О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями

Бесплатный доступ

Рассматривается смешанная задача с однородными краевыми условиями для нагруженного волнового уравнения, содержащего интеграл по пространственной переменной от натуральной степени модуля решения. Вводится определение слабого решения данной задачи, для которого исследуются вопросы существования и единственности. Для доказательства существования решения используется метод компактности, который формально заключается в том, что при доказательстве сходимости приближенного решения, построенного методом Галеркина, существенно используются вполне непрерывные вложения пространств Соболева. Для использования метода необходимы априорные оценки решения задачи, которые частично установлены в предыдущих работах автора и в предлагаемой статье. Вслед за этим строятся приближенные галеркинские решения. Существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений. После этого производится предельный переход, соответствующий устремлению размерности пространства к бесконечности. Здесь возникает основная трудность применения метода, связанная с нелинейностью уравнения и состоящая в доказательстве компактности семейства приближенных решений. Для этого используются теоремы о компактности вложения пространств Соболева заданного порядка в пространства Соболева меньшего порядка. Единственность слабого решения доказывается стандартной процедурой из теории линейных и нелинейных гиперболических уравнений.

Еще

Нагруженные уравнения в частных производных, априорные оценки, слабое решение, существование и единственность

Короткий адрес: https://sciup.org/147232814

IDR: 147232814   |   DOI: 10.14529/mmph190201

Список литературы О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями

  • Бозиев, О.Л. Решение нелинейного гиперболического уравнения приближенно-аналитическим методом / О.Л. Бозиев // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2018. - № 51. - С. 5-14.
  • Бозиев, О.Л. Аппроксимация решений нелинейных параболических уравнений решениями ассоциированных нагруженных уравнений / О.Л. Бозиев // Нелинейный мир. - 2018. - Т. 16, № 4. - C. 3-10.
  • Филатов, А.Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / А.Н. Филатов, Л.В. Шарова. - М.: Наука, 1976. - 152 с.
  • Бозиев, О.Л. Обобщение одной априорной оценки решения квазилинейного гиперболического уравнения / О.Л. Бозиев // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2010. - № 2(34). - С. 106-110.
  • Андреев, В.К. О неравенстве типа Фридрихса для составных областей / В.К. Андреев // Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». - 2009. - Т. 2, Вып. 2. - C. 146-157.
  • Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. - 587 с.
Статья научная