О существовании спорадического композиционного фактора, изоморфного J2, McL или HS, в конечных группах с условием на граф простых чисел

Кокликой графа называется его индуцированный подграф с попарно несмежными вершинами. Мощность (размер) коклики называется ее порядком . Максимальной кокли- кой называется коклика, которая не содержится в другой коклике. Пусть t(G) — наибольшее число вершин в кокликах графа GK (G). Через t(r, G) обозначается наибольшее число вершин в кокликах графа GK(G) содержащих простое число г.

В теории конечных групп популярным является направление исследования конечных групп по свойствам их графов простых чисел. Например, обзор результатов можно найти в [1].

• А. М. Старолетов в [2] изучил конечные простые группы со спектром как у конечной простой неабелевой группы, имеющие спорадический композиционный фактор.

Мы рассматриваем следующую более общую задачу: может ли конечная группа с графом простых чисел как у конечной простой неабелевой группы иметь композиционный фактор, изоморфный простой спорадической группе. В рамках этой задачи мы получили следующие результаты.

Согласно статье А. В. Васильева, Е. П. Вдовина [3], обозначим через s ^′ _n наибольшее простое число, не превосходящее n/2.

Далее q = p f , где p — простое число и f g N .

В теореме 1 мы рассматриваем конечные группы с графом простых чисел как у конечной простой группы и со спорадическим композиционным фактором, изоморфным J 2 .

Теорема 1. Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK (H ), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p f , где p — простое число и f g N , или знакопеременной группой A n , где n — s^ n С 3; S — спорадический композиционный фактор группы G, изоморфный группе J 2 . Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

• 1)    H g {L ₃ (q), U ₃ (q)} и q нечетно;

• ²⁾    H ^{g {} A 9 , A io , A i6 ^} ;

• 3)    H g {S 6 (2),O + (2)} и GK(H ) = GK J);

• 4)    H = U4(5).

В теореме 2 мы уточняем результат, полученный автором в [4].

Теорема 2. Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK(H), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p f , где p — простое число и f g N , или знакопеременной группой A n , где n ^ 11; S — спорадический композиционный фактор группы G, изоморфный группе J2; n(G) = n(S) U {r}, где r — простое число, r >  7. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

• (1)    граф GK(G) несвязен и H = и з (19);

• (2)    граф GK(G) связен и H = U 4 (5).

В теореме 3 мы рассматриваем конечные группы с графом простых чисел как у конечной простой группы и со спорадическим композиционным фактором, изоморфным McL .

Теорема 3. Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK (H ), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p ^f , где p — простое число и f g N , или знакопеременной группой A n , где n — s^ n С 3; S — спорадический композиционный фактор группы G, изоморфный группе McL. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

• 1)    граф GK ( G ) связен и H = A 16 ;

• 2)    граф GK (G) несвязен и H = L 6 (3).

В теореме 4 мы рассматриваем конечные группы с графом простых чисел как у конечной простой группы и со спорадическим композиционным фактором, изоморфным HS .

Теорема 4. Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK (H ), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p f , где p — простое число и f G N , или знакопеременной группой A n , где n — s^ n ^ 3; S — спорадический композиционный фактор группы G, изоморфный группе HS . Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

• 1)    H G {L ₃ (q), U ₃ (q)} и q нечетно;

• 2)    граф GK(G) связен и H = A 16 ;

• 3)    граф GK(G) несвязен и H = L6(3);

• 4)    граф GK(G) несвязен, H = U6(2) и G = HS.

В теореме 5 мы объединяем результаты теорем 1, 3 и 4 и описываем конечные группы с графом простых чисел как у конечной простой группы и со спорадическим композиционным фактором, изоморфным одной из групп J 2 , HS или McL .

Теорема 5. Пусть G —конечная группа с условием GK(G) = GK(H), где H является знакопеременной группой A n , где n — s^ n ^ 3, или конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p f , где p — простое число и f G N; S — спорадический композиционный фактор группы G, изоморфный J 2 , HS или McL. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

• 1)    H G {L3(q) U3(q)}, q нечетно и S G {J 2 , HS};

• ²⁾    H ^{G {} A 9 , A 10 , A 16 ^{} и S} = J2;

• 3)    H G{U4(5),S6 (2),O + (2)} и S = J2;

• 4)    H = A 16 и S G {McL, HS};

• 5)    H = L6(3) и S G {McL, HS};

• б)    H = U6(2), G = HS и S = HS.

• 2.    Вспомогательные результаты

Уильямс [5] и А. С. Кондратьев [6] получили описания связных компонент графов Грюнберга — Кегеля конечных простых групп. Уточненные таблицы можно найти, например, в [7]. Мы используем стандартные обозначения, которые можно найти, например, в [8].

Лемма 1 [9, теорема Жигмонди] . Пусть q и n — неединичные натуральные числа. Существует простое число r, делящее q ⁿ — 1 и не делящее q' — 1 при любом натура.льном i < n, кроме следующих случаев: q = 2 и n = б; q = 2 k — 1 для некоторого простого числа k и n = 2. Если такое r существует, то r = 1 (mod n).

Согласно [3], если q — натуральное число, r — нечетное простое число и (r,q) = 1, то через e(r,q) обозначается наименьшее натуральное число n с q n = 1 (mod r). Если q нечетно, то e(2,q) равно 1 при q = 1 (mod 4) и 2 при q = —1 (mod 4). Говорят, что простое число r с e(r,q) = n является примитивным простым делителем числа q n — 1. Через r _n (q) обозначается некоторый примитивный простой делитель числа qⁿ — 1, а через R_n(q) — множество всех таких делителей. По лемме 1 примитивный простой делитель r _n (q) существует, за исключением указанных в лемме 1 случаев. Если q фиксировано, то r _n ( q ) обозначается через r _n .

Лемма 2 [10, теорема 1] . Пусть G — конечная группа, удовлетворяющая условиям t(G) ^ 3 и t(2,G) ^ 2. Тогда выполняются следующие утверждения.

• (1)    Существует конечная неабелева простая группа S такая, что S ^ G = G/K ^ Aut(S) для наибольшей норма.льной разрешимой подгруппы K группы G.

• (2)    Для каждого независимого подмножества (коклики) р множества n(G) такого, что \р\ ^ 3, не более чем одно простое число из р делит произведение IK\-\G/S |. В частности, t(S ) >  t(G) - 1.

• (3)    Выполняется одно из двух утверждений:

• (а)    каждое простое число r G n(G), не смежное в GK(G) с числом 2, не делит произведение \K | • |G /S\; в частности, t(2,S) ^ t(2,G);

• (б)    существует простое число r G п(К), не смежное в GK(G) с числом 2; в этом случае t(G) = 3, t(2, G) = 2, и S = Alt7 или A i (q) для некоторого нечетного числа q.

Лемма 3 [5, теорема Грюнберга — Кегеля, Theorem A] . Для группы G с несвязным графом GK(G) верно одно из следующих утверждений:

• (а)    G — группа Фробениуса;

• (б)    G — 2-фробениусова группа, т. е. G = ABC, где A, AB — нормальные подгруппы группы G, а AB, BC — группы Фробениуса с ядрами A, B и дополнениями B, C соответственно;

• (в)    G является расширением нильпотентной ni(G)-группы посредством группы A, где Inn(P ) С A С Aut(P), P — простая неабелева группа с условием s(G) С s(P ) и A/Inn(P ) — П1(G)-группа.

Лемма 4 [7, лемма 1] . Если n ^ 6 — натуральное число, то существует по меньшей мере s(n) простых чисел p i таких, что (n + 1)/2 < p i < n, где

s(n) = 6 для n ^ 48,

s(n) = 5 для 42 С n С 47,

s(n) = 4 для 38 С n С 41,

s(n) = 3 для 18 С n С 37,

s(n) = 2 для 14 С n С 17,

s(n) = 1 для 6 С n С 13.

Лемма 5 [4, лемма 10] . Пусть R4(q) = {5}, где q = p m , p — простое число и m G N . Тогда q G {2,3,7}.

Лемма 6 [4, теорема 4] . Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK(H ), где H является знакопеременной группой или конечной простой группой лиева типа, S — спорадический композиционный фактор группы G, n(G) = n(S ). Тогда (H,S ) G {(A 9 , J2 ), (A 10 , J2), (A 16 ,Fi 22 ), (A 16 , Suz), (L2(11), M 11 ), (U 5 (2),M 11 ), (U 6 (2),HS), (S 8 (2),He), (O + (2),J 2 ), (S 6 (2),J 2 )}.

Лемма 7 [4, теорема 5] . Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK(H ), где H является знакопеременной группой или конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = pf, где p — простое число и f G N ; S — спорадический композиционный фактор группы G, изоморфный группе J2; n(G) = n(S ) U {r}, где r — простое число, r >  7 . Тогда выполнено одно из следующих утверждений:

• (1)    граф GK(G) несвязен и H G {L 2 (2401), L 2 (4801), U 3 (19), U(2), S 8 (2)};

• (2)    граф GK (G) связен и H G {L 4 (4),U 4 (5)}.

• 3.    Доказательство теорем 1 и 2

Пусть G — конечная группа с условием GK (G) = GK(H ), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = pf , где p — простое число и f G N , или знакопеременной группой A n , где n — s ^n С 3; S — спорадический композиционный фактор группы G , изоморфный группе J 2 .

По лемме 2 выполнено условие S С G = G/K С Aut(S) для наибольшей нормальной разрешимой подгруппы K группы G.

Докажем сначала теорему 1.

Теорема 2 следует из теоремы 1 и леммы 7.

• <1    Доказательство теоремы 1. Пусть H является знакопеременной группой. Так как n — s2 _n С 3, то t(2, G) ^ 2. Так как 2 • 5 6 w(S) С ш(Н ), то n ^ 9.

Если H 6 {A 9 , A io }, то получаем заключение теоремы 1.

Пусть H 6 {A 11 , A 12 }. По [7, табл. 1] граф GK(H ) несвязен. По лемме 3 подгруппа K нильпотентна. Так как 3 • 7 6 ш(Н ) \ w(S), то 3 6 п(К) или 7 6 п(К). Так как 11 6 п(К), то 3 • 11 6 ш(К ) или 7 • 11 6 ш(К ); противоречие.

Пусть H 6 {A i3 ,A i4 ,A i5 ,A i7 }. По [7, табл. 1] граф GK(H ) несвязен. По лемме 3 подгруппа K нильпотентна. Так как 5 • 7 6 ш(Н ) \ w(S), то 5 6 п(К) или 7 6 п(К). Так как 13 6 п(К), то 5 • 13 6 ш(К ) или 7 • 13 6 ш(К ); противоречие.

Если H = A 16 , то получаем заключение теоремы 1.

Пусть H = A n , где n ^ 18. По лемме 4 существует по меньшей мере 3 простых числа P i таких, что (n + 1)/2 < p i <  n. Так как n ^ 18, то (n + 1)/2 > 7, поэтому Р 1 ,Р 2 ,Р з > 7. Отсюда р1,р ₂ ,рз 6 n(H) \ n(S). Значит, р1,р ₂ ,рз 6 п(К). Так как {р 1 ,р ₂ ,р з } — коклика в GK ( H ), то получаем противоречие с леммой 2.

Значит, H — конечная простая группа лиева типа.

По [8] множество {2, 7 } — максимальная коклика в GK (S), содержащая 2. По [3, табл. 2] имеем t(S ) = 2, t(2, S ) = 2. По лемме 2 имеем t(H ) С 3, t(2, H ) С 2.

По [3, табл. 4-7] и [11, табл. 2-4] группа H — одна из следующих групп: L 3 (q), где (q- 1) з = 3, q + 1 = 2 k , L 3 (q), где (q —1) 3 = 3, q +1 = 2 k и q нечетно, L 3 (q), где (q —1) 3 = 3 и q +1 = 2 ^k , L4 (q), где (q — 1) ₂ =4 и q нечетно, L 5 (q), где q нечетно, L 6 (q), где q нечетно, U 3 (q), где (q + 1) 3 =3, q — 1 = 2 ^k и q нечетно, U 3 (q), где (q +1) 3 =3, q — 1 = 2 ^k и q нечетно, U 3 (q), где (q + 1) 3 = 3, q — 1 = 2 k и q нечетно, U ₄ (q), где (q + 1) ₂ =4 и q нечетно, U 5 (q), где q нечетно, U 6 (q), где q нечетно, O 5 (q), S ₄ (q) для q >  2, O 7 (q), где q нечетно, S 6 (q), где q нечетно, O+(q), где q нечетно, ³ D 4 (q), L 6 (2), L 7 (2), U 4 (2), S 6 (2), S e (2), O + (2), ² F 4 (2) ’ .

Если H — одна из групп U 4 (2), ² F 4 (2) ’ , то по [8] имеем n(S) С n(G); противоречие.

Если H = L 6 (2), то по лемме 2 и [3, табл. 4] имеем {2 , 31} = {2 , 7}; противоречие.

Пусть H = L 7 (2), то по лемме 2 и [3, табл. 4] имеем {2 , 127} = {2 , 7}; противоречие.

Если H 6 {S 6 (2), O+ (2)}, то GK(H ) = GK(J2) т. е. получаем заключение теоремы 1. Если H = S 8 (2), то по лемме 2 и [3, табл. 4] имеем {2 , 17} = {2 , 7}; противоречие.

Если H 6 { L 3 ( q ) , U 3 ( q )}, то получаем заключение теоремы 1.

• 1)    Предположим, что H = L n (q), где 4 С n С 6, q нечетно.

Пусть H = L 4 (q), где (q — 1) 2 = 4.

При 4 <  (q —1) 2 по [3, табл. 6] множество {2, r 4 (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Тогда по лемме 2 имеем {2,r 4 (q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие. При 4 >  (q —1) 2 по [3, табл. 6] множество {2,r 3 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда по лемме 2 имеем {2,r 3 (q)} = {2, 7}. Итак, R 3 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество { p, r 3 ( q ) , r 4 ( q )} — коклика в GK ( G ).

Если p 6 n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q 6 {2, 3, 7}; противоречие. Значит, p 6 n(S). Отсюда p 6 {3, 5}.

Пусть p = 3. Если f = 1, то R 3 (3) = {13}, но R 3 (q) = {7}; противоречие. Если f = 2, то R 3 (9) = {7,13}, но R 3 (q) = {7}; противоречие. Если f ^ 3, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t 6 R3 f (3) С R 3 (q); противоречие с тем, что R 3 (q) = {7}.

Пусть p = 5. Если f = 1, то R 3 (5) = {31}. Если f = 2, то R 3 (25) = {7, 31}. Если f ^ 3, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t g R3 f (5) С R 3 (q); противоречие с тем, что R 3 (q) = {7}.

Пусть H = L 5 (q). Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 5 (q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем r 5 (q) = 1 (mod 5); противоречие.

Пусть H = L 6 (q). При 2 = (q —1) 2 по [3, табл. 6] множество {2,r 5 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2,r 5 (q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем Г 5 (q) = 1 (mod 5); противоречие. При 2 <  (q —1) 2 по [3, табл. 6] множество {2, r 6 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2,r 6 (q)} = {2, 7}. Итак, R 6 (q) = {7}. По [11, табл. 2] множество {r 3 (q),r ₄ (q),r 5 (q)} -коклика в GK (G). Так как R 3 (q) С n(S) и R 5 (q) С n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 2)    Предположим, что H = U n (q), где 4 С n С 6 и q нечетно.

Пусть H = U 4 (q), где (q + 1) 2 = 4.

При 4 <  (q +1) 2 по [3, табл. 6] множество {2, Г 4 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2, Г 4 (q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие. При 4 >  (q + 1) 2 по [3, табл. 6] множество {2,r 6 (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2, Г б (q)} = {2, 7}. Итак, R 6 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {p,Г б (q),r 4 (q)} — коклика в GK (G).

Если p / n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q g {2, 3, 7}; противоречие. Значит, p g n(S). Отсюда p g {3, 5}.

Пусть p = 3. Если f = 1, то R 6 (3) = {7}. При q = 3 имеем (q +1) 2 = 4; противоречие. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t g R6 f (3) С R 6 (q); противоречие с тем, что R 6 (q) = {7}.

Пусть p = 5. Если f = 1, то R 6 (5) = {7}. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t g R6 f (5) С R 6 (q); противоречие с тем, что R 6 (q) = {7}. Итак, q = 5 и получаем заключение теоремы 1.

Пусть H = U 5 (q). По [3, табл. 6] и лемме 2 имеем {2,гщ(q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем r io (q) = 1 (mod 10); противоречие.

Пусть H = U 6 (q). По [3, табл. 6] множество {2,r 3 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда по лемме 2 имеем {2, Г 3 (q)} = {2, 7}. Итак, R 3 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {r 6 (q),r 4 (q),r io (q)} — коклика в GK (G). Так как R 6 (q) С n(S) и R io (q) С n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 3)    Предположим, что H g {O _{2 n +1} (q), S _{2 n} (q)}, где n g {2, 3} и q > 2.

Пусть n = 2. По лемме 2 и [3, табл. 4, 6] имеем {2, Г 4 (q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие.

Пусть n = 3 и q нечетно. При (q — 1) 2 =2 по [3, табл. 6] множество { 2,г з (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда по лемме 2 имеем {2, Г 3 (q)} = {2, 7}. Итак, R 3 (q) = {7}. По [11, табл. 2] множества {p, Г 3 (q),r 6 (q)}, {г з (q),r ₄ (q),r 6 (q)} — максимальные коклики в GK(G). Так как R 6 (q) С n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q g {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q = 3. Но R 3 (3) = {13}; противоречие.

При (q — 1) 2 > 2 по [3, табл. 6] множество {2, Г б (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Тогда по лемме 2 имеем {2,Г б (q)} = {2, 7}. Итак, R 6 (q) = {7}. Тогда по [11, табл. 2] множества {p,Г 3 (q),r 6 (q)}, {г з (q),r 4 (q),r 6 (q)} — максимальные коклики в GK(G). Так как R 3 (q) С n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q g {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q = 3, но (3 — 1) 2 = 2; противоречие.

• 4)    Предположим, что H = O+ (q), где q нечетно. По [11, предложения 2.4 и 2.5] имеем равенство графов GK (O 7 (q)) = GK (O + (q)). Как в пункте 3) получаем противоречие.

• 5)    Предположим, что H = 3D4 (q). По лемме 2 и [3, табл. 5, 7] имеем {2,r ₄ 2 (q)} = {2, 7}, но по лемме 1 имеем r i2 (q) = 1 (mod 12); противоречие. >

• 4.    Доказательство теоремы 3

Пусть G — конечная группа с условием GK(G) = GK(H ), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p f , где p — простое число и f g N или знакопеременной группой A n , где n — s2 _n С 3; S — спорадический композиционный фактор группы G , изоморфный группе McL .

По лемме 2 выполнено условие S С G = G/K С Aut(S ) для наибольшей нормальной разрешимой подгруппы K группы G .

Предположим, что H является знакопеременной группой. Так как n — s 2n С 3, то t(2,G) >  2.

Пусть H g {A 11 , A 12 }. Тогда n(G) = n(S). По лемме 6 имеем H g {A 11 , A 12 }; противоречие.

Пусть H g {A 13 , A 14 ,A 15 }. По [7, табл. 1] граф GK(H ) несвязен. По лемме 3 подгруппа K нильпотентна. Так как 3 • 7 g ш(Н ) \ ^(S ), то 3 g n(K) или 7 g n(K). Так как 13 g n(K), то 3 • 13 g u(K ) или 7 • 13 g u(K ); противоречие.

Если H = A 16 , то получаем заключение теоремы 3.

Пусть H = A n , где 17 С n С 20. По [7, табл. 1] граф GK(H ) несвязен. По лемме 3 подгруппа K нильпотентна. Поэтому 13,17 g n(H) \ n(S). Значит, 13,17 g n(K). Но 13 • 17 g w(K) \ ш(Н ); противоречие.

Пусть H = A n , где n ^ 21. По лемме 4 существует по меньшей мере 3 простых числа P i таких, что (n +1)/2 < p i < n. Так как n ^ 21, то (n + 1)/2 ^ 11, поэтому Р 1 ,Р 2 ,Р з > 11. Тогда p1,p ₂ ,p ₃ g n(H) \ n(S). Значит, p1,p ₂ ,p ₃ g n(K). Так как {p i ,p ₂ ,p ₃ } — коклика в GK ( H ), то получаем противоречие с леммой 2.

Значит, H — конечная простая группа лиева типа.

По [8] множество {2,11 } — максимальная коклика в GK(S ), содержащая 2. По [3, табл. 2] имеем t(S ) = 3, t(2, S) = 2. По лемме 2 имеем t(H ) С 4, t(2,H) С 2. По [3, табл. 4-7] и [11, табл. 2-4] группа H — одна из следующих групп: L n (q), где 3 С n С 8 и q нечетно, U n (q), где 3 С n С 8 и q нечетно, O 5 (q), S ₄ (q) для q >  2, O 7 (q), где q нечетно, S 6 (q), где q нечетно, O 9 (q), S 8 (q), O+(q), где q нечетно, O + ₀ (q), где q нечетно, O+2(q) где q нечетно, O - (q), где q нечетно, O - (q) где q нечетно, ³ D 4 (q), L 6 (2), L 7 (2), U 4 (2), S 6 (2), S ₈ (2), O+ (2), ² F 4 (2) ’ .

Если H — одна из групп L 6 (2), L 7 (2), U ₄ (2), S 6 (2), S 8 (2), O+ (2), ² F ₄ (2) ’ , то по [8] и [12] имеем n(S) <7 n(G); противоречие.

• 1)    Предположим, что H = L n (q), где 3 С n С 8 и q нечетно.

Пусть n = 3. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2 , r 3 ( q )} = {2 , 11}, но по лемме 1 имеем r 3 (q) = 1 (mod 3); противоречие.

Пусть n = 4. При 4 <  ( q — 1) 2 по [3, табл. 6] множество {2 , r 4 ( q )} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2,r 4 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие. При 4 >  (q —1) 2 по [3, табл. 6] множество {2 , r 3 ( q )} — максимальная коклика в GK ( G ), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2 , r 3 ( q )} = {2 , 11}, но по лемме 1 имеем r 3 ( q ) = 1 (mod 3); противоречие.

Пусть n = 5. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 5 (q)} = {2,11}, т. е. R 5 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множества {p,r ₄ (q),r 5 (q)}, {r 3 (q),r ₄ (q),r 5 (q)} — коклики в GK(G).

Если p / n(S), то R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}; противоречие. Значит, p Е n(S). Если R 3 (q) С n(S), то R 4 (q) = {5} и R 5 (q) = {11}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q Е {3, 7}. Так как R 5 (7) = {2801}, то q = 7. Итак, q = 3. Если H = L 5 (3), то по [12] имеем п(Н) = {2, 3, 5,11,13} и n(S) С п(Н); противоречие.

Если R 3 (q) С n(S), то R 3 (q) = {7} и p Е {2, 3, 5}. Так как q нечетно, то p Е {3, 5}. Пусть p = 3. Если f = 1, то R 5 (3) = {11}, но R 3 (3) = {13}; противоречие. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 11 такое, что t Е R5f (3) С R 5 (q); противоречие с тем, что R 5 (q) = {11}. Пусть p = 5. Если f = 1, то R 5 (5) = {11, 71}; противоречие. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 11 такое, что t Е R5f (5) С R 5 (q); противоречие с тем, что R 5 (q) = {11}.

Пусть n = 6. При 2 < (q — 1) 2 по [3, табл. 6] множество {2,r 6 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2,r 6 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 6 (q) = 1 (mod 6); противоречие. При 2 = (q-1) 2 по [3, табл. 6] множество {2, r 5 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2, Г 5 (q)} = {2,11}. Итак, R 5 (q) = {11}.

По [11, табл. 2] множества {г з (q),r 4 (q),r 5 (q)}, {r 6 (q),r 4 (q),r 5 (q)} —максимальные ко-клики в GK (G). Так как R 3 (q) С n(S) или R 6 (q) С n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q Е {3, 7}. Так как R 5 (7) = {2801}, то q = 7. Итак, q = 3 и получаем заключение теоремы 3.

Пусть n = 7. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 7 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 7 (q) = 1 (mod 7); противоречие.

Пусть n = 8. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем 8 = (q — 1) 2 . При 8 < (q — 1) 2 множество {2,r 8 (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Отсюда {2,r 8 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие. При 8 > (q —1) 2 множество {2, Г 7 (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Поэтому {2, r 7 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 7 (q) = 1 (mod 7); противоречие.

• 2)    Предположим, что H = U n (q), где 3 С n С 8 и q нечетно.

Пусть n = 3. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 6 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем Г б (q) = 1 (mod 6); противоречие.

Пусть n = 4. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем 4 = (q + 1) 2 . При 4 < (q + 1) 2 множество {2, Г 4 (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Поэтому {2, r 4 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие. При 4 > (q + 1) 2 множество {2, r 6 (q)} — максимальная коклика в GK(G), содержащая 2. Поэтому {2, r 6 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 6 (q) = 1 (mod 6); противоречие.

Пусть n = 5. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем { 2,гщ (q)} = {2,11}, т. е. R io (q) = {11}. По [11, табл. 2] множества {p, r ₄ (q), r 1o (q)}, {г б (q), r ₄ (q), r 10 (q)} — коклики в GK(G).

Если p / n(S), то R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}; противоречие. Значит, p Е n(S). Если R 6 (q) С n(S), то R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q Е {3,7}. Так как R 1o (3) = {61} и R 10 (7) = {11,191}, то q / {3,7}; противоречие.

Если R 6 (q) С n(S), то R 6 (q) = {7} и p Е {2, 3, 5}. Так как q нечетно, то q Е {3, 5}. Пусть p = 3. Так как 11 делит 3 5 — 1, то 11 / R iof (3) С R io (q); противоречие с тем, что R 1o (q) = {11}. Пусть p = 5. Так как 11 делит 5 5 — 1, то 11 / R1o f (5) С R 1o (q); противоречие с тем, что R 10 (q) = {11}.

Пусть n = 6. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2, r 3 (q)} = {2, 11}, но по лемме 1 имеем г з (q) = 1 (mod 6); противоречие.

Пусть n = 7. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2, r 14 (q)} = {2, 11}, но по лемме 1 имеем r i4 (q) = 1 (mod 14); противоречие.

Пусть n = 8. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем 8 = (q + 1) 2 . При 8 < (q + 1) 2 множество {2,r 8 (q) } — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2,r 8 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r8(q) = 1 (mod 8); противоречие. При 8 >  (q + 1) 2 множество {2,r i4 (q) } — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2,r i4 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем Г 14 (q) = 1 (mod 14); противоречие.

• 3)    Предположим, что H G {O ₂ n+1 (q),S _{2 n} (q)}, где 2 <  n С 4.

Пусть n = 2, где q >  2. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 4, 6] имеем {2,r 4 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем Г 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие.

Пусть n = 3 и q нечетно. При (q — 1) 2 = 2 по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,г з (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда {2,г з (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем Г 3 (q) = 1 (mod 3); противоречие. При (q — 1) 2 > 2 по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 6 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда {2,r 6 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 6 (q) = 1 (mod 6); противоречие.

Пусть n = 4. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 4, 6] имеем {2, r 8 (q)} = {2, 11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие.

• 4)    Предположим, что H = O+ n (q), где 4 С n С 6 и q нечетно.

Пусть n = 4. При q = 3 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2 , r 3 ( q )} — максимальная коклика в GK ( G ), содержащая 2. Поэтому {2 , r 3 ( q )} = {2 , 11}, но по лемме 1 имеем r 3 ( q ) = 1 (mod 3); противоречие. При q = 1 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2 , r 6 ( q )} — максимальная коклика в GK ( G ), содержащая 2. Поэтому {2,r 6 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем Г б (q) = 1 (mod 6); противоречие.

Пусть n = 5. При q = 1 (mod 8) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,Г 8 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда {2, r 8 (q)} = {2, 11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие. При q = 3 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,r 5 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда {2,Г 5 (q)} = {2,11}, т. е. R 5 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {г б (q),r 3 (q),r 5 (q),r 8 (q)} — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S ) и либо R 3 (q) 2 n(S ), либо R 6 (q) ^ n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

Пусть n = 6. При q = 3 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 5 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда {2, r 5 (q)} = {2, 11}, т. е. R 5 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {r 3 (q),r 5 (q),r 8 (q),r io (q) } — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S ) и R io (q) 2 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

При q = 1 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 10 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2, r 10 (q)} = {2, 11}, т. е. R 10 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {r 3 (q),r 5 (q),r 8 (q),r 1o (q)} — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S) и R 5 (q) 2 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 5)    Предположим, что H = O - n (q), где n G {4, 5} и q нечетно.

Пусть n = 4. Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 8 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие.

Пусть n = 5. При q = 7 (mod 8) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,Г 8 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда {2, r 8 (q)} = {2, 11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие.

При q = 1 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 10 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2, r 10 (q)} = {2, 11}, т. е. R 10 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {r 3 (q),r 6 (q),r 8 (q),r 1o (q)} — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S) и либо R 3 (q) 2 n(S), либо R 6 (q) 2 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 6)    Предположим, что H = ³ D 4 (q). Тогда по лемме 2 и [3, табл. 5, 7] имеем равенство множеств {2,r i2 (q)} = {2,11}, но по лемме 1 имеем r i2 (q) = 1 (mod 12); противоречие.

• 5.    Доказательство теорем 4 и 5

Теорема 3 доказана.

Пусть G — конечная группа с условием GK(G) = GK(H ), где H является конечной простой группой лиева типа над полем порядка q = p f , где p — простое число и f G N , или знакопеременной группой A n , где n — s2_n С 3; S — спорадический композиционный фактор группы G , изоморфный группе HS .

По лемме 2 выполнено условие S С G = G/K С Aut(S) для наибольшей нормальной разрешимой подгруппы K группы G .

Докажем сначала теорему 4.

Теорема 5 непосредственно следует из теорем 1, 3 и 4.

• <1 Доказательство теоремы 4. Если H является знакопеременной группой, то как в доказательстве теоремы 3 получаем, что H = A 16 .

Значит, H — конечная простая группа лиева типа.

По [8] множество {2, 7,11} — максимальная коклика в GK(S ), содержащая 2. По [3, табл. 2] имеем t(S ) = 3, t(2, S ) = 3. По лемме 2 имеем t(H ) С 4, t(2, H ) С 3.

Предположим, что t(2,H ) = 2. По [3, табл. 4-7] и [11, табл. 2-4] группа H является одной из следующих групп: L 3 (q), где q нечетно, L 4 (q), где (q — 1) 2 =4 и q нечетно, L 5 (q), где q нечетно, L 6 (q), где q нечетно, L y (q), где q нечетно, L 8 (q), где (q — 1) ₂ =8 и q нечетно, U 3 (q), где q нечетно, U 4 (q), где (q + 1) 2 =4 и q нечетно, U 5 (q), где q нечетно, U 6 (q), где q нечетно, U 7 (q), где q нечетно, U 8 (q), где (q +1) ₂ =8 и q нечетно, O 5 (q), S ₄ (q) для q >  2, Oy(q), где q нечетно, S 6 (q), где q нечетно, O 9 (q), S 8 (q), O+ (q), где q нечетно, O + (q), где q нечетно, O+ ₂ (q), где q нечетно, O - (q), где q нечетно, O — (q), где q нечетно, 3D4 (q), L 6 (2), L 7 (2), U 4 (2), S 6 (2), S 8 (2), O+ (2), ² F 4 (2) ’ .

Если H — одна из групп L 6 (2), L 7 (2), U 4 (2), S 6 (2), S 8 (2), O+ (2), ² F ₄ (2) ’ , то по [8] и [12] имеем n(S) С n(G); противоречие.

Если H G {L 3 (q), U 3 (q)}, то получаем заключение теоремы 4.

• 1)    Предположим, что H = L n (q), где 4 С n С 8 и q нечетно.

Пусть H = L 4 (q), где (q — 1) 2 = 4. При 4 <  (q — 1) 2 по [3, табл. 6] множество {2,r 4 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда по лемме 2 имеем {2,r 4 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие. При 4 >  ( q — 1) 2 по [3, табл. 6] множество {2 , r 3 ( q )} — максимальная коклика в GK ( G ), содержащая 2. Отсюда по лемме 2 имеем {2,r 3 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем Г 3 (q) = 1 (mod 3). Значит, R 3 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {p,r 3 (q),r 4 (q)} — коклика в GK (G). Если p / n(S ), то R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q G {2, 3, 7}; противоречие. Значит, p G n(S). Отсюда p G {3, 5,11}.

Пусть p = 3. Если f = 1, то R 3 (3) = {13}; противоречие. Если f = 2, то R 3 (9) = {7,13}; противоречие. Если f ^ 3, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t G R3 f (3) С R 3 (q); противоречие с тем, что R 3 (q) = {7}. Пусть p = 5. Если f = 1, то R 3 (5) = {31}; противоречие. Если f = 2, то R 3 (25) = {7 , 31}; противоречие. Если f ^ 3, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t G R3 f (5) С R 3 (q); противоречие с тем, что R 3 ( q ) = {7}. Пусть p = 11. Если f = 1, то R 3 (11) = {7 , 19}; противоречие. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t G R3 f (11) С R 3 (q); противоречие с тем, что R 3 (q) = {7}.

Пусть H = L5(q). Тогда по лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 5 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r5(q) = 1 (mod 5). Значит, R 5 (q) = {11}. Как в теореме 3 получаем противоречие.

Пусть H = L6(q). Как в теореме 3 получаем, что q = 3 и справедливо заключение теоремы 4.

Пусть H = L 7 (q). Как в теореме 3 получаем противоречие.

Пусть H = L 8 (q), где (q — 1) 2 = 8. Как в теореме 3 получаем противоречие.

• 2)    Предположим, что H = U n (q), где 4 С n С 8 и q нечетно.

По лемме 2 и [3, табл. 6] имеем 4 = (q + 1) 2 . При 4 < (q + 1) 2 множество {2,r 4 (q) } — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда {2,r 4 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие. При 4 > (q + 1) 2 множество {2, r 6 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда {2, r 6 (q)} = {2, 7} или {2,11}. По лемме 1 имеем r 6 (q) = 1 (mod 6). Значит, R 6 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {p,r 6 (q),r 4 (q) } — коклика в GK (G). Если p / n(S ), то R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}; противоречие. Значит, p Е n(S). Отсюда Р € {3, 5,11}.

Пусть p = 3. Если f = 1, то R 6 (3) = {7}. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t Е R6f (3) С R 6 (q); противоречие с тем, что R 6 (q) = {7}. Пусть p = 5. Если f = 1, то R 6 (5) = {7}. Если f ^ 2, то по лемме 1 существует простое число t = 7 такое, что t Е R6f (5) С R 6 (q); противоречие с тем, что R 6 (q) = {7}. Пусть p = 11. Так как 7 делит 11 3 — 1, то 7 / R6 f (11) С R 6 (q); противоречие.

Итак, q Е {3, 5}. При q = 3 по [8] имеем n(S) С n(U 4 (3)) = {2, 3, 5, 7}; противоречие. При q = 5 по [12] имеем n(S) С n(U 4 (5)) = {2, 3, 5, 7,13}; противоречие.

Пусть H = U 5 (q). По лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,гщ(q)} = {2, 7} или {2,11}. По лемме 1 имеем r io (q) = 1 (mod 10). Значит, R io (q) = {11}. Как в теореме 3 получаем противоречие.

Пусть H = U 6 (q). По лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2, r 3 (q)} = {2, 7} или {2, 11}. По лемме 1 имеем r 3 (q) = 1 (mod 3). Значит, R 3 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {r 6 (q), r 4 (q), r 10 (q)} — коклика в GK (G). Так как R 6 (q) С n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5} и R io (q) = {11}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q Е {3, 7}. Так как R 1o (3) = {61} и R 1o (7) = {11,191}, то q / {3, 7}; противоречие.

Если H = U 7 (q), то как в теореме 3 получаем противоречие.

Если H = U 8 (q), где (q + 1) 2 = 8, то как в теореме 3 получаем противоречие.

• 3)    Предположим, что H Е {O ₂ n+1 (q), S _{2 n} (q)}, где 2 С n С 4.

Пусть H = O 5 (q) = S 4 (q), где q> 2. Ввиду леммы 2 и [3, табл. 4, 6] имеем {2,r 4 (q)} = {2, 7} или {2, 11}, но по лемме 1 имеем r 4 (q) = 1 (mod 4); противоречие.

Пусть H Е {O 7 (q), S 6 (q)}, где q нечетно. При (q — 1) 2 = 2 по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 3 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Отсюда {2, r 3 (q)} = {2, 7} или {2, 11}. По лемме 1 имеем r 3 (q) = 1 (mod 3). Значит, R 3 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {r 3 (q), r 4 (q), r 6 (q)} — коклика в GK (G). Так как R 6 (q) С n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q = 3. Но R 3 (3) = {13}; противоречие.

При (q — 1) 2 > 2 по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,r 6 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда {2, r 6 (q)} = {2, 7} или {2, 11}. По лемме 1 имеем r 6 (q) = 1 (mod 6). Значит, R 6 (q) = {7}.

По [11, табл. 2] множество {r3 (q), r4(q), r6(q)} — коклика в GK (G). Так как R3 (q) С n(S), то по лемме 2 имеем R4(q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q нечетно, то q = 3, но (3 — 1)2 = 2; противоречие.

Пусть H G {O 9 (q), S 8 (q)}. По лемме 2 и [3, табл. 4, 6] имеем {2,r 8 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r8(q) = 1 (mod 8); противоречие.

• 4)    Предположим, что H = O+ n (q), где 4 С n С 6 и q нечетно.

Пусть H = O+ (q). По [11, предложения 2.4, 2.5] имеем равенство графов GK(O7(q)) = GK(O+(q)). Как в пункте 3) получаем противоречие.

Пусть H = O+o (q). При q = 1 (mod 8) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,r 8 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Тогда {2,r 8 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r 8 ( q ) = 1 (mod 8); противоречие.

При q = 3 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2,r 5 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2,r 5 (q)} = {2, 7} или {2,11}. По лемме 1 имеем r 5 (q) = 1 (mod 5). Значит, R 5 (q) = {11}.

По [11, табл. 2] множество {r 6 (q),r 3 (q),Г 5 (q),r 8 (q)} — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S ) и либо R 3 (q) <7 n(S), либо R 6 (q) 7 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

Пусть H = O ₁ ⁺ ₂ (q). При q = 3 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 5 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2, r 5 (q)} = {2, 7} или {2, 11}, По лемме 1 имеем r 5 (q) = 1 (mod 5). Значит, R 5 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {г з (q),r 5 (q),r 8 (q),r io (q)} — коклика в GK(G). Так как R 8 (q) 2 n(S) и R io (q) 2 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

При q = 1 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 10 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2, r 10 (q)} = {2, 7} или {2, 11}. По лемме 1 имеем r 10 (q) = 1 (mod 11). Значит, R 10 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {г з (q),r 5 (q),r 8 (q),r io (q)} — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S) и R 5 (q) 2 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 5)    Предположим, что H = O - n (q), где n G {4, 5} и q нечетно.

Пусть H = O ^— (q). По лемме 2 и [3, табл. 6] имеем {2,r 8 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие.

Пусть H = O ₁ ^- ₀ (q). При q = 7 (mod 8) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 8 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2, r 8 (q)} = {2, 7} или {2, 11}, но по лемме 1 имеем r 8 (q) = 1 (mod 8); противоречие.

При q = 1 (mod 4) по лемме 2 и [3, табл. 6] множество {2, r 10 (q)} — максимальная коклика в GK (G), содержащая 2. Поэтому {2, r 10 (q)} = {2, 7} или {2, 11}. По лемме 1 имеем r 10 (q) = 1 (mod 11). Значит, R 10 (q) = {11}. По [11, табл. 2] множество {г з (q), r 6 (q), Г 8 (q), r io (q)} — коклика в GK (G). Так как R 8 (q) 2 n(S ) и либо R 3 (q) 2 n(S ), либо R 6 (q) 2 n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 6)    Предположим, что H = 3D4 (q). Тогда по лемме 2 и [3, табл. 5, 7] имеем {2, Г 12 (q)} = {2, 7} или {2,11}, но по лемме 1 имеем r i2 (q) = 1 (mod 12); противоречие.

Рассмотрим случай t(2, H) = 3. По [3, табл. 4-7] и [11, табл. 2-4] группа H — одна из следующих групп: L 2 (q), q > 3, L 3 (q), где (q — 1) 3 = 3, q + 1 = 2 ^k и q четно, L n (q), где 4 С n С 8, (n, q) = (6, 2), (7, 2) и q четно, U 3 (q), где (q + 1) 3 = 3, q — 1 = 2 ^k и q четно, U n (q), где 4 С n С 8, (n, q) = (4, 2) и q четно, O 7 (q), где q четно, S 6 (q), где q четно, O + (q), где q = 2, q четно, 0 +0 (q), где q четно, O + ₂ (q), где q четно, O -₀ (q), где q четно, G 2 (q) для q > 2, L 4 (q), где (q — 1) 2 =4 и q нечетно, L 8 (q), где (q — 1) 2 = 8 и q нечетно, U ₄ (q), где (q +1) 2 =4 и q нечетно, U 8 (q), где (q + 1) 2 =8 и q нечетно, O +j (q) для q = 5 (mod 8), O O (q) для q = 3 (mod 8), L 8 (2), L 9 (2), L_w(2), S_w(2), O ++ (2), O +2 (2), O ₈ ^- (2), O - (2), F 4 (2).

Если H — одна из групп L 8 (2), L 9 (2), 0 +0 (2), O ^— (2), F 4 (2), то по [8] имеем n(S) 2 n(H); противоречие.

Пусть H = L io (2). По [8] имеем n(H) = {2, 3, 5, 7,11,17, 31, 73,127}. Так как 17, 73,127 / n(S), то 17, 73,127 G п(К). Так как 17 G R 8 (2), 73 G R 9 (2), 127 G R 7 (2), то {17, 73,127} — 3-коклика в GK(H ); противоречие с леммой 2.

Пусть H G {S 1o (2),O +2 (2)}. По [12] имеем п(Н) = {2, 3, 5, 7,11,17, 31}. По [7, табл. 1] граф GK(H ) несвязен. По лемме 3 подгруппа K нильпотентна. Так как 17, 31 / n(S), то 17,31 G п(К), поэтому 17 • 31 G w(K). Так как 17 G R 8 (2), 31 G R 5 (2), то по [11, предл. 2.4, 2.5] вершины 17 и 31 несмежны в GK(H ); противоречие.

Пусть H = O-)(2). По [3, табл. 4] множество {2,17,11} является кокликой в GK(H ). По лемме 2 получаем равенство множеств {2, 17, 11} = {2, 7, 11}; противоречие.

• 1)    Предположим, что H = L 2 (q), где q >  3.

Пусть q четно. Тогда по [3, табл. 4] множество {2,r i (q),r 2 (q) } — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем n(q ² — 1) С n(S). Так как n(S) С n(G) = n(q(q ² — 1)), то n(2 2f — 1) = n(q ² — 1) = {3, 5, 7,11}. Непосредственно проверяется, что при 1 С f С 5 имеем n(2 2 ^f — 1) = {3, 5, 7,11}. При f ^ 6 существует простое число t такое, что t / n(S) и t G n(2 2 ^f — 1). Итак, n(q ² — 1) = {3, 5, 7,11}; противоречие.

Пусть q нечетно и q = 1 (mod 4). По [7, табл. 2] имеем равенство множеств n i (G) = n i (H) = n(q — 1). Поэтому {2,r 2 (q),p } — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем {p} U R2(q) С n(S) = {2, 3, 5, 7,11}. Так как {2, 3, 5} С n 1 (S) С n 1 (G) = n(q — 1), то {p} U n(q + 1) С {2, 7,11}. Отсюда p G {7,11}. Так как q = 1 (mod 4), то f четно.

Пусть p = 7. Тогда n(7 ^f + 1) = {2,11}. Если 11 G n(7 ^f + 1), то 5 делит f . При f = 5 имеем n(7 ^f + 1) = {2,11,191} = {2,11}; противоречие. При f > 5 по лемме 1 имеем n(7 ^f + 1) = {2,11}; противоречие. Пусть p = 11. Тогда n(11 ^f + 1) = {2, 7}, но 7 не делит 11 ^f + 1; противоречие.

Пусть q нечетно и q = 3 (mod 4). По [7, табл. 2] имеем n i (G) = n i (H) = n(q + 1). Поэтому {2,r i (q),p} — коклика в GK(H). По лемме 2 имеем {p} U R i (q) С n(S) = {2, 3, 5, 7,11}. Так как {2, 3, 5} С n 1 (S) С n 1 (G) = n(q + 1), то {p} U n(q — 1) С {2, 7,11}. Отсюда p G {7,11}.

Пусть p = 7. Тогда n(7 ^f — 1) = {2,11}. Если 11 G n(7 ^f — 1), то 10 делит f . При f = 10 имеем n(7 ^f — 1) = {2, 3,11,191, 2801} = {2,11}; противоречие. При f > 10 по лемме 1 имеем n(7 ^f — 1) = {2,11}; противоречие. Пусть p = 11. Тогда n(11 ^f — 1) = {2, 7}. Если 7 G n(11 ^f — 1), то 3 делит f. При f = 3 имеем n(11 ^f — 1) = {2, 5, 7,19} = {2, 7}; противоречие. При f > 3 по лемме 1 имеем n(11 ^f — 1) = {2, 7}; противоречие.

• 2)    Предположим, что H = L 3 (q), где (q — 1) з = 3 и q +1 = 2 ^k и q четно.

По [3, табл. 4] множество {2, r 2 (q), r 3 (q)} — коклика в GK (H). По лемме 2 имеем R 2 (q) U R 3 (q) С n(S). По лемме 1 имеем R 3 (q) = {7}. Так как R 3f (2) С R 3 (q) = {7}, то R 3f (2) = {7}, поэтому 3f = 3, q = 2, но по [8] имеем n(S) С n(L 3 (2)) = {2, 3, 7}; противоречие.

• 3)    Предположим, что H = L 4 (q), где (q — 1) 2 = 4.

По [3, табл. 6] множество {2,г з (q),r 4 (q)} — коклика в GK(H). По лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q G {3, 7}; противоречие с условием 4 = (q — 1) 2 .

• 4)    Предположим, что H = L n (q), где 4 С n С 8, (n, q) = (6, 2), (7, 2), q четно.

Пусть H = L 4 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2, r 3 (q), r 4 (q)} — коклика в GK(H). По лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q = 2. Но по [8] имеем n(S) С n(L 4 (2)) = {2, 3, 5, 7}; противоречие.

Пусть H = L 5 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2, r 4 (q), r 5 (q)} — коклика в GK(H). По лемме 2 имеем r 4 (q) =5 и r 5 (q) = 11, т. е. R 4 (q) = {5} и R 5 (q) = {11}. Если R 4 (q) = {5}, то по лемме 5 имеем q = 2, но R 5 (2) = {31}; противоречие.

Пусть H = L6(q), q = 2. Тогда по [3, табл. 4] множество {2,r5(q),r6(q)} — коклика в GK(H). По лемме 2 имеем r5(q) = 11 и re(q) = 7, т. е. R5(q) = {11} и Re(q) = {7}. Поэтому по [11, табл. 2] множество {гз(о), r4(q), Г5(q)} — максимальная коклика в GK(G). Так как R3(q) С n(S), то по лемме 2 имеем R4(q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q четно, то q = 2; противоречие.

Пусть H = L 7 (q), q = 2. Тогда по [3, табл. 4] множество {2,r 6 (q), Г 7 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 1 имеем r7(q) = 1 (mod 7), поэтому r7(q) / n(S); противоречие с леммой 2.

Пусть H = L 8 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2, r 7 (q), r 8 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 1 имеем r 7 (q) = 1 (mod 7), поэтому r 7 (q) / n(S); противоречие с леммой 2.

• 5)    Предположим, что H = U 3 (q), где (q + 1) з = 3 и q — 1 = 2 k и q четно.

По [3, табл. 4] множество {2,r i (q),r e (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем R i (q) U R e (q) С n(S). По лемме 1 имеем R e (q) = {7}. Если f = 1, то R e (q) = 0 . Значит, f >  2. Так как Re f (2) С Re(q) = {7}, то Re f (2) = {7}, но R 3 (2) = {7}; противоречие.

• 6)    Предположим, что H = U 4 (q), где (q + 1) 2 = 4.

По [3, табл. 6] множество {2,r e (q),r 4 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q € {3, 7}.

Пусть H = U 4 (3). По [8] множество {2, 5, 7} — коклика в GK (G), т. е. 2 и 5 смежны в GK (S), но не смежны в GK(H ); противоречие.

Пусть H = U 4 (7). По [11, табл. 2] множество {2, 5,43} —коклика в GK(H ). Вершины 2 и 5 в графе GK(S ) смежны, а в графе GK(H ) несмежны; противоречие.

• 7)    Предположим, что H = U n (q), где 4 С n С 8, (n, q) = (4, 2) и q четно.

Пусть H = U 4 (q) для q = 2. Тогда по [3, табл. 4] множество {2, r e (q), r 4 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q = 2; противоречие.

Пусть H = U 5 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2, Г 4 (q), r io (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем r 4 (q) =5 и r io (q) = 11, т. е. R 4 (q) = {5} и R io (q) = {11}. Если R 4 (q) = {5}, то по лемме 5 имеем q = 2. По [8] имеем n(S) С n(U 5 (2)) = {2, 3, 5,11}; противоречие.

Пусть H = Ue(2). По [13, теор. 2] имеем G Е {Ue(2), HS }. Если G = Ue (2), то G не имеет композиционных факторов, изоморфных HS . Значит, G = HS . Выполнено заключение теоремы 4.

Пусть H = U e (q), где q = 2. Тогда по [3, табл. 4] множество {2, r io (q), Г 3 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 2 имеем r io (q) = 11 и г з (о) = 7, т. е. R io (q) = {11} и R 3 (q) = {7}. Поэтому по [11, табл. 2] множество { r e ( q ) , r 4 ( q ) , r 10 ( q )} — максимальная коклика в GK(G). Так как Re(q) С n(S), то по лемме 2 имеем R 4 (q) = {5}. По лемме 5 имеем q Е {2, 3, 7}. Так как q четно, то q = 2; противоречие.

Пусть H = U 7 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2, Г 3 (q), r i4 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 1 имеем r i4 (q) = 1 (mod 14), поэтому Г 14 (q) / n(S); противоречие с леммой 2.

Пусть H = U 8 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2, Г 14 (q), r 8 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 1 имеем r i4 (q) = 1 (mod 14), поэтому Г 14 (q) / n(S); противоречие с леммой 2.

• 8)    Предположим, что H = U 8 (q), где (q + 1) 2 =8 и q нечетно. По [3, табл. 6] множество {2,r i4 (q),r 8 (q)} — коклика в GK(H ). По лемме 1 имеем r i4 (q) = 1 (mod 14), поэтому r i4 (q) / n(S); противоречие с леммой 2.

• 9)    Предположим, что H Е {O 7 (q),S e (q)}, где q четно. По [3, табл. 4] множество {2, Г 3 (q), r e (q)} — коклика в GK(H ). Так как R 3 (q) С n(S ) или Re(q) С n(S ), то получаем противоречие с леммой 2.

• 10)    Предположим, что H = O+ _n (q), где 4 С n С 6, (n, q) = (4, 2), q четно.

Пусть H = O+ (q), где q = 2. Тогда по [3, табл. 4] множество {2, г з (о), r e (q)} — коклика в GK(H ). Так как R 3 (q) С n(S) или R e (q) С n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

Пусть H = O+o(q) Тогда по [3, табл. 4] множество {2, Г 5 (q), Г 8 (q)} — коклика в GK(H ). Так как Rs(q) ^ n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

Пусть H = O +2 (q). Тогда по [3, табл. 4] множество {2,r 5 (q),r io (q)} — коклика в GK(H ). Так как R5(q) ^ n(S) или R 10 (q) ^ n(S ), то получаем противоречие с леммой 2.

• 11)    Предположим, что H = O+(q), где q = 5 (mod 8). По [3, табл. 4] множество {2,r5(q),r8(q)} — коклика в GK(H ). Так как Rs(q) ^ n(S ), то получаем противоречие с леммой 2.

• 12)    Предположим, что H = O - o(q), где q четно или q = 3 (mod 8). По [3, табл. 4, 6] множество {2,r io (q),r 8 (q)} — коклика в GK(H ). Так как Rs(q) ^ n(S), то получаем противоречие с леммой 2.

• 13)    Предположим, что H = G?(q), где q >  2. По лемме 2 и [3, табл. 5, 7] множество {2, r3(q),r6(q)} — коклика в GK(H ). Так как R3(q) ^ n(S) или R6(q) ^ n(S ), то получаем противоречие с леммой 2. >

Пусть K — конечная группа. Старолетов А. М. в [14] заметил, что если r ^ n — s^ n для любого r G n(K), то граф простых чисел расширения знакопеременной группы A n посредством K совпадает с графом простых чисел знакопеременной группы A _n . Если S G {J2, McL, HS }, то простые делители из n(S) не превосходят 11. Отсюда получаем следующий пример:

Пример. Существуют конечные группы, имеющие спорадический композиционный фактор S , изоморфный одной из групп J 2 , McL или HS , с графом простых чисел как у знакопеременной группы A _n .

Пусть H = A 124 и G — прямое произведение H и S . Тогда GK(G) = GK(H ).