О стремлении к нулю величины отклонения аргумента в дифференциально-разностных уравнениях с опережением

Настоящая работа посвящена исследованию функционально-дифференциального уравнения вида nt(t) = an(t) + bn(t + h) + cn(t — т) + f(t), t > 0,                     (1)

в котором a, b, c - вещественные постоянные, положительные постоянные h, т являются отклонениями аргумента (опережением и запаздыванием соответственно), а f - заданная на полуоси R + = (0, + то ) непрерывная числовая функция. Требуется определить неизвестную числовую функцию п : ( — т, + то ) ^ R, удовлетворяющую уранению (1) и начальному условию.

В работах [6], [7] изучалась задача, в которой исследовались решения уравнения (1), удовлетворяющие начальному условию

n(t) = ^(t), t Е ( — т, h)

с заданной начальной функцией ^, а в работах [2], [2] рассматривалась задача отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющих начальному условию

^n(t) = ^^(t), ^{t Е ( — т}, ⁰⁾

с заданной начальной функцией ip.

Функционально-дифференциальные уравнения опережающего типа изучены в значительно меньшей мере, чем функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего и нейтрального типов (см. [5], [8]).

Во многом это связано с некорректностью постановки задачи с начальным условием на промежутке отклонения аргумента в таких уравнениях, требующей от начального условия и правой части уравнения выполнения бесконечного множества условий согласования (см. [7]).

Как было показано в работе [2], для корректности постановки задачи с начальными данными следует задать начальные условия лишь на части промежутка отклонения аргу-мена - на промежутке запаздывания аргумента ( — т, 0). В работе [2] получены условия на коэффициенты уравнения (1) и параметры весового пространства Соболева, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями в такой модифицированной постановке.

В настоящей работе мы исследум дифференциально-разностные уравнения вида (1) с опережением без запаздывания - при условии с = 0.

В этом случае начальные условия задаются в точке to = 0. В работе [2] были исследованы, в частности, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения вида nt(t) = an(t) + bn(t + h) + /(t), t > 0,                             (3)

где

n(+0) = n o .                                        (4)

Здесь h >  0, / - заданная непрерывная числовая функция на области (0, +^о), ап - неизвестная числовая функция, областью определения которой является множество (0, + то ).

Определение. Решением задачи Коши (1), (2) будем называть функцию п Е W 1 (0, +^о), которая удовлетворяет уравнению (1) на интервале (0, + то ) и начальному условию (2).

В настоящей работе будет исследовано предельное поведение при h ^ +0 решений задачи (3) – (4).

Будут получены следующие результаты.

• 1.    Если | b | <  — а, то при любом значении h >  0 задача (3) - (4) имеет единственное решение п ^ в пространстве Соболева W2 (0, + то ).

• 2.    Если | b | <  — а, то при любом значении h >  0 задача (3) - (4) в пространстве Соболева W2 (0, + то ) эквивалентна задаче Коши для эффективного обыкновенного дифференциального уравнения

• 3.    Последовательность решений U h , h > 0 сходится при h ^ 0 равномерно на каждом отрезке [0, Т ] к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

nt(t) = an(t) + /(t), t > 0, с начальным условием (4) и постоянной а, зависящей от параметров a, b, h.

nt(t) = (a + b)n(t) + /(t), t > 0, с начальным условием (4).

Достаточные условия корректной разрешимости задачи (3) – (4)

Для исследования корректной разрешимости задачи (3) – (4) введем следующие функциональные пространства.

Обозначим через £ 2,7 (а, b), ( —то <  а < b <  + то ) пространство функций со значениями в С, снабженное нормой

II ^f Н і 2 , ₇ ( а,Ь )    ⁽ /

J а

^exP^{( — 2}7^t) I ^f(t) | ² dt^{) 1/2 ,}7 >  0.

Через W 2 7 (а, b) при каждом I E N обозначим пространство функций на интервале (а, Ь) со значениями в С, снабженное нормой

II ^u h w 2 ,₇ (а,Ь) = ^{( | n} (^l) Н 1 2 ,₇ (а,Ь) ^{+ ( | u} IIl₂, ₇ (а,Ь) ^{) 1/2} , ^ >  ^0.

Определение . Функцию u E W 217 (0, + то ) назовем решением задачи (3) - (4) в весовом пространстве Соболева, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) в пространстве £ 2,7 (0, + то ) и начальному условию (4).

Согласно результатам работы [2], справедлива следующая теорема.

Теорема 1 . Пусть/ E £ ₂ ,_{7 0} (0, + то ) при некоторых 7 0 E R и пусть w(7) < 1 на интервале (а, Р) С R, где ш(7 ) = 7 — а , 7 E R. Тогда задача Коши (3), (4) имеет единственное решение u в пространстве W2 7 (0, + то ) при всех 7 E [7 0 , Р).

Необходимые условия корректной разрешимости

Наряду с задачей (3) – (4) рассмотрим задачу с начальными условиями для модельного параболического дифференциально-разностного уравнения вида ut(t) = Mu(t) + /(t), t> 0, где

Mu(t) = аu(t) + bu(t + h).(6)

Рассмотрим задачу с начальным условием для однородного диффренциально-разностного уравнения вида ut(t) = аu(t) + bu(t + h), t > 0.

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциально-разностному уравнению (7), имеет вид

A = а + beXh, A E C.

Это уравнение имеет счетное множество Е комплексных корней Е = { A k , k E N } , причем при каждом k E N функция exp (A k t), t >  0, является решением уравнения (7).

Если Ak = $к + іУк и 7 E R, то включение exp (Akt) E W27(0, +то) выполняется тогда и только тогда, когда Жк < 7. Основываясь на этом факте, мы исследуем взаимное расположение множества Е и промежутка корректности задачи (1), (2) в шкале весовых показателей - такого промежутка (а, Р), что V7 E (а, Р) и ^(7) < 1. Определим числа а = sup{ReA : A E Е, ReA < а}, b = inf {ReA : A E Е, ReA > Р}.

Как установлено в работе [2] , справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть ^(7) < 1 на интервале (а, Р ) С R. Тогда если 7 >  b, то однородная задача (3),(4) имеет нетривиальное решение u E W2 7 (0, + то ). Если 7 < а, то не при всех начальных данных u o E W 2 ([h, 0]), однородное уравнение u t = M u(ip, t >  0 имеет решение из пространство W2 7 (0, + то ).

Корни характеристического уравнения и предел при ℎ → 0

Рассмотрим теперь зачачу (1), (2) в предположении с = 0, т.е. уравнение с опережением без запаздывания (7):

n _t (t) = ап(€) + bn(t + h), t > 0.

Тогда начальные условия к дифференциально-разностному уравнению (7) ставятся в одной точке – левой границе области определения неизвестной функции:

n(+0) = n o G R.                                  (9)

Таким образом, в случае уравнения с опережением, в отличие от уравнения с запаздыванием, область задания начальных данных не зависит от параметра h.

Если h = 0, то уравнение (7) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение nt(t) = (а + b)n(t), t > 0, решение которого, удовлетворяющее начальному условию (9), имеет вид n(t) = noe(a+b')t.

Согласно теореме 1, условие ^(7) < 1 (то есть 7 G (а, 3)) достаточно для существования единственого решения задачи с начальным условием (1), (2). Поскольку ш(0) < 1, то тогда 0 G (а, 3 ).

Лемма 1. Пусть выполнено неравенство 0 <  | b | <  - а. Тогда характеристическое уранение (8) имеет два вещественнных корня различных знаков при b >  0, а при b <  0 — один отрицательный вещественный корень.

Действительно, вещественные корни уравнения (8) определяются как абсциссы точек пересечения графиков функций n = х — а и n = be ^xh .

Лемма 2. Вещественная часть любого комплексного корня характеристического уравнения (8) превосходит любой его вещественный корень.

Действительно, комплексные корни определяются из решения системы уравнений с двумя неизвестными:

х = а + be ^xh cos(yh), у = be ^xh sin(yh).

Следовательно, комплексные корни уравнения (8) лежат на пересечении плоских кривых

(х — а) ² = b ² e ^2xh — у ² ,

и х = а + у cot(yh), что доказывает утверждение леммы 2.

Следствие 1. Если выполнено условие 0 < b <  — а,то х і < а < 3 < Х 2 . Действительно, согласно лемме 1 характеристическое уравнение (8) имеет при условии 0 < b <  — а два вещественных корня Х і ,Х 2 , таких, что х і < 0 < Х 2 .

Следовательно, n o e ^{X 1 t} G ^2(0, + то ) и функция n o e ^{X 1 t} является решением задачи с начальным условием (7), (9) при 7 = 0. Так как ш(0) = -- a < 1, то 0 G (а,3).

В силу теоремы 1 при любом 7 G (а,3) задача с начальным условием (7), (9) имеет единственное решение и этим решением является функция n o e ^{X 1 t} . Поэтому х і < а.

В силу теоремы 1 никакая из функций e ^ ^t , А ^ G Е, кроме e ^{X 1 t} , не может быть решением уравнения (1) из пространства W^(0, + то ). Ибо если e ^{X k t} лежит в пространстве ^2"(0, + го ), то решение задачи (7), (9) не единственно. Поэтому 3 <  х 2 . Таким образом, х і < а < 3 <  х 2 . В этом случае вещественные постоянные х і ,х 2 играют роль постоянных а,b из теремы 2.

Следствие 2 . Если выполнено условие а < b <  0, то ж і < а < 0.

Действительно, если выполнено условие а < b <  0, то ш(0) < 1, и поэтому а < 0. Согласно лемме 1 характеристическое уравнение (8) имеет один вещественный корень ж і < 0. В этом случае функция u o e ^{x 1 t} € W 2“ (0, + ^то ), и, согласно теореме 1, она является единственным решением ДРУ (7) из пространства W2 ₇ (0, + то ) при любом 7 € (а,^). Поэтому ж і < а.

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 3. Пусть выполнено условие |b| < -а. Тогда задача (3), (4) в пространстве Соболева W1 (0, +то) эквивалентна задаче Коши для ОДУ u‘(t) = ж1u(t) + /(t), t > 0,                                    (10)

с начальным условием (9).

Доказательство. Так как w(0) < 1, то в силу теоремы 1 задача (7), (9) имеет единственное решение в пространстве W2 (0, + то ). А поскольку ж і < 0, то в пространстве W2 (0, + то ) лежит функция e ^{$ 1 t} U Q , и эта функция является единственным решением задачи (7), (9) из пространства W2(0, + то ).

Эта же функция и только она является решением задачи Коши для однородного (при / = 0) линейного уравнения (10) с начальным условием (9). Поскольку решения однородных уравнений (3) и (10) с начальным (9) совпадают, то в силу представления решения задачи Коши для неоднородного уравнения, полученного методом вариации постоянных, совпадают и решения неоднородных уравнений (3) и (10) с начальным (9).

Таким образом, множества решений задачи (3), (9) и (9), (10) совпадают, что и доказывает теорему 3.

Предельный переход при ℎ → 0

Пусть выполнены условия 0 <  | b | <  - а. Тогда из анализа графиков функций и = ж — а и u = be ^hx , пересечение которых определяет вещественные корни уравнения (8), легко заметить, что ж і ^ (а + b) при Һ ^ 0. Поэтому u o e ^{x 1t} ^ u o e ^(a+b)t равномерно на каждом отрезке [0,Т], Т > 0.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполнено условие | b | <  — а. Тогда последовательность { и ^ } решений задачи с начальными условиями (3), (4) сходится при Һ ^ +0 равномерно на каждом отрезке [0, Т] к решению ОДУ u ‘ (t) = (а + b)u(t) + /(t), t >  0.