О сосуществовании циклов и хаотических решениях разностных уравнений со случайными параметрами

Объектом исследования в данной работе является разностное уравнение xn+1 = f(ωn, xn), (ωn, xn) ∈Ω × [a, b], n= 0, 1, . . . ,

(1) правая часть которого в каждый момент времени n зависит не только от значения x n ∈ [ a, b ], но и от случайного параметра ω n , принадлежащего заданному множеству Ω. Предполагаем, что для каждого ω ∈ Ω функция x→ f ( ω, x ) непрерывно дифференцируема.

Публикация подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00346а) и Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части (проект 2003).

^∗ Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16–19 мая 2016.

Пусть задано множество Ω с сигма-алгеброй подмножеств A 0 , на которой опреде-л е н а в е р о ятностная мера µ 0 . Рассмотрим вероятностное пространство (Σ , A ,µ ) , где Σ означает множество последовательностей σ = ( ω 0 ,ω 1 ,…,ω n ,… ) ∈ Ω ^∞, система множеств A является наименьшей сигма-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами

Dn= {σ ∈Σ : ω0∈Ω0, . . . , ωn∈Ωn}, где Ωj∈A0, j= 0, . . . , n, и определим меру µ0(Dn) = µ0(Ω0)∙µ0(Ω1)∙. . .∙µ0(Ωn). Тогда на измеримом пространстве (Σ,A) существует единственная вероятностная мера µ, которая является продолжением меры µ0 на сигма-алгебру A.

Для каждого n ∈ N обозначим

σⁿ = ( ω 0 , ω 1 , . . . , ω n - 1 ) , f n ( σⁿ, x ) = f (ω n - 1 , . . . , f ( ω 1 , f ( ω 0 , x ))) .

Будем также пользоваться обозначениями f ⁿ ( σ, x ) = f ⁿ ( σⁿ, x ) и x n ( σ, x ) = f ⁿ ( σ, x ) .

Определение 1 . Точки β 0 ,...,β k- 1 образуют цикл B периода k > 1 для уравнения (1), если для всех σ^k ∈ Ω ^k выполнены равенства f^k ( σ, β 0 ) = β 0 , f^m ( σ, β 0 ) = β m ,, m = 1 , . . . , k – 1 и цикл B не содержит цикла меньшего периода.

Определение 2. Цикл B называется отталкивающим циклом уравнения (1), если существует его окрестность U, которую каждая точка ( σ, x ) ∈ Σ × ( U \ B ) покидает за конечное время.

Цикл B назовем отталкивающим с вероятностью единица, если существуют множество Σ ₀ ⊆ Σ и окрестность U данного цикла, такие, что µ (Σ 0 ) = 1 и для каждой точки ( σ, x ) ∈ Σ 0 × ( U \ B ) найдется номер N = N ( σ, x ) , для которого f^N ( σ, x ) ^ U.

Теорема 1. Пусть уравнение (1) имеет цикл B = { β 0 , . . . , β k - 1 } . Если

П lim inf |/'(w,r)| > 1, то цикл B является отталкивающим циклом уравнения (1).

Далее буквой M обозначено математическое ожидание случайной величины.

Теорема 2. Пусть уравнение (1) имеет цикл B = { β 0 , . . . , β k- 1 } . Если существует окрестность U цикла B такая, что

M(lni°f,l(^^’I)Kl) >0, то цикл является отталкивающим с вероятностью единица.

Определение 3 . Решение x n ( σ,x 0 ) уравнения (1) (при фиксированном значении σ ∈ Σ) назовем хаотическим, если для каждого k ∈ N предел lim x nk ( σ, x 0 ) не существует. n →∞

Точку x 0 ∈ [ a, b ] назовем апериодической с вероятностью единица точкой уравнения (1), если существует множество Σ ₀ ⊆ Σ такое, что µ (Σ 0 ) = 1 и для любого σ ∈ Σ 0 решения x n ( σ, x 0 ) хаотические.

Так же, как в работе [1], точку y назовем со временем периодической точкой уравнения (1), если существует m ∈N такое, что для лю- бых σm∈Ωm точка x = fm(σm, y) является точкой некоторого периода k ≥ 1.

Условие 1 . Пусть Ω = { v 1 ,…,v r } , где

r r ≥ 2, µ(vi) = µi>0, i = 1,…,r , ∑µi = 1 и каж-i=1

дая из функций f^k ( σ^k,x ) , k ∈ N , σ^k ∈ Ω ^k имеет конечное число неподвижных точек на отрезке [ a, b ] .

Теорема 3. Предположим, что выполнено условие 1 и уравнение (1) либо не имеет ни одного цикла ( периода k ≥ 1) , либо все циклы отталкивающие с вероятностью единица. Пусть Y – множество периодических и со временем периодических точек данного уравнения. Тогда любая точка x 0 ∈ [ a, b ] \Y апериодическая с вероятностью единица.

Рассмотрим задачу о сосуществовании стохастических циклов различного периода. Покажем, что решение этой задачи существенно отличается от известного результата А.Н. Шарковского [2] для детерминированного уравнения xn+1 = f(xn) , n = 0 ,1 , … , (2) а именно – при определенных условиях из существования стохастического цикла длины k следует существование цикла любой длины l>k .

Определение 4. Точку α 0 ∈ I назовем стохастически периодической точкой периода k ∈ N для уравнения (1), если существуют ω i 0 ,...,ω i_,k _- 1 ∈ Ω такие, что x k ( σ, α 0 ) = α 0 и x _m ( σ, α 0 ) ≠ α 0 при m = 1 , . . . , k - 1 , σ = ( ω i 0 , . . . , ω i,k - 1 , ω k , ω k +1 , . . . ) .

Утверждение 1 (см. [3]). Пусть существуют v i ≠ v j ∈ Ω такие, что:

• а)    f ( v i , a ) = f ( v i , b ) = f ( v j , a ) = f ( v j , b ) = a ;

• б)    существует c 1 ∈ ( a, b ) такое, что функция f ( v i , x ) возрастает на интервале ( a, c 1 ) , f ( v i , c 1 ) = b и f ( v i , x ) >x для всех x ∈ ( a, c 1 ] .

Тогда выполнены следующие свойства:

• 1)    если в интервале ( a, b ) содержится точка x 1 такая, что f ( v j , x 1 ) = x 1 , то для любого l> 1 существует стохастически периодическая точка периода l ;

• 2)    если для некоторого k> 1 в интервале ( a, b ) содержится стохастически периодическая точка x k периода k при ω i, 0 = v j , ω i 1 = . . . = ω i,k - 1 = v i , то для любого l>k существует стохастически периодическая точка периода l.

О сосуществовании циклов и хаотических решениях разностных уравнений …