y = 0...M-1 , элементами которой являются значения яркости отсчетов изображения. В рассматриваемом случае M = N (квадратная матрица).

В качестве модели сигнала использовался случайный двумерный сигнал с гауссовым распределением со спектральной плотностью мощно- сти

S ( u , v о ) =       exp( — u ⁺ v ),

2по2        2.0г

где о = 0,05 - среднеквадратическое отклонение.

Функция стоимости выбирается достаточно произвольно, но она должна учитывать конкретные условия решения поставленной задачи. При обработке сигналов наиболее существенны такие параметры, как точность представления сигнала, характеризуема погрешностью 8, а также вычислительные затраты, характеризуемые числом операций Q. Весьма распространенной является мультипликативная форма критерия. При этом следует учесть, что среднеквадратическая погрешность используется либо в первой степени, либо в квадрате, а число операций будем использовать в степени ½, 1, 2. При этом возможны следующие формы функции потерь (6):

W1:	W ( k ) m = k ^ Q 1" m	W2:	W( k )m = k e2 Q 2   mX_-m	W3:	W ( k ) m = k3 e 2 Q2 m 3 m*.,-
W4:	W ‘k ' m = k . e m S "- m	W5:	W( k ) m = k e Q m 5 mZ—-	W6:	W ( k ) m = k e Q 2 m 6 m -2-^

Относительную погрешность разложения e определим как отношение среднеквадратической ошибки аппроксимации к мощности сигнала:

M - 1 N - 1

Ее ⁽ f ⁽ x , y ) ^- f ⁽ x , y ⁾⁾²

e =

x = 0 y = 0

M - 1 N - 1

ЕЕ ⁽ f ⁽ x , y ⁾⁾²

x = 0 y = 0

где f ( x , y ) - исходное изображение; f ( x , y ) - восстановленное изображение по усеченному ряду (частичная сумма M и N членов ряда); N , M – количество отсчетов сигнала в строке и столбце, соответственно.

В работе [2] определены погрешности e (верхняя строчка) и их квадраты (нижняя строчка) для принятой модели изображения и использовании ранее указанных базисов при различном числе используемых членов ряда³ (табл. 1). В таблице символом E указан десятичный порядок чисел.

Таблица 1. Зависимость среднеквадратической погрешности аппроксима- ции изображения от числа членов ряда

Вид преобразования	Число членов ряда
	8	16	32	64
Преобразование Фурье	0,093	0,067	0,043	0,022
	8,65Е-3	4,49Е-3	1,85Е-3	4,84Е-3
Косинусное преобразо-	0,098	0,070	0,044	0,022

3 Воронин В.В., Рыжов В.П. Системный подход в обработке сигналов и изображений. – Успехи современной радиоэлектроники, 2013, №6, М.: Радиотехника, с. 12-16.

вание	9,60Е-3	4,90Е-3	1,94Е-3	4,84Е-3
Преобразование Харт-	0,094	0,068	0,043	0,022
ли	8,84Е-3	4,62Е-3	1,85Е-3	4,84Е-3
Преобразование Уолша	0,303	0,165	0,091	0,044
	9,18Е-2	2,72Е-2	8,628Е-2	1,94Е-3
Преобразование Хаара	0,303	0,165	0,091	0,044
	9,18Е-2	2,72Е-2	8,28Е-2	1,94Е-3

Вычислительные затраты целесообразно выражать в виде числа эквивалентных сложений. Для выбранных базисных систем количество эквивалентных сложений в зависимости от числа членов ряда N определяется табл. 2.

В соответствии с соотношениями табл.2 были вычислительные затраты для выбранных базисов, двоично-рациональных значений числа коэффициентов и степеней Q = ½, 1, 2 (верхняя, средняя и нижняя строчки в табл. 2 соответственно).

Таблица 2. Алгоритмическая сложность алгоритмов двумерных спектральных преобразований

Вид преобразования	Количество эквивалентных сложений	N= 8	16	32	64
Преобразование	24 N 2 log2 N	67,9	156,8	350,5	768
Фурье		4,61Е3	2,46Е4	1,23Е5	5,90Е5
		2,12Е8	6,02Е10	1,51Е12	3,48Е13
Косинусное	10 N 2log2 N	43,8	101,2	226	496
преобразование		1,92Е2	1,025Е3	5,12Е4	2,46Е5

		3,69Е7	1,05Е8	2,62Е9	6,05Е12
Преобразование		31,2	116	258	516
Хартли	12 N 2 log2 N + 5 N2	2,62Е3	1,35Е4	6,65Е4	2,65Е5
		6,88Е6	1,83Е7	4,43Е9	7,07Е10
Преобразование		19,6	45,2	101	222
Уолша	2 N 2log2 N	3,84Е2	2,048Е3	1,024Е4	4,92Е4
		1,47Е5	4,19Е6	1,04Е8	2,42Е9
Преобразование		15,9	31,9	63,9	128
Хаара	4 N 2 - 2	2,54Е2	1,02Е3	4,094Е3	1,6382
		6,45Е4	1,04Е6	1,67Е7	2,68Е8

Из таблиц 1, 2 видно, что значения погрешностей и их квадратов, а в еще большей степени, значении вычислительных затрат при изменении степени Q отличаются на порядки, поэтому коэффициенты k 1 – k 6 должны быть весьма различны. Так, если все их принять равными единице, то при вычислении риска для преобразования Фурье (по гармоническим функциям) при N=64 для функций потерь W1 - W6 получаются значения, приведенные в табл. 3 (верхняя строка). Если же эти коэффициенты выбрать такими, чтобы привести значения риска к одному порядку, то получаются значения, удобные для сравнения (нижняя строка в табл. 3).

Таблица 3. Значения риска при использовании преобразовании Фурье и единичных и нормирующих коэффициентах

Функции потерь	W1	W2	W3	W4	W5	W6
Единичные коэфф-ты	3,72	2,85Е3	1,68E11	16,9	1,29E4	7,66E11
Нормир. коэфф-ты	3,72	2,85	1,68	1,69	1,29	7,66

Для функций потерь W4, W5, W6 (погрешность в первой степени, а затраты в степенях ½, 1, 2 – соответственно в верхней, средней и нижней строках ячеек) при различном числе членов ряда рассчитаны значении риска в условных единицах и при приведении начальных значений к первому порядку (табл. 4).

Таблица 4. Величина риска при различном числе членов ряда для функций потерь W4, W5, W6

Вид преобразования	N= 8	16	32	64
Преобразование	6,31	10,52	15,07	20,74
Фурье	4,28	16,47	52,84	129,8
	1,90	40	795	7760
Косинусное	6,25	7,08	9,94	10,9
преобразование	1,88	7,17	22,54	54,12
	3,61	73,5	1150	13300
Преобразование	2,93	7,89	11,1	11,4
Хартли	2,47	9,21	28,62	58,50
	6,47	12,4	190	15500
Преобразование	5,94	7,46	9,19	9,77
Уолша	1,16	3,38	9,32	21,62
	4,45	69,1	946	10600
Преобразование	4,82	5,26	5,81	5,63
Хаара	7,69	16,8	37,2	72,1
	1,95	17,2	152	1180

Анализ полученных результатов показывает, что при всех степенях функций потерь базисы кусочно-постоянных функций Уолша и, особенно, Хаара являются предпочтительными по критерию минимума риска, что совпадает с ранее полученными выводами4. Это же показано и для такой распространенной процедуры как фильтрация сигналов5. Но в общем случае решение следует принимать с учетом всех используемых алгоритмов. Из табл. 4 также следует, что учет алгоритмической сложности с разным весом (степени величины Q) дает очень большую разницу значений риска. Для современного уровня развития вычислительной техники более логичны и предпочтительны значения степеней Q ½ или 1.

Приведенную методику использование комплексного критерия при выборе базиса обработки изображений целесообразно использовать при обработке очень больших массивов данных.