О составных RR-многогранниках второго типа
Автор: Субботин Владимир Иванович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В классической и современной геометрии актуальна задача классификации многогранников в E3 на основе свойств симметрии элементов многогранника. Первыми примерами такой классификации являются пять правильных (платоновых, точнее - пифагоровых) многогранников, равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Класс равноугольно-полуправильных многогранников характеризуется тем, что все его грани - правильные многоугольники, и группа симметрий многогранника транзитивна на его вершинах. Среди примеров невыпуклых многогранников можно выделить четыре правильных звездчатых многогранника Кеплера - Пуансо, полнота списка которых была доказана О. Коши. Среди многочисленных современных обобщений и развитий приведенных примеров укажем класс, состоящий из девяноста двух замкнутых выпуклых многогранников в E3, грани которых являются правильными многоугольниками различного типа (многогранники Джонсона - Залгаллера). В настоящей работе автором продолжено изучение RR-многогранников: найден полный список составных RR-многогранников второго типа. RR-многогранником (от слов "rhombic" и "regular") называется такой замкнутый выпуклый многогранник в E3, множество граней которого можно разбить на два непустых непересекающихся класса - класс граней, образующих гранные звезды симметричных ромбических вершин, и класс правильных граней; если правильные грани такого многогранника одного типа, то его будем относить к первому типу; если различного - ко второму типу RR-многогранников. Если звезда вершины V многогранника состоит из равных и одинаково расположенных, т. е. сходящихся в вершине V либо своими острыми, либо тупыми углами ромбов (не квадратов), то вершину V будем называть ромбической. Если вершина V расположена на такой оси вращения звезды, что порядок оси совпадает с числом ромбов звезды, то V называется симметричной ромбической вершиной. Ранее автором были найдены двадцать три RR-многогранника первого типа и доказана полнота списка таких многогранников.
Rr-многогранник, составной многогранник второго типа, симметричная ромбическая вершина
Короткий адрес: https://sciup.org/143178441
IDR: 143178441 | УДК: 514.172.45
On composite RR-polyhedra of the second type
In classical and modern geometry, the problem of classifying polyhedra in E3 on the basis of the symmetry properties of the polyhedron elements is topical. The first examples of such a classification are five regular (Platonic, more precisely, Pythagorean) polyhedra, i.\,e. equiangular-semiregular (Archimedean) polyhedra. The class of equi-semiregular polytopes is characterized by the fact that all its faces are regular polygons and the symmetry group of the polytope is transitive at its vertices. Among the examples of nonconvex polytopes, one can single out four regular stellated Kepler-Poinsot polyhedra, the completeness of the list of which was proved by O. Cauchy. Among the numerous modern generalizations and developments of the above examples, we indicate a class consisting of ninety-two closed convex polyhedra in E3, whose faces are regular polygons of various types (Johnson--Zalgaller polytopes). In this paper, the author continues the study of RR-polyhedra: a complete list of composite RR-polyhedra of the second type is found. A RR-polyhedron (from the words "rhombic" and "regular") is a closed convex polyhedron in E3, the set of faces of which can be divided into two nonempty disjoint classes - the class of faces that form faceted stars of symmetric rhombic vertices and a class of regular faces; if the regular faces of such a polyhedron are of the same type, then we will refer it to the first type; if different, to the second type of RR-polyhedra. If the star of the vertex V of the polyhedron consists of equal and equally spaced, i.e. converging at the vertex V either by their acute or obtuse angles of rhombuses (not squares), then the vertex V will be called rhombic. If the vertex V is located on such an rotation axis of the star that the order of the axis coincides with the number of rhombuses in the star, then V is called a symmetric rhombic vertex. Earlier, the author found twenty-three RR-polyhedra of the first type and proved the completeness of the list of such polyhedra.
Список литературы О составных RR-многогранниках второго типа
- Деза М., Гришухин В. П., Штогрин М. И. Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубах и кубических решетках. М.: МЦНМО, 2007. 97 c.
- Cromwell P. R. Polyhedra. Cambridge: Cambridge University Press., 1999. 451 p.
- Grunbaum B. Regular polyhedra old and new // Aeq. Math. 1977. Vol. 16, № 1-2. P. 1-20.
- DOI: 10.1007/BF01836414
- Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1967. Т. 2. С. 1-220.
- Johnson N. W. Convex polyhedra with regular faces // Can. J. Math. 1966. Vol. 18, № 1. P. 169-200.
- DOI: 10.4153/CJM-1966-021-8
- Субботин В. И. Об одном классе многогранников с симметричными звездами вершин // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2019. Т. 169. С. 88-97.
- DOI: 10.36535/0233-6723-2019-169-88-97 EDN: TLVTJP
- Subbotin V. I. On two classes of polyhedra with rhombic vertices // J. Math. Sci. 2020. Vol. 251. P. 531-538.
- DOI: 10.1007/s10958-020-05114-3 EDN: OPBHPN
- Субботин В. И. Существование и полнота перечисления трехмерных RR-многогранников // Геометр. методы в теории управления и матем. физике. Рязань: Изд-во Рязанского гос. ун-та. 2021. С. 15.
- EDN: IVSJGH
- Субботин В. И. О полноте списка выпуклых RR-многогранников // Чебышевский сб. 2020. Т. 2, № 1. С. 297-309.
- DOI: 10.22405/2226-8383-2020-21-1-297-309 EDN: IGCQEB
