О спектральных свойствах операторов в модели Фридрихса с некомпактным ядром в пространстве двух переменных функций

Изучению спектральных свойст гамильтонианов одной, двух и трех квантовых частиц на ν -мерной решетке посвящена серия работ, например, [1–6] и др. Гамильтонианы всех описанных выше моделей коммутируют с группой трансляций на решетке. Физическая причина этого состоит в том, что на решетке нет узлов, и смещение системы квазичастиц как целого на любой вектор, переводящий решетку в себя, не меняет состояния системы. Однако, большое количество интересных задач в ФТТ связано с неидеальными кристаллами, трансляционная инвариантность которых нарушена примесями или дефектами, т. е. один или конечное число узлов решетки оказываются выделенными [7–11].

Гамильтониан системы, состоящей из двух свободных электронов и одной примеси (примесь — это тяжелая «недвижимая» частица) на решетке [10], [11] представляется в виде оператора H = V + e(T i + T 2 ), действующего в гильбертовом пространстве двух переменных функций L2 (Q х Q), где V — оператор умножения на функцию (невозмущенный оператор) и T i , T2 — частично интегральные операторы (т. е. T i + T2 — некомпактное возмущение). Оператор такого вида обычно называется оператором в модели Фридрих-са . Поэтому представляется интересным изучение спектральных свойств операторов в модели Фридрихса, когда возмущения являются частично-интегральными операторами.

В данной работе мы изучим спектральные свойства операторов вида H = V + T i , где T 1 — частично интегральный оператор.

Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство, A — линейный ограниченный самосопряженный оператор в H . Обозначим через o(A) спектр оператора A, o p (A) — множество собственных значений оператора A. Кратность собственного значения A G R определяется как размерность собственного подпространства М д = { x : Ax = Ax, x G H } .

Определение 1.1. Множество всех изолированных собственных значений o(A), за исключением собственных значений бесконечной кратности, называется дискретным спектром оператора A и обозначается через o' disc (A).

Определение 1.2. Множество o ess (A) = o(A) \ O di_sc (A) называется существенным спектром оператора A.

Пусть L 2 (Q) и L2(Q х Q) — гильбертовы пространства квадратично интегрируемых функций соответственно на Q и Q х Q, где Q = [a, b] ^v С R ^v , v G N . Обозначим через ц меру, заданную на Q. Мы будем определять меру Д на Q х Q с помощью равенства Д = Ц 0 Ц. Через p(x, s) обозначим метрику в пространстве R ^v .

В пространстве L 2 (Q х Q) рассмотрим операторы:

Vf (x,y) = u(x,y)f(x,y)

и

Tf (x,y) = 11

ΩΩ

q(x, y; s, t)f (s, t) ds dt,

где u(x,y) — вещественнозначная непрерывная функция на Q х Q, q(x,y; ,s,t) — произвольная функция на Q ² х Q ² .

Оператор

H = V + T                              (1.1)

называется оператором модели Фридрихса . Если интегральный оператор T является компактным, то оператор H (1.1) называется оператором с компактным ядром в модели Фридрихса , иначе оператор H называется оператором с некомпактным ядром в модели Фридрихса .

Если T — компактный оператор, то из классической теоремы Вейля [12] о местоположении существенного спектра имеем a _ess (H) = a(V), и значит вне существенного спектра a(V) может появиться конечное или бесконечное число собственных значений оператора H с конечной кратностью. Если интегральный оператор T некомпактный, тогда неясно как построены существенный и дискретный спектры оператора H = V + T.

Однако, в работе [13] изучен специальный случай оператора в модели Фридрихса с некомпактным ядром, когда T — частично интегральный оператор и u(x, y) = h(x)+v(y), где h(x) и v(y) — вещественнозначные непрерывные функции на Q. Пользуясь свойством «тензорной суммы» операторов, доказано, что в этом случае отсутствует дискретный спектр оператора H (1.1).

Предположим, что k(x,s) — аналитическая функция на Q х Q и k(x,s) = k(s,x), x,s G Q. Тогда оператор с частными интегралами

Kf

// k(x, s')6(y — t)f (s, t) ds dt =

ΩΩ

k(x, s)f (s, y) ds,

Ω

f G L2(Q х Q),

(1.2)

где 6(x) — дельта-функция Дирака на Q, является ограниченным самосопряженным оператором в L 2 (Q х Q), но он не является компактным.

Определим оператор H с некомпактным ядром в модели Фридрихса, действующий в L 2 (Q х Q) по формуле

H = V + к.                                (1.3)

Здесь V — оператор умножения на функцию u(x,y), где u(x,y) — произвольная вещественнозначная непрерывная функция на Q х Q.

Изучим структуру и местоположение существенного и дискретного спектров оператора H с некомпактным ядром в модели Фридрихса, заданного равенством (1.3). В действии оператора V в (1.3) функция u(x,y), вообще говоря, непредставима в виде u(x,y) = h(x) + v(y). Поэтому оператор H (1.3) не выражается через «тензорные суммы» двух операторов [13], и это затрудняет использование техники из [13] для изучения спектра оператора H.

2.    Вспомогательные утверждения

Пусть p(V) — резольвентное множество оператора V, т. е. p(V) = C \ a(V). Очевидно, что a(V) = [m, M], где m = inf u(x,y) и M = sup u(x,y). Обозначим через R z = R z (V ), z E p(V) резольвенту оператора V. Тогда имеем

Rz = (V — zE)-1, z E p(V), где E — тождественный оператор в L2(Q x Q).

В дальнейшем в интегралах, где не указана область интегрирования, будем понимать интегрирование по Q.

Лемма 2.1. Число A E p(V ) является собственным значением оператора H (1.3) тогда и только тогда, когда — 1 является собственным значением оператора T x = KR x , где оператор K определен в (1.2).

C а) Необходимость. Пусть A E p(V) является собственным значением оператора H. Тогда существует функция f o E L 2 (Q x Q), k f o k = 1, такая, что Hfo = Af o , т. е. из (1.3) следует, что

(V — A • E )f o + Kf o = e.

Обозначим через g(x,y) = (u(x,y) — A)f o (x,y). Тогда g E L2(Q x Q) и k g k = 0. С другой стороны, имеем

T x g(x, y) = KR x g(x, y) = к [(u(x, y) — A) ^-1 g(x, y)] = Kfo (x, y) = — (V — AE)f o (x,y) = — g(x,y),

• т. е. число — 1 является собственным значением оператора T x = KR x .

• б)    Достаточность. Пусть число — 1 — собственное значение оператора T x , A E p(V). Тогда существует функция g o E L2(Q x Q) такая, что k g o k = 1 и T x go = — g o . Обозначив f o (x, y) = R x g o (x, y), получим, что

• Kfo = KRxgo = Txgo = —go = —(V — AE)fo.

Далее нетрудно проверить, что f o E L 2 (Q x Q) и k f o k = 0. Из последнего равенства получим

Hf o = Vf o + Kf o = Vf o — g o = Vf o — (V — AE )f o = Af o ,

• т. е. число λ — собственное значение оператора H (1.3). B

Лемма 2.2. Пусть f E L 2 (Q x Q). Тогда для любого e >  0 существует подмножество Q _e С Q такое, что y(Q _e ) > y(Q) — e и ^ _a E L 2 (Q), a E Q _e , где y _a (x) = f(x, a), x E Q. Причем k ^ _a k 6 C, a E Q _e , для некоторого C > 0.

C Пусть f E L 2 (Q x Q) и d = k f ||² = 0. Определим две последовательности подмножеств в Q по следующим равенствам:

A n = {у ^: / I f(x,y) l 2 dx < n, у E Q} ,

n ∈ N ,

B n = {у : / I f(x,y) I 2 dx >  n, У E q} ,

n ∈ N .

• (2.1)

• (2.2)

Последовательности множеств { A _n } и { B _n } обладают следующими свойствами: 1 ° A 1 С A 2 С ... С A n С ... и B 1 D B ₂ D ... D B n D ...;

2 ° A = lim A n = J A n и B = lim B n = Q B n ;

n^^     neN         ⁿ^“     neN

3 ° Q = A n U B n и A n П B n = 0 , n G N .

Соответственно предыдущим, определим числовые последовательности { a _n } и { b _n } по следующим равенствам:

a n

= Idyl A n    Ω

I / (x,y)^{| 2} d^x,

n ∈ N ,

b _n

= /dy/ B n    Ω

I / (^x,y) | ² dx,

n ∈ N .

Числовые последовательности a _n и b _n обладают следующими свойствами:

4 ° a n >  0 и b n >  0, n G N ;

• 5 ° a n и b _n — ограниченные последовательности;

• 6 ° a n — возрастающая и b _n — убывающая последовательности;

• 7 ° d = a n + b n , n G N .

Из ограниченности и монотонности последовательностей an и bn следует, что они обе сходятся к конечному пределу. Из равенства d = an + bn (n G N) и по построению множества Bn получим, что d — an > 0, n G N и d > an + n^(Bn), n G N.

Отсюда имеем 0 < n^(B _n ) 6 d — a n , n G N , т. е.

0 < ^(B n ) 6 d a n , n G N . n

Значит, lim ^(B n ) = 0. Следовательно, в силу свойства 3 ° , получим n^^

^(A n )= д(П) — ^(B n ), n G N .

Отсюда lim ^(A _n ) = ^(Q). Значит, для любого достаточно малого е >  0 существует n^^

достаточно большое натуральное число n 0 ∈ N такое, что

^(Q) — е <  ^(A n ₀ ) 6 ^(Q) и 0 6 ^(B n ₀ ) < е.

Причем

j | ^ a (x) | 2 dx =

j | f (x, a) | ² dx < n o ,

α ∈ A _{n 0} .

Следовательно, для множества Q _e = A _n 0 имеем ^ _a G L 2 (Q), a G Q _e , и

1Ы1 6 C, a G Qe для всякого положительного C > no.

Значит при k f 11 = 0 доказательство леммы 2.2 завершено. В случае k f k = 0 утверждение леммы 2.2 очевидно. B

Следствие 2.1. Пусть f G L2(Q х Q). Тогда для любого е > 0 существует no G N такое, что kf k2 = j dy J If (x,y)|2dx + e,                          (2.2 0)

An0    Ω где множество An определено в (2.1).

Предложение 2.1. Пусть f G L2(Q х Q) и k f к = 1. Тогда для семейства { ^ _a } _a e Q функций, заданных равенством ^ _a (x) = f (x,a), x G Q, существует подмножество Q o C Q с мерой, отличной от нуля, такое, что ^ _a G L 2 (Q), a G Q o , и 0 <  к ^ _а к 6 C, a G Q o , для некоторого положительного C.

C Пусть f G L2(Q х Q) и ||f к = 1. В силу утверждения леммы 2.2, для произвольного е > 0 существуют подмножество Qe = An0 C Q и число C > 0 такие, что ^(Qe) > ^(Q) — е, ^а G L2(Q), a G Qe, и k^a| 6 C, a G Qe. Из (2.20) следует, что kfk2 = j dy j If(x,y)|2dx + е = 1.

^{A n} 0     ^Ω

Обозначив Qo = {a : ||^аЦ > 0, a G Qe} C Qe C Q, имеем 0 < ||^аЦ 6 C, Va G Qo. Следовательно, получим, что kf 112 = j by k2dy = 1 - е

Q 0

Отсюда вытекает, что ^(Q o ) > 0. Действительно, если ^(Q o ) = 0, тогда, в силу ограниченности функции h(x) = ||^ x k ² на Q o , из последнего равенства мы пришли бы к противоречию с тем, что k f к = 0. Предложение 2.1 доказано. B

Лемма 2.3. Пусть Qo C Q и ^(Q o ) > 0. Если ^ _а G L 2 (Q), a G Q o , и ||^ _а Ц = 1, a G Q o , и для функции двух переменных f , определенной равенством:

■ xy 1, (x)'

если x G Q, y G Q o , если y G Q \ Q o ,

(2.3)

верно f G L 2 (Q х Q) и k f k = 0.

C Пусть ^a G L2(Q) и ||^ak = 1, a G Qo, для некоторого подмножества Qo C Q с мерой, отличной от нуля. Тогда для функций двух переменных f (x,y) (2.3) получим jj |/(x,y)|2 dxdy = j y‘|/(x,y)|2 dx + j dy j |f(x,y)|2dx

= jdyj | f(x,y) | ² dx = j k ^ y k 2 dy = j dy = ^(Q o ) > 0, Q 0                        Q 0              Q 0

• т. е. f G L 2 (Q х Q) и k f k = 0. B

Предложение 2.2. Пусть ^ _a G L 2 (Q), a G Q o для некоторого подмножества Qo C Q с мерой отличной от нуля, такого, что k ϕ _α k 6 C, α ∈ Q 0 . Тогда функция двух переменных f (x,y), заданная равенством

/(Х'У) = Ь '

если x G Q, y G Q o , если y G Q \ Q o

(2.4)

принадлежит L 2 (Q х Q). При этом если k ^ _a k = 0, a G Q o , для некоторого подмножества Q o C Q o с мерой отличной от нуля, то k f k = 0.

Доказательство предложения 2.2 аналогично доказательству леммы 2.3.

Следствие 2.2. Пусть f G L 2 (Q x Q). Тогда существует строго убывающая последовательность положительных чисел { e n } _nG N такая, что lim e n = 0 и n→∞

• (a)    для каждого n G N существует подмножество Q n С Q с мерой ^(Q _n ) > ^(Q) — e n , причем Q i С Q2 С ... С Q n С ... и U Q n = Q;

n ∈ N

• (b)    для каждого n G N существует положительное число C n так, что выполняется неравенство

Ц^) || 6 Cn, Va G Qn, где ^an)(x), a G Qn, — семейство функций одного переменного в L2(Q), заданных равенством

^ an ) (x) = f (x,a), x G Q;

• (c)    для любого n G N функция

. ( x      \^{f (x}'У⁾'

если (x, y) G Q x Q n , если (x, y) G Q x (Q \ Q n )

(2.5)

Ы^Х,У) = < ₀

принадлежит L 2 (Q x Q) и lim f _n (x,y) = f (x,y).

n→∞

Лемма 2.4. Число £ G C является собственным значением оператора Т д = KR д ' A G p(V), тогда и только тогда, когда число £ является собственным значением каждого компактного оператора K _a = K _a (A), a G Q o , где

Г k^(x,s>^(s) ds

Ka» = / u(s,a) — A - » G L2™, и Qo = Qo(A) — некоторое подмножество в Q, мера которого отлична от нуля.

C а) Необходимость. Пусть £ G C — собственное значение оператора Т д , A G p(V), т. е. T д fo = £f o , для некоторого f o G L 2 (Q x Q), ||f o H = 1. Обозначив через » _a = » _a (x) = f o (x,a), a G Q, получим семейство функций на Q. Тогда, в силу предложения 2.1, существует подмножество Q o С Q такое, что ^(Q o ) > 0 и » _a G L 2 (Q), a G Q o . Причем k »a || = ⁰, ^{a G} Qo.

Для произвольного a G Q o имеем

• [ ^к(х^>а⁽^,      f ^k(x'^s)f 0 ^(s'^a)            ,    .       ,    .        ,

K a ^ a = J u(s _a ) - A ds = у   u(s _a ) _— A ds = ТдЫх, a) = £f o (x, a) = £» a (x).

Значит, число £ является собственным значением оператора K _a = K _a (A), a G Q o .

• б)    Достаточность. Пусть A G p(V) и £ — собственное значение для семейства операторов K _a = K _a (A), a G Q o , где Q o С Q и ^(Q o ) > 0. Тогда существует семейство элементов { » _a } _a eQ ₀ С L 2 (Q) такое, что K _a » _a = £» _a и | » _a | = 1, a G Q o . Определим функцию f 0 равенством:

  f o (X'У) = ^"^{У <Х)},

  
  

  если x G Q, y G Q o , если y G Q \ Q o .

  
  

Тогда в силу леммы 2.3 имеем f o G L 2 (Q x Q) и | f o | = 0. С другой стороны, получим:

• (i)    при y ∈ Q 0

m f          f k^(x,sf0 ^(s,y) л f kxX,S>_y ^(s)

xy) = / u(s,y) - Л ds = J u(s,y) — A ds = K" '^(x)

= -/ a (x) = €f o (x, y), x e Q;

• (ii)    при y e Q \ Qo имеем T\ fo(x, y) = 0, т. е.

3.    Основные результаты

T \ fo(x,y)= £f o (x,y), x e Q-

Таким образом, T \ fo(x,y) = £f o (x,y) для любых x e Q и y e Q- Значит, число £ является собственным значением оператора T λ .

Пусть А(Л;a), Л e p(V ), — детерминант Фредгольма [14] оператора E + К _а (Л), a e Q, где E — тождественный оператор в L 2 (Q). Если Л e p(V ) — собственное значение оператора H, то, в силу лемм 2.1 и 2.4, существует подмножество Q o = Q o (Л) С Q такое, что ^(Q _o ) > 0 и

А(Л; а) = 0 для всех a e Qo-                         (3-1)

Здесь

А(Л; a) = 1 + £ "    ",                          (3.2)

n ∈ N

k(s i ,s i ) --- k(s i ,S n ) k(s 2 , s 1 ) . .. k(s 2 , s n )

•  • •                    • • •                     • • •

k(s n ,s i ) --- k(s n ,s n )

d n (Л; a) = j...j

ds 1 ds 2 . . . ds n n ^. П (u(s i ,a) - Л) i =1

Из лемм 2.1 и 2.4 вытекает

Теорема 3.1. Следующие три условия эквивалентны:

• (i)    число Л e p(V) — собственное значение оператора H;

• (ii)    число — 1 — собственное значение оператора T \ = KR x (Л e p(V));

• (iii)    число — 1 — собственное значение каждого компактного оператора K _a = К _а (Л) (Л e p(V)), a e Q o , где Qo — некоторое подмножество в Q, мера которого отлична от нуля.

Определим множества D H С C и D h С C , соответственно, равенствами D H = {Л e p(V) : А(Л; a) = 0 V a e Q o = Q o (Л) для некоторого подмножества Q o (Л) С Q с мерой, отличной от нуля}, D h = { Л e p(V) : А(Л; a) = 0 для некоторого a e Q } -

Теорема 3.2. Для того, чтобы число Л o e p(V) было собственным значением оператора H, необходимо и достаточно, чтобы λ 0 ∈ D _H ⁰ .

C а) Достаточность. Пусть λ 0 ∈ D _H ⁰ . Тогда, по построению множества D _H ⁰ , существует подмножество Q o (Л o ) С Q, мера которого отлична от нуля и

А(Л o ;a) = 0, V a e Q o = Q o (Л o )-

Значит, число - 1 является собственным значением каждого компактного оператора K _a = K _a (Л o ), a e Q o - Тогда из теоремы 3.1 следует, что число Л o является собственным значением оператора H.

• б) Необходимость также следует из теоремы 3.1. B

Теорема 3.3. Для любого z E a(V) U D h резольвента R _z (H ) оператора H существует и действует в L 2 (fi х Q) по формуле

/(xy)      1     Dxsyizl z         u(x,y) - z   A(z; y) J u(x,y) — z 8,У S‘

Здесь D(x, s; a, z) — минор Фредгольма [14] оператора E + K _a (z), z E p(V ), т. е.

D(x, s; a, z) = ^{k ( x, s )} + X —¹1 B n (x, s; a, z),           (3.3)

u(s, a) — z       u(s,a) — z n!

где

B _n ( x, s ; a, z )

=/•••/

k ( x, s ) k(si,s)

* * *

k ( s n , s )

k ( x, s 1 ) ... k ( x, s _n ) k(si,si) ... k(si,s n )

...      ...

k(s n , s 1 ) . . . k(s n , s n )

ds 1 ds 2 . . . ds n

n

П (u(s i , a) — z)

i =1

Прежде, чем доказать теорему 3.3, приведем вспомогательную лемму.

Пусть P g = { z : m 6 Re z 6 M и — 6 <  Im z < 6,z E C } , где 6 >  0. Обозначим через

V g (m) и V g (M ) 6-окрестности точек m и M, т. е. V g (m) = { z : | z — m | < 6, z E C } и

V g (M ) = { z : | z — M | < 6, z E C } . Определим открытое множество n g в C :

n _g = C \ P _g U V _g (m) U V _g (M ), 6> 0.

Лемма 3.1. Пусть z o E n g . Тогда для любого 6 >  0 функциональный ряд (3.2) (ряд (3.3)) при X = z o (при z = z o ) равномерно сходятся на Q (на Q х Q х Q).

C Пусть 6 > 0 и zo E ng. Положим Ck = sup |k(x,s)|. Из неравенства Адамара [14] x,s∈Ω для определителей вытекает, что

| d n ^(z o ; ^{a) |} 6 C n • nn • (V 7—,—ds -----1 , n ^E N .

\J | u(s,a) — z o |/

Имеем | u(x, y) — z o | >  6 >  0, (x, y) E fi х Q. Отсюда и в силу непрерывности функции u(x, у) следует, что функция

P o ^(x) = I i / ds ------1

J |u(s,x) — zo| также является непрерывной на Q.

Пусть ^o = suppo(x). Тогда ряд (3.2) имеет мажоранту x∈Ω

1+E(^oCk)n • n2, n∈N последний ряд сходится, поскольку степенной ряд

n n2

^, n !

q(x) = 52 впХП, где вп n∈N имеет бесконечно большой радиус сходимости. Значит, функциональный ряд (3.2) при A = zo G Щ на Q сходится равномерно.

Аналогично можно доказать, что ряд (3.3) при z = z o G Щ на Q х Q х Q сходится равномерно. B

C Доказательство теоремы 3.3. Пусть z o G ^CT(V ) U D h . Рассмотрим уравнение

(H - zoE)f = g, где g G L2(Q х Q) — заданная функция, f — неизвестная функция в L2(Q х Q).

Следовательно, имеем

(u(x,y) - z o )f (x,y) + j k(x,s)f (s,y) ds = g(x,y)

Положив f(x,y) = (u(x,y) — z o )f(x,y), получим

^{f (x,}y⁾⁺ T z o ^f(x,y)= g&yf                         ⁽3.4)

В силу утверждения следствия 2.2, для функций g G L 2 (Q х Q) существует убывающая последовательность положительных чисел ε n и существует последовательность подмножеств Q n С Q, для которых выполняются свойства (a), (b) и (c), причем lim e n = 0. n^^

Для каждого множества Q n построим подпространство L n = L 2 n ) (Q х Q). Функция f(x,y) G L 2 (Q х Q) принадлежит подпространству L n ) , если выполняются следующие условия:

• 1 ° ^ an ) (x) = f(x,a) G L ₂ (Q) для всех a G Q n ;

• 2 ° существует положительное число C n такое, что H ^ On ) k 6 C n для всех a G Q n ;

• 3 ° f (x, y) = 0, если (x, y) G Q х (Q \ Q n ).

Очевидно, что L 2 ^{n )} С L 2 (Q х Q) и оно является бесконечномерным евклидовым пространством.

Легко заметим, что для каждого f G L 2 (Q х Q) существует последовательность f n G L ^{( n )} , n G N , такая, что lim f n = f. Поэтому уравнение (3.4) будем решать в подпро- n^^

странстве Lxn и затем найдем решение уравнения (3.4) как предел lim fn(x, y) = f(x, y), n^^

где f _n — решение уравнения (3.4) в L 2 ^{n )} .

Пусть g _n (x, y) — элемент в L n ), соответствующий функции g(x,y). Обозначим через f _n (x,y) элемент в L 2 " ) , соответствующий неизвестной функции f (x,y) G L 2 (Q х Q).

Тогда уравнение (3.4) сводится к следующему уравнению в пространстве L^ :

f n (x,y)+ T z o f n (x,y)= g n (x,y).                         (3.5)

Следовательно, из свойства (b) следствия 2.2 вытекает, что при фиксированном y G Q уравнение (3.5) приводится к следующему уравнению в пространстве L 2 (Q) :

(x)+ K a (z o )^ a^{n )} (x) = h^(x), a G Q.                    (3.6)

Здесь K _a (z o ) — компактный оператор в L 2 (Q), определенный по равенству

K a (z o )^ = / -^(xlf)— ^(s) ds, a G Q, u(s, a) - z o

^ an ) (x) = f n (x,a) — неизвестная функция в L s (Q), h^^x) = g n (x, a) — заданная функция в L s (Q).

В силу первой фундаментальной теоремы Фредгольма [14], уравнение (3.6) при каждом a G Q имеет единственное решение

^an)(x)= h^(x) - Wa(zo)ha)(x), где оператор Wa(zo) действует в Ls(Q) по формуле

W « (4)V = [ ^{D (}x’S' ^a,Z ⁰ ’ *) ds J    A(a; z o )

• и, в силу утверждения леммы 3.1, оператор W _a (zo) является компактным.

Нетрудно проверить, что функция f n (x,y) = ^^(x) принадлежит подпространству L n и является решением уравнения (3.5). Определим функцию p G L s (Q x Q) равенством

p(x,y) = (E - W(zo))g(x,y), где оператор W(zo) действует в L2(Q x Q) по формуле

W(zo)f = / D^’s y’^{Z o )} f (s,y) ds J    A(y; z o )

и он, в силу леммы 3.1, является ограниченным оператором.

Следовательно, если (x,y) G Q x Q n , то

p(x,y) = g(x,y) - W(zo)g(x,y) = g n (x,y) - W(zo)g n (x,y) = h y^{n )} (x) - W y (z o )h y^{n )} (x) = ^ (x) = f n (x,y).

Если a G Q \ Q _n , то в уравнении (3.6) h ( n ⁾ (x) = 0. Тогда имеем решение ^ ( n ) (x) = 0. Отсюда имеем f n (x, y) = ^ У^{п )} (x) = 0 при (x, y) G Q x (Q \ Q n ).

Таким образом, из свойства (c) следствия 2.2 получим, что p(x,y) = lim f _n (x,y).

n→∞

Значит, функция f (x, y) = p(x, y) = (E - W(zo))g(x, y)

является решением уравнения (3.4). Следовательно, подставив вместо f (x,y) функцию (u(x,y) - z o )f (x,y), найдем действие резольвенты R _z 0 (H ) оператора H :

^{f (x,}y) = R z o ⁽HM^y) = R z o ⁽V ^)(E - W⁽zo⁾⁾g^(x,y⁾ =

u(x,y) - z o

⁽g^(x,y)^- W ⁽z o ⁾⁾g^(x,y⁾.

Теорема 3.3 доказана. B

Из теоремы 3.3 и определения спектра получим следующую теорему.

Теорема 3.4. Спектр оператора H состоит из объединения множеств a(V) и D h , т. е.

a(H ) = a(V) U D H .

Лемма 3.2. Пусть ao G Q. Тогда для семейства операторов Ka(X), A G p(V), lim kKa(A) - Kao(A)H = 0,

α→α 0

т. е. семейство операторов { К _а (А) } _ае ю при а ^ а о сходится к оператору К _а 0 (А) в равномерной операторной топологии.

C Пусть у — произвольный элемент в L o (Q) и а о G Q. При фиксированном А о £ p(V ) = C \ [m, M ] рассмотрим разность элементов К _а (А о )у и К _а 0 (А о )у :

_П х         f ^{(u(s,a) - u(s,a}0^))k(x,s)    ₍

K^ - Л„ <^А „ )„ = - / ₍ u _{( s} , _Q ) - а ₀ )₍„₍₅,„ ₀ ) - Ао) s ds.

Тогда получим, что

\ V 2     И ^{(u(s,a) - u(s},^а 0 ^{)) 2 |k(x},^{s)| 2 dxds}

" K*^¹ - ^{Ka0 (А о )к 6} J J   Ms,») - А о | 2 | и( _в ,а о ) - АоР '

Положим Ео = inf |u(s,x) - Ао| > 0. Тогда, в силу непрерывности веществен-x,s∈Ω нозначной функции u(x,y), для произвольного 6 > 0 существует достаточно малое число е > 0 такое, что |u(s, а) - u(s,ао)| < ео • е, для всех (s. а) £ Q х Q5, где Q5 = {а : р(а, ао) < 6, а £ Q}. Итак, при а £ Q5 имеем ds

2                         2 ^,

|u(s, а) - Ао | |u(s, ао ) - Ао | где Ck = sup |k(x, s)|.

Однако значение интеграла в последнем неравенстве при любом а £ Q не превосходит значения ^(^)/е о . Следовательно, получим

||К а (А о ) - К а о (А о ) к 6 C k • ^(Q)e, а £ Q 5 .

Из последнего неравенства в силу произвольности значения е >  0 получим, что lim | К а (А о ) - К а о (А о ) к =0. B α → α 0

Теорема 3.5. Дискретный спектр оператора H — пустое множество, т. е. CT disc (H) = 0.

C Покажем, что a(H) С a _ess (H). Очевидно, что a(V) = [m, M], где m = inf f (x, y) и M = sup f (x,y). Однако, любая точка А £ a(V) является неизолированной в спектре оператора H. Поэтому имеет место включение a(V) С a _ess (H).

Теперь, пользуясь критерием Вейля о существенном спектре самосопряженных операторов [15], докажем включение D h С a _ess (H). Пусть А о £ D h — некоторая фиксированная точка. Тогда существует элемент а о £ Q такой, что А(А о ; а о ) = 0, т. е. число - 1 является собственным значением оператора К _а 0 = К _а 0 (А о ). Значит, существует вектор у £ L o (Q), | ^ | = 1, такой, что К а ₀ (А о )^(x) = - ^(x).

Введем обозначения:

V n (а о ) = {y : n +y < p(y, а о ) < П, y £ Q| С Q

— выколотая окрестность точки а о £ Q, x n (y) — характеристическая функция множества V n (a „ ).

Определим последовательность функций { f _n } С L o (Q х Q) следующим образом:

f n (x, y) =

γ n

V ^(V n (a о ))

y^(x)x n ⁽y) u(x,y) - А о ^,

где { Y n} — некоторая ограниченная числовая последовательность, которая выбирается для нормирования последовательности { f n } .

Так как носители функций f n и f m не пересекаются при n = m, то

(fn, fm)=j^ fn(x, y)fm(x, y) dx dy = dnm, где 6nm — символ Кронекера, т. е. {fn} — ортонормированная система в L2(Q х Q).

Тогда имеем

⁽H - A o E^)f n ⁽x, y) = p ^{Y n}     • Х п ⁽У) f ^^(x) + [ MxisldM. d_s\

V ^(V n (ao))        V J ^u(s, y) - ^Ao /

= ^SnT^ • X n ⁽y⁾⁽V^{(x) +} K y ^(AoM<

V /^(Vn(a0))

Следовательно, получим, что k(H — AoE)fnk 6 Ynk^ + Ky(Ao)^k ^ 0, n ^ to.

Действительно, при n ^ to имеем y ^ a o , и в силу леммы 3.2 вытекает, что ||K y (A o )^ + ^ | ^ ||K _a 0 (A o )^ + у | = 0 при n ^ to, так как ^ — собственный вектор оператора K _a 0 (A o ), соответствующий собственному значению — 1. Это означает, что A o G a _ess (H) [15]. В силу произвольности A o £ D h вытекает D h С a _ess (H). Итак, мы доказали, что a(H) С a _ess (H). Значит, имеем ст disc (H ) = 0 . B

• 4.    Случай k(x,s) = ^(x)^(s)

Пусть ^(x) — аналитическая функция на Q = [a, b] ^v , k(x, s) = ^(x)^(s), u(x, y) — вещественнозначная непрерывно дифференцируемая функция на Q х Q, которая достигает максимума в единственной точке (x o ,y o ) £ Q х Q, т. е. M = sup u(x,y) = u(x o ,y o ).

x,y ∈ Ω

В пространстве L2(Q х Q) рассмотрим оператор

Hf

= u(x,y)f(x,y) +

j ^^(xM^{s)f (s,}y) ^ds,

Ω

f £ L 2 (Q х Q).

(4.1)

Тогда детерминант Фредгольма A(A; a) имеет вид

A(A; a) = 1 + [ | ^^(s)f ds , A £ p(V), a £ [a,b] ^v . J u(s, a) — A

Ω

Поскольку функция u(x, y) непрерывно дифференцируема, то частные производные ddy, A £ no, и ddai, ai £ Q, являются непрерывными функциями по каждому аргументу A £ no и ai £ [a, b], причем dA Г    |^(s)|2 ds       \ тт / г vw\ dA = J (u(s,a) — A)2, A £ no (a £ [a, b] ),

Ω dA

∂α i

f l ^(s) | 2 du:

• —               ;----i-y5 ds,    ai £ [a, b],     i = 1, 2,..., v    (A £ n o ) .

(u(s, a) — A) ²

Ω

Здесь П о = R \ a(V).

Функция А(А; а) при а = а о является монотонной функцией от А на (M, го ). Определим вещественнозначную функцию ш(х) на Q = [a, b] ^v по формуле:

w(x) = <

А(М;x),         если x = ао, lim А(А;x),   если x = ао,

λ → M +0

(4.2)

где а о = у о .

Очевидно, что если значение предела

lim

λ → M +0 Ω

M^{s)| 2} d^s u(s, а о ) — А

(4.3)

конечно, то функция w(x) становится непрерывной на Q = [a, b] ^v .

Положим ^ _mi_n = inf w(x) и w _max = sup ^(x).

Теорема 4.1. Пусть значение предела (4.3) конечно. Тогда

• а)    если w _min >  0, то D h = 0, т. е. a(H ) = a(V);

• б)    если ^ min < 0 и ш _тах >  0, то D h = 0 и существует непустое открытое множе-

• p

ство G С Q такое, что G = |J G j где Gj — связные j =1

G, и существует ровно p функций q 1 (x), q ₂ (x), ..., q j (x) является непрерывной и ограниченной на G j ; равенства:

p

(i) D h = U [a j , b j ], где a j = inf q j (x) и b j = sup

компоненты открытого множества

q p (x) таких, что каждая функция при этом имеют место следующие

j =1 ^p

x ∈ G j

x ∈ G j

q j (x);

• (ii)    D h = (J A j , где A j = [a j , b j ], если a j > M и A j = (a j , b j ], если a j = M;

j =1

p

• (iii)    a(H ) = a(V) U U[a j ,b j ] ;

j =1

в) если штах < 0, то Dh = 0 и существует единственная ограниченная непрерывная функция q(x) на Q такая, что Dh = [qmin, qmax] , где qmin = inf q(x) > M и qinax = x∈Ω sup q(x).

x ∈ Ω

<1 Поскольку оператор H — самосопряженный, то при изучении множества D h С а(Н) нам достаточно рассмотреть случай, когда параметр А G C \ a(V ) — вещественный, т. е., вообще говоря, имеет место равенство

D h = { А G R \ u(V) : А(А; а) = 0 для некоторого а G Q } .

С другой стороны, если А < m, то из (4.1) вытекает, что А(А; а) > 0 для всех а G Q. Значит, имеет место включение D h С (M, го ). Поэтому мы будем рассматривать только случай А G (M, + го ).

Пусть значение предела (4.3) конечно. Тогда функция w(x) (4.2) является непрерывной на ограниченном замкнутом множестве Q. Легко заметить, что при каждом фиксированном а G Q функция А(А; а) непрерывна и строго монотонно возрастает от ш(а) = lim А(А; а) до 1 на полуоси (M, + го ).

• а)    Пусть ш _mi_n >  0. Тогда в силу монотонности функции А(А; а) по А G (M, + го ), при каждом а G Q имеем А(А; а) > 0 для любого А G (M, + го ). Значит, по определению множества D h , получим, что D h = 0 .

• б)    Пусть ^ min < 0 и ш _тах >  0. Тогда из непрерывности функции ш(x) следует, что прообраз G = ш - 1 ((^ min , 0)) интервала (ш _mi_n , 0) является непустым открытым множе- О

ством в Q= (a, b)v. Для любого ао G G выполняется неравенство ш(ао) < 0, значит, уравнение А(А; ао) = 0 имеет единственное решение Ао > M, т. е. А(Ао; ао) = 0, где λ0 > M. Из того, что в Rν всякое открытое множество имеет не больше, чем счетное число связанных компонент, следует, что существуют непустые взаимно непересекаю-p щиеся открытые области Gi, G2, ..., Gk, ..., Gp такие, что G = U Gj, где p = n G N j=1

или p = го . Для уравнения А(А; а) = 0 для каждого открытого множества G j выполняются условия существования и единственности неявных функций [16]. Таким образом, уравнение А(А; а) = 0 на G j имеет единственное непрерывное решение q j (x), x G G j , т. е. A(q j (x); x) = 0, V x G G j . Поскольку G j — область, то множество Im q j (x), x G G j , (образ функции замкнутого множества G j ) в силу непрерывности функции q j (x) является отрезком, т. е. Im q j (x) = [a j , b j ], где a j = inf q j (x) и b j = sup q j (x). Следовательно, xeG j                              x^G j                xeG j

p

получим, что (i) D h = U [a j , b j ]. По определению множества D h , число M не принад- j =1

лежит D h , поэтому, выбрасывая это число из D h , мы имеем равенство (ii). Равенство (iii) теперь непосредственно вытекает из теоремы 3.4 и равенства (ii).

• в)    Пусть ш _тах < 0. Тогда для любого а G Q выполняется неравенство ш(а) = ^ lim А(А; а) < 0. Cледовательно, в силу монотонности функции А(А; а) по А G (M, го ), для любого а о G Q= (a, b) ^v существует единственное число А о G (M, го ) такое, что О

А(Ао; ао) = 0, т. е. в Q выполняются условия существования и единственности неявных функций для уравнения А(А; а) = 0. Значит, существует единственная непрерывная o функция q(x) на Q такая, что A(q(x); x) = 0, Vx G Q. B

Теорема 4.2. Пусть значение предела (4.3) бесконечно. Тогда D h = 0 и

• а)    если ш _тах >  0, то существует непустое открытое множество G С Q такое, что

• p

G = (J G j , где Gj — связные компоненты открытого множества G, и существует ровно j =1

p функций q i (x), q 2 (x), ..., q _p (x) таких, что каждая функция g j (x) является непрерывной и ограниченной на G j , причем имеют место равенства (i), (ii) и (iii);

• б)    если ш _тах < 0, то существует единственная ограниченная непрерывная функция q(x) на Q такая, что D h = [q min , q max ], где q min > M.

Доказательство теоремы 4.2 аналогично доказательству теоремы 4.1.