О соотношении мощностей множества Рассела и множества всех множеств

Основные свойства множеств с само-прирадлежностью описаны ранее в монографии [7]. Множество, содержащее все несамо-принадлежащие множества (множество Рассела), было описано в работе [4]. То, что мощность множества всех множеств является максимальной, установлено в работе [6]. В статье исследуется вопрос о соотношении мощностей множеств: множества несамопри-надлежащих множеств А и множества всех множеств М.

Рассмотрим соотношение мощностей: |A| / |M|,                             (1)

где А – множество, содержащее все множества, задаваемое непредикативной схемой свёртывания [4, 7].

А = {[х]∈М | х∈∅ или ((х = a, a∉а) либо а = А или а = Vα(A), где α — число ))} 1;   (2)

М – множество всех множеств.

Строится множество А*¹, такое, что содержит как все несамопринадлежащие объекты множества А, так и все их простые последователи. Для всех В, В ∉ В, [B] ∈ A, последо-

ватель к В, Р(В) ∈ А*¹. При этом по определению последователя он самопринадлежащ – Р(В) ∈ Р(В). Аналогично строится А*², где используются последователи порядка 1 и 2, Р(В) и Р²(В) и т. д. до бесконечных и недостижимых последователей включительно (все эти последователи — самопринадлежащи, для бесконечных РN(.) берется самопринадлежа-щий Р(РN(.)) ) строятся множества А* ^β .

Отношения мощностей множеств та ковы:

|A| / |А*¹| ≈ 1/2,

|A| / |А*²| ≈ 1/3, … и т. д.

Тогда отношение мощностей |A| / |А* ^β |, при устремлении β к увеличению, стремится к бесконечно малой величине ε :

|A| / |А* ^β | → ε .                         (3)

Ввиду максимальности мощности множества всех множеств имеет место соотношение

|А*β| < |M|, что с учетом (1) означает, что

|A| / |А* ^β | > |A| / |M|.

Следовательно, отношение (1) мажорируемо отношением (3), значит,

|A| / |M| = δ, где δ – бесконечно малая величина, δ < ε.

Доказана теорема.

Теорема 1 (о количестве несамопри-надлежащих множеств). Количество несамо-принадлежащих множеств |А| бесконечно мало по сравнению с мощностью множества всех множеств |M|; |A| / |M| = δ , – бесконечно малая величина. □

Таким образом, наивная [1] и аксиоматические [2, 3, 4] теории множеств, оперирующие только несамопринадлежащими множествами, описывали лишь совокупность множеств бесконечно малую по сравнению с самопринадлежащим множеством всех множеств.