О скорости сходимости последовательности, доставляющей минимум в вариационной задаче

Помимо краевого условия Дирихле будем рассматривать решения уравнения (2), удовлетворяющие условию либо Неймана

n

У G Ji(x. Vf Идя = *, i=1

когда граница dQ является кусочно гладкой, либо смешанному условию

n f|dQ\r = У. ^ G'^(x. Vf )vi|r = ^

i =1

где Г — кусочно гладкий кусок границы dQ и v = (v 1 ,...,v n ) — единичный вектор внешней нормали к dQ.

Пример 1. Пусть G(x,^) = ^/1 + | £ | ² . Тогда уравнение (2) есть уравнение минимальных поверхностей

V а( , ^fx-   Vo.                  (3)

=1 8x .  V 1 + |V f | ²

При этом vm) = (1 +m3»- ц№ = yTTW■

Одним из способов приближенного решения краевых задач эллиптических уравнений является вариационный метод (см., например, [4], [5]). Используя этот метод, как правило, получается некоторая последовательность функций g _m , минимизирующая функционал (1), то есть I (g m ) ^ I (f ), где f — решение соответствующей краевой задачи. В статье [2] было установлено равенство для решений уравнения минимальной поверхности (3), позволяющее утверждать о сходимости данной последовательности «в среднем». В настоящей работе исследуется вопрос о равномерной сходимости последовательности g m к решению f. Несложные примеры показывают, что условия I (g m ) ^ I (f ) для этого недостаточно. Поэтому приходится накладывать те или иные дополнительные ограничения на последовательность g _m . При этих предположениях мы находим оценку скорости сходимости этой последовательности. Аналогичные результаты были получены автором в статье [3] для уравнения минимальной поверхности.

Введем в рассмотрение два функциональных множества. Пусть P (x) — положительная непрерывная функция, заданная в области fi. Положим

A p (fi) = { u g Lip(Q) : |V u(x) | <  P (x) } .

Пусть w(t) — положительная функция, определенная, непрерывная и неубывающая при t >  0. Будем считать, что ш(0) = 0. Определим множество

Вш(fi) = {u G C(fi) : |u(x) - u(y)| < ш(dn(x,y))}, где dQ(x,y) — внутреннее расстояние в области fi.

Обозначим через d ₀ максимум функции dist(x,dfi) в области fi. Для d G (0; d ₀ ] определим множество fi d = { x G fi : dist(x, dfi) >  d } и функцию

P (d) = sup { P(x) : x G fi d } .

Будем считать, что для всех d G (0; d ₀ ] выполнено P (d) >  1.

Теорема 1. Пусть функция f G C2(fi) П C(fi) и удовлетворяет уравнению (2) в fi. Тогда, если f,g G AP(fi) П Вш(fi) и f = g на dfi, то выполнено неравенство suP |f - g |< 4max |y(d), 2P(d) f I(g) - I(f))   |           (4)

q                                    v (P (d))X(fi)nyn для любого d G (0; d0], где шп — объем единичного шара в Rn и A(fi) — основная частота области fi.

Пример 2. Если f — решение уравнения минимальной поверхности (3), заданное в области fi, то справедлива следующая внутренняя оценка градиента (см., например, [1, § 16.2])

|Vf (x)| < Ciexp{C2 sup |f (y) - f (x)|/p}, y∈Ω где p = dist(x, dfi) и C1 = C1(n),C2 = C2(n). Таким образом, любое решение уравнения минимальной поверхности, определенное в области fi и ограниченное числом M, будет принадлежать множеству AP (fi) с функцией

P (x) = C 1 exp { 2MC 2 /dist(x, dfi) } .

Пример 3. Пусть f, у G C ² (fi) П C (fi), функция f является решением уравнения (3), f | d Q = ^ | sq - Предположим, что fi — выпуклая область. Тогда модуль непрерывности функции f может быть оценен через модуль непрерывности функции ^, sup | ^ | , sup | f | ΩΩ

(см. [1, § 14.5]). Следовательно, f G В _ш (fi) с некоторой функцией ш (t), зависящей от перечисленных постоянных.

Пример 4. Пусть функция f G C ² (fi) П C 1 (fi) удовлетворяет в области fi уравнению минимальных поверхностей и f = ^ на dfi. Предположим, что область fi выпукла и ^ G C ² (fi). Тогда

|∇f|≤C, где C = C(n,M, |^|2;Q) и M = sup |f | (см. [1, § 14.2]). В этом случае функция P(x) =

Доказательство теоремы 1. Положим f t = f + t(g — f ) и a(t) = I(f t ). Тогда, в силу того, что a ‘ (0) = 0, имеем

1 s

I (g) — I (f ) = Jdsj a"(tW =

1 s          n

= j^d8J^dtj £ G'^ ^ ^f ^{t )(}g - f ⁾ - i ⁽g - f^ dx >  0      0 Q i’^j=1

1 s

• >    jdsjdtj |V f — V g | ² v( |V f t | )dx.

  
  

0     0 Q

Зафиксируем d Е (0; d ₀ ]. Положим h = g — f, M = sup | h | .

Q

Предположим, что M ‘ = sup | h | <  M/2. Тогда, не ограничивая общности, мо-

Q\Qd жем считать, что найдется точка x0 Е Qd, в которой h(x0) = M. Покажем, что шар BM/4P(d)(x0) С Qd. Действительно, пусть x Е дQd такая, что |x0 — x‘| = dist(x,dQ‘). Тогда

2P (d) | x 0 — x ‘ | >  h(x 0 ) — h(x) = M — h(x ) >  M — M' >  M/2.

Таким образом, расстояние от точки x ₀ до границы dQ d больше, чем M/4P(d). Следовательно, B _m/_4P (_d) (x ₀ ) С Q _d . Предположим теперь, что x Е B _m/_4P (_d) (x ₀ ). Тогда

M

h(x) >  h(x ₀ ) - 2P (d) | x — x ₀ 1 > M — 2P(d^^p^d) = M/2.

Таким образом, шар B m/4p ( d ) (x o ) С D m , где

D m = { x е Q : | h | > M/2 } СС Q d .

Поэтому

I |V h | ² v( |V f t | )dx >  V (P (d)) I |V h | ² dx >

Q                         Dm

• >    A(Q)v (P (d))    I    ^ h —— ^ dx.

B M/4P (d) ^{( x} 0 )

Используя, что в шаре B м (x o ) выполнено неравенство h(x) >  3 M , получаем

8P (d)

M ²

.

j |V h | ² v(Gf * | )dx >  A(Q)v (P(d)) (g pTdj) n n^ n Q

Тогда из неравенства (5) следует

M n ₊₂ 1 ^V ( P       ^Q _<  | (g — I(f ’.

2 3 n +4       p n (d )      —

Таким образом, или

M <  2M ‘ = 2 sup | f — g | <  4^(d), Ω \ Ω d

или

i

M           ( I^(g ) ^— I^(f) ^ n+2

< 8 ^(d) (v(P(d))A(Q)n^ nJ     .

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть f E C ² (Q) П C (Q) — решение уравнения (2) и последовательность функций f m E C ¹ (Q) П C (Q) , f m | _dQ = f | _dQ минимизирует функционал I . Если f, f m E A P (Q) П В _ш (Q) , то последовательность f m сходится равномерно к f на Q .

Действительно, чтобы установить равномерную сходимость, достаточно для произ-ww         w

^w

^w

^w

вольного £ > 0 выбрать такое d, что 4^(d) < в. Затем для фиксированного d найти номер m ₀ , начиная с которого

8P (d) ( I (f m ^— I⁽f> ) n+2 _<£. v (P (d))A(Q)n^ny

Из теоремы 1 получаем нужное.

Замечание. Если функция P (x) ограничена в области Q, то вместо оценки (3) справедливо неравенство

sup I f - gi< ^ -» Г- q                V (Po )A(Q)n^ n

где P 0 = sup P (x).

x∈ Ω

Теорема 1 позволяет только утверждать, что последовательность приближенных решений, полученная методом минимизации функционала (1), равномерно сходится. Однако с помощью неравенства (3) невозможно оценить степень погрешности, так как неизвестно точное значение интеграла (1) для решения f . В следующей теореме правая часть неравенства оценивается через интеграл от оператора Q[g].

Теорема 2. Пусть f,g E C ² (Q) П C (Q) и f = g на границе dQ . Если f — решение уравнения (2) и f,g E A P (Q) П В _ш (Q) , то справедливо неравенство

sup | f — g | <  4max < ^d), 4P ^{4 / 3} (d) Ω

J ^{| Q[}g^{(x)] | dx}

Ω v (P (d))A(Q)n^n

1 n+1

.

Утверждение теоремы непосредственно следует из теоремы 1 и неравенств

I (g) — I (f )= 1 a(tw <  a ' (i) =

= [ E G <  i (x, V g)(g — f ) x i dx =

_Ω i =1

— EE - dxi

_Ω i =1

( G ^ (x, V g) ) (g — f)dx <  s u p | f — g | j | Q[g(x)] | dx.

ΩΩ

• 3.    Оценка скорости сходимости для решения смешанной задачи

Рассмотрим теперь решение уравнения

n

E dx

n f|dQ\d = У,   Eg i (x, Vf )Vi |г = ф, i=1

где Г — кусочно гладкий кусок границы dQ, у,ф — заданные непрерывные функции на дQ \ Г и Г соответственно, v = (v1,..., vn) — вектор внешней единичной нормали к дQ. Определим функционал

I₁(g) = I G(x, Vg)dx + ψg ds.

Q

г

Определим множество Q^d= {x : dist(x, дQ \ Г) > d} для d > P₁(d) = sup max{P(x), 1}.

0 и функцию

D C Q. Для

X^Qr

Через dD (x,y) мы обозначаем внутреннюю метрику в подобласти произвольного s > 0 и p > 1 определим функцию

UD (x,s)=    j   (s — dD (x,y))^pdy.

{dD (x,y)

Положим UpD(s) = infUpD(x, s). Будем предполагать, что UpD(s) > 0. функция UpD (s) неубывающая по s и UpD (s) ^ 0 при s ^ 0. Пусть s = VD

Отметим, что

(5) — обратная

к UpD функция. Для области D = Qd соответствующие обозначения Upd(s) = U^Qd (s), Vd(5) = Vp^Qd^r(5).

Лемма 1. Пусть h G C(D) П C 1(D) и |Vh| < K в D. Тогда справедливо неравенство sup |h(x)|p < KVpD xeD

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что функция h(x) > 0. Пусть точка x₀G D такая, что h(x₀) = maxh(x). Тогда для произвольного x G D

D

h(x₀) — h(x) < KdD(x₀,x).

Следовательно, j hp(x)dx >       j      (h(x0) - KdD(x0,x))pdx >

D                {dD (xo ,x)(xo)/K }

>KUD hK^ .

В силу монотонности функции V_p^Dполучаем нужное неравенство.

Отметим, что неравенство в лемме 1 является точным и достигается на функциях вида

h(x) = {

a — dD(x₀,x), d_D(x₀,x) < a

0,

d_D (x₀, x) > a.

Далее нам понадобится неравенство Пуанкаре в следующем виде

j(u — Uq)²dx < ^ 1q) j |Vu|²dx, _Ω                   1_Ω

где u G W1,2(Q) и uQ = |Qr J u(x)dx и Л1 (Q) — некоторая положительная постоянная, Ω независящая от функции u (см., например, [1, § 7.8]).

Теорема 3. Пусть Г = dQ, функция f G C²(Q) П C(Q) П C 1(Q U Г) и удовлетворяет уравнению (2) в Q. Тогда, если f,g G A_P(Q) П В_ш(Q), g G C(Q П C 1(Q U Г)) и

^f |dQ\r = ^g|dQ\r, G§i⁽x, V^{f )v}i|p = G^i⁽x, V^g)vi|r,

то для всех d G (0; d₀] выполняется неравенство

sup |f — g| < 2ш(d) +

Ω

+ 2

\p(dwd((I^) - Ii(f)) 'll [ ^(d)V2 U^)v(P(d))P(dJJ

1/2

.

Доказательство. Положим ft = f + t(g — f) и a(t) = I1(ft). Тогда, в силу того, что a‘(0) = 0, имеем

1s

Il(g) — Ii(f ) = I ds I a‘(t^t =

s

n

• = fds fdt j £ G’^j (x, Vf^t)(g — f )Xi(g — f)Xjdx >

_{0     0 Ω}i,j=1

1s

• >fdsfdtf |Vf — Vg|²v(|Vft|)dx.

00Ω

Зафиксируем d G (0; d₀]. Положим h = g — f, M = sup |h|. Тогда Ω

>Ai(Q)v(P(d)) J(f - fd - g + gd)2 dx,

ΩΓ

d где fd,gd — средние значения функций f, g в Qd. Применяя лемму 3, из неравенства (7) получаем

2 < Р(dW¹ (⁽I^1(g)   I1^(f)) А

^(f- ^g- ^(fd - gd)) < P^(d)V_{2 A}i_(n)v₍p(d))p(d)

всюду в fir. Тогда, так как Г = dQ и при x G Q \ Qd, выполнено |f - g| < 2^(d), ll/d ( (Ii(9> - Ii(f^F

|^{fd -}gd\< Md) + ^ (d) V2 _Ai_(n)v (P (^ ^ J J   .

Поэтому для всех x G Q^r

|f (x) - g(x)| < 2w(d) +

₊₂ U_d)V/d ((Ii(g) - W))^А11^/2

^{+     (}d^,V2   Ai(Q)v(P (d))P (d)      .

И окончательно sup If - g| < 2w(d) +

Ω

₊₂ U_dd_va ((Ii(g) - W))^А11^{/2 + 2} [P^(d,V2 ^A₁(Q)v(P(d))P(d)JJ .

Теорема доказана.

Следствие 2. Если в условиях теоремы 3 функция P(x) ограничена, то выполнено неравенство

/ (Ii(g)- Ii(f)) А s„p|f - g| < 4P0V2 (^ijsjVc^ ) - где P0 = sup P(x) и V2(5) = V2Q(5).

x∈Ω

В случае когда исследуется решение, удовлетворяющее условию Неймана (Г = дQ), естественно предполагать, что функция P(x) = P0 = const. Тогда, применяя те же рассуждения, получим неравенство suotf а (f 2

Замечание. Из теоремы 3 следует, что вопрос о скорости сходимости приближенных решений к точному сводится, помимо всего прочего, к оценке бесконечно малой величины Vp^d(5) при 5 ^ 0, которая полностью определяется геометрией области Q.