О свободе теории множеств с самопринадлежностью от известных парадоксов наивной теории множеств



ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып.2(39)

О свободе теории множеств с самопринадлежностью от известных парадоксов наивной теории множеств

В.    Л. Чечулин

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Показано отсутствие в теории множеств с самопринадлежностью парадокса Мириманова, парадокса Кантора, парадокса Бурали–Форти; указано, что парадоксы круга принадлежности и Рассела разрешены в предыдущих работах.

Предисловие

При тщательном анализе причин аксиоматизации теории множеств в 20-е гг. XX в. обнаруживается, что одной из побудительных причин этого процесса была попытка исключить из рассмотрения самопринадле-жащие множества, введенные Миримановым еще в начале ХХ в. [1]. Аксиоматизация теории множеств сузила область изучения до некоторой весьма небольшой совокупности множеств (мощностью не большей чем первый недостижимый кардинал), но не позволила адекватно описать то, что осталось за пределами этой границы, что потребовало впоследствии новых аксиом о недостижимых кардиналах и т. п., но не ответило на вопрос о существовании предела последовательности растущих кардиналов (не избавило от парадокса Бурали–Форти). Однако допущение са-мопринадлежности множеств позволяет показать отсутствие парадоксов, имевших место при рассмотрении только несамопринаделе-жащих множеств.

Отсутствие в теории множеств с само-принадлежностью парадокса Рассела было показано ранее в [2]. В этой работе по описанию некоторого свойства множества всех множеств М показано отсутствие в этой теории и иных парадоксов (парадоксов принадлежности, парадокса Мириманова, парадокса Кантора и парадокса Бурали–Форти).

1.    Неполная упорядочиваемость М

При достаточном описании упорядоченных структур очевидно, что множество всех множеств М (в силу его единственности [2]) не сводимо к рассмотренным ранее видам упорядоченных структур. Рассмотрим это подробнее.

Если предположить, что множество М самоподобно (определение самоподобия и структурного изоморфизма содержится в [3]), то по свойству самоподобия в М было бы такое M i , M i с М, что М и M i были бы структурно изоморфны, М 1 =^е М. Тогда образовалась бы в силу свойств структурного изоморфизма бесконечная цепочка структурно изоморфных множеств М ^ М 1 ^ М₂ ^ ^, все множества этой цепочки были бы не различимы по структуре; тогда выбор из них единственного (ввиду доказанной выше единственности М) множества всех множеств был бы невозможен, что противоречит наличию единственного множества М. Таким образом доказана теорема.

Теорема 1. Множество всех множеств не является самоподобным. □

Следовательно, мощность множества М, поскольку M содержит все самоподобные множества и недостижимые (самоподобные) последователи РО(.), больше, чем мощность недостижимого последователя РО(.).

Следствие 1. Мощность множества всех множеств М больше мощности недостижимого (самоподобного) последователя РО(.) и |M| является наибольшей мощностью. □

Поскольку множество всех множеств М не самоподобно и не является нитью (определение нити в [3]) объектов, то М не является объектом, вполне упорядоченным отношением принадлежности.

Следствие 2. Множество всех множеств М не является вполне упорядоченным отношением принадлежности. □

2.    Разрешение парадоксов принадлежности

Кроме парадокса Рассела в теории множеств без самопрнадлежности известны аналогичные парадоксы, разрешимые аналогичным образом.

Парадокс класса всех фундированных классов (парадокс Мириманова): "Класс В называется фундированным (нефундирован-ным), если есть (нет) такая последовательность классов. Парадокс заключается в том, что допущение фундированности класса всех классов, как и допущение его нефундирован-ности, приводит к противоречию, аналогичному противоречию в парадоксе Рассела" [5].

Класс всех фундированных классов при интерпретации его свойства (фундированно-сти) в теории множеств с самопринадлежно-стью совпадает с объектом А (множеством Рассела) в разрешении парадокса Рассела. Класс всех нефундированных классов при той же интерпретации – это множество, содержащее все самопринадлежащие множества (а значит, и само М), совпадающее с М (по свойству транзитивности принадлежности для объектов, принадлежащих самопринадлежа-щим множествам [2]).

Таким образом, в теории множеств с самопринадлежностью описанный выше парадокс не то чтобы не имеет места, но он разрешен конструктивным образом.

Парадокс всех классов С без круга [5] является расширением парадокса Рассела. Попытка построить в теории множеств без самопринадлежности класс С всех классов без круга, т. е. не содержащих кругов вида

В ∈ В Si ∈ … ∈ B 2 ∈ B 1 = B, (1) при некоторых s i , приводит к противоречию. То же самое наблюдается при построении класса всех классов без n -членного круга ( s i = n ).

По доказанным ранее теоремам о стягивании циклов [4] цикл объектов (1) вышеоз- наченного парадокса тождественен единственному самопринадлежащему объекту. По теореме о недополнимости непустого объекта в М [2] дополнение к множеству всех циклов (некоторого вида) непостроимо, т.е. этот парадокс в теории множеств с самопринадлеж-ностью отсутствует.

Таким образом, в непротиворечивой теории множеств с самопринадлежностью устранены конструктивным образом (а не исключением из рассмотрения) парадоксы круга принадлежности.

3.    Отсутствие парадокса Кантора

Парадокс Кантора [1] – парадокс теории множеств, использующей только несамопри-надлежащие множества, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств в этой теории ведёт к противоречиям.

Теорема Кантора, являющаяся отправной точкой рассуждений этого парадокса, о том, что мощность множества всех подмножеств множества больше мощности множества |Exp(A)| > |A| имеет место только для неса-мопринадлежащих множеств (A ∉ А), поэтому "наибольшего" несамопринадлежащего множества не существует (так же, как не существует наибольшего натурального числа).

Для некоторых самопринадлежащих множеств имеет место |Exp(B)| = |B|, так как Exp(B) = B (где B ∈ B), см. [2], [3]. Поэтому заключение теоремы Кантора в теории множеств с самопринадлежностью не создает парадокса.

Действительно, Exp(M) = M (где М – множество всех множеств), и бóльших множеств операцией взятия множества подмножеств не построить.

4.    Отсутствие парадокса Бурали–Форти

В теории множеств без самопринадлеж-ности парадокс Бурали–Форти [1] демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведет к противоречиям.

Утверждение о том, что объединение порядковых чисел является порядковым числом, составляющее основу этого парадокса, имеет место только в теории, которая утверждает, что множество подмножеств пустого множества не пусто, что на самом деле, в тео- рии с самопринадлежностью, не имеет места, см. [2] (Exp(∅) = ∅, где ∅ ∈ ∅). К тому же в теории множеств с самопринадлежностью натуральный ряд чисел неединственен (имеется, вообще, больше двух структурно изоморфных натуральных рядов, объединение которых не является порядковым множеством), что не дает оснований для построения этого парадокса.

Наибольшим множеством, содержащим в себе все порядковые числа (упорядоченные нити последователей любых типов), является множество всех множеств М, которое не является упорядоченной (самоподобной) нитью объектов, см. теорему 1. Таким образом, в теории множеств с самопринадлежностью парадокс Бурали–Форти не имеет места.

Заключение

Действительно, легко видеть, что теория множеств с самопринадлежностью свободна от парадоксов наивной теории множеств Кантора, в которой необоснованно использовались только несамопринадлежащие множества.