О существовании локального решения задачи Коши-Дирихле для нелинейного уравнения Шредингера с запаздыванием временного аргумента

Нелинейное уравнение Шредингера описывает ряд явлений нелинейной оптики и моделей самосогласованного поля в квантовой механике. Этим уравнением описывается распространение электромагнитных волн в нелинейных оптических средах и в том числе явление самофокусировки [1, 9]. Наличие запаздывания в нелинейном уравнении Шредингера, обусловлено описанием некоторых моделей управления с обратной связью и запаздыванием сигнала [1]. С математической точки зрения это уравнение представляет интерес с точки зрения теории солитонов, обратной задачи теории рассеяния [11] и теории разрушения решений [5, 8]. Для теории разрушения решений интерес представляет тот факт, что локальное решение сохраняет Д2-норму на всем промежутке своего существования, но норма решения в пространствах Лебега с более высоким показателем суммируемости и его норма в пространствах Соболева неограниченно возрастают при приближении к конечной границе промежутка, существования решения.

В настоящей работе исследуется нелинейное уравнение Шредингера, аддитивно возмущенное нелинейным слагаемым с запаздыванием. В статье установлены условия на. нелинейное слагаемоес отклонением аргумента, при которых имеет место локальная однозначная разрешимость задачи с начальным условием, заданным на промежутке запаздывания.

Исследуем решение задачи с начальными условиями и граничными условиями Коши для дифференциально-разностного уравнения Шредингера, дополненного операторами сдвига временного аргумента неизвестной функции:

z^-n(t,x) = -^n(t, x) + |n(t,x)|^pn(t,x) + f(| Tu (t, x)|²) T n(t, x)+ ot           ox²

+f (|T-^n(t,x)|² ) T -_hn(t,x), (t,x) G (—һ, + to ) x (—1,1),                  (1)

где һ G (0, +to) ii операторы сдвига T^ отображают функции n : (— һ, +то) ^ Н в функции T ±h,n : (0, +то) ^ Н по следующему правилу:

T^n(t) = n(t — h), t G (0, +^o); T-^n(t) = n(t + h), t G (0, + to ).

Ставится задача найти решение дифференциаально-разностного уравнения (1), удовлетворяющего двум условиям:

начальному условию n|(-M) = V,                                        (2)

где v ~ заданная шi промежутке (—һ, 0) функция со значениями в пространстве Н. и граничному условию

n(t, — I + 0) = n(t, I — 0) = 0, t G (0, + to ).                           (3)

Относительно функции f : [0, +то) ^ R сделаем предположение, что существует такая константа к > 0. нто |f(s)| <  k\s\ 2 при всех s > 0.

Определение. Функцию n будем называть Н ^к-решением задачи (1) - (3) (к G N), если n G С ([0,Т),Н ^к Q L_p+2(—I, I)) и выполнено равенство

t

n(t) = е ^^ П о

-

V

о

e^-i(t-s) ^G n(s)ds, t G [0,Т).

где

G n(s, x) = |n(s, x)|^p n(t, x) + f (| T ^u(s, x) |² ) T ^n(s, x) +

+f(| T - _h n(s,x)|²) T _ _h u(s,x); (s, x) G (0, + to ) x (— 1,1).                   (5)

Согласно теореме вложения при всех к G N имеет место вложение Нк(—1,1) С С([—1,1\) и оценка llnllc([—z,z]) < СетЬІЫІпі.                                 (Emb)

Поэтому в определении решения условие n G С ([0, Т ), Н^к Q L_p+2(—^, 0) можно заменить на условие n G С ([0,Т),Н ^к ).

Докажем теорему о локальной разрешимости задачи с начальными данными (1) - (3), используя принцип сжимающих отображений и теорему вложения.

Теорема 1. Пусть v G С ([— һ, 0], Н 1) и ||vIc([-h,o],H1) = do- Тогда существует Т = Т(do ) > 0 такое, что на промеэюутке (—һ,Т) задача с начальными данными (1) - (3) имеет единственное Н^--решение.

Доказательство.

Обозначим через Уг банахово пространство (функций С ([—һ, Т],Н 1(— 1,1)). ^т1ерез Z^ (v) обозначим ограниченное выпуклое замкнутое подмножество пространства Уг, состоящее из таких функций n G Уг, которые удовлетворяют условию

^n(t) = ^v(t), ^ ^{t G [—һ}, ^{0];   |n(t)|}n¹< ^2|v|C((-h,o),n 1) V ^{t G [—һ,Т} ].

Выберем некоторое число Т >  0 и рассмотрим отображение Ф, сопоставляющее каждой функции u G Yr функцию в, определяемую равенством

t

B(t) = ( Ф u)(t) = e

"^ u(0) - i j

e^^l-8^Gu(s)ds, t G [0,Т);

B(t) = u(t), t G ( —h, 0). (6)

Для любого u G ЕДП) справедлива оценка

||е-ЙАи|Іы(R) < W9t9ІЫІМД), где q = ^-y, q > 2, Ө = | — 2. В частности, ||e—tAu||Li(fi) < V^HYl^t?) и ||e-'tAu|L2(7?) = IIuIIl2(B)-

Лемма 1. Если и G Y, mo в = Ф u G Y и справедлива оценка

|в|Ут < ||u||yT(1 + ТС(p, CEmb||u||yT, ||/||сф^Сд^ІЫү))), в которой константа является функцией трех неотрицательных аргументов и не зависит от величины Т.

Действителыю. если и G Y- то u(0) G Н¹ и. следовательно, первое слагаемое e^-ztAu(0)

лежит в пространстве С ([0,Т],Н ¹) 1i e 'Үщн ,.•;,/],_ні) = IMY < |и|у_т.

Операторы полугруппы e-ztA, t > 0, коммутируют с оператором дифференцирования, поэтому

t dxB(t) = e-tAdxu(0) — i J e-i(t-s^^dxGu(s)ds, t G [0, Т); 8xB(t) = dxu(t), t G (—h, 0). 0

dx G u(s) = gi dxu(s) + g2dxu(s) + gзТh(дxu(s)) + g4Тh(дxU(s)),              (7)

где gi,2,3,4 G С([0,Т],^ro(—M))- ибо dxGu(t) = \u(t, $)|p-2(uX(t, x)u(t, x) + u(t, x)ux (t, $))u(t, ж) + |u(t, $)|puX(t, ж) +

+/(| T ^u(t, x)\²)T_h(u'x(t, x))+T_hu(t, x)/‘(| T _h u(t, x)\²)(T_h(ux(t, x)u(t, x))+ T _h(u(t, x)ux(t, x))).

В силу непрерывной дифференцируемости функции / на промежутке [0, +то) и оценки

(Emb) функция Gu(s), s G [0,Т], лежит в пространстве С ([0,Т],Н¹) и справедлива оценка

^|Gu|C([0,r ],П 1) <  ^{С (}Р, СвтЬІЫІУт , ЦУ ^|С¹([0,С__БтЬһ«Ьн_т ))^|u|Yr.                ⁽⁹⁾

Из полученных оценок следует, что

^|в|Тт < ^|u|M_T^{(1 + ТС(}Р^,СЕтЪ ^|u|M_T , ЦУ ^|C¹([0,C_Bmbh«b:e_r)))

и, таким образом, доказано утверждение леммы 1.

Следствие 1. Существует такое Т1 > 0, что если Т G (0, Т1], то для любого u G Zr (u0)

выполняется условие Фu G Zr(u0).

Лемма 2. Пусть u₁,u₂ G Z_r (u). Тогда если / G С ²([0, +ro)) up G С ([—h, 0],Н¹), mo сухцествует постоянная С(p, p,/ ) > 0 такая, что

ЦФщ — Фu2Іyy, < ТС (p,p,/ )|u1 — u2|yy..                     (10)

Согласно (6) для любых и₁,и₂ G Z_t (и) справедливо равенство

t

Ф u₁(t)— Ф u₂(t) = г J e^—i(t-s)A( G u₂(s)- G u₁(s))ds, t G [0, T ); Ф и₁(£)— Ф и₂(€) = 0, t G (— h, 0). 0

Справедлива оценка sup ||Gu2(s) — ^1(Д||н < C(p,CEmb^u^YT, ||flie 1([0,CBmbh«bxr))) SUP HU2(s) — u1(s)IIh -sG[0,T ]                                                                                        1     sG[0,T ]

В силу унитарности операторов полугруппы e^-ztA, t > 0, справедлива оценка

^u1(t) — Фи2(t)|C([0,Т],Н) < T||Gu2(s) — GU1(S)|c([0,Т],Н), поэтому имеет место неравенство llФu1(t) — фu2(t)|c([0,т],н) < TK(p,p,f)|и2 -и1 Һүт-                 (13)

Так как операторы полугруппы e—dt—W, t > 0, коммутируют с оператором дифференцирования d_x, то

t фДФи1Д) - Фu2(t))= г У e-i(t-s)A(dж(Gu2(s)) - dж(Gu1(s)))ds, t G [0, T);

d_x( Ф u₁(t) — Ф u₂(t)) = 0, t G (—h,0).                           (14)

Оценим величину sup |дж(Gu2(s)) — 9$(Gu1(s))|h sG[0,T ]

с учетом вытекающего из теоремы вложения неравенства ||u₂(t, ж)—u₁(t,ж)|c([o,_T ],c([ - z,z])) < <  ^C Emb ||^и2⁽Л^{ж) — и}1^^,ж)||с([0,Т ],Н 1)-

Если функция f дважды непрерывно дифференцируема на промежутке [0, +то), то

||дx(Gu2(s)) — дж(Gu1(S))|C([0,Т],Н) <

• <    К⁽p,p^,f ДиД^Ж) ^{— U}1^(t,ж)|C([0,T],Н 1).

Поэтому в силу унитарности операторов полугруппы e^-ztA, t > 0, справедлива оценка

Il^дж^(фu1^{(t) — Фu}2^(t))|C([0,T],Н) <  ^T ||^дж^(Gu2⁽s)) ^{— д}ж^(Gu1⁽S^))|C([0,T],Н) <

• <    ^TK(Р,^Л ^)|u2^{(t,ж) — и}1Д^,ж)||ү-                          ⁽¹⁵⁾

Из полученных оценок следует утверждение леммы 2.

Следствие 2. Если f G C ²([0, +^)) и ^ G C ([—h, 0],Н¹), то существует такое T2 > 0, что для любого T G (0,T2) отображение Ф является сжимающим преобразованием замкнутого выпуклого множества Z t (Ф) в себя.

Положим ^0 = min{T1,T2}. Тогда в силу следствий 1, 2 и леммы 2 справедливо следующее утверждение.

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любого T G (0,^0] отображение Ф|^_т(^) имеет единственную неподвижную точку и G Z t (у).

Положим Ug(t) = p(0), t > 0; Ug(t) = p(t), t G [— h, 0]. Тогда пр и любом Т >  0 ng G Z_t (p) При любом Т G (0, Тг] определим поеледовательность { u„ } функций, определяемых реккурентно с помощью равенств

Uk = Ф^- і , к G N.                               (16)

Тогда для любого к G N в силу леммы 1 справедливо включение Uk G Z t (Ф), а в силу леммы 2 - оценка

Ш+і - Uk ||у_т<  ТС(p,p,f )^Uk — Uk-i||y_T, к G N.

Согласно следствию 3 последовательность итераций {uk } сходится к непродижной точке отображения Ф.

Единственная неподвижная точка U отображения Фі^ (Д является решением задачи с начальными условиями (1) - (3) на промежутке (— h, dg), причем в силу следствия 3 единственным решением задачи с начальными условиями (1) - (3) на промежутке (—h, dg) из множества Z^₀(p). Предположим, что существует решение U на промежутке (—h, dg), отличное от U и не лежащее в множестве Z^₀(p). Пусть d* = sup{t G (0,dg) : U(t) = U(t)}. Тогда если d* < dg, то существует s > 0 такое, что |U(t) \\_н 1 < 2 |U| [^* _-h,d*] ІУ V t G [d*, d* + s] и ||U(t)||#1 < 2|U| [^*_—^,^*] ||y V t G [d*, d* +s]. Поэтому на отрезке [d* — h, d* +s] для функций U и U выполняются условия U, U G Z _s (U | [^ * _- ^,^ * ]), и так как эти функции являются решениями задачи, то они являются и неподвижными точками отображения Ф|^_д(„|_[(г __ҺД ]), поэтому в силу следствия 3 они совпадают на отрезке [d*,d* + s]. А это противоречит определению d* и условию d* < dg. Поэтому U не может отличаться от U на отрезке [0,dg].