О смешанном вариационно-сеточном методе теории пластичности

в математическом моделировании потенциалов межатомного взаимодействия и с созданием на основе этих потенциалов высокоэффективных комплексов программ расчета и проектирования наносистем. Ряд выполненных научных работ, результаты которых отражены, например, в [10], посвящены теоретическому обоснованию сходимости названных методов.

В постановке задачи теории пластичности в операторной форме используются уравнения пластического течения упруго-пластического тела с упрочнением [11].

Для построения численного метода здесь формируется новый смешанный функционал типа Ху-Васидзу

• •    • •                   •      •    •    •          •   •       •      ••

HW(a,u,£) = { J [(-diva + 2 f) ^ u + a •• ( defu - s) - (a - As )„s]d& + Ω

+ J (XL - 2F_) • U_ dr -J L_. (U_ - 2 EE )dr }/2, ri-Г 2

условие стационарности

MW(a, U, s) = J [(-divr+f) • & • + Sa „(defu -s) - (a - Ae )„5e]dQ+ Ω

+ J (LL - F)• Sfj dr -J S JL^ (U. - E )dr = 0 (1) ri-                           r 2, которого равносильно уравнениям [11]

• •       •                       •     •               ••

div£ - f = 0, def u - s^ = 0, a - As = 0

и краевым условиям [11]

X - F = 0 на Л 1 , J - e = 0 на Л 2 , записанным в операторной форме. Здесь ε – тензор деформаций; σ - тензор напряжений, u - вектор перемещений, f - вектор объемной силы; A - оператор, обратным по отношению к которому является оператор B( σ ) :

•               •                  •

B(^ )а = {Bo^ + F(T)T§_ • при T > 0 (нагружение), ••

B ₀ σ при T ≤ 0 (разгрузка)},

B ₀ - оператор упругих констант,

£ = dev ^ ,

T2 = (^ •• §)/2 – интенсивность напряжений сдвига, F(T ) - функция, характеризующая упруго-пластические свойства тела; Гi + Г2 = Г - граница области Q; X - силовые факторы на Г ; U – перемещения точек границы Г ; F , E – соответственно заданные значения X , U на Г . Численный метод основан на использовании взаимонезависимых аппроксима- ций σ, u, ε:

• •

o(x,y,z,t) = Z ак(1)фк(х,у,2), к=1

• •

u(x,y,z,t) = Z bk(t)фк(x,y,z),(2)

к = 1

• •

£(x^z,1) = Zск(1 )фк(x,y,z), —к где ϕk(x, y, z) – известные ортогональные фи-

•• нитные функции [1, 3, 4, 5]; ak(t), ck(t) - неизвестные тензорные функции времени, а

• bk(t) - неизвестные векторные функции времени, компоненты которых после их нахождения определяют на основе (2) приближенные решения для скоростей изменения напряжений, перемещений и деформаций соответственно. Суммы (2) после их подстановки в условие (1) с учетом предположения о выполнении граничных условий до варьирования функционала дают уравнение

• •    • •       .           _ n •                •

SiW( a&s ) = j [( - div Z ^а _к ⁽¹⁾ ф _к + f) • Z ( d h^MHD +

Q        к=1i n      •                       n •

+ Z (Sai()))?•((def Z ьк ОМ) - Z ск (1)фк) -i=1                         к=1к n •                 n •

- (Z ак(1фРк- A Tc сЛ1)фк)“ T(( Sc(1))p1]dn=o kki к=1                к=1i из которого в силу произвольности и взаимной независимости вариаций δai(t),δci(t), δbi(t) следует система сеточных уравнений n •• j (- div z ак(1)фк+ г)ф^^=0,

Q n •

J ф ^(def( Z ^ь к ⁽¹⁾ ф к ) ^- Z c_k⁽¹⁾ ф к ^{)d Q} = ⁰ ,

Q         к=1к n •

j ⁽ Z ^а _к ⁽¹⁾ ф к ^- A Z c_k ⁽¹⁾ ф к ⁾ ф_l ^{d n} = ⁰

Q к = 1к

(i=1,2,…,n),(3)

вторая и третья подсистемы уравнений которой с учетом свойства ортонормированности координатных базисных функций переписываются в виде c,(t) = jФi(def (Z hк(1)фк )dQ, Q

• a (1) = [ A( Z С,(1)фк )фidQ (i = 1,2,..., n). (4) ik

Из (4) после исключения c (t) имеем a (1) = j A(Zj Фk(def( Z h J(t)Фj)

J(-divZjA(Zjфk(def(^ZЬj(tФPj)dQft)<ФdQА + f)ф_mdQ=0 (m=1,2,..n).

Q i=1Q ^к=1Q       j=1

После присоединения начальных условий к последней системе ОДУ возникает задача Коши для скоростей изменения компонент вектора перемещений. Предлагаемый численно-аналитический смешанный вариационно-сеточный метод является развитием численных методов [2,4,5,6,7] и, во-первых, позволяет находить приближенные

• решения для скоростей напряжений σ, переме- щений u , деформаций ε, обладающие одинаковой гладкостью и точностью одного порядка. Во- вторых, вычислительная стоимость получения таких решений близка к вычислительной стоимости приближенных решений, получаемых с помощью численного метода “в перемещениях”, основанного на вариационном принципе Лагранжа. Объясняется это тем, что после проведенной дискретизации интегральной постановки задачи на основе условия стационарности смешанного функционала типа Ху-Васидзу с использованием ортогональных базисных функций с компактными носителями выполняется исключение

•• узловых значений σ, ε, изменяющихся во времени, из глобальной системы сеточных уравнений до начала ее решения на ЭВМ.

Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации.