О структуре пространства линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

DOI:

Фазовый портрет линейного векторного поля, заданного в пространстве R ⁿ , естественно рассматривать на компактификации R ⁿ в виде проективного пространства RP ⁿ [1, с. 249]. Этот подход позволяет различать поведение траекторий «на бесконечности». С такой точки зрения линейные векторные поля изучались в работе [3]. В частности, при n = 2 получено явное описание классов топологической эквивалентности и связных компонент множества грубых линейных векторных полей, а также бифуркаций таких векторных полей, при любом n >  2 даны необходимые и достаточные условия грубости линейных векторных полей в RP ⁿ .

В настоящей работе мы получим аналогичные результаты для систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

1. Линейные периодические системы в Rn и их продолжения на RPn

Будем рассматривать R ⁿ как аффинную часть проективного пространства RP ⁿ . Система x = A ( s ) x + b ( s ), & = 1 единственным образом продолжается до динамической системы на фазовом пространстве RP ⁿ х S ¹ [1]. Траектории продолженной системы будем называть траекториями системы l в RP ⁿ х S ¹ . Заметим, что бесконечно удаленное множеств о Е : = ( RP ⁿ \ R ⁿ ) х S ¹ = RP n ^-1 х S ¹ состоит из траекторий.

Определение 1. Линейные системы l е LS ” и % е LS ” топологически эквивалентны в R ⁿ х S ¹ , если существует гомеоморфизм h : R ⁿ х S ¹ — R ⁿ х S ¹ , переводящий ориентированные траектории системы l в R ⁿ х S ¹ в ориентированные траектории системы % в R ⁿ х S ¹ .

Определение 2. Линейные системы l е LS ” и % е LS ” топологически эквивалентны в RP ⁿ х S ¹ , если существует гомеоморфизм h : RP ⁿ х S ¹ — RP ⁿ х S ¹ , h ( Е ) = Е , переводящий ориентированные траектории системы l в RP ⁿ х S ¹ в ориентированные траектории системы % в RP ⁿ х S ¹ .

Определение 3. Линейная система l е LS ” называется грубой в R ⁿ х S ¹ ( соответственно в RP ⁿ х S ¹ ) ( относительно пространства LS ” ) , если существует такая ее окрестность V в LS ” , что любая система % е V топологически эквивалентна l .

Пусть Ф ( t ) - невырожденная квадратная матрица n -го порядка, C 1 -гладко и « -периодически зависящая от t еR , а g : R—> R ⁿ — « -периодическая C 1 -функция. Рассмотрим C 1 -диффеоморфизм T: R ⁿ х S ¹ — R ⁿ х S ¹ ,_ T ( y , t ) = ( Ф ( t ) y + g ( t ), t ) . Он единственным образом продолжается до C 1 -диффеоморфизма T : RP ⁿ х S ¹ — RP ⁿ х S ¹ . Диффеоморфизм T индуцирует отображение T , : LS ” — LS ” , ставящее в соответствие линейной системе l : Х& = A ( t ) x + b ( t ) линейную систему T , (l): y = ( Ф^{- 1}( t ) A ( t ) Ф ( t ) -Ф^{- 1}( t ) Ф ( t )) y + Ф^{- 1}( t )( b ( t ) + A ( t ) g ( t ) - & t )) , получающуюся из l заменой x = Ф ( t ) y + g ( t ) . Система T ( l ) топологически эквивалентна в RP ⁿ х S ¹ системе l (при этом T переводит траектории системы T ( l ) в траектории системы l ) . Кроме того, T , является обратимым аффинным преобразованием банахова пространства LS ” , а потому и C ” -диффеоморфизмом . Следовательно, оно переводит грубые системы в грубые, а негрубые в негрубые.

если 1 gS + (l gL ,) , 0 <  р 1 <  p ₂ <  1 ( - 1 <  p _x <  p ₂ <  0 ), если l gL + s (l gS„ s ), 1 <  p_x <  ^ 2 ⁽ ц _х <  ^ 2 <^{- 1)}, если 1 ^gS + u ⁽ 1 ^gS - u )•

Теорема 2. 1) Линейная система l g LS 2 является грубой в RP ² х S ¹ тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству S = S LS² .

• 2)    Динамические системы, задаваемые в RP ² х S ¹ линейными системами из L LS² , являются системами Морса - Смейла. Множества S + , S ^- , S + s , S - s , S + _u и S - _u - классы топологической эквивалентности в S LS² .

ω

Обозначим B1θs , B1θu , θg (0,1), B7 , B, Bч , Bмножества линейных систем 1 g LS2 1,s      1,u                         2,s      2,u      3,s      3,u                                                                 ω с мультипликаторами ^1, р2 следующего вида. Для B®s (B®u) ^1 2 = pe'in6,0 < Р < 1 (p > 1). Для B2s, B2s, B2u и B2u мультипликаторы ^1 = ^2 и отвечают одному элементарному делителю, кроме того, соответственно, 0 < рх < 1, -1 < рх < 0, рх > 1 и рх <-1. Для B_, (B3-u) р1 = -1, -1 < ^2 < 0 (р1 = -1, р2 <-1). Определим также множества B3s (B3+u) систем 1 g LS2 , у которых р1 = 1, 0 < ^2 < 1 (^1 = 1, ^2 > 1) и нет периодических траекторий в R2 х S1; последнее равносильно тому, что ранг матрицы, полученной добавлением столбца

ω a = X (ет )j X-1( t) b (t) dt к матрице X(ет) - E , равен двум. 0                                          θθ

Теорема 3. 1) Каждое из множеств B ® _s , B ® _u , 0 g (0,1) , B 1 s , B 2 , u , B t, B 3 _u является вложенным C ” -подмногообразием LS 2 коразмерности один и состоит из топологиче с ки эквивалентных систем.

• 2)    Множество S LS2, u U ( B_x6 и 8_Н1 ) открыто и всюду плотно в LS 2 .

0 g (O,1)

• 3)    В S 1 \ S 1 , S 1 s \ S 1 _s и L 1 _u \ S 1 _u всюду плотны, соответственно, множества

• 3.    Грубость в Rn х S1: доказательство теоремы 1

B3\ и B31„, B2:, и B3L, и B2:„ и B31„. ,s ,u           ,s             ,s             ,u             ,u

Так как X(ет, 1) непрерывно зависит от 1 , то для любой системы 1₀ g 2 ₀LS ет существует столь малая окрестность V в LS ^ , что любая система 1 g V не имеет мультипликаторов на единичной окружности, а сумма кратностей мультипликаторов, лежащих внутри единичного круга, та же, что у 1₀ . Следовательно, окрестность V принадлежит 2 ₀LS n, и состоит из систем, топологически эквивалентных в R n х S ¹ системе 1₀ . Тем самым доказано, что ^LS ^ , открыто и состоит из систем, грубых в R n х S ¹ .

Пусть 1 „ g LS ” \ S_nLS ” , 1₀: .& = A ( t ) x + b ( t ) . Обозначим 1 g LS_f' : X = x , L. = 1,, + s 1 0           ет 0 to 0               v / v /                          +           ет              ⁷ s 0

: & = ( A( t ) + sE ) x + b ( t ) .

^{- s t                                  - ssto}

Тогда X ( t , 1 _s ) = e ^{- s t}X ( t , 1 ₀) и X ( ет , 1 _s ) = e - ^Sto X ( to , 1 ₀) . Для любой окрестности V системы 1₀ в LS ^ , найдется такое S >  0 , что при всех s g ( - S , s ) 1 _s g V . Поскольку все собственные значения матрицы X ( ω , l _ε ) получаются из собственных значений матрицы X ( ω , l ₀) умножением на e ^ьет , то при достаточно малом s, для всех s , 0 <  | s | <  s , их модули отличны от единицы. Таким образом, в V есть системы из ^LS ^, , то есть ^LS ^ , всюду плотно в LS ^, . Суммы кратностей мультипликаторов с модулем, меньшим единицы, у системы l _ε разные при положительных и отрицательных значениях е . Следовательно, эти системы не могут быть топологически эквивалентны [2], и потому l ₀ – негрубая система.

Теорема 1 доказана.

• 4.    Грубость в RP2 х S1: доказательство теоремы 2

Докажем, что линейная система 1 GL LS2, является грубой в RP ² х S ¹ . Отображение P ₁ : RP ² ^ RP ² последования по траекториям 1 сечения RP ² = RP ² х {0} в координатах

ω x = (x1,x2) имеет вид x a X(to,l)x + a , где a = X(to,l )jX-1(t,l)b(t)dt. Поскольку det(X(to, l) - E) ^ 0, то P имеет неподвижную точку x0. Поэтому существует такая замена координат y = S(x - x0), что в координатах y = (y1, у2) отображение последования имеет вид (y1, y 2) a (р1 y1, р2 y 2). В координатах u1 = y 2/y1, zx = 1/y1 в RP2 Px имеет вид (u1, z1) a (р2 р-1 u1, р-1 z1), а в координатах u 2 = y1 / y 2, z 2 = 1/y 2 - вид (u 2, z 2) a (р1 р21 u1, р21 z 2). Поэтому для Pl при l e L + точка с координатами y1 = y2 = 0 - гиперболическая неподвижная точка типа седло, а точки с координатами u1 = z1 = 0 и u2 = z2 = 0, соответственно, гиперболические неподвижные точки типа неустойчивый и устойчивый узел. При любом l eL + Pl является диффеоморфизмом Морса – Смейла и все отображения Pl топологически сопряжены между собой. Соответственно и все системы l e L + топологически эквивалентны между собой в RP2 х S1. Поскольку L + - открытое множество, то системы l eL + являются грубыми в RP2 х S1. Аналогично получаем структуру фазовых портретов и грубость систем из L-, L +s, L- , L+ и L- .

ns , nu nu

Покажем, что система l e LS 2 , грубая в RP ² х S ¹ , принадлежит множеству L LS 2 . Так как линейные системы, грубые в RP ² х S ¹ , являются и грубыми в R ² х S ¹ , то по теореме 1 l e L ₀ LS to . Предположим, что l e L 0 LS 2, \ L LS 2 и получим противоречие.

Пусть сначала у l мультипликаторы р 1 = р ₂ = р <  0 , р ^ — 1 . Если они соответствуют

P _l в некоторых координатах

одному элементарному делителю, то отображение последования ( y ₁, y ₂) в R ² будет иметь вид

( У 1 ,y 2 ) a ⁽ р У 1 + y 2 , рy 2 ) ,

а в координатах ( u ₁ , z ₁) и ( u ₂ , z ₂) , введенных выше, вид

( u ₁, z ₁) a

u ,        z 1

_v 1 + и 1 / р р 1 + U 1 / р _?

и ( u ₂ , z ₂) a

(   11   )

u 2 + -, -z 2

l     р р   )

Поэтому P _l имеет две неподвижные точки и не имеет периодических точек периода >1. Соответственно, система l имеет в RP ² х S ¹ ровно две периодические траектории. Если мультипликаторы соответствуют разным элементарным делителям, то P _l в некоторых координатах ( y ₁, y ₂ ) в R ² будет иметь вид ( y 1 , y ₂) a ( рy 1 , рy ₂) , а в координатах ( u 1 , z 1 ) вид ( u 1 , z 1 ) a ( u 1 , р ^{- 1} z 1 ) .

Поэтому система l имеет в RP ² х S ¹ бесконечное множество периодических траекторий.

Пусть X(t) = X(t, l). У матрицы — X(to) - положительные собственные значения и пото му она имеет действительный логарифм. Матрица D = to 1 ln(—X(to)) имеет двукратное соб ственное значение, не равное нулю. Функция Ф(t) = X(t)e Dt имеет следующее свойство:

V t e R Ф ( t + to ) = — Ф ( t ) .

Действительно,

Ф ( t + to ) = X ( t + to ) e ^{- to D}e ^{- Dt} = X ( t ) X ( to ) e ^{- ln( — X ( to} )) e ^{- Dt} =

= X ( t ) X ( to )( - X ( to )) ^{- 1} e ^{- Dt} = - X ( t ) e ^{- Dt} = -Ф ( t ).

Ясно, что найдется такая матрица M , что для чисел £ ^ 0 с достаточно малым модулем матрица D + £М имеет различные действительные собственные значения, не равные нулю. Рассмотрим систему уравнений

В силу (3) l _Е е LS Ю . Рассмотрим l _Е как систему из LS 2 _ю . Тогда замена у = ф^{- 1} ( t ) x переводит систему l _Е в систему % : у = ( D + е М ) у + Ф ^-1 ( t ) b ( t ) из LS 2^, . Так как Ф (2 ю ) = Ф (0) = E , то % Е имеет ту же матрицу монодромии X(2ю, l _Е ) = X ² ( ю , l _Е ) , что и l _Е . С другой стороны, ясно, 2 ю ( D + еМ )

что эта матрица имеет вид e и потому ее собственные значения положительны, различны и не равны 1. Но тогда X ( ю , l _Е ) имеет различные отрицательные собственные значения, не равные -1, то есть l _Е е S LS 2 . Для любой окрестности V системы l мы можем выбрать е так, чтобы l _Е е V . Тем самым, в любой окрестности системы l существует система из S LS 2 . Как показано выше, системы из S LS ® имеют в RP ² х S ¹ три периодические траектории и потому не могут быть топологически эквивалентны l . Получаем противоречие с предположением о грубости l .

В случае, когда мультипликаторы ц 1 = ц ₂ = ц >  0 , противоречие получаем аналогично, взяв D = ю ^{- 1} ln X ( ю ) .

h ± i пО

Рассмотрим теперь случай, когда мультипликаторы системы l комплексные: ц ₁₂ = e , h Ф 0 , О е (0,1) . Тогда система имеет ю -периодическое решение g ( t ) . Пусть 5: R ² х S ¹ ^ R ² х S ¹ , 5 ( x , t ) = ( x + g ( t ), t ) . Отображение 5 , преобразует l в грубую систему l , = 5 , (l): .& = A ( t ) x . Пусть T : R ² х S ¹ ^ R ² х S ¹ , T ( x , t ) = ( Ф x , t ) , где Ф - такая невырожденная квадратная матрица, что Ф ¹ X(ю ) Ф имеет действительную жорданову форму. Система l „ = T ( l , ): & = Ф^{- 1} A ( t ) Ф x грубая, а ее матрица монодромии

X ( ю , l ,, ) = Ф^{- 1} X ( ю ) Ф = e^h

Г cos пО ^ sin пО

- sin пО ) cos по )

Так как ln X ( ю , l ,, ) =

Г h^ пО

- пО ^Л

h J

, то отображение U ,

:LS 2, ^ LS 2 , где

U(у,t) = (X(t,l,,)e-t(1/ю)lnX(ю,l-)у, t), переводит l и в линейную систему

l е : &  = ( h / ю ) у ! - ( п ( О + е )/ ю ) у 2 , у = ( п ( О + е )/ ю ) у ! + ( h / ю ) у 2 , О + е е (0,1) .

Перейдем в окрестности бесконечно удаленного тора E к координатам ( r , ф ) : у 1 = (1/ r ) cos ф , у ₂ = (1 / r ) sin ф . Получим систему j& = - ( h / ю ) r , ф = п ( О + е ) / ю . На торе E ( _r = 0 ) введем циклические координаты ( ф , s ). Точки с координатами ( ф + рп, s + qю ) , p , q е Z , отождествляются. Ограничение системы l _Е на инвариантный тор E имеет число вращения 9 + е и, следовательно, существует сколь угодно малое е > 0, при котором l _Е не топологически эквивалентно 1₀ , что противоречит грубости 1₀ .

Таким образом, система l еS ₀LS Ю \ S LS Ю не может быть грубой в RP ² х S ¹ и потому множество систем l е LS 22 , грубых в RP ² х S ¹ , совпадает с S LS2, .

Поскольку множество линейных систем с комплексными мультипликаторами открыто в LS _ω ² , то грубые в RP ² х S ¹ линейные системы не плотны в LS 2 .

Теорема 2 доказана.

• 5.    Бифуркационные многообразия: доказательство теоремы 3

Простые мультипликаторы системы l е LS 22 гладко зависят от элементов матрицы X ( ю , l) , а потому и от l .

На открытом множестве B_{1 s} систем с мультипликаторами р₁₂ = pe ± ^0п , 0 е (0,1) , 0 <  p <  1 , определим C ” -функцию f, положив f ( 1 ) = 0 . Докажем, что f - невырожденная функция, то есть V I ₀ е B _{1 s} f ' ( 1 ₀) * 0 . Без ограничения общности можно считать 1 0 : y& = ( h / го ) у 1 - ( 0п / ю ) у 2 , У 2 = ( 0п / ю ) у 1 + ( h / го ) у 2 , где h = ln p , поскольку, как было показано при доказательстве теоремы 2, в такую систему можно преобразовать с помощью C ” -диффеоморфизма пространства LS ^ любую систему из B 1 _s . Пусть 1 ₊ е LS 2,, ¹ + :Л = ^{- ( п} /®) у 2 , Л =^{( п} /®) У 1 . Тогда ^f '⁽¹ 0 )¹ + = d . = 0 ^{f (1} 0 ^{+ е 1} + ) = ¹ * 0 , ^{и f} '⁽¹ 0 ) * 0 . Поэтому множества B _{1 s} = f ( 0 ) , 0 е (0,1) , являются вложенными C ” -подмногообразиями коразмерности один. Нетрудно убедиться, что все системы из B ₁ ^θ _s топологически эквивалентны в RP ² x S ¹ . Они имеют в RP ² x S ¹ единственную периодическую траекторию Г, на бесконечно удаленном торе E система топологически эквивалентна стандартной системе <& = ( п / го)0, & = 1 на торе R/ п Z x R/ го Z с числом вращения 9 , остальные траектории го -предельны к Г и а -пре-дельны к траектории на E .

Аналогично рассматриваются системы из B ₁ ^θ _{, u} .

Пусть система 1₀ е B ₃ ^- _s . Выберем столь малую окрестность V системы 1₀ в LS 22 , что любая система 1 _е V имеет мультипликаторы /%( 1 ) и Р 2Х1) , гладко зависящие от 1 , /%(1₀) = - 1 , / ( 1 ) * /%( 1 ) , - 1 <  /%( 1 ) <  0 . Определим C ” -функцию f : V >  R , положив f (1) = ln | /%(1) |. Пусть матрицы D и Ф( t ) выбраны, как и в доказательстве теоремы 2. Приведем D к диагональному виду: KDK = diag(0, го Jn | р ₂| ) . Обозначим M = К 'diag(1,0) К . Пусть 1 ₊ е LS 22 , 1 ₊ : .&= Ф ( t ) M Ф^{- 1}( t )) x . Тогда

Ы / М 0 + $ 1 + )| = гое и f '(1 0 )1 + = $, . 0 f (1 0 + е 1 + ) = го * 0 .

Следовательно, f ' (1₀) * 0 . Уменьшив при необходимости окрестность V , можно считать, что для всех 1 _е V f ' (1) * 0 . Так как B ₃ ^- , _s n V = f ^{- 1} (0) , то B ₃ ^- _s - вложенное C ” -подмногообразие в LS 22 • При малых $ | sgn(/%y 1₀ + $ 1 ₊ ) + 1) = - sgn е , и потому B_3s принадлежит общей части границ множеств 2^- _s и 2^- .

Отображение Р_х , 1 е B ₃ ^- _s , можно записать в некоторых координатах ( у 1 , у ₂) в R ² (зависящих от 1 ) в виде ( у 1 , у ₂) a ( - у 1 , /%(1) у ₂) . Поэтому для любых двух систем 1₀ е B ₃ ^- _s и 1 е B ₃ ^- _s диффеоморфизмы Р _х и Р ₁ сопряжены. Сопрягающий гомеоморфизм имеет в координатах ( у 1 , у ₂) ,

( u ₁, z ₁) и

( u ₂, z ₂) a RP ² x S ¹ .

( u ₂, z ₂) , соответственно, вид ( у 1 , у ₂) a ( у 1 ,

( ^{р р1} ) u , Жо) z ) . Следовательно, 1₀

%) 2’ /%<1)                      , ⁰

МО. / %(1 0 )

⁽ U 1 , ^z 1 ) a

(^ - W)

и

и l топологически эквивалентны в

Утверждение 1) теоремы для множества B _{3 u} доказывается аналогично.

Пусть X(го, 1) = (xjj(1)) . Определим C” -функцию f: LS2, ^ R , положив f (1) = (x11(1) + x22 (1 ))2 - 4 det X(го, 1). Множество B2-s задается условиями f (1) = 0, -2< x11(1) + x22(1)< 0, x12(1) * 0vx21(1) * 0.

Для доказательства того, что оно является C” -подмногообразием коразмерности один, достаточно убедиться, что для любого 1 е V f '(1) * 0. Пусть матрицы D и Ф(t) выбраны, как и выше. Приведем D рх = (x11(1) + x22(1 ))/2.

к жордановой	форме: KDK 1 =
	00 = K - 1 го-  »К у го    0 у
Обозначим    M

[ ^го ■ ^р

Пусть

1      '

го -¹ln / J J ,

1 + е LS 2,,

l + : . Ф(t)MФ-1(t)x, l f = l + fl +. Тогда собственные значения матрицы D + £М, £ > 0 -to \ln |^1| ± Vf ) , собственные значения матрицы X2 (to, l f) = e2to(D+fM) |^1|2 e±2^ , а собственные значения матрицы X(to, l f) - e1 ^^. Так как f (l) = 0, f (l f) = (ef px + e"^ )2 - 4^2 = ^2 (e2+ e'- 2) = 4^2 (chVf -1)2 при £ > 0,

f (l + f l +) - f (l) ,.   f (l + f l +) „ 2 a                              a то f (l )l + = lim  -------+--------= lim  -------— = 4^2 * 0 . Следовательно, f (l) ^ 0, что f ^+0         f           f ^+0     f и требовалось установить. При малых f мультипликаторы e' ^^ системы l f различны и нахо- дятся в интервале (-1, 0). Поэтому B2s содержится в границе множества 2пs.

Из вида (1) и (2) отображения P l , l е B ₂ , s , в координатах ( у 1 , у ₂) , ( u 1 , z 1 ) и ( u ₂, z ₂) , приведенного в доказательстве теоремы 2, следует, что его неблуждающее множество – две неподвижные точки - устойчивый (обратный) узел с координатами у 1 = у ₂ = 0 , седло-узел с координатами u 1 = z 1 = 0 и центральным многообразием, задаваемым уравнением z 1 = 0 , а неблуждающее множество системы l в RP ² х S ¹ состоит из двух соответствующих им ш -периодических траекторий. Поэтому все системы из B _{2 s} топологически эквивалентны в RP ² х S ¹ .

Утверждение 1) теоремы для B _{2 u} , B 2 s и B 2 u доказывается аналогично утверждению для B _{2 s} .

в координатах ( y ₁ , y ₂) , ( u ₁ , z ₁) и ( u ₂ , z ₂) имеет, соответ-

Отображение последования Pl ственно, вид

⁽ У 1 , У 2 ) a ⁽ У 1 ^{+ a} 1 , ^ 2 У 2 ) , ^{( u} 1 , ^z 1 ) a

µ ₂ u ₁       z ₁

_v 1 + a 1 z_x ’1 + a 1 z_{x v}

и ^{( u} 2 , ^z 2 ) a

< 1         a_x       1

---u 2 +--- z 2, --- z^

V ^2

µ ₂    µ ₂

Отсюда следует, что Pl_o имеет две неподвижные точки: неустойчивый узел с координатами u ₂ = z ₂ = 0 и седло-узел с координатами u 1 = z 1 = 0 и центральным многообразием, задаваемым уравнением u 1 = 0 , а система 1₀ имеет две периодические траектории соответствующих типов, принадлежащие тору E , и других неблуждающих траекторий в RP ² х S ¹ система не имеет. Любые две такие системы топологически эквивалентны.

Если l е V и f ( l ) <  0 ( f ( l ) >  0 ), то l е2 + _s (l е! + ). Таким образом, B 3 s принадлежит общей части границ 2 + s и 2 + , а переход системы l через бифуркационное многообразие B ₃ ⁺ _s приводит к тому, что ее устойчивая периодическая траектория, принадлежащая R ² х S ¹ , сливается с бесконечно удаленной седловой периодической траекторией, превращаясь в бесконечно удаленную седло-узловую периодическую траекторию, которая затем распадается на седловую периодическую траекторию, принадлежащую R ² х S ¹ , и устойчивую бесконечно удаленную периодическую траекторию.

Утверждения 1) теоремы для множества B ₃ ⁺ _{, u} доказываются аналогично.

В доказательстве теоремы 2 было установлено, что в любой окрестности системы с кратными мультипликаторами имеется система из Σ LS _ω ² . Отсюда и из плотности Σ ₀LS _ω ² в LS _ω ² следует утверждение 2) теоремы.

Докажем, что B ₂ ^- _{, s} ∪ B ₃ ^- _{, s} всюду плотно в Σ _n ^- _s \ Σ _n ^- _s . Достаточно показать, что для любой системы 1 0 g S ^- s _s \ 2 - _s , l £ B ^- _s и B - s существует сколь угодно близкая система из B ₃ ^- s . При сделанных предположениях 1 0 имеет либо мультипликаторы ^ 1 = ^ 2 = - 1 , либо мультипликаторы µ ₁ = µ ₂ ∈ ( - 1, 0) , соответствующие разным элементарным делителям. В обоих случаях матрицу M можно подобрать так, чтобы при достаточно малых ε > 0 матрица D + ε M , где D = ω ^{- 1} ln( - X ( ω )) , имела двукратное отрицательное собственное значение, соответствующее одному элементарному делителю. Тогда из доказательства теоремы 2 видно, что система (4) принадлежит B ₃ s . За счет выбора е ее можно сделать сколь угодно близкой к 1 ₀ .

Остальные утверждения пункта 3) теоремы доказываются аналогично.