О спектральном синтезе в пространстве функций медленного роста на конечно порожденных абелевых группах

DOI:

1.    Введение и формулировка основных результатов © Платонов С.С., 2016

Пусть G — локально компактная абелева группа (LCA-группа), если не оговорено противное, то операция в G будет задаваться аддитивно. Пусть F — топологическое векторное пространство (ТВП), состоящее из комплекснозначных функций на G. Будем называть пространство F трансляционно инвариантным , если F инвариантно относительно преобразований (сдвигов)

т _у :/ (ж) ^ / (ж - у), / (ж) G F ,у E G,                     (1)

и все операторы т _у являются непрерывными операторами в пространстве F .

Замкнутое линейное подпространство H ⊆ F называется инвариантным подпространством , если т _у (H ) С H для любого у G G.

Экспоненциальной функцией или обобщенным характером называется произвольный непрерывный гомоморфизм из группы G в мультипликативную группу C * : = := C \ { 0 } ненулевых комплексных чисел. Частным случаем экспоненциальных функций являются характеры — непрерывные гомоморфизмы группы G в группу комплексных чисел, по модулю равных 1. Непрерывные гомоморфизмы из группы G в аддитивную группу комплексных чисел называются аддитивными функциями . Функция х ^ Р (а 1 (ж),..., а _т (х)) на G называется полиномиальной , если Р(z 1 , ..., z _m ) — комплексный полином от т переменных и а 1 , ..., а _т — аддитивные функции. Произведение полиномиальной и экспоненциальной функций называется экспоненциальным мономом , а сумма экспоненциальных мономов называется экспоненциальным полиномом на группе G.

Пусть F — трансляционно инвариантное функциональное пространство на группе G, H — инвариантное подпространство в F .

Определение 1. Инвариантное подпространство H допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в F линейной оболочки всех содержащихся в H экспоненциальных мономов. В пространстве F справедлив спектральный синтез, если любое инвариантное подпространство H ⊆ F допускает спектральный синтез.

Приведенное определение спектрального синтеза берет свое начало с работы Л. Шварца [16], в которой доказана справедливость спектрального синтеза для случая, когда G = (R, +), а пространство F может совпадать с пространством С (R) всех непрерывных функций на R или с пространством E (R) = С “ (R) всех бесконечно дифференцируемых функций на R (если не оговорено противное, то все функции предполагаются комплекснозначными и все классические функциональные пространства рассматриваются с обычными топологиями). Другие примеры функциональных пространств на R, в которых справедлив спектральный синтез, см. в [9]. Справедливость или несправедливость спектрального синтеза зависит как от группы G, так и от ТВП F . Так, если взять G = (R ⁿ , +), п >  2, то в пространствах С (R ⁿ ) и E (R ⁿ ) = С “ (R ⁿ ) спектральный синтез не справедлив (см. [2]), а в пространстве S ‘ (R ⁿ ) обобщенных функций медленного роста на R ⁿ спектральный синтез справедлив (см. [15]).

Одним из естественных функциональных пространств, в которых можно изучать спектральный синтез, является пространство С (G) всех непрерывных функций на LCA-группе G. Наиболее изучен здесь случай, когда G — дискретная абелева группа. Тогда пространство С (G) состоит из всех комплекснозначных функций на G и снабжается топологией поточечной сходимости. Для дискретных абелевых групп в работе [13] получен критерий справедливости спектрального синтеза С (G). Обзор результатов по спектральному синтезу на дискретных абелевых группах см. в [17]. Для произвольных LCA-групп вопрос об описании групп, для которых справедлив спектральный синтез в пространстве С (G), остается открытым. Отметим, что в работах [6] и [7] установлена справедливость спектрального синтеза в пространстве С (G) для любой поэлементно компактной LCA-группы G.

Другим естественным функциональным пространством является пространство S ‘ (G) всех обобщенных функций медленного роста на LCA-группе G. Определение пространства S ‘ (G) для произвольной LCA-группы G дано в работе Ф. Брюа [12]. Как и в классическом случае G = R, пространство S ‘ (G) является двойственным пространством к пространству S (G) быстро убывающих функций на группе G. Функции из пространства S (G) называются функциями Брюа — Шварца на группе G. Определение и основные свойства функций Брюа — Шварца см. в работах [12] и [14].

В настоящей работе изучаются некоторые задачи спектрального синтеза в пространстве S ‘ (G) для случая, когда G — дискретная абелева группа. В этом случае обобщенные функции из S ‘ (G) совпадают с обычными функциями, поэтому будем называть пространство S ‘ (G) пространством функций медленного роста на G.

Приведем удобное для дальнейшего определение пространства S ‘ (G) на конечно порожденной дискретной абелевой группе G.

Пусть G — конечно порожденная абелева группа, V 1 ,..., у _п — система образующих группы G. Любой элемент ж Е G можно представить в виде ж = t 1 v 1 + • • • + t _n v _n , где t j Е Z (такое представление может быть не единственным). Для ж Е G определим число | ж | Е Z + = { 0,1, 2,... } равенством

| ж | = | ж | _с := min {| t i | +----- + | t _n | : ж = t i V i +----- + t _n v _n , t j Е Z, j = 1,... ,n } .     (2)

Очевидно, что для функции ж ^ | ж | справедливы следующие свойства: 1) | ж | >  0 и | ж | = 0 О ж = 0; 2) | — ж | = | ж | ; 3) | ж + ^ | < | ж | + | ^ | , ж, ^ Е G; 4) для любого d Е Z + неравенству | ж | <  d удовлетворяет только конечное множество элементов группы G.

Функция | ж | является частным случаем квазинормы на группе G (см., например, [1]). Будем называть ее квазинормой, порожденной системой образующих V 1 ,... ,v _n .

Для любого к >  0 через S fe (G) обозначим множество всех комплекснозначных функций /(ж) на G, удовлетворяющих условию

|/(ж)|(1 + |ж|)-/г ^ 0    при    |ж| ^ то.(3)

Относительно нормы

ЦУ\\с,к = ЦУ life := sup |/(ж)|(1 + |ж|)-/г множество S‘(G) является банаховым пространством. Очевидно, что Sfe (G) С Sfe (G) при к1 < к2, причем вложение непрерывно.

Пусть

S‘(G) := U S№Y(5)

fe>0

Пространство S ‘ (G) снабдим топологией индуктивного предела банаховых пространств S fe (G') (см., например, [10]). Тогда S ‘ (G) является локально выпуклым пространством. Используя свойства квазинормы, легко доказать, что каждое банахово пространство S fe (G) является трансляционно инвариантным функциональным пространством на группе G, а из определения топологии индуктивного предела банаховых пространств вытекает, что и ТВП S ‘ (G) будет трансляционно инвариантным пространством.

В определении пространства S ‘ (G) участвует некоторая система образующих группы G. Проверим, что это пространство не зависит от выбора системы образующих. Пусть V 1 ,..., v ,1 и V 2 ,..., у ^ — две системы образующих группы G и пусть | ж | 1 и | ж | 2 — квазинормы, построенные по этим системам образующих. Пространства S ‘ (G), построенные по квазинормам | • | 1 и | • | ₂ , будем обозначать ¹ S ‘ (G) и 2 S ‘ (G) соответственно.

Пусть ж Е G и ж = t 1 v 1 + ... t _n v ^ , причем числа t 1 ,...,t _n выбраны так, что | ж | 1 = | t i | +----- + | t „ | . Тогда

п

| ж | 2 <  ^ | t j || V 1 | 2 <  С 1 | ж | 1 ,                                     (6)

j=1

где с 1 = max {| f i | 2 , j = 1,... ,п } — не зависящее от ж положительное число. Аналогично доказывается неравенство

| ж | 1 <  с 2 | ж | 2 , ж G G,                                         (7)

где с ₂ > 0 — не зависящее от ж число. Из неравенств (6) и (7) легко получить, что 1 S ‘ (G) = 2 S ‘ (G) как топологические векторные пространства.

Основным результатом статьи является следующая теорема.

Теорема 1. Для любой конечно порожденной абелевой группы G в пространстве S ‘ (G) справедлив спектральный синтез.

Доказательство теоремы 1 является основной целью настоящей работы. В § 3 приводится доказательство теоремы 1 для конечно порожденной свободной абелевой группы, а в § 4 приводится доказательство теоремы 1 для произвольной конечно порожденной абелевой группы.

• 2.    Вспомогательные результаты

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вспомогательные результаты о свойствах функций медленного роста и функций Брюа — Шварца на дискретных конечно порожденных абелевых группах. Эти результаты будут использоваться в § 3 и § 4 для доказательства теоремы 1. Всюду далее, если не оговорено противное, G — произвольная дискретная конечно порожденная абелева группа.

Предварительно получим некоторые вспомогательные результаты.

Предложение 1. Если ф (ж) — экспоненциальная функция на группе G и ф G S ‘ (G) , то ф является характером, то есть | ф (ж) | = 1 для любого ж G G .

Доказательство. Предположим, что | ф (ж ₀ ) | = 1 для некоторого ж ₀ G G. Без ограничения общности можно считать, что | ф (ж ₀ ) | > 1, пусть а = ф (ж ₀ ). Пусть Р — произвольная конечная система образующих группы G, содержащая элемент ж ₀ , | ж | — квазинорма на группе G, построенная по системе образующих Р (см. (2)). Если ж = пж ₀ , п G Z, то из определения квазинормы вытекает, что | пж ₀ | < | п | .

Так как ф G S ‘ (G), то для некоторого числа к > 0 справедливо неравенство

| ф (ж) | <  с(1 + | ж | ) " У ж G G,                               (8)

где с — не зависящая от ж постоянная. Если ж = пж ₀ , то из неравенства (8) и из | пж ₀ | < | п | вытекает

|а|п < с(1 + |n|)fc Уп G Z, что невозможно при п ^ +^, так как |а| > 1. Следовательно, |а| = 1 и функция ф является характером.                             □

Для любой функции /(ж) на группе G обозначим через L(/ ) линейную оболочку функций вида ( т _у / )(ж) = /(ж - у), у gG .

Предложение 2. Пусть / (ж) = ф (ж)р(ж) — ненулевой экспоненциальный моном на LCA-группе G , где ф (ж) — экспоненциальная функция; р(ж) — полиномиальная функция на G . Тогда экспоненциальная функция ф (ж) содержится в L(/ ) .

Доказательство. См. [8, лемма 4].                     □

Если G — дискретная абелева группа, то из предложений 1 и 2 вытекает, что в пространстве S ‘ (G) могут содержаться только ненулевые экспонециальные мономы вида х(^ж)р(^ж), где х(^) — характер группы G, р(х) — полиномиальная функция на группе G.

Далее нам потребуются функции Брюа — Шварца на конечно порожденных дискретных абелевых группах и на компактных группах Ли, поэтому приведем определения пространств Брюа — Шварца S (G) для этих случаев. Общее определение пространства Брюа — Шварца для произвольной LCA-группы см. в [12] или [14].

Если G — конечно порожденная дискретная абелева группа, то, по определению, пространство S (G) состоит из всех функций д(ж) на G, удовлетворяющих условиям

|у(ж)|(1 + ixi)k ^ 0 при |ж| ^ то для любого к > 0, где квазинорма |ж| определена в (2).

Пространство S (G) является локально выпуклым пространством с топологией, порожденной семейством полунорм

Пс,к(д) = Пк(д') := sup |у(ж)|(1 + И)к, к> 0.(10)

x E G

Пространство функций медленного роста S ‘ (G) является двойственным пространством к пространству S (G) относительно двойственности

,д) = Е/ (ж)д<=-'), / е S ‘(G),g е S (G).(11)

x E G

Проверим, что ряд в правой части формулы (11) абсолютно сходится. Пусть п — число образующих группы G. Так как / е S ‘ (G), то / е S k (G^ для некоторого к > 0 и, следовательно,

Ц У ^ G,k = ^{sup 1/} MK¹ + И-^к <  ТО .

Тогда

E i / wii gw i = Е I /Miu + И) ^-к Muiu + И) ^к+”⁺² (1 + иг*^{- 2} <  x E G               x E G

< С II/||G,k nG,k+n+2(g) < ТО, где с = E(1 + м)-”-2.

x E G

Заметим, что из определения i^i (см. (2)) вытекает, что с = Е(1 + i^i)-”-2 < Е (1 + i^ii + ••• + ^      2 < то.        (12)

x E G                          (t i ,...,t _n ) E Z ⁿ

Если G — компактная абелева группа Ли, то, по определению, пространство Брюа — Шварца S(G) совпадает с пространством Сro(G) гладких (бесконечно дифференцируемых) функций на группе G. Отметим, что любая компактная абелева группа Ли изоморфна группе Ли вида Tm х F, где Tm — m-мерный тор; F — конечная дискретная абелева группа. Пространство S(G) = С^(G) является локально выпуклым пространством с топологией равномерной сходимости на G вместе со всеми производными.

Пусть G — произвольная LCA-группа; dx — элемент меры Хаара на группе G; L^T(G) = L 1 (G, dx) — лебегово банахово пространство,

А /11 1 := W I /(x) | dx, / е L 1 (G), —

G норма в L1(G). Банахово пространство L1(G) является алгеброй относительно свертки

^(/ * g'^)(x) = W ^{f (x} - yjgty) ^dy, ^f,g ^{е L}4^GY G

Пусть G — множество всех характеров группы G. Снабженное операцией поточечного умножения характеров и компактно открытой топологией множество G становится LCA-группой, которая называется двойственной группой к группе G.

Преобразованием Фурье функции /(x) е L 1 (G) называется функция /(х) на двойственной группе (3, которая определяется формулой

/(х) := W f (x)x(x) dx,                              (13)

G где х е G, x(x) — число, комплексно сопряженное к x(x). Отметим, что в двойственной группе G операция будет задаваться мультипликативно. В частном случае, когда G — дискретная абелева группа, преобразование Фурье имеет вид

П х) = ^f ⁽x⁾X⁽x⁾.                             ⁽¹⁴⁾

x E G

Подробные сведения о преобразовании Фурье на LCA-группах см. в [11].

Приведем некоторые свойства функций Брюа — Шварца, которые справедливы для любой LCA-группы G (см. [12] или [14]):

1 ° . S(G) С L 1 (G);

2 ° . S (G) является топологической алгеброй относительно поточечного умножения функций и топологической алгеброй относительно свертки функций. Чтобы различать эти алгебры, будем использовать обозначение S _mnlt (G), если S (G) рассматривается как топологическая алгебра относительно поточечного умножения функций, и обозначение S co^y (G), если S (G) рассматривается как топологическая алгебра относительно свертки функций.

3 ° . Преобразование Фурье Ф : /(x) ^ /(х) задает изоморфизм топологической алгебры S _cOTCU (G) на топологическую алгебру S _mult (G).

Отметим также, что LCA-группа G дискретная тогда и только тогда, когда ее двойственная группа G компактная .

Лемма 1. Пусть G — дискретная конечно порожденная абелева группа, V — замкнутое линейное подпространство в S(G) . Следующие условия эквивалентны: 1 ° . V является инвариантным подпространством в S (G) ;

2 ° . V является замкнутым идеалом в алгебре S _conv ( G).

Доказательство. 1 ° ^ 2 ° . Пусть V — инвариантное подпространство в S (G), тогда V инвариантно относительно сдвигов т _у : /(ж) ^ /(ж — у) для любых -у Е G. Чтобы доказать, что V является замкнутым идеалом в S _conu (G), нужно доказать, что если / Е V и д Е S (G), то / * д Е V . Так как группа G дискретная, то

^/ * д^(ж) = 52 У^(ж - vW)- y ^ G

Пусть Р — конечная система образующих группы G; п — число элементов системы Р ; | • | — квазинорма на группе G (см. (2)). Проверим, что для любых /, д Е S (G) и для любого к >  0 справедливо неравенство

Пк(/ * д) < сПк(/) Пк+н+2(д), где с = с(п) — некоторая постоянная; пк(•) — полунорма в пространстве S(G) (см. (10)). Предварительно заметим, что для любых ж, у Е G справедливо неравенство

⁽¹ + И) <  ⁽¹ + | ж - у^| + Ы) <  ⁽¹ + | ж - у^|)(1 + Ы).               ⁽¹⁷⁾

Используя (17), получим, что

^|(/ * g^{)(ж)| (1} + М) ^к <  Е ^{1/ (ж} - у^)| | д⁽у^{)| (1} + М) ^к <  ^y E ^G

< Е I/(ж — у) 1 (1 + 1 ж — уI) ^к Iд(у) 1 (1 + IуI) ^к+"⁺² (1 + I уIГ" ^-2 .          (18)

^y ^ ^G

Из определения полунормы п _к ( • ) вытекает, что

^I/ (ж ^— у)^| (1 ^{+ |}ж ^— у^|) ^k' <  П к ^(/), Iд(у) I (1 + | у | ) ^k+"⁺² <  П к+п+2 (д).

Тогда из (18) следует, что

I / * д(ж) I (1 + I ж I ) ^к <  с П к (/) П к+п+2 (д),                          (19)

где с = Е(1 +1 у I )-n-2 < ю уЕ(3

(см. (12)). Неравенство (16) вытекает из (19) и из определения п _к ( • ).

Пусть V — инвариантное подпространство в S(G), / Е V, д Е S(G). Для любого N Е N определим функцию д« (ж) = {д(ж)

при I ж I <  N ; при I ж I >  N.

Тогда

/ * д н = Е ( т у /) д ^ (у) = Е д(у) т у /.                   (20) yeG                    y:|y|

Так как т _у / G V и правая часть (20) является линейной комбинацией конечного числа функций вида т _у / , то / * g _N G V .

Из неравенства (16) вытекает, что n^(/ * g - / * gN) = n^(/ * (g - gN)) < cnfc(/) nk+n+2(g — gN).

Из определения пространства S (G) следует, что для любого к > 0 последовательность n _k+n+2 (g — g _N ) стремится к 0 при N ^ то . Тогда п & (/ * (g — g _N )) ^ 0 при N ^ ^ то , следовательно, / * g _N ^ / * g в пространстве S (G). Так как V — замкнутое подпространство в S (G) и / * g _N G V , то и / * g G V , то есть V является идеалом в алгебре S _CO№y (G).

□

3.    Спектральный синтез в пространстве S‘(Zn)

В этом параграфе доказывается теорема 1 о справедливости спектрального синтеза в пространстве S ‘ (G) для частного случая, когда группа G совпадает со свободной абелевой группой Z ⁿ . Доказательство теоремы для группы Z ⁿ проводится по следующей схеме. От пространства S ‘ (Z ⁿ ) переходим к двойственному пространству S (Z ⁿ ), которое является топологической алгеброй относительно свертки. Для того чтобы замкнутое линейное подпространство H С S ‘ (G) было инвариантным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы его аннулятор H ^± был замкнутым идеалом в алгебре S (Z ⁿ ). Так как двойственной группой к дискретной группе Z ⁿ является компактная группа T ⁿ (n-мерный тор), то преобразование Фурье Ф задает изоморфизм сверточной топологической алгебры S (Z ⁿ ) на топологическую алгебру S (T ⁿ ) = С “ (T ⁿ ) с операцией поточечного умножения функций. Далее доказывается, что инвариантное подпространство H допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда соответствующий ему идеал Ф( Н ^± ) локализуем в алгебре С “ (T ⁿ ), а локализуемость всех замкнутых идеалов в алгебре С “ (T ⁿ ) вытекает из классической теоремы Уитни. Приведенная схема доказательства справедливости спектрального синтеза в различных функциональных пространствах на основе дуальности и локализуемости является одной из основных схем в задачах спектрального синтеза (см., например, обзор Н.К. Никольского [5], книги В.В. Напалкова [4] и Б. Мальгранжа [3]). В доказательстве теоремы 1 эта схема реализуется для функционального пространства S ‘ (Z ⁿ ).

Рассмотрим случай, когда дискретная группа G совпадает со свободной абелевой группой Z ⁿ . Элементы из группы Z ⁿ имеют вид ж = (ж 1 , ...,ж _п ), где X j G Z. В качестве системы образующих в Z ⁿ возьмем систему элементов v 1 = (1, 0,..., 0),... ,v _n = = (0,..., 0,1). Из определения | ж | (см. (2)) следует, что | ж | = | ж 1 | + ••• + | ж _п | . Пространства S ‘ (Z ⁿ ) и S (Z ⁿ ) являются частными случаями пространств S ‘ (G) и S (G), определенных в § 1 и § 2 для произвольной дискретной абелевой группы G.

Будем обозначать через T фактор-группу R/2nZ, то есть элементами T являются классы t + 2nZ, где t G R. Можно считать, что элементами T являются числа t G G R, но при этом числа t и t + 2пк, к G Z, определяют одну и ту же точку на T. Естественным образом T отождествляется с единичной окружностью, а функции на T отождествляются с 2п-периодическими функциями на R. Обычным образом на T вводится мера Лебега: если /(t) — функция на T, то по определению

а+2п

W / (t) dt := W /(t) dt,

T             а где а — произвольное действительное число (интеграл не зависит от а).

Пусть T ” = T х ... х T — п-мерный тор, то есть декартово произведение п экземпляров окружности T. Элементы из T ” будем обозначать t = (t i ,..., t _n ), t , E T. Пусть dt := dt 1 ... dt _n — мера Лебега на T ” . Множество T ” является компактной абелевой группой Ли. Пусть E (T ” ) = С “ (T ” ) — множество всех гладких (бесконечно дифференцируемых) комплекснозначных функций на T ” .

Если г = (г1,..., гп) E Z+, то пусть |г| := г1 + • • • + гп, г! := г1!... гп!. Для любой функции h(t) = h(t1,... ,tn) будем использовать обозначения я , 9h дh := aF,,

9^Тh : = Э [ 1 . . . 9 ” h.

Множество E(T”) снабжается топологией равномерной сходимости на T” вместе со всеми производными и становится локально выпуклым пространством. Топологию в E(T”) можно задать семейством полунорм dk(h) := 52 max |drh(t)|, h E E(T”), к E N.                  (21)

r:|r|

Относительно поточечного умножения множество E(T”) является топологической алгеброй.

Двойственное пространство E‘(T”) к пространству E(T”) совпадает с пространством обобщенных функций на T”. Для / E E‘(T”) и h E E(T”) через (/, h) будем обозначать значение линейного функционала / на функции h. Пространство 8(T”) обычным образом вкладывается в 8‘(T”): если / E 8(T”), то полагаем

(/,h) := W/(t) h(t)dt, h E8(T”).(22)

Tn

Действие дифференциального оператора 9^T обычным образом переносится на обобщенные функции, то есть

(9т/,h) :=(-1)И(/,Эrh), / E8‘(T”),h E8(T”).(23)

Через 5g будем обозначать 5-функцию с носителем в точке в E T”, то есть (5g, h) : = := h(e), h E 8(T”). Любой характер группы Z” имеет вид x ^ ег4ж, t = (t1,..., tn) E T”, x = (x1,..., xn) E Zn,(24)

где tx = t1x1 + • • • + t_nx_n, г = V — 1. Поэтому группа T” является двойственной группой к группе Z”.

Исходя из общего определения преобразования Фурье на дискретной группе (см. (14)), преобразование Фурье функции g(x) E S(Z”) имеет вид

y(t) := ^ g(x)e^-tt", t E T”.                            (25)

$ezⁿ

Так как Tⁿявляется компактной абелевой группой Ли, то пространство Брюа — Шварца S(Tⁿ) совпадает с пространством E(Tⁿ) = С^х(Т" ). Тогда из свойств преобразования Фурье на LCA-группах (см. §2) вытекает, что преобразование Фурье Ф : y(x) ^ g(t) задает изоморфизм топологической алгебры S(Zⁿ) на топологическую алгебру S(Tⁿ) = = E(Tⁿ) (топологическая алгебра S(Zⁿ) всегда будет рассматриваться с операцией свертки, а топологическая алгебра E(Tⁿ) с операцией поточечного умножения).

Для в = (в1,..., в_п) G Tⁿчерез Тв обозначим множество формальных степенных рядов от п коплексных переменных с центром в точке в. Элементы из Тв имеют вид

S = ^ «(t - вГ, «г G C,                      (26)

rez^

где г = (п, ..., Гп) G Z+, t = (ti,...,tn) G Tⁿ, (t - вГ := (ti - в1 )^ri... (tn - в    .

Множество ℱβ является кольцом и даже алгеброй над C. Если ввести топологию покоэффициентной сходимости (см. [4, гл. I, § 5]), то ℱβ становится локально выпуклым пространством и топологической алгеброй. Известно, что всякий идеал в кольце ℱβ замкнут (см., например, [4, гл. I, § 5]).

Двойственное пространство ℱ_β^′можно отождествить с пространством обобщенных функций из 8‘(Tⁿ) с носителем в точке в, то есть с множеством обобщенных функций вида

F = ^ Crд^r5в,                             (27)

Н<^

где N G Z₊, г G Z^, c_rG C. Двойственность между пространствами Тв и Тв задается формулой

<F,S) = Е (-1)^|r|r!_Orcr,                              (28)

rez+ где F задается формулой (27), а S — формулой (26).

Через 0в обозначим линейное отображение из 8(Tn) в Тв, которое сопоставляет каждой функции h G 8(Tn) ее ряд Тейлора с центром в точке в, то есть eв(h)= Е^д h(в)(t — вУ.                     (29)

Отображение θβ является непрерывным гомоморфизмом из топологической алгебры 8(Tⁿ) в топологическую алгебру Тв. Известно, что отображение 0в сюръективно, то есть 0в(8(Tⁿ)) = Тв (см., например, [3]), но не инъективно. Отметим, что если h G G 8(Tⁿ), а F — обобщенная функция вида (27), то справедливо равенство

(F,h) = (F, 0_p(h)>.                                  (30)

Через C[x1,..., x_n] будем обозначать множество комплексных многочленов от п переменных x1,..., x_n. Если Р(x) = Р(x1,..., x_n) G C[x1,..., x_n], то через Р(гд) будем обозначать дифференциальный оператор, который получается подстановкой в Р(x) вместо каждой переменной xj дифференциального оператора iдj, то есть Р(гд) : = := Р(гд1,... ,гд_п). Аналогично, пусть Р(—гд) := Р(—гд1,..., -гд_п). С учетом (27) очевидно, что любой элемент F G Т‘ можно представить в виде F = Р(гд)5в для некоторого многочлена Р(x) G C[x1,..., x_n]. Отметим также, что любой экспоненциальный моном на группе Zⁿ, принадлежащий пространству S‘(Zⁿ), имеет вид

/(x) = Р(x)e-^вж, x G Zⁿ, в G Т^П,Р(x) G C[xi,... ,xn].             (31)

Лемма 2. Пусть /(x) — экспоненциальный моном вида (31). Тогда для любой функции g(x) Е S(Zⁿ) справедливо равенство

(g,/} = (Р (-гд )5p,g>,(32)

где g(t) = Ф(g) — преобразование Фурье функции g (см. (25)).

Доказательство. По определению

(g,/} = Е g(^)p(x)e-ip".(33)

xEZ"

Из (23) следует, что для любых F Е £‘(Tⁿ) и h Е £(Tⁿ) справедливо равенство

(Р(-гд)F, h} = (F, Р(гд)h}.(34)

Заметим, что

Р(гд)e-itx = Р-xx "".(35)

Используя (34) и (35), получаем

(Р (-гд)^ ,g} = (bp,P (гд )g} =

(⁵», Е

\    $GZⁿ

g(x)P (xV-1

= Е

$GZⁿ

g(x)P (x)e^^x.

Равенство (32) следует из (33) и (36).                        □

Пусть H — инвариантное подпространство в S‘(Zⁿ); H" — его ортогональное дополнение в S(Zⁿ); I = Ф(Н") — образ H" при преобразовании Фурье. Тогда I является замкнутым идеалом в топологической алгебре £(Tⁿ) = S(Tⁿ). Для любой точки в Е Tⁿобозначим через Ip образ идеала I при отображении 0p : £(Tⁿ) ^ Tp (см. (29)). Так как θβ является сюръективным гомоморфизмом алгебр, то Iβ является идеалом в алгебре ℱβ, а так как в ℱβ любой идеал замкнут, то Iβ — замкнутый идеал в ℱβ . Будем называть Iβ локальным идеалом идеала I в точке β. Через I_β^⊥обозначим ортогональное дополнение к Iβ в двойственном пространстве ℱ_β^′.

Лемма 3. Экспоненциальный моном /(x) = Р(x^e^-^ содержится в инвариантном подпространстве H тогда и только тогда, когда Р(-гд)5р Е Ip".

Доказательство. Пусть /(x) = Р\ x)< '^;вг, в Е Tⁿ, x Е Zⁿ, Р(x) — полином. Из леммы 2 и равенства (30) вытекает, что для любой функции g Е S(Zⁿ) справедливо равенство

(Р(-гд)Ъв, 6p(g)) = (Р(-гд)5p,g) = (g,/}.                    (37)

Пусть / Е H, g Е H", тогда из (37) следует, что (Р(-гд)5р, Op(g)) = 0, а так как идеал Ip состоит из степенных рядов 0p(g) при g Е -H", то Р(-гд)5р Е Ip".

Обратно, пусть Р(-гд)5р Е Ip", тогда из (37) следует, что (g,/} = 0 для любого g Е H", следовательно / Е H.                      □

Лемма 4. Пусть g Е S(Zⁿ), p Е Tⁿ, H — инвариантное подпространство в S‘(Zⁿ), I = Ф(Н"), Ip = 0p(I) — локальный идеал идеала I в кольце Tp. Следующие утверждения эквивалентны:

(г) степенной ряд 0р(д) принадлежит идеалу Ie;

(гг) для любого принадлежащего H экспоненциального монома /(ж) = Р(ж)е^-гвж справедливо равенство (д, /) = 0.

Доказательство. (г) ^ (гг) По лемме 3 из того, что /(ж) = Р(ж)е^-гвжG H следует, что Р(—гд)5e G I^. Тогда из равенства (37) вытекает, что (д, /) = (Р(—гд)5в, 0р(д)) = = 0.

(гг) ^ (г) Пусть (д, /) = 0 для любого экспоненциального монома / G H. Так как идеал I^ замкнут в Рв, то для доказательства включения 0в(д) G Ie можно воспользоваться теоремой Хана — Банаха и показать, что любой функционал из ℱ_β^′, ортогональный к Ip, ортогонален 0в(д).

Любой функционал F G Р'в можно представить в виде F = Р(—гд)5р для некоторого многочлена Р(ж) G С[ж1,..., ж_п]. Пусть Р(—гд)5e G I; тогда по лемме 3 экспоненциальный моном /(ж) = Р(ж)е^-вжсодержится в H, следовательно (д, /) = 0. Из равенства (37) следует, что (Р(—гд)5в, 0в(д)) = 0, откуда вытекает, что 0в(д) G Ip. □

Пусть I — замкнутый идеал в алгебре 8(Tⁿ), Ip = 0в (I) — соответствующие ему локальные идеалы в Рв (в G Tⁿ). Идеал I называется локализуемым, если он однозначно определяется по набору локальных идеалов I, в G Tⁿ, то есть если К G G 8(Tⁿ) и 0в (К) G Ip для любого в G Tⁿ, то К G I.

Предложение 3. Пусть H — инвариантное подпространство в S‘(Zⁿ), H■ — ортогональное дополнение к H в S(Zⁿ), I = Ф(Н^;) — соответствующий H замкнутый идеал в 8 (Tⁿ). Инвариантное подпространство H допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда замкнутый идеал I локализуем.

Доказательство. Пусть инвариантное подпространство H допускает спектральный синтез. Любая функция из 8(Tⁿ) имеет вид К = д для некоторой функции д G S(Zⁿ). Предположим, что 0в(д) G I для любой точки в G Tⁿ.

Если экспоненциальный моном /(ж) = Р(ж)е^-вжпринадлежит H, то, по лемме 3, Р(—гд)5р G I;. Используя равенство (37), получим, что (д, /) = (Р(—гд)5в, 0в (д)) = = 0, а так как H допускает спектральный синтез, то H совпадает с замыканием линейной оболочки всех содержащихся в H экспоненциальных мономов, поэтому д G G H^;и, следовательно, д G I, что доказывает локализуемость идеала I.

Обратно, предположим, что замкнутый идеал I С 8(Tⁿ) локализуем. Нужно доказать, что H допускает спектральный синтез. Пусть д G S(Zⁿ) и (д, /) = 0 для любого экспоненциального монома /(ж) = Р(ж)е^-гвжG Н. Тогда, по лемме 4, 0в(д) G I для любого в G Tⁿ. Из локализуемости идеала I вытекает, что д G I, откуда следует, что д G H^;. Тогда из теоремы Хана — Банаха вытекает, что замыкание линейной оболочки содержащихся в H экспоненциальных мономов совпадает с H , то есть H допускает спектральный синтез. □

Доказательство теоремы 1 для G = Zn. По предложению 3, чтобы доказать, что спектральный синтез справедлив в пространстве S‘(Zn), достаточно доказать, что любой замкнутый идеал I в алгебре 8(Tn) локализуем. Остается заметить, что локализуемость замкнутых идеалов в алгебре 8(Tn) следует из теоремы Уитни о локализуемости замкнутых идеалов в алгебре 8(Q) для любого гладкого многообразия Q, счетного на бесконечности (здесь 8(Q) — топологическая алгебра, состоящая из всех бесконечно дифференцируемых функций на Q с операцией поточечного умножения). Доказательство теоремы Уитни см., например, в [3, гл. III, теорема 1.3].            □

• 4.    Спектральный синтез в пространстве S‘(G) на конечно порожденной абелевой группе

В этом параграфе из справедливости спектрального синтеза в пространстве S'(Zⁿ) выводится справедливость спектрального синтеза в пространстве S'(G) для произвольной конечно порожденной абелевой группы G и тем самым завершается доказательство теоремы 1. Предварительно приведем некоторые вспомогательные результаты.

Пусть G и G — абелевы группы, а : G ^ G — сюръективный гомоморфизм. Для любой функции / : G ^ C пусть / := / о а — композиция / и а.

Предложение 4. Для того чтобы функция / = /оа была экспоненциальным мономом на группе G, необходимо и достаточно, чтобы функция / была экспоненциальным мономом на группе G.

Доказательство. См. [17], доказательство теоремы 2.24, или [8].        □

Отметим, что теорема 1 справедлива для любой конечной абелевой группы G, так как в этом случае пространство S'(G) совпадает с пространством С(G), для которого справедливость спектрального синтеза хорошо известна (см., [17]). Далее пусть G — конечно порожденная бесконечная абелева группа, v1,...,vn — система образующих группы G, G = Zn — свободная абелева группа. Элементы группы Zn будем обозначать через t = (t1,... ,tn), tj E Z, а элементы группы G через ж. Отображение а : t = (ti,... ,tn) ^ ж = ti^i +-----+ tn^n(38)

является сюръективным гомоморфизмом группы Zⁿ на группу G. Для любой группы G через С(G) будем обозначать множество всех комплекснозначных функций на G.

Определим отображение А : С(G) ^ С(Zⁿ) формулой

А(/)(t):=/(t) = /Mt)), t E Zn.(39)

Пусть К = {t E Zⁿ : а(t) = 0} — ядро гомоморфизма а. Очевидно, что функция g E С(Zⁿ) имеет вид g = А(/) для некоторой функции / E С(G) тогда и только тогда, когда выполняются условия

g(t + s) = g(t) Vt E Zn, s E К.(40)

Если H — подмножество в С(G), то пусть H = А(Н) — образ множества H при отображении А. Пространства S/(G), S_fc'(Zⁿ), S'(G) и S'(Zⁿ) определены в § 1. Чтобы различать нормы в банаховых пространствах S_/'(G) и S_fc'(Zⁿ) (см. (4)), будем обозначать через || • \_G,k норму в Sj^G), а через || • \\_к норму в S^Z^.

Предложение 5. (г) Отображение А является линейным непрерывным оператором из пространства S'(G) в пространство S'(Zⁿ).

(гг) Если H — инвариантное подпространство в S'(G), то его образ H = А(Н) является инвариантным подпространством в S'(Zⁿ).

Доказательство. 1) Пусть / G Sk(G), / = / о а. Из определения |ж| для ж G G и |t| для t G Zⁿ вытекает, что |а(^)| < |t| для любого t G Zⁿ. Тогда

|/(t)|(1 + №^к = |/(a(t))|(1 + №^к< |/(a(t))|(1 + |a(t)|)^-k<

• < sup |/(ж)|(1 + |ж|)-к = ЦУ\\G,k.

xEG

Из (41) следует, что

|/(t)|(1 + |tr(t+1) < МAg*(1 + |t|)-1,(42)

поэтому / G Sk₊₁(Zⁿ). Кроме того, из (42) вытекает неравенство

\/\к+1 = sup |/(t)|(1 + |t|)-(k+1) < \/\У,к,(43)

поэтому А является линейным непрерывным отображением из банахова пространства Sk (G) в банахово пространство S^₊₁(Zⁿ), а из определения топологии индуктивного предела следует, что А является линейным непрерывным отображением из топологического векторного пространства S‘(G) в топологическое векторное пространство S'(Zⁿ).

• 2)    Как и раньше, пусть К — ядро гомоморфизма а. Введем обозначение

S'(Zⁿ; К) := {д G S'(Zⁿ) : g(t + s) = g(t) Vt G Zⁿ, s G К}.

Множество S'(Zⁿ; К) является замкнутым линейным подпространством в S'(Zⁿ). С топологией, индуцированной из пространства S'(Zⁿ), множество S'(Zⁿ;К) является локально выпуклым пространством. Проверим, что образ A(S'(G)) совпадает с пространством S'^^п;К) и что отображение А является изоморфизмом топологического векторного пространства S'(G) на топологическое векторное пространство S '(Zⁿ;К).

Вложение A(S'(G)) С S'(Zⁿ;К) очевидно. Пусть д G S'(Zⁿ; К), тогда д можно представить в виде g(t) = /(a(t)) для некоторой, однозначно определенной функции / G С(G). Докажем, что / G S'(G) и что отображение А^-1: g(t) ^ /(ж) из S'(zⁿ; К) в S'(G) непрерывно.

Пусть д G S'(Zⁿ;К) П Sk(Zⁿ), к > 0. Для любого ж G G существует элемент t G Zⁿ такой, что ж = a(t) и |t| = |ж|. Тогда

|/(ж)I(1 + |ж|)^-к= I/(a(t))|(1 + |a(t)|)^-k= |g(t)|(1 + У)^-к< \\д\\_к.         (44)

Из (44) следует, что

|/(ж)|(1 + |ж|)-“⁺¹⁾< ||д||к(1 + |ж|)^-1,                            (45)

поэтому / G S_k'₊₁(G). Кроме того, из (45) вытекает неравенство \/Hg.^+i< \\д\\к, откуда следует, что А^-1является непрерывным отображением из S'(Zⁿ;К) в S'(G). Тем самым доказано, что A(S'(G)) = S'(Zⁿ;К) и отображение А является изоморфизмом топологического векторного пространства S'(G) на топологическое векторное пространство S'(Zⁿ;К).

• 3)    Пусть H — инвариантное подпространство в S'(G). Проверим, что H = = А(Н) является инвариантным подпространством в S^z(Zⁿ).

Так как Л является изоморфизмом топологических векторных пространств S‘(G) и S‘(Zⁿ; К), то H = Л(Н) будет замкнутым линейным подпространством в S‘(Zⁿ; К), а так как S‘(Zⁿ; К) замкнуто в S‘(Zⁿ), то H является замкнутым линейным подпространством в S‘(Zⁿ).

Пусть g G H, тогда g = /оа для некоторой функции / G H. Заметим, что для любого s G Zⁿ, (T_sg)(t) =/(a(t + s)) = /(a(t) + a(s)) = Л(т_а(₅)/)(t). Так как T_a(_s)/ G H, то T_sg = Л(т_а(₅)/) G H, следовательно H является инвариантным подпространством в S ‘(Zⁿ).                                         □

Теперь можно завершить доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы 1 (общий случай). Пусть G — конечно порожденная бесконечная абелева группа, v₁,...,v_n — система образующих группы G, а : Z" ^ G — отображение (38), Л : S‘(G) ^ S‘(Zⁿ) — отображение (39). Пусть H — инвариантное подпространство в S‘(G), тогда по предложению 5 H = Л(Н) является инвариантным подпространством в S‘(Zⁿ). Так как теорема 1 справедлива для группы Zⁿ, то H допускает спектральный синтез, то есть H совпадает с замыканием линейной оболочки экспоненциальных мономов g(t), принадлежащих H. По предложению 4 функция g(t) является экспоненциальным мономом на группе Zⁿ тогда и только тогда, когда функция / = Л^-1(у) является экспоненциальным мономом на группе G. Так как Л является изоморфизмом топологических векторных пространств S‘(G) и S‘(Zⁿ;K) (см. доказательство предложения 5), то подпространство H = Л^-1(Н) совпадает с замыканием в S‘(G) линейной оболочки экспоненциальных мономов Л^-1(у), то есть H допускает спектральный синтез, что завершает доказательство теоремы 1.          □