О связи между степенью суммируемости почти-периодических функций и коэффициентов Фурье
Автор: Хасанов Юсуфали Хасанович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
В работе получены результаты, которые обобщают теорему Пэли для почти-периодических в~смысле Безиковича и Степанова функций по произвольной тригонометрической системе. Доказывается, что для произвольного тригонометрического ряда при некоторых условиях найдется почти-периодическая функция, для которой исходный ряд является ее рядом Фурье.
Почти-периодические функции, ряд фурье, коэффициенты фурье, степень суммируемости, сходимость ряда
Короткий адрес: https://sciup.org/14318469
IDR: 14318469
Текст научной статьи О связи между степенью суммируемости почти-периодических функций и коэффициентов Фурье
Известно [1], что если {cn} — коэффициентьi Фурье функции f (x) С L2 по любой ортонормированной системе {^(x)}, то имеет место неравенство
∞
Е w2
n =1
b j |f (x)|2 dx.
a
Если рассматриваемая система, полна, то это неравенство превращается в равенство, т. е. если существует последовательность чисел {cn}, для которых P |cn|2< то, то найдется функция f (x) С L2, для которой эти числа будут коэффициентами Фурье и
b j If (x)|2 a
∞ dx = ElCnl2.
n =1
Если функция f (x) С L p (p > 1), то что можно сказать об ее коэффициентах Фурье? II наоборот, если P |cn|p < то. то существует ли функция. имеющая {cn} своими коэффициентами Фурье, и какова степень ее суммируемости?
Ответы на. эти вопросы для случая тригонометрической системы даются теоремой Хаусдорфа. — Юнга. (см. [1, с. 211]), а. для общей ортогональной системы — теоремой Рисса (см. [1, с. 211]).
Пэли [2] доказал, что если f (x) С Lp, 1 < p 6 2, {c n } — ее коэффициенты Фурье по ортонормированной системе {^n(x)} нa [a, b], |дп(x) | 6 M, n = 1, 2,..., a 6 x 6 b, to
∞ 1/p e ыр np-2
6 Ap
b j If Ip dx >
1 /p
a
где Y1, Y2, • • •, Yn, • • • — 4исла |ci|, |c2|,..., |cn|,..., расположенные в порядке убывания и Ap зависит только от p и M. Если же p > 2 11 c 1 ,c2 , • • •, cn, • • • — последовательность чисел, для которой
∞
X ЫРnp-2 < +^, n=1
то существует функция f (x) G Lp(a, b), для кото рой числа cn являются коэффициентами Фурье по системе {^n (x)} и имеет место

1/p ∞ 1/p
6 Bp ЁЫ”np-2 ,
где Bp зависит только от p и M.
В этой работе получены результаты, которые являются аналогами теоремы Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций при p > 2 по произвольной тригонометрической системе {exp(iAkx)}.
Определения и свойства почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций можно найти в [3].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию f(x) называют Bp-почти-периодической, p > 1, или почти-периодической в смысле Безиковича, если |f (x)|p интегрируем на любом конечном отрезке,
D B p {f(x)} = ( Tim^T / |f(x)|pdx ) < ro,
и существует ряд вида
СЮ
Pn(x) = У^ ck exp(iAkx), k=-∞ для последовательности прямоугольных сумм {Pn (x)} которого выполняется nlim^ DBp{f(x) - Pn(x)} = 0.
Пространство функций, удовлетворяющих всем условиям определения 1, принято называть Bp-пространством, или пространством Безиковича, в котором за норму функции f (x) G Bp (p > 1) принимается величина kf(x)kBp = ( lim / |f (x)|p dx) < ”•
T юго 2T JT
Если f (x) G Bp. то миожество Л{Ак}. для которых
T
Ak
-im — f (x)exp(-iAkx)
dx = 0,
T юго 2T
-T счетно и принято их называть спектром (показателями Фурье) Bp-почти-периодической (руиктпш f (x). a mi 1С,та {Ak} — KO9<|><|>iiniieiirbi Фурье (руиктпш f (x) G Bp. Таким образом. каждой <|>упкппи f(x) G Bp с помотпьто ее спектра Л{Ак} и коэсрсритщеитов {Ak} ставится в соответствие ряд f (x) ~ X Ak exp(iAkx), k который называется рядом Фурье функции f (x) G Bp.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть задан тригонометрический ряд
n
X Ak exp(iAkx),
k =1
где Л{Ак} — произвольное счетное множество действительных чисел. Если при некотором p > 2
∞
Стр = X |An|p np-2 < то, (2)
n=1
то в пространстве Bp найдется функция f (x). для которой ряд (1) будет ее рядом Фурье и имеет место
Db p {f (x)} 6 C - (3)
Заметим, что так как из условия (2) вытекает сходимость ряда РП=1 | Ak|2, то на основании аналога теоремы Рисса — Фишера (см. [3, с. 252]) в пространстве Bp найдется функция f (x). для которой ряд (1) будет се рядом Фурье.
Сначала нам необходимо доказать справедливость следующего неравенства
DBp {Pn(x)} 6 n1/2-1/pDB2 {Pn(x)} , p> 2.(4)
Известно, что n
Pn(x) = Mt Pn(x + t) X exp(-iAkt) = 11m [ Pn(x + t) X exp(-iAkt) dt,
Tмж 2T / k=1 -Tk=1
следовательно,
Тогда
max |Pn(x)| 6 n1/2 (m | |Pn(x)|2 j) / .
TT
[ |pn(x)|p dx 6 max |pn(x)|P-2 Дф [ |pn(x)|2 dx
2T x 2T
- T - T
T
6 np-2 ( M { |pn(x)|2 }) P^ 21T У |Pn(x)|2 dx-
- T
После перехода к пределу по T ^ то получим неравенство (4).
C ДОКАЗАТЕЛЬ(ЙТВО ТЕОРЕМЫ 1. При всяком натуральном N рассмотрим сумму
2N+1 N
S2N+i (x) = X Ak exp(iAkx) = ХЛп’ k=1 n=1
где
2 n+1— 1
An = An(x) = У^ A v exp(iX v x).
v =2 n
В силу почти-периодичности функции имеем
T
2T у S 2 N+1 (x)
-T
dx
£/ E An dx-
- T n =1
Отсюда при r = [p] + 1. R = r^r-) 11 5V = |Av|p/r. получаем
T
2T У ^N+1 (x)|p dx =
-T
T
N
p
p
— V A„ dx
2T J v
-T
T
v =1
TN r
6 2T X ^0 dx
-T v=1
N
Nr
- ЦУ 5 dx =
2T J ) \
-T v=1
N NT
2TE---E i ■■■5vrdx v1 =1 vr =1-T
NNT
X - X 2T n e-4ij-11 dx.
v 1 = 1 v r =1 — t 1 6 i 6 j 6 r
После применения неравенства Гёльдера получим
T N N T
2T IS 2 N+1 (x)|p dx 6 Е^Х П TrOO S V/ 2 dx
-T vi = 1 Vr = 1 16i6j6r
N N T
= X...X П 2T/I Avi A„, 12 dx, v1=1 Vr=1 16i6j6r w r = [p] + L R = rrfc-a
В правой части (6), применяя неравенство Гёльдера с показателями a = (p + 2)/2 и a = (p + 2) /р. находим
T
1 p .
2T J |A^Av 12 dx 6
- T
T
- T
2· p T
IA-C dx}' Xf
|AV | 2 dx
2p p+2 2
После перехода к пределу, при T ^ то, будем иметь
,. 1
lim тюго 2T
T
p
A-Av |2 dx
T
lim
T→∞
T 2·p T
{ 2T/^ ..}'" т.,{ х f
p+2
|AV | 2 dx
2p p+2 2
или
2 ·p 2 ·p
M { |A^Av|2 } 6 (m { |A^|Ч }) pa 2 • (m { |Av|p^ }) p+2'2 .
Применяя к правой части (7) неравенство (4), получим, что
M { AAv|p } 6 2(р+1)(1/2-1/а)Yy22(v+1(1/2-1/a0’yV/2 = 2(p+1)(p/4-1/a) (M { А|2})p • 2(v+1)(p/4-1/a0’ (M {|Av|2})p , где
/2v+1-1\
Yv = 2(v+1)(p/2-1) ( M {|Av|2}) 2 = 2(v+1)(p/2-1) I X |Ak|2 )
\ k=2 v
Так как Л = 1 — 1, то из соотношения (8) вытекает, что а0
M {|AMAv|Р/2} 6 2-k-vl(1/ 2 -Va)■ yV/2 .
Благодаря (6), (7) и (9) имеем
p
.
NN1
м {|S2n+, (x)ip}6 x-X n ! ■2 yV/2 з-^1-'-"1/2-1/»’}R. v1 = 1 vr =1 1 6 i 6 j 6 r
Далее, поступая так же как и в работе [4], находим, что
N N 2n+1 -1
M{ | S 2 N+i ( x ) | p} 6 Cp^L Yn = CpX2 ' I E IAk121
Покажем теперь, что из условия (2) вытекает сходимость ряда.
го 2n+1-1\Р
X 2"(p/2-1)f X IAk12)
Сходимость ряда. (И) эквивалентна, сходимости ряда.
N гоР
X np/2-2 Xi Ak 12.
n =1
(И)
Используя неравенство (см. [5, с. 308]), ∞∞
X n-c Xdk 6 AX"-c (ndn)‘, n=1 k=nn при c = 2 — p/2 < 1. 5 = p/2 > 1. dn = |An|2. получаем го го p/2
X n-(2-P/2) X I Aki2 6 A X I An|P"P-2- n=1 k=nn
Следовательно, в силу условия (2)
∞
M {|S2N+1 (x)ip} 6 Cp X |AnIp np-2 < x ■ n=1
Из сходимости ряда х 2n+1-1 pP/2
X И"*/2-»! X |AkH вытекает, что для любых m. n (m > n)
m 2k+1-1\
X 2k(p/2-1) X |Av|2^ о k=n \ v=2k/ при m ^ to, n ^ то, и так как неравенство (10) верно для любого полинома и, в частности. для S2m+i (x) — S2n+i (x) то при m ^ то. n ^ то
Db p {S 2 m+1 (x) — S 2 n+1 (x)} ^ 0.
В силу полноты пространства найдется функция f (x) G Bp, для которой при n ^ то
DBp {f (x) — S 2 n+1 (x)} ^ 0
и, следовательно, для нее будет верно неравенство (3). B
ЗАМЕЧАНИЕ. В теореме 1 условие (2) можно заменить более слабым условием p/2
2 n+1- 1 p/
X |Ak|2 ) < то.
k =2 n
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Под Sp-пространством, или пространством почти-периодических функций Степанова, понимается совокупность функций, для которых
Dsp {f (x)} = sup
x

< ∞ ,
и можно указать последовательность тригонометрических сумм {Pn(x)}
n
Pn (x) = ^Ck exp(i^k x) k =1
таких, что
lim DSp {f (x) — Pn (x)} = 0. n →∞
Теорема 2. Пусть задан ряд (1), где Л {Ak} — последовательность чисел, удовлетворяющая при некотором a > 0 для всех n
An +i — An > a.
Если выполнено условие
∞
Стр = X |An|pnp-2< то, n =1
то в пространстве Sp (p > 2) найдется функция f (x), для которой {Ak} будут ее коэффициентами Фурье и имеет место оценка
Ds p {f (x)} 6 C p ^VP.
C Доказательство теоремы 2. Покажем вначале, что для любого полинома вида (12) при выполнении условия (13) и p > 2 справедливо неравенство
1-1
D S p {Pn(x)} 6 An 2 p
■ n \ 1/ 2
Ei cki2
. k=1 /
Действительно, так как u+ 1
2 / |Pn(x)lp
dx 6
u+ 1
J (1 -|x
— u|) |Pn(x)|p dx
u-
u-
max |Pn x
u + -(x)|p-2 / (1 — |x
— u|) |Pn(x)|2 dx,
то на. основании неравенства. (5) получим, что p-2
D S p {Pn (x)} 6 n '2
MM {|Pn(x)|2})
p-2 2
u + 2
у (i — |x
— u|) |Pn(x)|2 dx.
u-
В работе [3] установлено, что u+-
J (1 — |x
u
— u|) |Pn(x)|2 dx 6 A XX |c k |2 = AM {|Pn(x)|2} . k =1
Следовательно,
D S p {Pn(x)} 6 Anp-
(m {|Pn(x)|2})p/2 ,
что дает неравенство (14).
Используя тот же метод, что и при доказательстве теоремы 1, найдем D s p {Pn(x)} 6
1 /p
C p σ p
S p B
Список литературы О связи между степенью суммируемости почти-периодических функций и коэффициентов Фурье
- Бари Н. К. Тригонометрические ряды.-М.: Физматгиз, 1961.-936 с.
- Paley R. Some theorems on orthogonal functions//Studia Math.-1932.-№ 3.-P. 205-208.
- Левитан Б. М. Почти-периодические функции.-М.: Гостехиздат, 1947.-396 с.
- Timan M. F. Orthonormal systems satisfying an inequality of S. M. Nikolskii//Analysis Math.-1978.-Vol. 4.-P. 75-82.
- Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства.-М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948.-456 с.