О связи полиномов Бернштейна и Канторовича для симметричного модуля
Автор: Окорочков Иван Владимирович, Тихонов Иван Владимирович, Шерстюков Владимир Борисович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
Настоящая работа подготовлена на основе доклада, сделанного авторами в рамках XVI Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования. Теория операторов и дифференциальные уравнения" (Владикавказ, сентябрь 2021 г.). Дается краткий обзор наших недавних результатов о связи полиномов Бернштейна и Канторовича для важного примера - симметричного модуля. Хорошо известно, что подобные негладкие функции играют особую роль в теории аппроксимации. Посредством полученных соотношений исследование полиномов Канторовича удается во многом свести к прямому использованию свойств полиномов Бернштейна. В частности, на основном отрезке [0,1] рассмотрено уклонение полиномов Канторовича от порождающего их симметричного модуля. Помимо весьма точных оценок сверху и снизу отмечена простая асимптотическая формула, действующая для уклонения во всех точках x∈[0,1] при n→∞. Характер сходимости полиномов Канторовича оказывается принципиально иным по сравнению с тем, что дают на [0,1] полиномы Бернштейна. Приведены также новые результаты о сходимости полиномов Канторовича в комплексной плоскости. Указано точное множество сходимости, совпадающее с множеством сходимости полиномов Бернштейна. Это так называемый компакт Канторовича, ограниченный лемнискатой |4z(1-z)|=1. Всюду на компакте найдена скорость сходимости полиномов Канторовича к соответствующей предельной функции. В связи с лимитированным объемом статьи мы излагаем только схему рассуждений. Подробные доказательства планируется привести отдельно.
Полиномы бернштейна, полиномы канторовича, симметричный модуль, скорость сходимости, оценки уклонения, сходимость в комплексной плоскости
Короткий адрес: https://sciup.org/143178528
IDR: 143178528 | УДК: 517.518.82
On the connection of Bernstein and Kantorovich polynomials for a symmetric module function
The paper is based on the report which made by authors at the XVI International Scientific Conference "Order analysis and related problems of mathematical modeling. Operator theory and differential equations" (Vladikavkaz, September 2021). A brief review of our recent results is presented. We study the connection of Bernstein and Kantorovich polynomials for an important example with the symmetric module function. It is well known that such nonsmooth functions play a special role in approximation theory. By means of the obtained relations, the investigation of Kantorovich polynomials can be reduced to the using of the Bernstein polynomials properties. In particular, the deviation of Kantorovich polynomials from the symmetric module function is considered. In addition to accurate two-sided estimates on the interval [0,1], a simple asymptotic formula for deviation is noted. The character of the convergence of Kantorovich polynomials differs from that of Bernstein polynomials give on the interval [0,1]. We also present new results on the convergence of Kantorovich polynomials in the complex plane. The convergence set is the same as for Bernstein polynomials. This is so-called Kantorovich compact, which limited by the lemniscate |4z(1-z)|=1. Everywhere here the rate of convergence of Kantorovich polynomials is established. In view of the limited size of the article, we present only the schemes of proofs. The proofs in details is planned to be given separately.
Список литературы О связи полиномов Бернштейна и Канторовича для симметричного модуля
- Lorentz G. G. Bernstein Polynomials.—Toronto: University of Toronto Press, 1953.—x+130 p.
- DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation.—Berlin, Heidelberg, N. Y.: Springer-Verlag, 1993.—x+450 p.
- Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Учеб. пособие к спецкурсу.—Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990.—64 с.
- Bustamante J. Bernstein Operators and Their Properties.—Basel: Birkhauser, 2017.—xii+420 p.
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Полиномы Бернштейна: старое и новое // Мат. форум. Т. 8, ч. 1. Исследования по матем. анализу.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014.—С. 126-175.—(Итоги науки. Юг России).
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. Приближение модуля полиномами Бернштейна // Вестник Челябинского гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика.—2012.—Т. 15, № 26.—С. 6-40.
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. Приближение модуля полиномами Бернштейна: новые продвижения и возможные обобщения // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 20-й международной Саратовской зимней школы.—Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2020.—С. 409-414.
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Обобщенные разложения Поповичу для полиномов Бернштейна от рационального модуля // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Современная математика и ее прилож. Тематич. обзоры.—2019.—Т. 170.—С. 71-117. DOI: 10.36535/0233-67232019-170-71-117.
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Сравнительный анализ двусторонних оценок центрального биномиального коэффициента // Челябинский физ.-мат. журн.—2020.—Т. 5, вып. 1.—С. 70-95. DOI: 10.24411/2500-0101-2020-15106.
- Попов А. Ю. Двусторонние оценки центрального биномиального коэффициента // Челябинский физ.-мат. журн.—2020.—Т. 5, вып. 1.—С. 56-69. DOI: 10.24411/2500-0101-2020-15105.
- Попов А. Ю. Оценка сверху остатка степенного ряда с положительными коэффициентами специального вида // Челябинский физ.-мат. журн.—2017.—Т. 2, вып. 2.—С. 192-197.
- Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики.—М.: Мир, 1998.—704 c.
- Теляковский C. А. О приближении дифференцируемых функций многочленами Бернштейна и многочленами Канторовича // Тр. МИАН.—2008.—Т. 260.—С. 289-296.
- Канторович Л. В. О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала // Изв. АН СССР. VII сер. Отд. мат. и естеств. наук.—1931.—Вып. 8.—С. 11031115.
- Gal S. G. Approximation by Complex Bernstein and Convolution Type Operators.—New Jersey, London, Singapore: World Scientific, 2009.—xii+338 p.
- Тихонов И. В., Цветкович Д. Г., Шерстюков В. Б. Компьютерное исследование аттракторов нулей для классических полиномов Бернштейна // Фундамент. и прикл. матем.—2016.—Т. 21, № 4.— С. 151-173.
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Как выглядят аттракторы нулей для классических полиномов Бернштейна // Диф. уравнения и процессы управления.—2017.—№ 2.—С. 59-73.
- Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Об одном методе для нахождения области сходимости полиномов Бернштейна в комплексной плоскости // Некоторые актуальные проблемы совр. математики и матем. образования. Герценовские чтения —2018. Материалы науч. конф., 913 апреля 2018 г.—СПб.: Изд. РГПУ им. А. И. Герцена, 2018.—С. 145-153.
- Цветкович Д. Г. Подробный атлас аттракторов нулей для классических полиномов Бернштейна // Челябинский физ.-мат. журн.—2018.—Т. 3, вып. 1.—С. 58-89.
