О существовании базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (d2)

В 1970 г. А. Пелчинским была, сформулирована, гипотеза, о существовании базиса, в дополняемом подпространстве ядерного пространства. Фреше с базисом [15]. В силу теоремы Дынина - Митягина, об абсолютном базисе [16] эта. гипотеза, эквивалентна, утверждению о том, что дополняемое подпространство пространства. Кёте тоже является пространством Кёте. До сих пор эта. проблема, остается открытой, хотя она. была, положительно решена, для многих частных случаев. При этом применялся интерполяционный метод Митягина. - Хенкина [13] и метод декомпозиции Фогта. [17]. Также при различных дополнительных условиях на. матрицу Кёте, либо на. дополняемое подпространство, это задача, решалась в [7] и [8] (см. также [10] и [9], где изучались близкие задачи).

В настоящей работе дано доказательство существования базиса, в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (d₂). Доказательство основано на. использовании интерполяционных свойств троек нормированных конусов вида. (Q П с⁺ (a₀),c+(ai ),Q П c⁺(a)), где Q - конус в пространстве всех числовых последовательностей.

В первой части работы сообщаются необходимые определения и результаты (подробно постановка, задачи теории интерполяции линейных операторов, ограниченных на. конусах, представлена, в [5]). Во второй части - приведены основные сведения из теории базисов в пространствах Фреше и доказательство основного результата. Техника, доказательства. опирается на. использование интерполяционных свойств операторов, ограниченных на. конусах в банаховых пространствах числовых последовательностей, сходящихся к нулю с весом, а. также на. метод «тупикового» пространства. Б. С. Митягина.

В статье будут использованы следующие обозначения: ш - линейное пространство всех числовых последовательностей, у — линейное пространство всех финитных числовых последовательностей, с₀ — линейное пространство всех сходящихся к нулю числовых последовательностей. ш⁺. у⁺. с^ - конусы пеотрпцателыпдх последовательностей в ш.

^, со соответственно, l2(ar) — гильбертово пространство числовых последовательностей, наделенное нормой

∞ kxkl2(a2) = llxkr

Ix(n)l²a2(n), n=1

со (ar ) ^— банахово пространство числовых последовательностей, сходящихся к нулю с весом (ar (п))П=1 С ш+, наделенное нормой

IMU(ar) = |x|r =sup |x(n)K(n). n ∈ N

• 1.    Некоторые сведения из теории интерполяции линейных операторов, действующих в банаховых пространствах

В данном параграфе используется терминология теории интерполяции линейных операторов, подробное изложение которой можно найти в [1] и [12].

Подмножество Q линейного пространства E называется конусом, если для любых x,y Е Q. X > 0 нмссм: x + y Е Q. Xx Е Q. Конус Q в E называется ооспроизоодянуим. если его линейная оболочка span{Q} совпадает с E. Конус Q в линейном топологическом пространстве E называется тотолъннм. если его линейная оболочка плотна, в E. Конус Q в нормированном пространство E называется песплют,синим. если существует константа с >  0 такая, что для любого x Е span{Q} найлстоя y,z Е Q такие, что x = у - z, kyk 6 ckxk, kzk 6 ckxk- Наименьшая из таких констант называется константой несплюнуенности конуса Q и обозначается через y(Q)-

Пусть E. F — нормированные пространства ii T : E щ F - линейный оператор, ограниченный на элементах несплющенного конуса Q С E :

• kTxkF 6 C kxkE, X Е Q.

Тогда оператор Tограничен на п<^пространстве span{Q}. Действителыю. если x = у-z. где y,z Е Q kTxkF 6 kTykF + kTzkF 6 CkykE + CkxkE 6 2 • Cy(Q)|x|e.

Рассмотрим пример несплющенного конуса, который понадобится нам в дальнейшем. Пусть B : E щ E- положительный оператор, действующий в банаховом пространстве числовых последовательностей с монотонной нормой E (т. е. ||x|| 6 kyk при |x| 6 |у|, см. [2]) II kBk 6 щ Введемi конус Q(B) = {x Е E ⁺, x >  Bx}. В данном случае в силу бпектпвностп B конус Q(B) является воспроизводящим (т. с. span{Q(B)} = E). Дей-ствпте.тыю. посколвку для любого у Е ш справедливо разложение у = у₊ - у-, где

У+ = max(y(n), 0), у— = max(-y(n), 0),

ТО x = (I - B)-1((I - B)x)+ - (I - B)-1((I - B)x)-.

я™.,. .,r<> (/ - ^B)-1((I - B^)x)± ^{Е Q(B)}. При «..М, шиттьку B(I - B)^-1Л 6 2. k(I - B )k 6 2. ii. в Сиям MoiioT oiiiioctu нормы, k((I - B)x)±k 6 k(I - B )x| - справеллива оценка

k(I - B)^-1((I - B)x)±k 6 2k(I - B)xk 6 4kxk, x Е E.

Следовательно, конус Q(B) является несплющенным с константой несплющенности, не превосходящей 4.

Пусть A и B - отделимые вещественные линейные топологические пространства, E = (E0 , E1). Е = (Е₀,Е1) - баиаховы пары. Ei С A. Fi С B 11 Qi - конусы в пространствах Ei (i = 0,1). В этом случае бз-дем говорить, что Q = (Q₀,Q1) - пара конусов в банаховой паре E. Конго Q в пространство A называется промежлщюжшм. для пары Q. если

Qo n Qi С Q С Qo + Qi.

Пусть банаховы пространства E и Е являются промежуточными пространствами банаховых пар E II Е. причем башшова тройка (E0,E1 ,E) интерполяционна относительно банаховой тройки (Е0 ,Е1 ,Е). Пз-сть T : E0 + E1 -^ Е0 + Е1 - непрерывный линейный оператор. Если T|Qi : Qi -^ Еi 11 kTxkFi 6 MikxkEi Щhi x G Qi. то будем говорить, что T - ограниченный оператор из пары нормированных конусов Q = (Q0 ,Q1) в банахову пару Е = (Е0 ,Е1). Пусть, конус Q С E п является промежуточным для пары Q. Если существует постоянная с = c(Ё,F;Q,E,Е,^) > 0 такая. что T |Q : Q -^ Ен kTxkF 6 сmax{Mo,M1}||x||E пpn x G Q,                   (1-1)

то будем говорить, что тройка конусов (Q0,Q1 ,Q) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Е₀,Е1,Е).

Пусть теперь задано семейство троек конусов м = {(Qa ,Qa ,Qa )w, где A - некоторое множество iiидексов. Пусть семейство M удовлетворяет условиям:

• 1)    для любого a G A справедлив!>i вложения Q^a С E0. Q^a С E1. Q^a С E. причем конус Q^a - промежуточный конус для пары Qa = (Q^a,Q^a):

• 2)    для любого a G A тройка №Q^a,Q^a) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Е₀,Е1 ,Е ).

В этом случае будем говорить, что семейство M обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Е₀,Е1 ,Е ). При этом постоянная {с = c(E,F,Q^aE,Е,Q^a)} в неравенстве (1.1), вообще говоря, зависит от выбора тройки (Q^a,Q“Q^a) из семсйства M. Если для всех троек конусов из M может быть выбрана одинаковая интерполяционная постоянная с = c(E,F,E,Е ), то будем говорить, что семейство M обладает равномерным интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Е₀ ,Е1 ,Е).

Для доказательства, основного утверждения нам понадобится следующее хорошо известное (см. [1, 14]) условие интерполяционное™ тройки (c0(a0),с0(a1),c0(a)) по отношению к банаховой тройке (с0(a0),c0(a1 ),с0(a)):

a0

• a = a1h       , b = b1h,

a1

тле h : R⁺ ^ R⁺ - квазивогнутая (функция.

В частности, для проверки интерполяционности достаточно установить справедливость неравенства

b(m)            Г bo (m) bi(m) )

—— 6 C max ,      .

a(n)               ao(n) b1(n)

Следующая теорема играет важную роль при доказательстве основного результата. Укажем предварительно, что подмножество A упорядоченного пространства E называется нижней полурешеткой, если min(x, y) G A для любых x,y G A.

Теорема 1.1. Пусть Ei = сДоД F = co(bi ) (i = 0,1). E = сДа) F = сДЬ), причем Е₁ С E С E_o. F С F С F_o. и oanaxoва тройка (E_o,E₁,E) обладает пптерполяппошшм свойством по отношению к банаховой тройке (F_o, F₁ ,F ). Пу-сть A - множество конусов в ш⁺ такое, что лля каждого Q G A выполняются условия:

• 1)    Q - нижняя полурешетка в ш;

• 2)    Q П E+ - тотальнып конус в c_o(a₁ );

• 3)    Q П Б- содержит последовательность, все члены которой положительны.

• 2. Основная теорема

Тогда каждое из семейств троек конусов

L = { (E_o⁺ ,Q П E+,Q П E⁺) : Q G A } ,

и

M = {(Q П E+,E+,Q П E+ ) : Q G A} обладает равномерным интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (co(bo),co (bi),co (b))-

Доказательство данной теоремы, а. также подробное изложение постановки задачи теории интерполяции на конусах можно найти в [5].

Пространством Фреше называется полное метризуемое линейное локально выпуклое пространство. Важнейший класс пространств Фреше - счетно-гильбертовы ядер-ные пространства Кёте числовых последовательностей. Пусть E = Tr>1 Hr, г де Hr = l2(ar(n)) - пространство Кёте, топология которого задана счетным набором гильбертовых норм {k • kr}~р kxkr = t

∞

|xn|²a2 (n),    Г = 1, 2,...

n=1

Матрицу (ar(n)) всегда можно ечитать монотонной по r : ar+₁(n) >  ar (n). Как известно [3], условие ядерности пространства E имеет вид

∞ ar (n)

(vr) (з s(r))    2^ —< +то .

П=1 as(r)(n)

Базисом в пространстве E называют спет ему элементов (x_n)^=₁ и в E такую, что каждый элемент x G E однозначно представим в виде

∞

X =    хП(х)хп, n=1

где хП(х) — числа.

Если при этом ряд P2=1 xn(x)xn сходится абсолютно, т. е.

∞

X |xn(x)|kxnkr < Х- n=1

для всех г, то б азис (х_п)П=1 называют абсолютным.

Аналогично, если ряд (Д^=1 хП(х)хп сходится к x безусловно, т. е.

∞ x = 52x^(n) (x)x^(n) n=1

для любой перестановки (биективного отображения) ст : N ^ N, то б азис (х_п)П=1 называют безусловным.

Последовательность (xn )^ простраиства Фреше E называется правильной в смысле Драгилева, если для некоторой определяющей системы преднорм (|*|)?° в E выполняются неравенства, (полагают 0/0 = 0

|^Xn|p > -hn+b

I I > I I , n, p ^{1 2}, . ..

|xn |p+1    |xn+1|p+1

Матрица Кёте (ar (n)) называется правильной в смысле Драгилева, если

(V г) (3 s = s(г))     a r ⁽n\ ; 0 npun -X. r = 1, 2,...

^as(r) ⁽ⁿ⁾

Без ограничения общности можно считать, что s(r) = г + 1 (этого всегда можно добиться, переходя к эквивалентной системе норм). Пространство Фреше с правильным базисом изоморфно пространству Кёте с правильной матрицей.

Пространство Кёте E с правильной матриц ей относится к классу (d1 ). если

(Vг) (3 s = s(г)) (c = с(г) > 0) (a2(n) 6 c(г)a₁(n)a_s(г)(n)).

Пространство Кёте E с правильной матрицей относится к классу (d₂). если (Vг) (3 s) (Vq) (3 c = c(г,q) > 0) (ar(n)aq(n) 6 c(г,q)a²(n)).

Классы (d1) и (d2) были введены M. M. Драгилевым [4] в связи с изучением локально выпуклых пространств аналитических функций. Типичными представителями пространств классов (d1) и (d2) являются пространство целых функций и пространство функций аналитических в круге с топологией компактной сходимости соответственно.

Пусть E С (d₂) - ядерное пространство Кёте ii F С E - его дополняемое подпространство. Покажем, что в пространстве F существует абсолютный базис и, следовательно, оно изоморфно пространству Кёте числовых последовательностей. Так как E С (d2 )• то

(Vг) (3 S1(r)) (Vq) (3 c(г,q) > 0) (ar(n)aq(n) 6 c(r, q)a21 M(n)).

В силу ядерности E имеем

^{(V г) (3} Щш ^X ar^ . < ^+X). V n=1 aS2(r)⁽ⁿ⁾

Пусть s(r) = max{s!(г), s2(г)}. Тогда условия, приведенные выше, можно записать в виде ar (n)aq(n) 6 с(г, q)as(r) (n)

∞

X n=1

ar (n) as(r) ⁽ⁿ⁾

< +X.

Кроме того, без ограничения общности можно считать, что s(r) = r + 1. Итак, пусть

(V^{r) (3} c(r,q)) ⁽ar⁽ⁿ⁾aq (n) 6 c⁽r,q^)ar₊₁⁽ⁿ⁾⁾

(2.1)

И

∞

X n=1

ar (n) ar+1 (n)

< +to,

r = 1, 2,...

(2.2)

Отметим также, что функцию c(r, q) можно считать в взрастающей по r и q, так как в противном случае можно перейти в оценке (2.1) к функции

c(r, q) = max c(r,q'Y

16r06r I6q06q

Из условия ядерности следует, что системы 12-норм и соответствующие системы sup-норм являются эквивалентными [3]. Отметим, что это утверждение в нашем случае легко выводится непосредственно из условия (2.2), причем справедливы оценки

|x|r 6 kxkr 6 N(r)|x|r+1, где kxkr =

∞

X |xn|²ar(n), n=1

|x|_r = sup ar (n)|x(n)|. n ∈ N

С помощью диагонального преобразования можно добиться выполнения условия a1(n) = 1. В дальнейшем будем предполагать, что это преобразование выполнено.

Теорема 2.1. Пусть E С (d₂) - ядерное прос■трапство Кёте. F С E - пополняемое подпространство в E. Тогда F имеет абсолютивн! базис.

C Введем обеезнанення: Hr = 12(ar (n)). Gr = co(ar(n)). Toгда E = T_r>1 Hr = T_r>1 Gr. причем G1 D Gr D Gr+1. H1 D Hr D Hr+1.

Пусть P - непрерывный проектор в E такой, что F = P (E). Так как E - пространство с абсолютным базисом (из ядерности E и теоремы Дынина - Митягина [16] следует, что всякий безусловный базис в E является абсолют! ibim). то оператор |P| : E -^ E также непрерывен. Здесь |Р| - модуль оператора P в смысле теории векторных решеток [2]. Если (pij ) - матрица P в базисе (ei)i=₁, то (|pij|) - матрица |Р| в этом же базисе. За-

|P|

(Vг) (3s(r)) (C1(r) > 0) k|P|xkr 6 C1(r)|x|s(r).

(2.3)

(2.4)

Заметим, что из (2.3) следует kPxkr 6 С1 (r)|x|s(r).

Функции C1(r) 11 s(r) в (2.3) ii (2.4) можно с^тштать монотонными по г. Кроме того, без ограничения общности можно принять, что s(r) = r + 1.

Переход к эквивалентной системе норм вида

|х|Г = a(r)|x|r, ||xkr = a(r)kxkr не меняет условий на матрицу Кёте (так как это соответствует замене ar(n) ^ a(r)ar(n)). Выбирая последовательность a(r) t ^ из условия

C1(r)

a(r) a(r + 1)

6 2,

можно добиться выполнения неравенств k|P 1кГ 6 2 |х|Г+1, r = 1,2,...

Будем считать, что это преобразование выполнено, т. е.

k|P|xkr 6 2 |x|r+i, r = 1, 2,...,                              (2.5)

и, соответственно, k|P|kco(ar+1)—>12(ar) 6 2, r    1, 2, " " "

Определим весовое «тупиковое» гильбертово пространство H_L и пространство Gl 0 = c₀(a²_{oo 0}(n)) так, чтобы Gl 0 С Hl С Hr для любого r и oneратор |Р| непрерывно действовал из G_l , ₀ в H_L. Пусть a_L , ₀(n) = ^р^1 Yr ar (n), где последовательность {Yr} будет выбрана, ниже.

Так как ar(n)aq(n) 6 c(r, q)ar+1 (n), to

∞∞ ar (n) ^Yqaq(n) 6 I ^YqcOr^ I ar+1(n).

q=1             q=1

Выберем Yq так. чтобы

∞

52 Yq c(r,q) < +^, r = 1, 2,...

q=1

^ПУ^СТЬ Yq = 2qc(qq)- Так как crq) 6 1 щ: hi q > r. to

∞∞ c'(r) = X Yqc(r, q) = X 2q • Irq) < x, r =12,... q=1             q=1         ,

Таким образом, ar(n)a^ ,a(n) 6 c'(r)ar₊₁ (n) (V n).                             (2.6)

Итак, путь G^,a = co(aL,a(n))-

H∞

∞ llxkH^ = kxkL = X ⁵2 ^kx^k2, r=1

где {dr}r=1 - некоторая числовая mх'ледователыюсть. Тогда H_L = l₂(a_L), где

∞ aL(n)   5 v dr ar (n) .

r=1

Выберем эту последовательность так, чтобы оператор T = |Р| непрерывно действовал ^П3 G^L,^{0 В} H^L'

Так как Gl ,0 С Hr для люоого r. то

||xkr 6 D1 (r)kxkGM,o, r = 1, 2,..., следовательно, k|P|xkr 6 DMO x g.^,, r = 1, 2,...

Функцию D(r) будем считать возрастающей,^принимающей значения, не меньшие 1 (в противном случае можно перейти к функции D(r’ ) = max {1,D(r)}). Далее, полагая 10

52 = min {Y2, ₂ r D 2 _{( r )} }• получим

∞∞

1ГIxkH^ 6 E^2klP|xk2 6 E^2D2(r) INlG^o 6 INlG^o-        (2.7)

r=1               \r=1         /

Введем еще одно пространство G^ = co(a^), определяемое нормой kxkG^ = |xU = sup a^(n)|x(n)|.

Яси», что G„s С Н^ С С„ С Hr 1МД xk. 6 кЩ,. Заметим также чт.. a^(n) 6 a^,o(n) Лля всех n в силу выбора 5r. Следовательно, учитывая (2.6), ar(n)a^(n) 6 c0(r)ar+1(n).

(2.8)

Покажем, что для любого r оператор Jr = ap¹ непрерывно действует из G^,o в С^. Действительно,

||-^д¹ x|G 6 IK+1 x|g^ =sup ar+1 (n)a^(n)|x(n)|

(2.9)

• ⁶ c^0(r + ¹⁾sup ar+2^{(n)|x(n)| 6} Y-²c^0(r + ^1)sup^aL,o^(n)|x(n)| = M (^r)kxkG»,0, n ∈ N                            n ∈ N

"" M(r) = ^Y-2c (r ^{+ 2)}.                                              ........

Пополним линейное многообразие L = {Px : x G G^} по нормам k • ||_r и k • k^-

Fr F∞

F1 D Fr D Fr+1 D F^.

Пусть {fk}“ 1 - «общий» ортогональный базис пространств F1 и F^. Для определенности будем считать его нормированным в F1. Докажем, что {fi}^ - абсолютный базис в F = Tr>₁ Fr. Пз-сть E = (ei). г де Ei G {±1} iin G N. Введем операторв:

n

Pn,£X = X Ekfk (Px)fk, k=1

где fk(x) = (fk,x)H1. По известному критерию безусловной базисности [4] последовательность {fk}“ 1 будет безусловным базисом в F, если {Pn,e} - равностепенно непрерывное семейство операторов в E (так как ряд р“ 1 fk(f )fk’сходится к f при f G F^ 11 F^ плотно в F). Taiс как {fk})Д1 — ортогональный базис ii в F1. ii в Fro. то kPn,exk1 6 kPxk1,     ||Pn,exk^ 6 kPxk^

(2.10)

Так как ||Pxkr 6 D0(r)|x|^. г„до D0(r) — некоторая постоянная, то kPn,£xkr 6 D (r)|x|^ Щ )II x G G^.

Далее, вводя оператор |Р|, из (2.10) получим ||Pn,exk1 6 || |P|x|1, если x Е д'. так ^ kPxk, 6 НИЩи,rnx Е Щ r∈N ar (n)      , ar+1 (n) Е 1.

Для любого у Е E имеем

∞

E ar (n) ( ar+1(n) ---77  7-7 Mn) ar+1⁽ⁿ⁾ V ar⁽ⁿ⁾

kyk1 = |у|12 6 Cokykli = C«E |y(n)l n=1

∞

Co X

n =1

ar (n) ar+1(n)

a _r +1 ( n )

• sup |y(n)|---—— ar (n)

C (r)

ar +1

y ar

= C (r) l _∞

ar+1 a _r

Используя это неравенство, получим

|Pn,exk1 6 C1(r)

| P | x r

x Е y+.

Так как ЦхД > |x|1- to

|Pn,ex|1 6 C1(r)

ar+1 |P |x a r

Таким образом, существуют постоянные C1 (r), C₂(r) такие, что

|Pn,ex|1 6 C1(r)

ar+1 |P|x a r

,

^|Pn,e^x|r 6 C2(r)^|x|^- x ^Е 7 •

| P |

Следовательно,

Введем операторы

Тогда из любого x

ar+1 |P |x

a r

Ar

= ^||P|x|r+1 ^{6 1 |x|}r+2 = ¹ r

ar + 1 |P l ar

ar

ar+2

x 6 ^|x|

r.

= Jr |P l Jr,

Jr

ar + 1      J/

,J ar       r

ar+2

x ar

ar

.

.

r

(2.11)

(2.11) следует, что |Arx|r 6 2|x|r. Е y+ справедливы неравенства

t. e.

^a r +2

|Ar HerMGr 6 j. Таким образом, для

|Pn,_eJrx|1 6 C1 (r)|Arx|1,   |Pn,_eJrx|_r 6 C2(r)\j'r x|^ 6 C2(r)|x|^.

Пусть

( Q^(N)x ) (n) = |

x(n), 0,

n = 1, 2,... ,N, n> N.

Положим с _ p   т0    CNN) _ c    ZN(N)     (N) _ Д ZN(N)

n,e,r — ¹ n,E^ur ,   ^Ajn,s,r — *-’n,s,r^Q    ,    r-r   — rQT Q    .

Тогда

|S-N,rx|i 6 CiMAN)x|i     прii всех x Е ш⁺,

S^rx|r 6 C2(r)|x|^        при всех x Е ш⁺ П G^.

Так как | • |_i - монотонная норма, то при x > A^)x > 0 справедтива опенка. AN)x|_i 6 |x|_r Рассмотрим в пространстве ш конус

Q n = {x Е ш⁺ : A^(N )x 6 x}-

Тогда.

| Sn^r x|_i 6 C₂(r)|x|1     при x Е Q_n П G⁺,

^M 6 C2(r)|x|^   при x Е G+ .

Покажем, что из этих неравенств следует ограниченность оператора S^r на элементах конуса Q_N П G+. Действительно.

|Sn^e,rx|_r-16 Cs(r)|x|r пр и x Е Q_n П G+ -

Чтобы убедиться в интерполяционности тройки (Gi ,G^,Gr) относительно тройки (G^Gr ,От-1) достаточно проверить выполнение неравенства ar-i(m)           L ar(m) 1

---—— 6 Cr max 1,--— > . ar (n)                  a^(n)

Пусть n > m. Из условия правильности, учитывая, что a_i (n) = 1 для всех n. получаем

1    6     1

ar-i (n)    ar-i (m) , откуда.

ar-i(m) 6 ar-i(m) 6 1 ar (n)      a_r-i(n)

m>n ar-i(m) 6 c ar(m) ar(n)       r a^(n)-

(2-12)

Действительно, в силу условия правильности, с учетом (2.8), полагая C_r = С (r —

будем иметь

ar-i(m) 6 ar (m)

ar-i(n) 6 с ar(n) ar (n)       r a^(n)^-

Покажем теперь, что выполняются условия теоремы 1.2. Рассмотрим оператор I — ArN ) : G_r ^ G_r . Поскольку ||А^) ||_Gr ^_Gr 6 2, то I — A^) биективно действует из G_r в G_r. Хсл овне x >  ArN )x равносильно тому, что x = (I — ArN ))^-ih. где h Е G+. Ядро оператора I — A^) : G_r ^ G_r состоит из нулевого элемента. Тогда ядро его сужения

I - ArN) : G^ щ G^ также состоит из нулевого вектора. Учитывая (2.9), (2.7), конечномерность оператора |P|JrQ⁽N) : G^,₀ щ G^, а также эквивалентность всех норм в конечномерном пространстве, имеем

KNMU = IJIPIJrQ^(N)*1к 6 M ИГIJrQ^(N )x^G^,0

6 M(r)C (N)ПIPIJ Q⁽N )x^G. 6 M(r)C (N)|Q⁽N^^ 6 M(r)C ²(N) ||x||g_ , где C(N ) - некоторая зависящая от N константа. Оператор ArN) : G^ щ G^ является непрерывным конечномерным и, следовательно, компактным. Тогда, к оператору I - ArN) : G^ щ G^ применима альтернатива Фредгольма, и потому его инъективность влечет биективность. В предыдущем параграфе было показано, что из биективности оператора I - ArN) : G^ щ G^ следует воспроизводимость конуса QN П G+. Ясно, что из биективности оператора I - ArN) : G^ щ G^ также следует наличие строго положительного вектора в QN П G+ .

Наконец. копте QN П G+ является нижней полурошоткой в ш. Действительно, пусть x,y G Q n П G+. т. с. y >  ArN) y. y >  ArN)y. В снят положительности оператора ArN) (именно. ArN) > 0 щш x > 0) нмсем x > ArN) min(x,y). x > ArN) min(x,y). Откуда следует, что min(x,y) > ArN) min(x,y). Следовательно, для всех троек конусов из семейства {(QN П G+, G+ ,QN П G_r )}_N выполнены условия теоремы 1.1, и справедлива оценка

||snNN?rxH_r-1 6 Ca(r)kxkr, x G Q n П G⁺.

Поскольку оператор ArN) положителен, ||ArN) IG^Gr 6 2 и норма || • ||сг монотонна, то конус QN, как было показано в начале предыдущего параграфа, несплющен с константой несплющенности, не превышающей 4. Поэтому kSnNrxkr-1 6 8 • C3(r)|x|r, x G Gr.

Пусть C (r) = 8 • C₃(r). Переходя к пределу при N щ то, получим

^Sn,e,rx^r-1 6 C (r)|x|r, x G Gr, или

||Pn,_eJrx|r-1 6 C (r)|x|r, x G Gr .

Тогда.

|Pn,_exkr-1 6 C (r)|jr^-1 x|_r = C (r)

ar+2

x ar

= C (r)kxkr+2,

r

r

|Pn,_ex|r 6 C (r)|x|r+3.

{Pn,ε}                                                        E чит, {fk }^=1 - безусловный, а поэтом у и абсолютный (так как F - ядерно) базис в F. в

Утверждение о квазиэквивалентности [4] каждого базиса, в дополняемом подпространстве части абсолютного базиса, пространства. Фреше называют гипотезой Бессаги. В работах В. П. Кондакова, (см. [6, с. 52]) доказана, справедливость гипотезы Бессаги для пространств Кёте из класса (d2). Доказанная теорема позволяет немедленно сформулировать следующий результат.

Теорема 2.2. В любом дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (d₂) существует базис, квазиэквивалентный базису ортов.