О сумме узкого и C-компактного операторов

• ¹    Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 18-51-41016 (Абасов Н. М.) и № 17-51-12064 (Плиев М. А.).

• 1. Предварительные сведения

Цель настоящего параграфа. - зафиксировать терминологию, обозначения и ввести требуемые понятия. Необходимые сведения о векторных решетках и решеточно-нормированных пространствах можно найти в монографии [12].

Пусть V - векторное пространство над полем дойствитолвных чисел иЕ- действительная архимедова векторная решетка. Отображение | -| : V ^ Е₊ называется векторной нормой, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:

• 1)    Ы > 0; |v| = 0 О v = 0 (v Е V ):

• 2)    |vi + V2| 6 |vi| + |v2| (vi,V2 Е V ):

• ³⁾    l^Avl"I<^{A Е} R'v^{Е V} >•

Векторная норма, называется разлосисимой, если

• 4)    для любых e_i, е₂ Е Е₊ i1 x Е V из представления |x| = e_i+e₂ следует существование xi,X2 Е V таких, что x = xi + Х2 и |x_k| = ek (k := 1, 2).

Тройка (V, I-|,E) (далее (V,E). (V, |-|) пли даже V для краткости) называется решеточно-нормированным пространством, если | J это Е-значная векторная норма, заданная на V. Если векториая норма Н разложима. т<> пространство V также называется разлосисимым.

Будем говорить. что сеть (v_a)_aeA (bo)-сходится к элементу v Е V и писать v = bo- lim v_a. если существует убывающая сеть (e_YЦ_еГ в Е₊ такая. что inf_Yer(e_Y) = 0 11 для любого Y Е Г существует индекс «(y) Е А такой. что |v - v_a(Y) | 6 e_Y для любого а >  «(y)- Сеть (v_a)_aeA называется (Ьо)-фундаментальной, если сеть (v_a - v_e)_(a,_e)eAxA (Ьо)-сходится к нулю. Решеточно-нормированное пространство называется (ЬсУполпым. если каждая ^-фундаментальная сеть (Ьо)-сходится к элементу этого пространства. Разложимое, (Ьо)-полное решеточно-нормированное пространство называется пространством Банаха - Канторовича.

Пусть X - нормированное пространство. Линейный оператор T : V ^ X называется ^о)-ненрерыоным. если любую (Ьо)-сходящуюся сеть (v_a)_aeA в V оператор переводит в сходящуюся по норме сеть (Tv_a)_aeA в X.

Элемент и решетонно-нормпрованного пространства (V, Е ) называется осколком, элемента v Е V, если |u| ± |v — u|. Будем писать v = |_|n=i vi, если v = 52n=i vi и uiEvj, i = j. Для n = 2 будем писать v = v_i t v₂. В этом емучае осколки v_r v₂ элемеита v называются взаимно дополнительными. Множество всех осколков элемента v обозначавтся через Fv.

Множество D С V называется ограниченным по норме, если существует e Е Е₊ такой, что неравенство |v| 6 e выполняется для всех элементов v Е D. Пусть теперь T : V ^ X - нормированное пространство. Линейный оператор T : V ^ X называется AM -компактным, если образ T(D) любого ограниченном) по норме множества. D С V предкомпактен в X: C-комнактным. если для любого v Е V множество T(Fv) предкомпактно в X.

Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение T : V ^ X называется оператором конечного ранга, если T(V) - конечномерное подпространство в X.

Пусть X - банахово пространство 11 S — линейный оператор из V в X. Оператор S называется узким, если для любых v Е V. е > 0 найдем :а пара, u, w взаимно дополнительных осколков элемента, v таких. что ||S(u — w)k < е.

Для подмножеств H ii K векторного пространства X будем псполвзовать следующее обозначение: H + K := {v + и : v Е H ; и Е K}. Сумму H + ... + H n-копий множества H nH

1. Результаты

Наша цель - показать, что сумма узкого и порядково непрерывного С-компактного оператора, является узким оператором. Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты.

Лемма 1 [4, теорема 4.12]. Пусть V - пространство Банаха - Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой E, X - банахово пространство. Тогда каждый линейный AM-компактпый (Ьо)-пепрерывпьill оператор Т : V ^ X является узким.

Замечание 1. Отметим, что лемма 1 остается верной, если условие AM-компактности оператора заменить на более слабое условие С-компактности, так как в [4] при доказательстве теоремы 4.12, по существу, используется только С-компактность.

Следующая лемма, является ключевой.

Лемма 2. Пусть V - пространство Банаха - Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой E. X - банахово пространство, v Е V н Т : V ^ X - (Н-непрерывпый С-компактнвш оператор. Тогда для любого е >  0 существует разбиение v = Fn=1 vi такое, что для любой пары v1,v2 взаимно дополнительных осколков элемента vi. 1 6 i 6 п. справедливо неравенство ЦТ(v¹ - v²)Ц < е.

C Предположим, что утверждение леммы неверно. Это означает, что найдется е > 0 такое. Tito для любого разбиения v = Fn_ ^i. n Е N. напяттчя номер 1 6 io 6 пи такая пара v10 ,v20 взаимно дополнительных осколков элемента ^, что справедливо неравенство \Т(v10 - v20)\ > е. Покажем, что отсюда следует, что для любого k Е N найдется набор v1,...,vk попарно дпзъюпктиьix осколков элемента v такое, тио для любого 1 6 i 6 k существует пара vi1 ,v2 взаимно дополни тельных осколков vi такая. tito ЦТ (vi1 - vi2 )Ц > 2. Докажем это утверждение по индукции. Для k = 1 утверждение очевидно. Предположим. tito оно верно для k > 1 ii покажем, что тогда (шо справедливо п для k + 1. Пусть v1,...,vk- набор попарно дизътоиктиых осколков элемента v. для которых выполняется индукционное предположение, и пусть u = v - Fk=1 vi. Если найдутся взаимно дополнительные осколки u1 11 u2 элемента u такие. что ЦТи1 - Ти2Ц > f. то в катюство vk+1 возьмем элемент и В противном сдутые найдется осколок vio с поз юром 1 6 io 6 k такой, что существуют взаимно дополнительные осколки v1, и v20 элемента v.,, для которых выполняется неравенство \\Т(v10 - v2 )\ > е. Не уменьшая общности, можем полагать, что i0 = k. Согласно лемме 1 T является ушш оператором. Последнее означает, что для vk II для любого 5 > 0 найдутся взаимно дополпителвные осколки g ii h элемента, vk такие, что ЦТ(g - h)Ц < 5. Используя разложимости векторной нормы пространства V п лемму о двойном разбиении в векторной решетке (см. [12, п. 1.3.3.3]), найдем такие попарно дизъюнктные осколки g1. g2 11 h1. h2 элементов g ii h соответственно, что g = g1 t g2; h = h1 t h2; v1 = gx t h1; v2 = g2 t h2-

Кроме того, справедливы оценки

^{ЦТ (g}1 ^{+ h}1 ^{- g}2 ^- Ы^Ц = ^{ЦТ (v}1 ^{- v}2^)Ц > ^е;

^ЦТ(g1 ⁺ g2 ^- h1 ^- h2^)Ц = ^ЦТ(g ^{- h)}k <  ⁵

Далее имеем е 6 ЦТ(g1 + h1 - g2 - h2)k = ЦТ(g1 + g2 - g2 + h1 - h1 + h1 - g2 - h2)k

6 ЦТ (g1 + g2 - h1 - h2)| + 2ЦТ(h1 - g2)Ц <5 + 2ЦТ(h1 - g2)|;

е 6 kT (gi + hi - g2 - h2) k = ]|T(gi + hi + h2 - h2 - g2 - gi + gi - h2)k

6 kT(hi + h2 — gi - g2)k + 2|T(h2 - gi) k <  5 + 2kT(h2 - gi)k;

Отсюда в силу произвольности 5 > 0 получаем, что kT(h2 - gi)k > f; kT(hi - g2)k > f.

Положим uk = h2 + gi;  uk+i = hi + g2;   uk = h2;  uk = gi;  uk+i = hi;  uk+i = g2.

Тогда v_i, ... ,v_k-i,u_k, u_k+i - набор попарно дизъюиктиых осколков элемента v. обладающих требуемыми свойствами, и справедливость индукционного перехода, установлена. Положим Zv = ^{u-w : u,w Е (F )_v, u ± w^}. I leno .тьзуя C-компактность оператора T. получаем. что Kv := T(ZJ-компактное ползиюжеетво. Положим B = ^{x Е X : |x| < ^f}-B силу компактности множества Kv найдутся номер n Е N и окрестиость нуля B_i в X такие. Tito Kv + B_i с nB.

Возьмем теперь окрестность нуля H С B и коночный набор xi,...,xm элементов множества Kv таких, что nH С Bi и Kv С Um^xi + H)• Пусть, кроме того, l = nm Согласно вышеприведенным рассуждениям найдется набор vi,...,vl попарно дизъюнктных осколков элемента v 11 набор пар vii,vi2 взаимно дополнительных осколков элементов vi. г.те 1 6 i 6 l. тако!i что ||T(vi1 - vi2)k > f. 1 6 i 6 l. Так как {T(vi1 - vi2) : 1 6 i 6 mn} С Um=i(xk + H), то найдется номер k0 6 m такой, что card {i 6 l : T(vi1 - vi2) Е xk0 + H} > n. Без ограничения общности можем полагать. ттто T(vi1 - vi2) Е xk0 + H для любого 1 6 i 6 n. Так как ||T(vi1 - vi2)k > f-H С B = lx Е.X : kxk < -}T0 kxk0k > f’ откуда следует’ что xk0 Е B Пусть те" перь h = 52i=i(vi1 - vi2)- Так как осколки vi попарно низъюнктны. то h Е Zv. Пусть x = Th = pn=i T(vi1 - vi2) Е Kv- Далее имеем x Е nxk0 + nH С nxk0 + Bi .

Тогда nx_k0 Е Kv - B_i = Kv + B_i С nH ii отсюда выводим, что x_k0 Е H. Получили противоречие. B

Следующее вспомогательное утверждение хорошо известно (см. [2, лемма. 10.20]).

Лемма 3. Пусть (xi)П=₁ — семейство векторов конечномерного нормированного пространства X ii mлть (Ai)ⁿ=_i - набор действитель iibix чисел такой, что 0 6 Ai 6 1 для любого 1 6 i 6 n Тогла существует na6oi> лействптслышх чисел №)^п__г где 9i Е {0,1}. такой, что

X(Ai - 9i)xi 6 dim(X) max kxik. 2 i i=i

Лемма 4. Пусть V — пространство Банаха — Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой E. X - банахово пространство. S : V ^ X - лииейпвш узкий оператор п T : V ^ X - (Ьо)иепрер bibiibih. С-компактивш оператор конечного ранга. Тогда оператор R = S + T также является узким.

C Возьмем пропзво.тьиый элемент v Е V и е > 0. Применяя лемму 2. можно найти такое разбиение v = Un=i vi элемента v на дизъюнктные осколки, что для любой пары vl,v2 взаимно дополнительных осколков элемента, vi выпо.тияется kT(vi1 - vi2)k < 2жДТ(у)) •

1 6 i 6 n                                     S                       vi пару взаимно дополнительных осколков ui,wi такуто, что ||S(ui — wi)| < ^i+T, 1 6 i 6 n Положим xi = T(ui — wi). 1 6 i 6 n. ii пусть Ai = 2 для лтобого 1 6 i 6 n. Согласно лемме 3 можем записать

n

£ (Ai — 9i)xi i=1

n

αixi i=1

dim (T (V ))

max |xi| < у ^ i             4

n

αixi i=1

ε

< 2 ’

где ai E {—1,1} для лтобого 1 6 i 6 n. Тогда сутпеетвует pазбнепне множества {1,..., n} на. два. дизъюнктных подмножества. In J такие, что ai = 1. i E I, п ai = — 1. i E J. Положив u = | | Ui t Ц wi, w = |_| Ui t Ц wi, i∈I i∈J              i∈J i∈I получаем

\R(u — w)\ = \(S + T )(u — w)\ 6 \\S(u — w)\ + \\T(u — w)\

£ Sui + £ Swi — £ Sui — £ Swi i∈I         i∈J         i∈Ji

+

S ( ui — wi ) +     S ( wi — ui )

i∈Ii

+

£ Tui + £Twi — £Tui — £Twi i∈I         i∈J          i∈Ji

X T (ui — wi) — X T (ui — wi) i∈Ii

n

S(ui i=1

-

w i

)+ i=1

α i x i

n

εε

2i+1 + 2

i=1

< ε.

u w v B

Сформулируем теперь основной результат.

Теорема 1. Пусть V — пространство Банаха — Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой E. X - банахово пространство. S : V ^ X - линейный узкий оператор п T : V ^ X - (Ьо)непрерывпый С-компактшяй оператор. Тогда оператор R = S + T также является узким.

C Банахово пространство X мы можем рассматривать как замкнутое линейное подпространство банахова пространства U(B_X? ) функций, ограниченных на компакте. Это можно записать в виде цепочки вложений:

X^ X?? ^ U(Bx?), где под символом ^ мы понимаем изометршюскоо вложение, а через BX? обозначается единичный шар банахова пространства X?. Известно, что если H - предкомпактное подмножество U(D) для некоторого бееконенного множества Ппе> 0. то сутпеетвует оператор копенного ранга R E L(U(D)) тако!1. что |x — Rx| 6 е для любого x E H [2. лемма. 10.25].

Возьмем произвольный элемент v E V ii е > 0. Так как T - это C-компактный оператор. то K = T(Fv) - предкомпакт!же множество в X п. с.тедовате.твно. в U(BX?)- Тогда найдется линейный непрерывный оператор конечного ранга R E L(l^(BX?)) такой, что ||w — Rwk 6 2 для лтобого w E K. Ясно, что G = R ◦ T - липсйный (Ьо)-попрорывпый C-компактный оператор конечного ранга. Согласно лемме 4 найдутся взаимно допол-нпте.твные осколки v1,v2 элемента v такие. что |(S + G)(v1 — v2)| < |. Окоичатолвио имеем

||(S + T)(v1 - v2)k = kS(vi - v2) + T(vi - v2) + G(v1 - v2) - G(v1 - v2)k

6 ||^{(S +} G⁾⁽v1 ^- v2^{)k +} ||T⁽v1 ^- v2) ^- G⁽v1 ^- v2^)k < j + kT(vi - V2) - R(T(vi - V2))k 6 j + j = e ▻

Замечание 2. Отметим, что теорема 1 не выводится непосредственно из леммы 2, без использования леммы 4, в силу того, что размерность пространства образов оператора T должна, быть постоянной величиной, так как она. задает исходную оценку, относительно которой подбирается требуемое семейство попарно дизъюнктных осколков.