О структурном изоморфизме множеств подмножеств структурно изоморфных множеств

Предисловие

В теории множеств с самопринадлежно-стью свойства структурного изоморфизма использовались при описании бесконечных самоподобных множеств [1], [2]. Ниже описываются свойства структурного изоморфизма в связи с выделением модельных областей для формальных языков1.

Определение 1. Два объекта изоморфны, если существует изоморфное отображение одного в другой, т.е. А = В, если существует изоморфизм φ: А→В, φ(а i )=b i , где a i е A, b i е B.

Определение 2. Два объекта структурно изоморфны, если они изоморфны и совпадают по структуре, т. е. А = ^е В если А = В (изоморфизм φ: А→В) и если для любых а₁, а 2 е A, b i , b 2 е B, b i = ф(а 1 ), b 2 = ф(а 2 ),-^^^(bi^).

Пример 1. Объекты А = {[а], А} и 2 = {1, 2} – структурно изоморфны, объекты А и С = {[c 1 ], [c 2 ]} – изоморфны, но не структурно (А =^£ С), A = ; / [а].

1.    Теорема о структурном изоморфизме

Пусть А и В – структурно изоморфные множества из М, А =^е В, т.е. имеется изоморфизм ф: А^В, т.е. (х 1 е х₂) о (у 1 е у₂), где у 1 =φ(х 1 ), y 2 =φ(x 2 ). Для множеств подмножеств А и В, Ехр(А) и Ехр(В) выполняется следующее:

• 1.    Для единичных объектов. х1, х2 – единичные объекты из А, тогда если х1 ^ х₂, то х1 £ х₂, следовательно, так как А =^е В, у1 =ф(х1), у₂=ф(х₂), у1 £ у₂. Для множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В): так как для единичного объекта выполняется (см. [2]²) х1=[х1] и [х1]={[х1]}, то подмножества, состоящие из единичных объектов, совпадают с самими единичными объектами, значит, для единичных объектов из Ехр(А) и Ехр(В) условие структурного изоморфизма ([{Х1}]е[{Х2}])»([{У1}]е[{у2}]),(Х1ЕХ2)»(^^^ выполнено.

• 2.    Для несамопринадлежащих подмножеств. Х3 сА, Х3 £Х₃, тогда так как А =^еВ, Y3= ф(Х3) и Y3£Y3. Для множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В): так как Х3 сА, то [{Х3}]еЕхр(А), [{Х3}] - единичный объект, [{Х₃}]ё[{Х₃}], то же характерно и для Y₃, [{Y₃}]e[{Y₃}]; условие структурного изоморфизма выполнено.

• 3.    Для самопринадлежащих подмножеств. Х₄⊆А, Х₄∈Х₄, тогда так как А ≅^∈В, Y₄=φ(X₄) и Y₄∈Y₄. Для множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В): так как для самопри-надлежащих множеств Х4=[{Х4}] и Y4=[{Y4}], то аналогично тому как для единичных объектов (см. п. 1), условие структурного изоморфизма выполнено.

2.    Обратная теорема

Все варианты подмножеств множеств А и В описаны вышеозначенными п. 1–3; значит, и таким образом доказана теорема.

Теорема 1 (об изоморфизме множеств подмножеств). Если два множества структурно изоморфны друг другу, то множества их подмножеств также структурно изоморфны между собой, А ≅^∈ В ⇒ Exp(А) ≅^∈ Exp(В). □

Изоморфизм множеств А и В (не структурный) не влечет изоморфизма множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В).

Пример 2. Для множеств примера 1 множества подмножеств таковы: Ехр(А)=А, |Ехр(А)|=2, Ехр(С)= {[c 1 ], [c 2 ], [{[c 1 ], [c 2 ]}]}, |Ехр(C)|=3. Ехр(А) и Ехр(С) – не изоморфны.

Допустимы и обратные рассуждения. Пусть имеются структурно изоморфные множества С и D, С ≅^∈ D, ψ: С→D и для любых с 1 , с 2 ∈ A, d 1 , d 2 ∈ D, d 1 = φ(c 1 ), d 2 = φ(c 2 ),–

(c₁ ∈ c₂) ⇔ (d₁ ∈ d₂); при этом известно, что С и D являются множествами подмножеств множеств А и В соответственно, С=Ехр(А), В=Ехр(D).

Объекты из С и D исчерпываются следующими вариантами:

• 1.    Самопринадлежащие объекты, отличные от единичных объектов, Х5∈Х5, Х5∈С, |Х5|≥2, Х5⊆А, ввиду структурного изоморфизма ψ: С→D, Y5= ψ(Х5), Y5∈D, Y5∈Y5, Y5⊆В, ввиду того, что А⊆Ехр(А) и В⊆Ехр(В), структурный изоморфизм ψ в отношении этих са-мопринадлежащих множеств (Y5 и Х5) имеет место. Это имеет место для всех самопринад-лежащих множеств из С, D, А, В, отличных от единичных объектов.

• 2.    Несамопринадлежащие подмножества из C и D, не входящие в А и В, не относятся к подмножествам из А и В.

• 3.    Единичные объекты из С, D.

  • 3.1.    Собственно единичные объекты, такие что [[а]]∈C и [а]∈А, аналогично пункту 1 удовлетворяют условия структурного изоморфизма.

  • 3.2.    Единичные объекты из C, D, обра-

• зованные несамопринадлежащими подмножествами из А, В. [Z]∈C, Z⊆A, тогда единичные объекты и самопринадлежащие множества, которые образуют Z, принадлежат как С, так и А, для них по п. 1, 2 имеет место структурный изоморфизм ψ. Следовательно, А и В изоморфны, а ввиду выполнения условий структурного изоморфизма п. 1–3 – структурно изоморфны (все варианты объектов из С, D исчерпаны).
3.    Приложение в матлингвистике

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 2 (обратная теореме об изоморфизме множеств подмножеств). Если два множества C и D структурно изоморфны друг другу и являются множествами подмножеств множеств А и В соответственно, то и множества А и В структурно изоморфны. множества их подмножеств также структурно изоморфны между собой, С=Exp(А) ≅^∈ Exp(В)А=D ⇒ А ≅^∈ В. □

Пусть имеются два языка L 1 и L 2 (формальных), в них имеются высказывания F 1 и F₂ соответственно, структура которых описываема множествами (с самопринадлежностью), тогда перевод из языка L 1 высказывания F 1 высказыванием F₂ из языка L₂ адекватен, если имеется структурный изоморфизм F 1 ≅^∈ F 2 .

Естественно, что наряду с высказыванием F язык L содержит и все возможные его подмножества, т. е. модельная область G для формального языка L является множеством, совпадающим с множеством своих подмножеств G=Ехр(G).

Формальные языки (и системы) по модельной области делятся на следующие:

• 1.    Языки с конечной модельной областью, как, например, лямбда-исчисление, модельная область которого – конечные натуральные числа, см. [4], [3], [5].

• 2.    Если высказывания языка несамоссы-лочны (кроме высказываний о самом языке), то его модельная область – это множество, содержащее все несамопринадлежащие множества с необрывающимся рядом внутренностей: А={[х] ∈ М|х ∈∅ или (х=a, a ∉ а, а=V ^α (A), где α – число)}, – ряд внутренностей этого множества аналогичен самоподобному упорядоченному объекту [2], [6].

• 3.    Поскольку объектов промежуточной мощности между самоподобными множествами и множеством всех множеств М выделить не удается [7], то минимальная модельная область для языка с самоссылочностью – это все множество М.

Таким образом, имеет место теорема.

Теорема 3 (о модельной области языка с самоссылочностью). Минимальной модельной областью формального языка с самоссылочно-стью является все множество всех множеств М. □

Заключение

При описании свойств структурного изоморфизма и прикладной интерпретации этих свойств на предметной области формальных языков показано, что минимальной модельной областью для языка с самоссылочно-стью является все множество всех множеств.