О стохастических уравнениях леонтьевского типа с переменными матрицами, заданными в терминах текущих скоростей решения

Под стохастическим уравнением леонтьевского типа понимается стохастическая дифференциально-алгебраическая система dL (t) $ (t) = M (t) $ (t) dt + f (t) dt + N (t) dw (t), где L(t), M(t), N(t) - достаточно гладкие k^n матрицы, f (t) - достаточно гладкая k -мерная вектор-функция, w(t) - винеровский процесс. Такие системы возникают в приложениях при математическом описании технических [1], биологических [2], экономических [3] и других dw (t)

систем. Здесь процессом белого шума описываются помехи в системе. Для изучения дан-dt ного класса систем в работе [4] была построена модификация подхода, описанного в работах Бояринцева Ю.Е. и Чистякова В.Ф. [5] при исследовании соответствующих дифференциальных уравнений без случайных возмущений. В этой работе мы изучаем процесcы, описываемые стохастическим уравнением леонтьевского типа в терминах текущих скоростей решения [6, 7]. Отметим, что текущие скорости (симметрические производные в среднем) введены Э. Нельсоном в 60-х годах 20 века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики) и они являются естественными аналогами физической скорости детерминированных процессов. Доказана теорема существования решений стохастического уравнения леонтьевского типа в текущих скоростях при выполнении некоторых ограничений на его матрицы коэффициентов и свободные члены.

Производные в среднем

Рассмотрим случайный процесс $ ( t ) в Rⁿ (где мы фиксируем о - алгебру борелевских множеств), t е [ 0, l ] , заданный на некотором вероятностном пространстве ( Q , F, P ) и такой, что $ ( t ) является L 1 - случайной величиной при всех t .

Определение 1. [8] σ – подалгебра σ – алгебры F , порожденная прообразами борелевских множеств при отображении / ( t ) : Q ^ Rⁿ , называется «настоящее» и обозначается N f .

Всюду далее для удобства мы обозначаем через E_t^ξ условное математическое ожидание Е ( • | N " ) относительно «настоящего» N f для f ( t ) . Обычное («безусловное») математическое ожидание обозначается символом E .

В общем случае, почти все выборочные траектории процесса f ( t ) не дифференцируемы, поэтому его производные существуют только в смысле обобщенных функций. Чтобы избежать использования обобщенных функций, согласно Э. Нельсону (см., например, [8]) даем следующее определение:

Определение 2. [8] (i) Производная в среднем справа Df ( t ) процесса f ( t ) в момент времени t есть L ₁ – случайная величина вида

D / ( t ) = lim Е / f M- f W 1

Д t ^+ 0    у        ^Д t       7

где предел предполагается существующим в L 1 ( Q , F , P ) и Д t ^+ 0 означает, что Д t стремится к

0 и Д t >  0. (ii) Производная в среднем слева D * f ( t ) процесса f ( t ) в момент времени t есть L 1 -случайная величина вида

D / ( t ) = lim Е (1

Д t ^+ 0    у        ^Д t        ;

где условия и обозначения такие же, как в (i).

Следует отметить, что, вообще говоря, Df ( t ) Ф D * f ( t ) , но если, например, f ( t ) почти наверное имеет гладкие выборочные траектории, эти производные очевидно совпадают.

Из свойств условного математического ожидания (см. [9]) вытекает, что Df ( t ) и D * f ( t ) могут быть представлены как суперпозиции f ( t ) и борелевских векторных полей (регрессий) Y ⁰ ( t , x ) и Y ⁰ ( t , x ) на Rⁿ , то есть, D / ( t ) = Y ⁰ ( t , / ( t ) ) и D * / ( t ) = Y ⁰ ( t , / ( t ) ) .

Определение 3. [8] Производная Ds = 2(D + D*) называется симметрической производной в среднем. Производная DA = 2 (D - D*) называется антисимметрической производной в среднем.

Введем в рассмотрение векторные поля     v ^ ( t , x ) = 2 ( Y ⁰ ( t , x ) + Y * ⁰ ( t , x ) )     и

U ( t , x ) = 2 ( Y ⁰ ( t , x ) - Y * ⁰ ( t , x ) ) .

Определение 4. [8] v^f ( t ) = v^f ( t,f ( t ) ) = D S f ( t ) называется текущей скоростью процесса f ( t ) ; u^f ( t ) = u^f ( t,f ( t ) ) = D A f ( t ) называется осмотической скоростью процесса f ( t ) .

Физический смысл текущей и осмотической скоростей (см., например, [8]) состоит в следующем. Текущая скорость является для случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детерминированных процессов. Осмотическая скорость измеряет насколько быстро нарастает «случайность» процесса.

Введем, следуя Ю.Е. Гликлиху [6], дифференциальный оператор D ₂ , который действует на

L 1 - случайный процесс f ( t ) , t e [ 0, l ] по правилу

*

( ^ ( t ^{+ Д} t )^- ^ ( t ) )( ^/ ( t ^{+ Д} t )^- ^ ( t ) )

D 2 ^ ( t ) = lim ^{E /}                                      ,

Д t ^+ 0                      ^Д t

У                                     7

где ( f ( t + Д t ) - f ( t ) ) рассматривается как вектор-столбец (вектор в Rⁿ ), а ( f ( t + Д t ) - f ( t ) ) -это вектор-строка (сопряженный или транспонированный вектор), а предел предполагается су-

Математика

ществующим в L 1 ( Q , F , P ) . Отметим, что матричное произведение столбца слева и строки справа - это матрица, так что D 2 £ ( t ) есть симметрическая неотрицательно-определенная матричная функция на [ 0, l ] х Rⁿ .

Определение 5. [6] D ₂ называется квадратичной производной в среднем.

Замечание 1. Из свойств условного математического ожидания [9] следует, что существует измеримое по Борелю отображение (регрессия) а(t,x):R*Rn ^S+, такое, что D2£(t) = а(t,£(t)), где S+ - множество неотрицательно определенных симметрических n^n матриц.

Рассмотрим диффузионный процесс, являющийся сильным решением следующего стохастического дифференциального уравнения в форме Ито tt

£ ( t ) = £ 0 + J a ( ⁵ Л ( s ) ) ds + J A ( s Л ( s ) ) dw ( s ) ,                          (1)

где a ( t,x ) и A ( t,x ) - гладкие по совокупности переменных отображения из [ 0, l ] х Rⁿ в Rⁿ и в

L ( Rⁿ , Rⁿ ) , соответственно. Тогда имеют место

Теорема 1. [6] Пусть £ ( t ) - диффузионный процесс (1). Тогда производная в среднем справа

D$ ( t ) существует и имеет вид D £ ( t ) = a ( t , £ ( t ) ) .

Теорема 2. [6] Для диффузионного процесса (1) квадратичная производная D ₂ £ ( t ) существует и имеет вид D ₂ £ ( t ) = а ( t , £ ( t ) ) , а ( t , x ) = A ( t , x ) A ( t , x ) - коэффициент диффузии.

Основной результат

Рассмотрим вещественные C ” -гладкие k^n матрицы L ( t ) , M ( t ) и k - мерную вектор-функцию f ( t ) . Пусть псевдообратная матрица M + ( t ) к M ( t ) тоже C ” -гладкая и

P. M (t )* 0, P. L (t ) = 0, P. f (t ) = 0, L*(t)                    M*(t)                   M*(t)

где P * ) : R^k ^ N ( L * ( t )) - ортогональный проектор. Как и в работе [10] предположим, что матрица M⁺ ( t ) L ( t ) постоянного ранга rank M ⁺ ( t ) L ( t ) | = 5 , n - 5 : = to и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической кратности, отличной от алгебраической. При этом неособенным преобразованием подобия матрица M ⁺( t ) L ( t ) = S ( t ) J ( t ) S ^{- 1} ( t ) ( det S ( t ) ^ 0 ) приводится к жордановой форме

( ^J 5 ⁽ t )    ⁰ ^

о о k 0    Oro 7

J ( t ) =

, J ₈ ( t ) e R ^{5 x 5} ,det J _g ( t ) * 0, O ® e R ®®

Рассмотрим некоторую гладкую симметрическую положительно определенную матрицу Е ( t ) в R⁵ . Для матрицы Е ( t ) существует (см. [6]) гладкая невырожденная матрица C ( t ) в R⁵ , такая, что Е ( t ) = C ( t ) C ( t ) , где матрица C ( t ) является сопряженной к C ( t ) . Введем в Rⁿ матрицы

0( t )=

k

0^{? )} 0 j и 0 = S ( t ) 0 ( t ) S* ( t ) . Тогда мы будем иметь дело с системой

jL (t) Ds£( t ) = M (t )£( t) + f (t), 1

D 2^( t ) = 0, которую, как и в работе [7], будем называть стохастическим уравнением леонтьевского типа в текущих скоростях.

Корректные начальные условия для решений уравнения (3) мы опишем ниже. При выполнении условий (2) систему (3) можно представить в виде

/ M + (t) L (t) Ds^( t ) = £( t) + M+f (t),

_               D 2 ^ ( t ) = © .

С применением неособенного преобразование подобия, описываемого матрицей S ( t ) , эта система преобразуется к следующему каноническому виду

J ( t ) D s n ( t ) = ^f I n - J ( t ) S -1 ( t ) dS Ъ t ) + S -1 ( t ) M ⁺ ( t ) f ( t ) , <                 \                    dt J

D 2n( t ) = ©, где n(t) = S-1 (t)^(t):= col(n(1)(t),П(2)(t)), 7(1)(t)е R8, п(2)(t)е Ra. Заметим, что первое урав- нение системы (4) не разрешимо относительно симметрической производной, поскольку

I       T (A^^dS( ^dS I—

P J * ( t ) ( I n J ⁽ t ) S ⁽ t ) dt J = P J * ( t )

^ 0, где ортогональный проектор определяется по формуле

P* = ^f O⁵ 0 ¹ , P* : R n ^ N(J * ( t }) . J ( t ) I 0 I _a J J (t )                      ’

Введем обозначение

-1 / x dS _ ^G55 ⁽ t ) ^G3ai ⁽ t ) ia nSxS (л P

S ⁽ t ) С (A C (A , G 88 ⁽ t ^{) e R} , G aa ⁽ t ^{) e R dt} ( G a8 ⁽ t ) G aa ⁽ t ) J

Также обозначим S ¹ ( t ) M ⁺( t ) f ( t ) = col ( ^ ( t ) , ^ ( t ) ) , где ф ( t ) = ( I s ,O ) S ¹ ( t ) M ⁺( t ) f ( t ) e R ⁸ ,

y ( t ) = ( O , I n-8 ) S ^{- 1} ( t ) M ⁺( t ) f ( t ) e R ^a .

Отметим, что поскольку по построению матрицы 0 и 0 ( t ) симметричны и неотрицательно определены, уравнения (3) и (4) корректны.

Таким образом, Rⁿ разлагается в прямую сумму двух подпространств R^δ и R^ω так, что уравнение (4) разлагается на два уравнения в этих подпространствах:

D S ^ ¹ ( t ) = ( J 8 ¹ ( t ) ^- G 88 ( t ) ) П ^{( 1 )} ( t ) ^{- G} 8a ( t ) П ⁽ 2 ) ( t ) ⁺ Ф ( t ) ,

D2П1( t ) = E( t)

в подпространстве Rδ и n(2)( t ) + ^( t ) = 0,                                          (5)

D 2^(2) (t) = O в подпространстве Rω .

Из второго равенства (5) вытекает, что решение уравнения (5) не является стохастическим, тогда из первого равенства вытекает, что решение уравнения (5) имеет вид 7(2) (t) = -^(t). Оче видно, что начальные условия в этом случае предполагаются вида п(2) (0) = -^(0).

С учетом сказанного выше, уравнение в подпространстве R^δ примет вид

Dsn(11( t ) = ( J81 ( t )-G88 ( t ))n(11 ( t ) + G8a ( t )^( t ) + ф( t ), '                                                                                                     (6)

D 2 4^W ( t ) = E ( t ) .

Заметим, что если решение (6) существует, то оно должно представляться в виде (1).

Для исследования (6) введем в R⁵ новое скалярное произведение (• , •) , которое для произвольных векторов X и Y из R⁸ имеет вид ( X , Y ) = ( Е ^{- 1}( t ) X , Y ) . Введем начальное вероятност-

Математика

ное распределение р0 в R6 такое, что оно нигде не равно нулю, через Пс1 обозначим случайную величину в R6 с плотностью р0 . Рассмотрим векторное поле v(t,x) = (Jg1 (t)-Ggg(t))x + Ggto(t)у(t) + ф(t) и обозначим через gt его поток. Тогда из Теоре мы 8.50 из [6] следует, что плотность р (t) решения (6) с начальной плотностью р0 имеет вид

t

р ( t ) = e^{p (} t ) , где p ( t,x ) = p ₀ ( g - _t ( x ) ) - j (Div v )( s , g s ( g - _t ( x )) ds, p ₀ = In p ₀ и Div обозначает ди- 0

вергенцию в R5 со скалярным произведением (•,•). Отсюда, для заданной матрицы Е(t) и начальной плотности р0 построенная плотность р (t) находится во взаимно-однозначном соответствии с гладким векторным полем v (t,x). Тогда после нахождения плотности р (t) для решения уравнения (6) мы можем вычислить также осмотическую скорость u (t,x) по формуле и = у Grad p , где Grad - градиент относительно нового скалярного произведения [6]. Заметим, что и однозначно определяется плотностью р и матрицей Е и, стало быть, производная в среднем справа для решения также однозначно вычисляется по формуле a(t,x) = v(t,x) + ^Gradp. Следовательно, по теории уравнений с производными в среднем справа (см. Теоремы 1 и 2, а также [6]) П1 (t) должно удовлетворять стохастическому дифференциальному уравнению П(1)( t ) = n01)+ jta (s ,П(1)(s)) ds +j0C (s) dw (s), которое имеет сильное и сильно единственное ре шение n(1)(t) с начальной плотностью р0 , корректно определенное для tе [0,l] (см. [11]). А это и есть решение уравнения (6) в виде (1), которое мы ищем.

Таким образом, мы доказали

Теорема 3. Пусть у нас имеются С” -гладкие k^n матрицы L(t), M(t) и к -мерная век тор-функция f (t), такие что P*tt)M (t)* 0, PM*(t)L(t) = 0, PM*(t) f (t) = 0, где PL*(t): Rk ^ N(L (t)); пусть псевдообратная матрица M+(t) к M (t) тоже С” -гладкая; пусть матрица M+(t)L(t) постоянного ранга rank M+(t)L(t)= 6 , n - 6 := to, и не имеет среди собственных чисел нулей геометрической кратности, отличной от алгебраической; пусть S (t) - неосо бенная n^n - матрица, преобразующая матрицу M+(t)L(t) к канонической форме Жордана,

M ⁺ ( t ) L ( t ) = S ( t ) J ( t ) S ^{- 1}( t ); пусть E ( t )

матрица в R⁶ ,

0(t )=(E(t)

У ⁰

0 )

0 ) ’

- гладкая симметрическая положительно определенная

0 = S ( t ) 0 ( t ) S* ( t ) и t е [ 0, l ] . Тогда уравнение

' L ( t ) D s ^ ( t ) = M ( t ) £ ( t ) + f ( t ) , ,           D 2 ^ ( t ) = 0

преобразованное

к

J ( t ) D s ^ ( t ) = ^f I n - J ( t ) S ^{- 1} ( t ) dS | n ( t ) + S ^{- 1} ( t ) M ⁺ ( t ) f ( t ), У                 dt )

D 2 П ( t ) = 0 ,

где n ( t ) = S ¹ ( t ) ^ ( t ) , с начальными

условиями П^{( 2} ( 0 ) = - ^ ( 0 ) в R^to , где ^ ( t ) = ( O , I n-g ) S 1 ( t ) M ⁺ ( t ) f ( t ), и случайной величиной с плотностью Р 0 нигде не равной нулю в R , имеет решение.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-00620).