О сюръективности оператора свертки в пространствах голоморфных в области функций заданного роста

Пусть G — выпуклая ограниченная область в комплексной плоскости C. H (G) — пространство всех функций, голоморфных в G, а V = (vn )П=₁ — возрастающая по n последовательность непрерывных в G функций. Поеледовательность V задает пространство V H (G) := J"₌₁ Hvn (G) ^с естественной топологией внутреннего индуктивного предела банаховых пространств

Hvn(G):= if е H (G) : kf U := sup |М < ^l, n E N. zcG e^Vn(z>

Основная цель настоящей работы — изучение задачи о сюръективности оператора свертки ц* : V H(G + K ) ^ V H (G). г,те K — выпуклы!1 компакт в C. ;с ц — аналитический функционал с носителем в K. В «безвесовой» ситуации, когда рассматриваются пространства H(G + K ) и H (G) всех голоморфных на G + K и G функций, данная задача

исследована достаточно полно, причем не только для областей G, но и для компактов и для подмножеств и, как следствие, пространств гораздо более общей структуры (подробный обзор имеется в книге [1], см. также [2]). Что касается весовых пространств, то здесь главным образом изучались пространства Фреше (см. статью [3] и библиографию в ней). При этом применялась традиционная техника, заключающаяся в переходе к двойственной проблеме деления на символ оператора в сопряженном пространстве целых функций определенного роста. Принципиально эта схема не меняется и для пространств индуктивного типа. Однако на пути ее реализации имеется существенная трудность, которая заключается в необходимости построения целых функций, удовлетворяющих бесконечному числу оценок сверху и одновременно близким оценкам снизу на заданной последовательности точек, уходящих в бесконечность. По-видимому, впервые такие построения были осуществлены в [4-6] при исследовании операторов свертки в пространстве A ^ra(G) апалитических в G функций полиномиального роста, вблизи се Гранины ЭС.

Отметим. что A ^ra(G) еовпа,тает с V H (G) щ>и V = fn ln щ^

га

. где d( А) — расстояние л                                                                                 п=1, от А G G до dG. Важную роль при этом играют аналоги теоремы Хёрмандера о разрешимости неоднородного уравнения Коши — Римана, в классах функций, удовлетворяющих системе оценок. Впервые такие аналоги были установлены О. В. Епифановым [7] (см. также [8]). Нам неизвестны другие пространства вида VH(G), кроме A '^(G). для которых имелись бы результаты, подобные установленным в [4-6]. Опираясь на, полученное [9] описание сопряженного с VH(G) пространства и методы из [5], в настоящей работе для пространств VH(G) общего вида получены необходимые и (отдельно) достаточные условия, а, для пространств экспоненциально-степенного роста, — критерии сюръективности операторов свертки. Подробные обоснования результатов будут приводиться лишь в тех случаях, когда, имеются существенные отличия от [5].

• 1.    Сюръективность оператора свертки для весовых последовательностей общего вида

Всюду в данной работе будем рассматривать весовую последовательность V = (vn)П=1- У к°торой vn(A) := pn (ln d(yj) ■ n G N и последователыюсть Ф = (pn)П=1 неотрицательных выпуклых монотонно возрастающих функций на (tg, +то) (tg > 0) удовле- творяет условиям:

(Л) (V j G N) Pj+i(t) >  pj (t) + t, t > tg:

(c2) (V j G N)(Va)(3 s = s(j, a)) pj (t + a) 6 Pj+i(t) + s, t > tg:

(сЗ) (V j G N)(3 pj > 0) pj (t) 6 epjt + 5j, г де 5j — постоянные величины.

Отметим, что эти условия аналогичны использованным в [10] для двойственного проективного случая, когда вместо убывающей по j последовательности (pj )°=₁ берется возрастающая. С целью технических упрощений в доказательствах будем считать без ограничения общности, что tg = 0 и что область G содержит начало координат.

В [9, теорема, 1] было установлено, что преобразование Лапласа, устанавливает топологический изоморфизм из (VH(G))0 на пространство Фреше vn (|z|)

V Hg := If G H (C) : |f|n := sup f ( ^HG(z)---- < то (V n G N) k где Hg(z) = sup^GG Re Az — опорная функция области G ii vn(|z|) := infg

|z|t + pn

(In 1

t

Отметим, что в силу условий, наложенных на последовательность Ф, VH(G) является (DFS)-. а VHg — (Т8)-прострапством.

Пусть р — аналитический функционал в C с носителем в K. где K — некоторое выпуклое компактное подмножество комплексной плоскости. Тогда оператор свертки

Р* : f -—> pw(f (z + w))

непрерывно отображает H(G + K) в H(G) а преобразование Лапласа p(Z) := p_z(ez^Z), Z G C, z G G, функционала p представляет собой целую функцию экспоненциального типа такую, что |p(Z)| = O ^e^HK^(z)+e|zI) в C для любого е > 0. Следутотпее предложение содержит необходимые и достаточные условия на функционал р (точнее, на его преобразование Лапласа), при которых порождаемый им оператор свертки действует из пространства VH(G + K) в пространство VH(G) Будем использовать следующее обозначение:

VHj? := f G H(C) : (V n G N) (3 m G N) sup -ζ∈C e

If (Z )1

: HK^(Z)+vm^(|Z|)—

vn(IZI) < ^| •

Предложение 1. Вложение p * VH(G + K) С VH(G) имеет место тогда и только тогда. когда р G V HJ. Более того, для любого нс тривиального функционала р с р G V HJ справедливы следующие утверждения:

• (i)    оператор свертки р* : VH(G + K) ^ VH(G) непрерывен и обладает плотным образом;

• (ii)    оператор умножения Ад : f G VHg -—> pf G VHg+k сопряжен оператору свертки.

C Доказательство проводится по стандартной схеме (см. [5, предложение 2.1]), возможность реализации которой основана на следующей двусторонней оценке норм экспонент (см. [9, лемма 1]):

e-sn • eHG^(z)-vn₊₁^(|z|) 6 jpz||n 6 esn . eHG^(z)-vn^(|z|), _{z e} C, n G N,            (1)

где постоянная sn зависит толь ко от номера n. B

Из предложения 1 за счет соображений двойственности получаем

Теорема 1. Пусть р — нетривиальный аналитический функционал и р G VHJ?. Оператор свертки р* : VH(G + K) ^ VH(G) сюръективен тогда и только тогда, когда образ оператора умножения Ад(VHg) замкнут в VHg+k-

Прежде чем продолжить, напомним, что целая функция g называется мультипликатором из V Hg в V Hg+k- ее ли g • f G V Hg+k для лтобого f G V Hg. Символом MVg,g+k обозначим совокупность всех мультипликаторов из VHg в VHg+k- Из предложения 1 следует, что VHj С MVg,g+k- Наша ближайшая цель — установить, что на самом деле имеет место равенство VHk = MVg,g+k- Оно имеет важное значение в исследовании операторов свертки и ряда других вопросов. Чтобы его доказать, нам потребуется дополнительная подготовка.

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения:

• а)    при любом n G N

vn^(|z|) = ^{o(|z|) n}P^{n z} ' ^ ;

• b)    существует такое ад > 0. что при некого}>ых постояппввх an

Vn+₂(|z|) ^_ Vn(|z|) > ад ln(1 + |z|) — an при всех z G C, n G N.

C а) В силу условия (сЗ) при больших |z| выполняется vn (|z|)

= inf 0

|z|t + ^n

(ln1 t

6 inf 061

^{|z|t +} tpn ^{+ 5}n

p ^pn + 1 + p

pn+1   |z|

pn pn + 1 + 5n

откуда следует требуемое.

• b)    Это утверждение следует из [10, лемма 6]. B

Введем в рассмотрение банаховы пространства целых функций

En := f E H(C) : |f |n := sup z∈C

|f (z)| • evn(|z|)

eHG(z)

< ∞, n∈ N ,

и заметим, что VHg = П^=1 En.

Лемма 2. Для любого n E N имеетея такое m E N, что пространство VHg плотно в Em no ikэрмс | • |n прострапства, En.

C Возьмем inгтуралыюо so настолько бо.зышш. чтобы soao > 1. г,те ao — постоянная из утверждения b) леммы 1, и покажем, что m = n + 2so +1 удовлетворяет требованиям леммы.

Пусть f E Em. Образуем по ней функции f_Y(z) := f (yz) 0 < y< 1- Учитывая, что область G содержит начало координат, имеем

Hg(z) > Hg(yz) + (1 — Y)r|z| ПРП всех z E C, где r := min{HG(z) : |z| = 1}. Поэтому

|fЫ| 6 If|meHG(Yz)-vm(Y|z|) 6 |f|meHG(Yz) 6 If|meHG(z)-(1-Y)r|z|.

Отсюда и из утверждения а) леммы 1 получаем, что f (yz) E VHg при любом y E (0,1).

Для завершения доказательства остается установить, что f_Y сходится к f в En при y ^ 1-

Положим R := max{Hg(z) : |z| = 1} ii заметим, что |Hg(z) — Hg(Z)| 6 R|z| при всех z E C. Поэтому H(z + Z) 6 Hg(z) + R при всех z E C i1 |Z| 6 1- Далее, в силу условия (с2) имеется такое c > 0. нто vm-1 (|z|) 6 vmm(|z| — 1) + c при всех z E C. Из привелепивкх оценок следует, что при всех z E Ch |Z | 6 1

|f (z + Z)| 6 |f |m eHG(z+Z)-vm(|z+Z|) 6 |f |m eHG(z)+R-vm(|z|-1) 6 C|f |m eH^-vm-i(|z|), где C := eR+c. Применив ннтегральпуто <[>ормулу Коши, заключаем, что при всех z E C

|f0(z)| 6 max |f (z + Z)| 6 C|f |m e^HG(z)-vm-i^(|z|). KI61

Использовав еще то, что f (z) — fY(z) = J^z f 0(t) dt, при всех z E C имеем

|f (z) — fY(z)| 6 C(1 — Y)If |m|z|e^HG(z)-vm-i^(|z|) = C(1 — y)|f |m|z|e^HG(z)-vn^+2s0^(|z|).

Воспользовавшись утверждением b) леммы 1 so раз, заключаем, что при некотором D > C ii всех z E C имеют место опенки

|f(z) — fY(z)| 6 D(1 — Y)If|m|z|e^HG(z)-vn^{(|z|)-soaoln(1+|z|)} 6 D(1 — y)|f|m|z|eH^G(z)-vn^(|z|).

Отсюда вытекает

|f - fY|n 6 D(1 - Y)|f |m ^ 0 Пpii Y ^ 1, что завершает доказательство. B

Замечание 1. В процессе доказательства леммы 2 было установлено, что для любого n Е N имеется така,я постоянная Cn > 0. что

SUp⁽HG⁽z + ^z) - vn^(|z + ^z|)) + so^ao ln⁽¹ + ^{|z|) 6} HG^(z) - vn₊soao^(|z|) + Cn^(V z ^{Е C)}.

KI61

Так как soao > 1. то отсюда следует, что

Sup^(HG⁽z ^{+ z)-}vn^(|z ^{+ z|))+ln(1 + |z|)} 6 ^HG(z)-vn_+so ao ^(|z|)+Cn ^(V z ^Е C, ^Vn ^{Е N)}. ⁽²⁾ IZI61

Предложение 2. Для любой ограниченной выпуклой области G комплексной плоскости и для любого выпуклого компактного множества K выполняется

MV G,G+K = V Hk.                         (3)

C Напомним, что пространство Фреше VHg задается последовательностью весов u_n(z) := Hg(z) - vn(|z|), z Е C, n Е N, и соответствующей ей убывающей по вложению последовательностью банаховых пространств (E_n)n=₁. Для таких последовательностей прямое использование общих результатов из [И] об описании мультипликаторов в весовых пространствах Фреше невозможно, так как мы не можем гарантировать, что определяющие VHg веса u_n субгармоничны в C. В связи с этим заметим, что из оценки (1) следует, что

Un+i(z) - Sn 6 sup(RezZ - Vn(Z)) 6 Un(z) + sn (Vz Е C, Vn Е N).        (4)

ζ∈G

Положим w_n(z) := sup{Re zZ - v_n(Z) : Z Е G}. Как верхние огибающие семейств гармонических функций {Re zZ - v_n(Z) : Z Е G} функщш wn субгармсиптшы в C. При этом неравенства, (4) влекут

En н- Hwn(C) ■ En+1 (Vn Е N).                         (5)

Поэтому VHg = T=1 Hwn(C) и, кроме того, из леммы 2, вложений (5) и оценок (2) и (4) следует, что выполнены такие условия:

• 1)    для любого n Е N сущеетвует m Е N такое, что V Hg плот но в Hwm (C) по норме пространства Hwn (C);

• 2)    для любого n Е N сутпеетвует Cn > 0 такое, что

• sup Wn(z + Z) +ln(1 + |z|) 6 Wn+soao-1(z) + Cn (V z Е C).

IZ I61

Таким образом, для VHg = T^=1 Hwn(C) выполнены все предположения предложения 5.3 из [11], в соответствии с которым MVg,g+k совпадает с пространством тех пе.тввх <]>упкщш g. для которввх для любого m Е N сушествлют номер n = n(g) такой, что

|g(z)| = O (exp(HG+K(z) - vm(z) - Wn(z))) в C.

Еще раз использовав (5), заключаем, что последнее условие равносильно тому, что для любого m G N существует такой номер n = n(g). что

|g(z)| = O ⁽exp⁽HK^(z) - vm^(z) + vn^(z))) в C.

Другими словами, выполняется требуемое равенство (3). B

Напомним, что нетривиальный мультипликатор g из VHq в VHq+k называется делителем из VHq+k в VHq, если для него имеет место теорема деления, т. е. импликация f G VHq+k iif G H(C) =^  f G VHq.

gg

Множество всех делителей из V Hq+k в V Hq будем об означать DV q+k,q. В соответствии с предложением 2 Dq+k,q С MVq+k,q.

Следующая теорема доказывается стандартным методом (см., например, [5, предложение 2.8 и теорема 2.9]) на основании теоремы 1 и предложения 2.

Теорема 2. Пусть ц — аналитический функционал и Ц G VHK. Рассмотрим следующие утверждения:

• (i)    оператор свертки ц* : VH(G + K) ^ VH(G) является сюръективным;

• (ii)    для любого n G N сущеетвуют m G N ii C > 0 такие. что

• sup_Jfi_ 6 Csup |p(z)||f(z)|    (v f G VH ).

_zG^peHG^z^-vnb (^|z|) _zG^pe^HG+K (z)-vm (|z|)   (             ^G;

• (iii)    Ц G DVq+k,q.

• 2.    Критерии сюръективности в терминах регулярности роста аналитического символа

• 2.1.    Критерии сюръективности операторов свертки в пространствах максимального типа. Пространства VH(G) экспоненциально-степенного роста максимального типа задаются весовыми последовательностями V = (vn)n=₁ с vn(A) := n(d(A))^-a, n G N. г,те 0 < a < 1. Как отмечено в [9]. в этом емучае двойственное пространство VHq может быть описано следующим образом:

  VHq := b G H(C) :

  
  

Тогда (iii)^(ii)O(i).

Bo всех известных на сегодняшний день результатах, подобных теореме 2, для конкретных весовых шкал имеет место эквивалентность условий (ii) и (iii). Однако, для общих классов весов при этом используются достаточно жесткие ограничения (см., например, [3]), которые не выполняются для рассматриваемых нами пространств. В связи с этим в следующем разделе мы рассмотрим одну из наиболее важных весовых шкал пространств, исследуемых в настоящей работе, — шкалу пространств экспоненциальностепенного роста.

В данном разделе будут рассмотрены пространства VH(G) экспоненциально-степенного роста максимального и нормального типов. Поскольку доказательства результатов проводятся по одной схеме и различаются лишь техническими деталями, мы проведем подробное изложение только для первого типа.

lf |" := sup eHf>-^|~ < ”

что пространство мультипликаторов из

VHK := ff е H(C) : (3 n е N)

If (Z )|      „ 1

ZUP eHK(Z)+n|C|^a* < '^XJ •

Сначала мы приведем достаточные условия на нетривиальный мультипликатор из VHK. при которых он яв.тястея делителем из VHg+k в VHg. Затем покажем, что на классе всех областей G эти условия также и необходимы. В качестве следствия отсюда будет получен критерий сюръективности оператора свертки на классе всех выпуклых ограниченных областей.

Пусть p(Z) — делая функция экспоненциального типа. Ее (радиальный) индикатор определяется по формуле hv(Z) := limsupr ,^ 12§МД).1, Z е C. Будем говорить, что р удовлетворяет условию (S “*), если суп чествуют s,N > 0 такие, что для каждого Z е C с |Z| > N найдется Z0 е C с• |Z0 — ZI < IZ|а*- Для которого log |p(Z0)| > hv(Z) — s|Z|а*.

Заметим, что это требование строго сильнее, чем условие вполне регулярности роста целой функции в классическом смысле Левина — Пфлюгера.

Докажем, что для целых функций экспоненциального типа с индикаторами, совпадающими с Hk, условия (S^а*) достаточно для справедливости теоремы деления в классах VH(G). Условимся обемнюнать норе:;: B(z,r) круг раднуса r с центром в точке z. Как я прежде, для множества M С C пола гаем Rm := sup_zGM |z|. Для доказательства нам потребуется также следующий известный факт (см. [12, лемма 3.1]).

Лемма 3. Пусть функции Ф, F и G = F голоморфны к круге B (0, R). Ес ли в B (0, R) выполняются неравенства |Ф(w)| 6 A и |F(w)| 6 B, то

|G(w)| 6 BAR-w|Ф(0)|^-R-w, w е B(0,R).

Предложение 3. Пусть V = (n(d(A))^-a)^L_rПредположим, что р е VHK, h^ = HK 11 Р удовлетворител условию (S^а*). Тогда р е DV g_+K,g-

C Пусть s, N > 0 — постоянные из ус.те>вня (6) для функции р. Для каждого Z е C с |Z| > N возьмем Z^{как в} условии (6). Заметим, что в таком случае для всех точек Z⁰⁰ е B(Z0, 2|Z|^а*) верно iiep«вепство |Z⁰⁰ — Z| < 3|Z|^а*-

Ясно, что без ограничения общности можно считать, что N > 6^1-а*. Тогда для всех Z⁰⁰ е B (Z0, 2|Z|^а*) справедлива опенка

2КI 6 К001 6 4|(|.                                             (7)

Поскольку р е VH^?. то иметотся kg е N 11 A > 0 такие, что ln |p(w)| 6 A + HK(w) + kg|w|“*, w е C.                      (8)

Пусть <]>упкцпя f е VHg+k такова, что f е H(C). По определению VHg+k для любого n е N сущее•твует B > 0 такое, что ln |f (w)| 6 B + Hg+k(w) — n|w|a*,  w е C.

Поэтому, учитывая (7) и (9), имеем sup       ln |f (Z00) |

Z⁰⁰eB(Z0,2|Z|^a*)

6 B + sup    (Hg₊k(Z⁰⁰) - n|ZT)                   (10)

|Z00—Zl63|Zla*

6 B + Hg+k(Z) + (3Rg+k - n2 ■) |Z|^a •

Аналогично в силу (8) получаем sup     ln |^(Z00) | 6 A + Hk(Z) + (3Rk + вka)|Z|a.              (11)

Z"eB(Z0,2|Z|^a*)

Теперь все необходимое для применения леммы 3 готово. Применив ее к R := 2|Z|a*, Ф(w) := ^(Z0 + w) 11 F(w) := f (Z0 + w) 11 использовав неравенства, (10). (11) ii условие (Sa*) на функцию у. для w = Z - Z0 имеем f (Z) E(Z)

ln

• 6 B + Hg+k(Z) + (3Rg+k - n2^-a*) |Z|^a

• ^{2|Z Z 1}      ( A i U Ii           i a         a,\ ^{2|Z 1 + |Z Z 1}                    a,\

• ⁺₂|_Z|a. — |_Z - _Z0| (A ^{+ H}K^{(Z) + (3Rk + 4} k^{a) |Z 1} )" ₂|_Z|a. — |_Z - _Z0| (^HK^(Z) — s^{|Z 1} )

6 B + 2A + Hg(Z) - (n2^-a* - 3Rg+k - 2kaВ - 6Rk - 3s) |Z|^a•

В силу произвольности n отсюда еледует. что f G VHg- ii пред,тоже!ше доказано. B

Из теоремы 2 и предложения 3 вытекает непосредственно

Предложение 4. Пусть V = (n(d(A))^-aЖ1 ид — аналитический функционал, для которого Д G V HK 11 h, = Hk. Ес ли Д удовлетворяет условию (S^a*). то оператор свертки д* : VH(G + K) ^ VH(G) является сюръективным.

Теперь докажем, что условие (S^а*) является и необходимым для того, чтобы для любой ограниченной выпуклой области G оператор свертки действовал сюръективно из VH(G + K) в VH(G). Следующая лемма содержит эквивалентную переформулировку условия (S^a*) и доказывается тем же методом, что и лемма 3.7 в [5].

Лемма 4. Пусть V = (n(d(A))-a)K=r ^Ункция g G VHK с индиквтором Hk удовлетворяет условию (Sа*) тогла и только тогда, когда сутпествуют числа s,j G N. N > 0 такие, что лля любой точки а единичной окружности sup    ln|g(tw)| > tHK(а) - sta* (Vt > N).                 (12)

_-i

|w-a|6jt a+1

Лемма 5. Пуств V = (n(d(A))^-a)K=1- Пуств. лалее. g G VHK уловлствюряет условию (ii) теоремв! 2 для любого ограниченного выпуклого мпогоуголышка G С C. Тогла ппдпкатор hg этой <1>уикппп совпадает с Hk ii g удовлетворисет условию (S^a*).

C Заметим, нт о из условия (ii) теореме >i 2 для g следует сутпествовапне чисел m G N. M > 0 таких, что

If (z)l ^szu^peHG (z)

|g(z)l^lf (z)l

6 M sup              „ zGC eHG(z)+HK(z)-m|z| “+1

α

(Vf G VHg).

Будем рассуждать от противного и предположим, что индикатор hg функции g не совпадает с Hk iltii сов падает с Hk. но при этом сама (руикпия g нс удовлетворяет условию (Sa*). Из леммы 4 следует, что в обоих случаях функция g не удовлетворяет тогда и условию (12). Поэтому существуют точка a Е S и последовательность (tj)?=1 с tj > 1 jj Е N). tj ^ то щш j ^ то такие, что sup 1 gtjw)| 6 tjHk(a) — j2t“* (V j Е N).                 (14)

|w-a|6jt_j^{- α+1}

Без ограничения общности можно считать, что tj > j^а+² при всех j Е N.

Как II выше. Rk := maxzGK |z|. Поле)жпм Zj := tja. rj := j|zj|a* = jt“* ii заметим, что для w из к руга |w — Zj | 6 rj вер но | | w| 6 tj 6 2|w|. В этих обозначениях (14) равносильно тому, что для всех w из к руга. |w — Zj | 6 rj ln |g(w)| 6 Hk(zj) — j2t“*.

Заметив, что для тех же w

. .              3, ,

|w| 6 -|tj| 11 Hk(zj) 6 Hk(w) + rjRk = Hk(w) + jtj*Rk, заключаем, что при всех j. начиная с некоторого j^.

j²

ln |g(w)| 6 Hk(w) + jtj*Rk — j²tj* 6 Hk(w) — ^M *, |w - zj| 6 rj.     (15)

Нам потребуется также глобальная оценка g, которая следует из того, что g принадлежит VH?. В соответствии с этим. при некотором p > 0

ln |g(w)| 6 H_K(w) + p|w|^a* + p, w Е C.                      (16)

Пусть теперь G — произвольный ограниченный выпуклый многоугольник. Зафиксируем числовую последовательность (qj)°=₁ с 2 6 qj t 1- Применив те же соображения, что и в доказательстве [5, лемма. 3.8], и воспользовавшись леммой 1 из [13], построим последовательности таких целых функций fj и то чек Zj^с |Zj — zj | 6 rj, что при некоторой постоянной A > 0 и всех j Е N имеют место следующие оценки:

ln fj(Z₃)| > qjHG(Zj) + 8^Zj |^a*,                            (17)

In f(z)| 6 qjHg(z) + (2Rgj + 1)|Z|^a* + A,   |z — zj | 6 rj,

ln |fj(z)| 6 qjHg(z) + |z|^a* + A, |z — Zj| > rj.

Из (15) и (18) следует, что если |z — Zj| 6 rj, то j2

^ln|g^(z)fj^{(z)| 6 h}g^{(z) +}HK^{(z) —} у^|z|a*⁺A.

Поэтому при всех j > 2л/m sup —

|z-zj|6^r2^je

^|g^(z)| • fj^(z)|

: Hg (z)+Hk (z)-m|z|^a*

6 eA.

Далее, в силу (16) и (19) при |z — zj| > rj имеем ln |g(z)fj(z)I 6 Hg(z) + Hk(z) + (p + 1)|z|a* — (1 — qj)Rg|z| + A.

Несложные вычисления показывают, что тогда для всех j Е N sup

|z-zj |> rj

|g(z)| • Ifj (z)|     / A      (m+p+1)sa*-(1-qj )rg s / A+ p-C )a eHG(z)+HK(z)-mlzla* 6 e SsUP e                         6 e где C :=

αα

(m+p+1)a+1

(a+1)a+1     RG

Из приведенных оценок следует, что при всех j > 2Дт

A. :=sup     Ig(z)I^Ifj(z)I j     zee eHG(z)+HK(z)-m|z|a*

C

6 e^{A+ (1-}qj^)a .

Из (18) и (19) непосредственно вытекает, что fj Е VHg, j Е N. Кроме того, следует, что

из (17)

В- -SUP jM>jjl > ^jIZjIa* Bj^:= ZUP eW > e^HG(Zj) > ^e

Возьмем qj = 1 — 16R0Gj|Zj |^-    Тогда

^(1-qj^)rg^|Zj I

.

Е₀ а + 1 1   j^{a + 1}

Bj > e^{( 16}) RG ^(1-qj^)a

.

Заметим, что в силу нашего выбора tj > j^a+2 при всех j Е N. Поэтому |Zj| > jj^a+2 и, следовательно, qj ^ 1 щэн j ^ то. Л тогда из (20) и (21) получаем, что BBj ^ то при j ^ то. что против(щечит (13). B

Из предложения 4, теоремы 2 и леммы 5 следует такой критерий сюръективности операторов свертки для пространств VH(G) экспоненциально-степенного роста максимального типа.

Теорема 3. Пусть V = (n(d(X)^^-a)К=ъ ц — аналитический функционал в C с носителем в выпуклом компактном множестве K и ц Е VHK Следующие два условия эквивалентны:

• 1)    оператор ц* : VH(G + K) ^ VH(G) сюръективен для любой выпуклой ограниченной области G:

• 2)    h^ = H_K 11 ц удовлетворяет условию (S^a*).

• 2. 2. Критерии сюръективности операторов свертки в пространствах нормального типа. Пространства VH(G) экспоненциально-степенного роста нормального типа задаются весовыми последовательностями V = (vn)K=1 с vn(X := (1 — П) (d(X))^-a, n > 2. Здесь и ниже по-прежнему 0 < a < 1 и а* := аур В данном случае пространство мультипликаторов из VHg в VHg+k имеет вид

VHK := If Е H(C) : sup pJfOpz < то (Ve > 0) L Z^c e^HK^(Z)+t|Z|

А условие регулярности роста символа, обеспечивающее сюръективность операторов свертки в пространствах данного типа, формулируется следующим образом.

Будем говорить, что целая y(Z) экспоненциального типа удовлетворяет условию (Sa*), если для любого е > 0 сущеетвуют N > 0 и 5 > 0 такие, что для каждой точки Z G C <' |Z| > N найдется точка Z0 G C с' |Z0 - Z| < 5|Z|a*- Для которой ln |^(Z0)| > h^(Z) - elZ|a*.

Приведем формулировки аналогов основных результатов предыдущего пункта для пространств экспоненциально-степенного роста нормального типа.

Предложение 5. Пусть V = ((1 — П)(d(A))^-a)?=₂и р — аналитический функционал. для которого р € V HK 11 h^ = H_K. Ес ли р удовлетворяет условию (Sa* ). то оператор свертки р* : VH(G + К) ^ VH(G) является сюръективным.

Теорема 4. Пусть V = ((1 — n)(d(A))^-a)?=₂, р — аналитический функционал в C с носителем в выпуклом компактном множестве Кир G VH?. Следующие два условия эквивалентны:

• 1)    оператор р* : VH(G + К) ^ VH(G) сюръективен для любой выпуклой ограниченной области G:

• 2)    Ьд = Hk ii р удовлетворяет условию (Sa* )•