О спектре оператора Теплица в счетно-нормированном пространстве гладких функций

Будем пользоваться стандартными обозначениями N , Z , R , C для множеств натуральных, целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Положим также

Z + = { j е Z : j >  0 } , Z - = Z \ Z + , Г = { z е C : | z | = 1 } ,

D ⁺ = { z е C : | z | < 1 } , D ^- = { z е C : | z | > 1 } .

Для алгебры с единицей A через GA будем обозначать группу обратимых элементов этой алгебры.

(0 2022 Пасенчук А. Э., Серегина В. В.

Введем следующие множества комплекснозначных функций, определенных на единичной окружности Г :

C m (P) = {a« ) = E a j e j , a j Е C : ^ ( | j | + 1) m | a j | <  то , £ Е ГI, m e Z ₊ ; j ∈ Z                j ∈ Z

C “ (P) = p| C ^m (P).

m ∈ Z +

Будем рассматривать Cm(P), m Е Z+ U {то}, как линейные пространства, считая, что линейные операции определены поточечно. Более того, как известно, линейное пространство Cm(P) является банаховым относительно нормы ajξj j

= Е(И + 1) mj ^m j ∈ Z

а C “ (P) есть счетно-нормированное пространство с определяющей системой норм || • | _m , m Е Z + . Обозначим через QC “ (P) следующее линейное пространство функций:

QC “ (P) = L«) = a^ : a (0 Е C “ (P), b(e) Е C “ (P)|.

b(e)

Нам понадобится также стандартное гильбертово пространство измеримых суммируемых с квадратом функций:

L ₂ (P) = L(e) = E a j £ ^j , a j e C : E | a j | ² <  то , £ Е p| . j ∈ Z                j ∈ Z

Введем в пространствах C “ (P) , L 2 (P) операторы проектирования P ± , полагая

P ±( E aj ej) = E aj ej, j∈Z          j∈Z± и порождаемые этими проекторами подпространства

C “ (P) = P ⁺ (C “ (P)), C “ (P) = P - (C “ (P)),

C “ (P) = C Ф C 7 “ (P), L ± (P)= P ± (L 2 (P)).

В этой работе рассматривается оператор Теплица T q : C “ (P) ^ C “ (P) , Tq = P⁺q{ ) !)I в предположении, что функция q(e) , называемая символом оператора T q : C “ (P) ^ C “ (P) , является элементом линейного пространства QC “ (P) . Оператору Теплица и родственным операторам посвящено большое число работ (см. [1–7] и цитируемые там работы). Наиболее полные результаты относительно оператора Теплица были получены в банаховых пространствах гельдеровых и суммируемых функций (в качестве конкретного примера для демонстрации некоторых результатов мы выбрали пространство L 2 (Г) ). В этих пространствах для широкого класса символов была построена полная теория Нетера. Например, показано, что необходимым и достаточным условием нетеровости оператора T q : L ^ (P) ^ L ^ (P) с непрерывным символом является его невырожденность для всех e Е P . В терминах символа эффективно описаны ядро, коядро оператора T _q , построен обобщенный обратный оператор, найдена формула для индекса:

ind T q = — ind | _G r q(£) • Показано также, что оператор T q фредгольмов тогда и только тогда, когда он обратим, т. е. когда q(€) = 0 , € G Г и ind | _G r q(€) = 0 . В связи этим спектр оператора Теплица в банаховых пространствах допускает очевидное описание. В пространстве гладких функций C “ (Г) оператор Теплица также рассматривался (см. [6, 7] и цитируемые там работы). В этих работах был получен критерий нетеровости этого оператора. Оказалось, что нетеровы в пространствах гладких функций операторы Теплица могут иметь гладкие символы с вырождениями на Г специального типа. Точнее, оператор T q , q(€) G C “ (Г) нетеров в пространстве С “ (Г) тогда и только тогда, когда функция q(€) имеет на Г разве лишь конечное число нулей конечных порядков. Критерий обратимости оператора Теплица также может быть сформулирован в терминах символа. Но эта формулировка является достаточно сложной, поэтому задача об описании спектра оператора Теплица в пространстве гладких функций не рассматривалась. Позже выяснилось, что в пространстве гладких функций ограничены операторы Теплица и с некоторыми разрывными символами. Например, могут быть определены ограниченные операторы Теплица с символами из QC “ (Г) (см. [7] и цитируемые там работы). Вопрос о спектре операторов Теплица в этих работах также не изучался. В этой работе изучаются спектры операторов Теплица T q : С “ (Г) ^ С “ (Г) для символов q(€) G QC “ (Г) .

2.    Вспомогательные результаты

Пусть функция q(€) = a ( | j G QC “ (Г) и функция b(€) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Пусть t k — все нули функции b(€) порядков m k , к = 1, 2,...,s , соответственно. Обозначим через H _m (a, €) многочлен Эрмита функции a(€) порядка m = ^2k ₌₁ m k — 1 с узлами интерполяции в точках t k и кратностями m k , к = 1, 2 ,... ,s. Тогда функция q(€) = 0 ( | у может быть представлена в виде

a^(€) - H m ^ a,^   H m ^(a,£)

q(€) =------b(€)------+

При этом qoK) = <) — HmM g с“(Г), b(€)

а функцию H m l ) ’¹ ) допускает представление

^H m ^{( a,}C ⁾ b(0

H m ^(a, €)

П (€ — t k ) m k b o (€)’ k =1

где

s bo(€) = П(€ - tk)-mkb(€) g с“(Г).

k =1

Ясно, что при этом b o (€) = 0 , € G Г , т. е. b 0 ( | y G C “ (Г) . Функцию ^ s H m—^mk представим в виде                                                              ^{k 1}

^a kj ξ

(1 — t k € ^-1 ) j ‘

H m ^{( a,€} )

П (€ — t k ) m k

s m k

EE k =1 j =1

^a kj

(€ — t k ) j

s m k

= EE k=1 j=1

k =1

Рассмотрим функцию

∞ t-^=gto «-l- ^=1-

Положим                        _∞

T (i -t ot(«) = n i ™° ^E t 0 t ^ i O, t(«) e с ° (г) .

i =o

Покажем, что так определенный оператор T (1 -t ₀ ; - i ) - i есть линейный ограниченный оператор в пространстве С.°^О(Г) . В самом деле, пусть

t(«) = E tk« e С°(Г), k∈Z+ тогда

T (.1 -_M - 1 )- tK) = ^E t o P ⁺r‘ E t k e k

1 =0           k E Z +

∞∞∞k∞k = E t o E t k e ^{k -} = E t k E t o e ^{k -} = E t k e ^k E t k-s .

1 =0 k = 1            k =0     1 =0            k =0        1 =0

Обоснованность изменения порядка суммирования вытекает из приводимой ниже оценки при m = 0 :

^ ^T (1 -t o € ^-1 ) ^{-1 t(e)} ^ m

∞k

E tk ■ E tok- k=o      1=o

= E (k + 1) m m   k ∈ Z +

k tk    tko-

1 =o

k

< E(k +1) m I t I E^- s <  Elk + 1) ^m+1 | t k I = || t«) IU r kez ₊                 i =o          kez ₊

Пользуясь полученным выше представлением

(«)                   m

q(«) = be = q o («)+e ^-1 EE a kj ( 1 - t k « ^-1 ) j ( b o ) , k =i j =1

положим s mk

Tq = Tqo + T;-1 E E akj (T(1-tk§-1)-1) Tb-1 • k=1 j=1

Естественно считать, что определенный выше линейный ограниченный оператор T _q есть оператор Теплица с символом q ( « ) = Ob ( | j e QC ° (Г) . Разумеется, приведенное определение оператора Теплица с разрывными, вообще говоря, символами совпадает с классическим, если q(«) e C ° (Г) .

Можно показать, что если функция b ( « ) e C ° (Г) имеет на Г , либо бесконечное множество нулей, либо нуль бесконечного порядка, оператор T q = P ⁺ q ( « ) I неограничен в пространстве С ° (Г) (см. [7]). Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Функция q ( « ) = аЬ ( | у e QC ° (Г) порождает ограниченный оператор Теплица тогда и только тогда, когда функция b ( « ) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков.

Нам понадобится также следующее вспомогательное утверждение, которое называют свойством частичной мультипликативности [2, 3, 7].

Лемма 2. Пусть функции q(£), q - (^), q ⁺ (£) € QC ° (Г) порождают ограниченные операторы Теплица в пространстве 6 +° (Г). Тогда если Q ( ^ ) = q - ( ^ ) q ( ^ ) q ⁺ (£) и функции q ± (£) аналитически продолжимы в области D ± соответственно, то имеет место равенство T q = T q - T q T q + .

3.    Обратимость операторов Теплица с символами из QC°(Г)

Будем говорить, что функция a ( ^ ) € C ° (Г) допускает гладкую вырожденную факторизацию типа минус, если a ( ^ ) = a ^- ( ^ ) ^ ^K a a ⁺ (£) , где 1) a ⁺ (£) € GC + ° (Г) , 2) a - (£) € С °° (Г) , a - (£ a ) = 0 для любого ^q € D ^- , и если (a ^- (^)) ^-1 = E _{j G} Z ₊ b j ^ ^{- j} , £ ^ то , то найдутся c >  0 и m a € Z + так, что | b j | C c ( j + 1) m ⁰ . При этом, число K a называется индексом гладкой вырожденной факторизации типа минус. Гладкая вырожденная факторизация типа минус называется канонической, если K a = 0 . Тот факт, что функция a(^) € C ° (Г) допускает гладкую вырожденную факторизацию типа минус с индексом K a будем обозначать следующим образом: a(£) € Fact ^- (к _а ,С ° (Г)) .

Пусть функция q(£) = a ( | y € QC ° (Г) . Будем говорить, что функция q(^) допускает подходящую факторизацию типа минус, если a(£) € Fact ^- ( к _а ,С ° (Г)) , b(£) € Fact ^- ( к ь ,С ° (Г)) . При этом число K ^- (q) = K a — K b будем называть индексом подходящей факторизации типа минус функции q(£) = ad j € QC ° (Г) .

Теорема 1. Функция a ( ^ ) € C ° (Г) допускает гладкую вырожденную факторизацию типа минус тогда и только тогда, когда она имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков.

Доказательство этой теоремы приведено в работе [7].

Следствие 1. Функция q(£) = ad) € QC ° (Г) допускает подходящую факторизацию типа минус тогда и только тогда, когда каждая из функций a ( ^ ) , b(£) € C ° (Г) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков.

Теорема 2. Пусть функции a ± (£) € C ±° (Г), b ± (£) € C ±° (Г) являются компонентами гладких вырожденных факторизаций типа минус функций a(£), b(£) € C ° (Г) соответственно. Тогда операторы Теплица T _q ± , q ± (£) = a ±dy , обратимы в пространстве C ° (Г).

• <1 Для оператора T _q + утверждение леммы является следствием свойства частичной мультипликативности и при этом (T _q + ) ^-1 = T ( _q + ) - i (см. [6, 7]). Для доказательства обратимости оператора T _q - сначала рассмотрим операторы T _a - , T _b - . Пусть, например,

(a-(£)) 1 = Е bj' ^', ^ ^ю’ .KZ • тогда легко убедиться в том, что для любого k € Z. имеет место равенство

P ⁺ ( a ^- (£) ) ¹ f = P ⁺ ( ^ b ₃ ^k A = £ b ₃ ^k . j Z +         ' j =a

Это означает, что оператор P ' (a (£)) ¹ P ⁺ в силу линейности определен на всех многочленах. Кроме того, для каждого многочлена ф(£) справедливы легко проверяемые равенства

T a - P ⁺ ( a " (0) 1 Ф (0 = P ⁺ ( a " (0)

¹ T a - ф« )= ф(0-

Таким образом, ввиду того, что множество многочленов всюду плотно в С “ (Г) , для того, чтобы убедиться, что оператор T _a - обратим, достаточно доказать, что оператор P ' (a - (£)) ^-1 P ' : С “ (Г) ^ С “ (Г) ограничен в пространстве С “ (Г) . Пусть

<)= Е ^ k £ ^k е С “ (Г), kez ₊

тогда

P ⁺ ( a — (£) ) ^-1 ^(£) = P ⁺ E b j ^ E ^ k ^ k =

j E Z +

k e z +

e (e b k - j 4 ^ j ■ j_£Z+ \k=j       /

Отсюда получаем

∞

∞

|| P ⁺ (a - (4)) ^-1 _V« ) h m = Ej + 1) m j e z +

Е b k - j ■   < Ej + i)^mE i b k - j iiw ।

k = j

j E Z +           k = j

k

= E ^ । Ej + i)mibk-j । < k£Z+     j=0

k cE WEj + 1)m(k - j + 1)m0

k _E Z +      j =0

< c£ (k + ¹) m⁺m «    . | = И ₊ i .

k E Z +

Аналогичным образом проверяется, что оператор T _b - обратим и при этом ( T b - ) ^-1 = T ( b — ) - i . Тогда, в силу свойства частичной мультипликативности, оператор T q - обратим и при этом (T q - ) ^-1 = T ( _a - ) - i T b - . >

Теорема 3. Пусть q ( £ ) = а ( | у е QC “ (Г). Оператор T q нетеров в пространстве С “ (Г) тогда и только тогда, когда функция q(£) допускает подходящую вырожденную факторизацию типа минус. При выполнении последнего условия ind T q = — к ^- (q).

• <1 Достаточность условий теоремы вытекает из свойства частичной мультипликативности и теоремы 2. Предположим теперь, что оператор T _q нетеров в пространстве С “ (Г) , но функция q(£) не допускает подходящей вырожденной факторизации. Это означает, что либо a(£) / Fact ^- (к _а , С “ (Г)) , либо b(£) / Fact ^- (к b ,C “ (Г)) ни при каких к _а ,к ь Е Z . Последнее исключено ввиду определения класса QC “ (Г) и теоремы 1. Тогда функция a(£) / Fact ^- (K a , С “ (Г)) и поэтому она должна иметь нуль бесконечного порядка на Г . По функции a(£) построим последовательность Зильберманна ф П (£) е С “ (Г) , n Е Z + , обладающую тем свойством, что ф П (£) не стремится к нулю в пространстве С “ (Г) , а T _a ф ⁺ (£) ^ 0 , n ^ то (см. [4, 6]). Не ограничивая общности, можно считать, что b(£) е Fact ^- (0, С “ (Г)) . В самом деле, если b(£) е Fact ^- (K b ,C “ (Г)) , то оператор Теплица T _{q i} с символом q 1 (£) = ьЦ ) , b 1 (£) = £ ^-K b b(£) , нетеров лишь одновременно с оператором T q и при этом Ь 1 (£) е Fact ^- (0,C “ (Г)) . Итак, пусть b(£) е Fact ^- (0,C “ (Г)) и b(£) = b ^- (£)b ⁺ (£) — гладкая вырожденная каноническая факторизация типа минус. Тогда для оператора T q имеет место представление T q = T ( b - ) - i T _a T ( _t) + ) - i . Рассмотрим последовательность ^ ' (^) = T b + ф ' (£) , n E Z + . Ввиду обратимости оператора T b + эта последовательность не стремится к нулю в пространстве С ₊ ^“ (Г) . Но при этом

T q у ' (£) = T q T b + ф + (£) = T b- ) - i T a T b+yx T b + ф ' (£ ) = T ( b - ) - i T a ф + (£) ^ 0

ввиду ограниченности оператора T ( b - ) - i . Последнее означает, что образ оператора T q незамкнут и, следовательно, он не является нетеровым. >

Сингулярным индексом функции a ( t ) Е C ^“ (Г) , имеющей конечное число нулей конечных кратностей, будем называть число K _c (a) = n 1 i v.p. / г Од! ) dt.

Пусть a(t) Е C “ (Г) и имеет на Г конечное число нулей Z k порядков n k , k = 1, 2,..., s , соответственно. Назовем число n(a) = ^2k =1 n k суммарным числом нулей этой функции.

Лемма 3. Пусть a(t) Е C“(Г) и n(a) < то, а s aa(t) = a(t) П^ - zk) k=1

-

s nk Е C“(Г) (ai(t) = а(^)П (1 — Zkt-1) k=1

-

nk Е C“(г))

и не обращается в нуль на Г. Тогда имеет место равенство

K c (a) = n ( a ) + 2 ind a a (t) (к _с (а) = — n(a) + 2 ind a ₁ (t )) . ge r                                   ge r      ⁷

<1 Воспользуемся тем, что для невырождающейся, дифференцируемой на Г функции v.p• — [ a^ dt = 2 ind aa(t) ni J   aa(t)       ?er

Г и тем, что для фиксированного Zk Е Г справедливо равенство v.p. /г —Z = ni. Тогда

1      /Xt) dt 1       Г o’, (t) dt

^{K c (a)} = пМ^ёГ ⁼ П^Ч

Г                    г

⁺п \ v-p • t — r_t     d)⁺”<^a>•

Доказательство второй формулы аналогично приведенному. ⊲

Нетрудно заметить, что если функция a ( t ) Е C “ (Г) имеет конечное число нулей конечных кратностей, то a ( t ) Е Fact - (K a , C “ (Г)) и при этом

s

-

n k

.

K a = ind A i (t), A 1 (t) = A(t) П ( 1 — t k t ^-1 ) ^g                          k =1

Очевидно, последним формулам можно придать следующий вид: K c (A) = — n(A) + 2 к _а . Следовательно, индекс вырожденной факторизации типа минус функции a(t) Е C “ (Г) , в случае ее существования, может быть найден следующим образом: к _а = 2 (к _с (a)+ n(a)) .

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 4. Функция a ( t ) Е Fact - ( к _а , C “ (Г)) тогда и только тогда, когда эта функция имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении последнего условия индекс гладкой вырожденной факторизации типа минус может быть найден по формуле

K a = 2 (K c (a) + n(a)).

Принимая во внимание леммы 1, 4, теорему 3 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 4. Пусть q(t) = a ( g j Е QC “ (Г). Оператор T q нетеров в пространстве С “ (Г) тогда и только тогда, когда функция q(t) допускает подходящую вырожденную факторизацию типа минус. При выполнении последнего условия

Ind T q = ¹ ( K c (b) — K c (a) + n(b) — n(a) ) .

Следствие 2. Пусть q(£) = ad) G QC “ (Г). Следующие условия эквивалентны:

1)    оператор Tq : С“(Г) ^ C“(Г) обратим; 2)    функция q(^) допускает подходящую каноническую вырожденную факторизацию типа минус; 3)    каждая из функций a(£), b(^) G C“(Г) имеет не более чем конечное число нулей конечных порядков и при этом выполнены условия кс(a) + n(a) = Kc(b) + n(b). 4.    Спектр оператора Теплица с символом из QC“(Г)

Теорема 4 позволяет описать резольвентное множество оператора T _q с символом q(^) = ay) G QC “ (Г) следующим образом. Резольвентное множество оператора T q состоит из тех и только тех A G C , которые удовлетворяют условиям:

• 1)    функция a(£) — Ab(£) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных

порядков;

• 2)    величина к _с (a — Ab) + n(a — Ab) не зависит от A и при этом к _с (a — Ab) + n(a — Ab) = K c (b) + n(b) .

Следовательно, спектр оператора T q состоит из всех тех A G C , для которых нарушается либо условие 1), либо условие 2).

Пример 1. Рассмотрим функцию q(^) = “|+^в . Ясно, что q(^) G QC “ (Г) при любых a,e,Y,^ G C . Не ограничивая общности, будем считать, что y = 1 , тогда q(^) = О^/ . Случаи | 6 | < 1 , | 6 | > 1 интереса не представляют, поскольку при их выполнении q(0 G C “ (Г) (см. ниже, пример 2). Будем считать, что 6 = e ^iШ , ш G R . Поскольку

q(0 — A = а^+Д — A = v 7        £ + eiШ

(а — A) + (в — Ae ^iш )£ ^-1

1 + e ^iш ^ ^-1

,

то условие 1) выполняется автоматически, а условие 2) равносильно выполнению неравенства

| в — Ae i^ ^ | а — A <>  е '^; — A ^| ^ | а — A | .

Полагая, A = x + iy , ве ^iШ = т + i0, а = ст + ip , будем иметь

| в — Ae ^iШ | < | а — A | ^^ | ве ^iШ — A | < | а — A | ^^ 2(ст — т)x + 2(p — 0 ) y ^ — ст ² — p ² .

Это означает, что резольвентное множество оператора T _q есть следующее подмножество комплексной плоскости:

p(T _q ) = { A G C : 2(ст — т) ReA + 2(p — 0) ImA < — ст ² — p ² } .

Таким образом, спектр этого оператора Теплица Tq : С“(Г) ^ C“(Г) есть ст(Tq) = {A G C : 2(ст — т) ReA + 2(p — 0) ImA > —ст2 — p2},

• т. е. является открытым неограниченным подмножеством комплексной плоскости.

Пример 2. Пусть a(£) G C “ (Г) , тогда, в силу приведенных выше соображений, резольвентное множество оператора T _a описывается условиями:

• 1)    функция a(£) — A имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков;

• 2)    K c (a — A) + n(a — A) = 0 .

Функция a ( ^ ) Е C “ (Г) порождает ограниченные операторы Теплица и в пространстве С “ (Г) , и в пространстве L + (F) . Условимся каждый из этих операторов обозначать, по-прежнему, T a , а их резольвентные множества и спектры P “ ( T a ) , CT “ (T a ) ; p 2 (T a ) , CT 2 (T a ) соответственно. Если a ( ^ ) — А = 0 , £ Е Г , то условие 2) означает, что к _с ( а — Л) = 0 . Поскольку к _с ( а — Л) = 2ind g _e r (a(£) — Л) , то тогда ind g _e r (a(£) — Л) = 0 . Однако условия a ( ^ ) — Л = 0 , £ Е Г , ind ^ _G r (a(^) — Л) = 0 являются необходимыми и достаточными условиями обратимости оператора T _{a -} x = T a — Л1 в пространстве L + (Г) , поэтому имеют место вложения P “ (T _a ) 5 P 2 (T a ) ; CT “ ( T _a ) С CT 2 (T _a ) . Иногда удается наверняка утверждать, что имеют место строгие вложения резольвентных множеств и спектров или строгие равенства.

Теорема 5. Пусть функция a(^) Е C “ (Г) такова, что а'(0 = 0, £ Е Г. Тогда возможны следующие ситуации:

• 1)    P “ (T a ) = P 2 (T a ) и а(Г); CT “ ( T a ) = СТ 2 (Т а ) \ а(Г), если найдется, хотя бы одна точка Л = а«о) Е P “ (T a ), е Е Г;

• 2)    P “ (T a ) = P 2 (T a ); CT “ (T a ) = CT 2 (T a ), если найдется, хотя бы одна точка Л = а(^ о ) / P “ (T a ), € о Е Г.

• <1    Заметим, прежде всего, что для любого Л = а(£ о ) , ( о Е Г , функция a(^) — Л = a(^) — а(^ о ) имеет в точке ( , Е Г нуль. При этом в силу того, что (a(^) — Л) = a ' (£) = 0 , £ Е Г , это обязательно нуль первого порядка, т. е. n(a(^) — Л) = 1 для любых Л Е а(Г) . Таким образом, для Л = а(^ о ) Е P “ (T _a ) , ( о Е Г , выполнение условия 2) означает, что к _с ( а — Л) = — 1 , Л = а(£ о ) . Но, тогда, пользуясь определением сингулярного индекса, имеем

.               1 f a' (е)     ,

K c ( a — Л) = — v-P-y a ( £ ) _— л d^ = — 1, Л = а(€ о )-

Γ

С другой стороны, хорошо известно, что n 1 i v-P- J r asy - x de есть непрерывная функция параметра Л Е а(Г) , принимающая целочисленные значения (см., например, [1]). Поэтому условие к _с ( а — Л) = — 1 выполняется для любого Л = а(^ о ) Е а(Г) , т. е. оператор T a - x : С “ (Г) ^ С “ (Г) обратим при всех Л = а(^ о ) Е а(Г) . Следовательно, а(Г) С P “ (T _a ) , что и доказывает 1). Ситуация 2) рассматривается аналогично ⊲

Замечание 1. Операторы T _ξ - 1 , T ξ доставляют примеры операторов Теплица, спектры которых есть открытый единичный круг и замкнутый единичный круг соответственно. Для оператора T _ξ - 1 , как легко убедиться, имеет место ситуация 1), а для оператора T ^ — ситуация 2). В приведенных выше примерах образ границы а(Г) либо целиком содержится в резольвентном множестве, либо целиком в спектре оператора Теплица T a : С “ (Г) ^ С “ (Г) . В следующем примере показано, что для некоторых операторов Теплица имеются непустые подмножества а(Г) , содержащиеся в спектре CT “ (T _a ) , и при этом множество P “ (T _a ) П а(Г) также непусто.

Пример 3. Пусть a(^) = (1 — £ ^-1 ) ³ , тогда а(Г) = { Л = (1 — ^ — 1 ) 3 , £ о Е Г } - Поскольку Л = a(1) = 0 , то 0 Е а(Г) . С другой стороны, оператор T a : С “ (Г) ^ С “ (Г) , a(^) = (1 — £ ^-1 ) ³ , обратим, поскольку, как легко проверить, к _с ((1 — £ ^-1 ) ³ ) = — 3 , n((1 — £ ^-1 ) ³ ) = 3 . Это означает, что в рассматриваемом случае 0 Е P “ (T _a ) П а(Г) . Покажем, что во множестве а(Г) имеются такие значения Л , для которых оператор T _{a -} x необратим. Пусть Л = (1 — £ ^— 1 ) 3 , ( о Е Г , тогда имеет место равенство

« (о — л = ( 1 — г¹) ³ — ( 1 — б ,^-1 ) ³ = — (е ¹ — € -¹ )( 5 ^-1 — е г¹ ) (г ¹ — е -¹ ) -

Отсюда следует, что

T a ^{л    T} - (5 - 1 -^o 1Ж - 1 -5 1 1 )( 5 - М2 1 )   T - ( 5 - H 1 )^T( 5 ^- 1 -5 1 1 )^T( 5 ^- M₂ 1 )

и при этом операторы Т—^-^у, T^--5-1), T^-i) жем, что найдется ^q = ei^0 G Г так, что оператор T^- попарно коммутируют. Пока-

-у ) : С ^ (Г) ^ С ^ (Г) необ-

ратим. Это будет означать, что и оператор T _{a - λ} также необратим и, следовательно,

А = a(€o) G а^(Ta). Для этого достаточно подобрать £q = ei^0 так, чтобы |^1 1| < 1. В самом деле, тогда €-1 — €-1 = 0, € G Г и indger(€-1 - €-1) = -1, поэтому dimkerT^^-1 5 1) = 1 (см., например, [3]). Представим корни уравнения a(€) — А = 0, А = (1 — €-1)3, €q G Г, в следующем виде:

^0<       - ^ 2 ^Пк\      <^П - ^   ^{2 nk}\\

1 k = 1 ^— ■■'■■_.■'.■..'■ i '2   +—)• ^k = ^0Д-²

Отсюда следует, что k-il2 1 л ■ 1Q     М — 1Q । 2пк\ , л ■ 2 1Q l^k l =1 — 4smycos^—.— + — J+4sm -..

В частности, при k = 1 имеем k-i|2            ^Q    

|^€1 | =1 ^{— 4}sⁱⁿy^cos^—2— ⁺ yj⁺⁴sm у.

Ввиду того, что sin ^20 > 0, ^q G (0, 2п), неравенство |€-1|²< 1 равносильно следующему:

sin ^ < cos (1—10 + 2=).

Очевидно, последнее неравенство выполняется для всех iq достаточно близких к 2п.

Замечание 2. Вопрос о структуре спектра общего оператора Теплица является открытым даже для операторов с рациональными символами. Это связано с вопросом о характере ветвления решений уравнений вида a(€) — Ab(€) = 0, где a(€), b(€) — многочлены, в точках А = ^(50), €q G Г.