О скорости сходимости стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа

Известно, что теории уравнений смешанного типа посвящено довольно много работ и монографий [1, 2, 5, 6, 8, 9, 11]. При этом к исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа применялись сингулярные интегральные уравнения, функциональные методы, метод регуляризации, нестационарный метод Галеркина. В основном, с помощью стационарного метода Галеркина изучались краевые задачи для уравнений эллиптического типа [3, 4, 7]. Отметим, что в работах [3, 7] в качестве базисных функций брались собственные функции сходного оператора. В ряде работ получены оценки погрешности нестационарного метода Галеркина для эволюционных уравнений [10].

В данной работе рассматривается частный случай краевой задачи В.Н. Врагова [8], когда уравнение смешанного типа принадлежит эллиптическому типу вблизи оснований цилиндрической области. При этом получена оценка скорости сходимости стационарного метода Галеркина в норме пространства W ₂ ¹ , через собственные числа оператора Лапласа по переменным x G R n и t.

Пусть Q C R n - ограниченная область с гладкой границей S, Q = Q х (0,T), St = S х (0,T), T> 0.

Рассмотрим уравнение смешанного типа

Lu = k(x,t)u _tt — △ u + a(x,t)u t + c(x)u = f (x,t), (x,t) G Q,              (1)

где коэффициенты уравнения (1) являются достаточно гладкими функциями.

Положим

P 0± = { (x, 0) : k(x, 0) ^ 0, x G Q } , P^ ± = { (x, T ) : k(x, T ) ^ 0, x G Q } .

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что uIst = 0,                                               (2)

И.Е. Егоров, И.М. Тихонова u|t=o = 0, ut| p+ = 0, Ut| p- = 0.                                   (3)

P 0          P T

При определенных условиях на коэффициенты и правую часть уравнения (1) в работе [8] с помощью метода регуляризации была доказана однозначная разрешимость краевой задачи (1) - (3) из пространства W2(Q). В работе [9] построены приближенные решения стационарного метода Галеркина, которые слабо сходятся к обобщенному решению краевой задачи (1) - (3) для одного нелинейного уравнения смешанного типа вида (1) при k(x, 0) < 0, k(x, T ) > 0.

Для целого к >  1 через || • || k будем обозначать норму пространства Соболева W k (Q) и

(u, v) = j uvdQ, Q

|| u || = V(u,u), u,v E L2(Q).

Пусть C L класс гладких функций, удовлетворяющих краевым условиям (2), (3).

В дальнейшем рассмотрим случай k(x, 0) < 0, k(x, T) < 0. Тогда существуют положительные числа t0 < T0 и δ1 , δ2 такие, что k(x,t) < —51 < 0, 0 < t < to; k(x,t) < —52 < 0, To < t < T.

Бесконечно дифференцируемые функции £(t),n(t) выбираем следующим образом:

^(t) >  0, е(0) = ^ ( t ) = 0, e(t) = ц, to <  t <  To,

& > 0, 0 <  t <  to ; C t <  0, To <  t <  T,

n ^{( t )} = *

2 C t + 1,

1,

^— 2 ^ t ⁺ 1,

0 <  t <  to, t0 ≤ t ≤ T0 ,

T0 ≤ t ≤ T .

При этом число ц удовлетворяет условию ц >  5 1 (max |k| + 5).

Q

Аналогично работе [11] доказываются следующие леммы.

Лемма 1. Пусть коэффициент c(x) > 0 достаточно большой и k(x, 0) < 0, k(x, T) < 0, x E Q ; a — ^kt > 5 > 0.

Тогда для всех функций u ∈ C L справедливо неравенство

(Lu,^u t + nu) >  Ci || u || i, C1 > 0.

Лемма 2. Пусть коэффициент k(x,t) равен k(t) и k(0) < 0, k(T) < 0 ; a — ^|kt| > 5 > 0.

Тогда для всех функций u(x, t) из C l имеет место неравенство

— (Lu, ^Au t + nAu) >  C2

Q

n

[u2t+E i=1

u tx i

+ (Au) ² ]dQ — C3 || u || 2 ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ где C2, Сз > 0 и Au = utt + Au.

Пусть функции {^ k (x,t) } k =i ортонормированы в L2(Q) и являются решением спектральной задачи

Av = vtt + Av = -Av, (x, t) E Q, v|ST = 0, v|t=0 = 0, vt|t=T = 0-

При этом A k - соответствующие собственные числа, удовлетворяющие условиям 0 < Ai <  A2 < • • • и A k ^ + го при к ^ го .

Положим

Ф k (x, t) = f(t> kt (x, t) + n(tt)^ k (x, t).

Теорема 1. Функции {ф k (x,t')} N=i линейно независимы, и множество их линейных комбинаций плотно в L 2 (QY

Доказательство теоремы 1 полностью совпадает с доказательством теоремы 1 [11].

Приближенное решение краевой задачи (1)-(3) ищется в виде

N

U N = ^ c N V k (x,t).

k =1

При этом коэффициенты c _k ^N определяются как решение системы алгебраических уравнений

• (Lu N , ф k ) = (f, Ф k ), к = 1, N-                                (6)

Теорема 2. Пусть выполнены условия лемм 1, 2. Тогда для любой функции f E L2(Q) такой, что f t E L2(Q), существует единственное регулярное решение u(x,t) краевой задачи (1)-(3) из пространства W 2 (Q). При этом приближенные решения u ^N (x, t) слабо сходятся к u(x,t) в пространстве W^CQ)-

Доказательство. Для доказательства теоремы 2 заметим, что из равенств (6) получаются соотношения

(Lu N , ^N + nu N ) = (f, e + nu N ),

• - (Lu N , \ u N + nA u ^N ) = (f, \ u N + nA u ^N ).

Отсюда в силу (4), (5) следует справедливость оценки

||uN||2< C4(||f|| + ||/t||), C4 > 0 , которая позволяет получить утверждения теоремы 2. Из теоремы 1 будем иметь, что уравнение (1) выполняется для почти всех (x,t) E Q.                                       □

Теорема 3. Пусть коэффициент c(x) > 0 достаточно большой, и выполнены условия

к(0) < 0, k(T) < 0, a - 2 |k t | >  5 > 0 ; f, f t E L2(Q).

Тогда для погрешности стационарного метода Галеркина справедлива оценка

||u - uN||i < C5(||f|| + ||/1||)AN+/4 , C5 > 0, где постоянная C5 не зависит от функций f, u, uN .

И.Е. Егоров, И.М. Тихонова

Доказательство. Для решения u(x,t) краевой задачи (1)-(3), гарантированного теоремой 2, справедливы разложение в ряд Фурье

∞

и = У? C k V k , C k = (u, V k )

k =1

и неравенство

∞

Ec k A k <  C ₆ ( || f || ² + ll f t ll ² ), C6 > 0.                              (7)

k =1

Пусть H n - линейное подпространство W2(Q), натянутое на V1, •••, V N и P n — оператор проектирования на H N . Из равенств (6) нетрудно получить соотношение

(L(u - uN), ^(u - uN)t + n(u — uN)) = (L(u — uN),$,(ut — ^t) + n(u — ^)), где ω произвольный элемент из HN .

Отсюда в силу (4), (7) при ш = P n u получаем искомую оценку скорости сходимости стационарного метода Галеркина.

Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации(гос. контракт № 02.740.11.0609) и Правительства РС(Я)(Государственная стипендия Правительства РС (Я) аспирантам и молодым ученым на 2012 г.)