О свойствах акустических волн в сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости

Полученная система уравнений изучается при ряде предположений. Квадрат частоты плавучести N 2(хз) удовлетворяет условиям

0 < Nmin <  N ²(хз) ^ N^ < » ,

2_{хл          (g2        9^{р ( х} з)

^{N ( x 3):} NO          >  ^N 0 :        ,) .

Это условие означает устойчивость рассматриваемого распределения плотности ро(хз) в жидкости и отсутствие конвективных движений [3, c. 94]. Величина c, равная по своему смыслу скорости звука, является постоянной величиной. В [3, c. 277, пример 12.10] отмечается, что такое предположение допустимо для некоторых видов стратифицированных сред. Отметим работы [4–6], а также диссертацию на соискание степени доктора физико-математических наук С. Е. Холодовой [7, гл. 6], где рассматривалась аналогичная модель.

Сформулированная система уравнений с краевыми и начальными условиями в [2] была сведена к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка и последующему его изучению. На основе полученных результатов были установлены характерные свойства процесса распространения волн в сжимаемой стратифицированной жидкости. В частности, была проведена классификация типов установившихся волновых движений. Эта классификация основана на сравнении типов уравнений для амплитудных функций установившихся волн и характера фундаментальных решений, отвечающих этим уравнениям [2, c. 279–284]. В данной работе изучается задача о собственных колебаниях сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости, целиком заполняющей неподвижный контейнер. Предполагается, что величина частоты ω² установившихся колебаний превосходит N 2(хз), данный случай в классификации [2] получил название «случай акустических волн». Кроме того, считаем, что плотность в невозмущенном стационарном состоянии является функцией лишь x3 (в отличие от [2], где функция плотности является экспоненциальной).

Даже в рамках такой постановки возникает непростая математическая задача, что определяет самостоятельный интерес к ее изучению. Отметим также, что представленная работа является продолжением работы [8], в которой исследовалась задача о малых движениях соответствующей гидросистемы. Исследование проводились на основе подхода, отличного от упомянутого в [2]. А именно, исходная начально-краевая задача сводилась к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в ортогональной сумме некоторых гильбертовых пространств. С полученным уравнением ассоциировалось уравнение с замкнутым оператором. Используя теорию полугрупп, были найдены достаточные условия существования решения соответствующей задачи.

Изложение в работе проведено по следующей схеме. После введения во втором параграфе формулируется постановка как исходной начально-краевой задачи, так и ее операторная формулировка. В третьем параграфе непосредственно изучается задача о собственных колебаниях исходной гидросистемы.

• 2.    Постановка начально-краевой задачи, операторная формулировка задачи

Пусть неподвижный контейнер целиком заполнен идеальной сжимаемой жидкостью. Жидкость предполагается стратифицированной, т. е. ее плотность в состоянии покоя изменяется вдоль вертикальной оси Охз по закону ро = ро(хз). Область, занятую жидкостью, обозначим через Q, а ее границу (твердую стенку) — через dQ. Считаем, что система находится под действием силы тяжести с ускорением g = -g—з, где —з — орт оси Охз.

Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкости по плотности (1), а также предполагать, что величина c является постоянной величиной.

Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Обозначим через и = u(t, х) поле скорости в жидкости, p = p(t, х) — отклонение поля давлений от равновесного давления, р = p(t,x) — отклонения поля плотности от исходного поля ро(хз), а через f (t,x) — малое поле внешних массовых сил. Тогда малые движения исходной системы описываются в следующей начально-краевой задачей [2, c. 271]:

dU                              др at = Ро1(хз)(-Vp - gp—з) + f(t,x), at + Ро(хз)из + po(xз)div и = 0 (в Q),

из := и • e3,

др at = ^c

2 ^дР .    ₍ х N2^{( х} 3)       /

— + ро(хз)-------из (в Q), dt             g

и • U =: и _п = 0 (на dQ), U(0,x)= и ⁰(х), р(0, х)= р⁰(х), p(0, х)= р⁰(х).

Для перехода к операторной формулировке задачи введем основные пространства.

Свяжем с функцией ро = ро(хз) пространство L2(Q,po) c нормой следующего вида: l^{| U}K 2 (Q,p o ) = / Po | ^{U ( x )} | ^{2 d Q}

Ω

—*

—♦

В силу свойств функции ро = ро(хз), нормы в пространствах L2(Q,po) и L2(Q) эквивалентны, а значит L ₂(Q,po) — гильбертово. Можно проверить, что имеет место разложение (аналог разложения Г. Вейля пространства векторных полей L2(Q) [1, c. 118]): ^U 2(Q,pо) = J0(Q,po) Ф G(Q,pо), G(Q^) = |u e L 2^,ро) : U = Pо¹ V Ф, J ФdQ = 0 },

Ω

.Jo(Q,po') = {U e ^U ₂(Q,pо) : divU = 0 (в Q), v _n = 0 (на dQ) } .

Откуда следует, что U(t, х) e ^U 2(Q,pо) можно представить в виде

U = -w + p₀¹ V Ф, -w e J/Q^o), р_о1Ф e G(Q,pо).

Отметим важное обстоятельство, что в полученной начально-краевой задаче можно исключить две искомые функции — поле плотности p(t, х) и поле давления p(t, х), если ввести взамен поля скорости u(t,x) поле малых смещений частиц жидкости U(t, х), связанных с U(t, х) соотношениями dU/dt = U. Далее, путем проектирования уравнений полученной начальной-краевой задачи на введенные функциональные пространства можно перейти к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка (см. подробнее [8]):

X ‘‘ (t) + B A X (t) = F (t), X (0) = X 0, X ‘ (0) = X 1. (4)

Здесь X = X (t) = (w; p-1VФ)т — искомая функция переменной t со значениями в гильбертовом пространстве H := Jo(Q, ро) Ф G(Q, ро) (индекс (.. .)т означает операцию транспонирования матрицы), F(t) выражается через f(t,х), оператор BA представим в виде:

B A - с ;у &      <;

DB ) = {(w,P o^) t: A - 1 Q * w + p₀^-1 V Ф e D (A)} ,

Q e L(G (Q,po), ^J o(Q,po) ) , M e S4G(Q,po) ) , B11 e L ( ^J o(Q,Po) ) , оператор A является самосопряженным и положительно определенным в G(Q,po), при этом A^-1 e S p(G(Q,po)), p >  3/2; через L и S обозначены пространства ограниченных и компактных операторов соответственно.

Замечание 1. В работе [8] установлено, что если выполнены следующие условия

X⁰ e D ( b a ), X¹ e D ( B A /2 ) , F(t) e C 1( R +; H ), тогда задача Коши (4) имеет сильное решение. Иначе, такую функцию X(t), для которой выполнены условия X(t) e C ²( R +; H) п C ( R +; D ( b a )); выполнено уравнение и начальные условия из (4).

• 3.    О свойствах акустических волн

Рассмотрим проблему собственных колебаний идеальной стратифицированной сжимаемой жидкости, полностью заполняющей контейнер произвольной формы. Такими колебаниями называют решения однородного уравнения (4), зависящее от времени t по закону

X(t) = e^X, X e H = Jo(tt,po) ф G(Q,po), где w — неизвестная частота колебаний гидросистемы, а X = 0 — амплитудный элемент или мода колебаний.

Для амплитудных элементов X из (4) получаем спектральную задачу

AX = b a X , А := w², X = ( J; p₀¹ V Ф )^т .                  (5)

Отметим, что поскольку самосопряженный оператор b a ^ 0, то спектр этого оператора вещественный и неотрицательный.

Будем считать, что в (5) выполнено условие λ > N₀² . Тогда, записав (5) в компонентах, сделав замену A^{-1 / 2}z = р^-1 V Ф и применив ко второму уравнению оператор A^-1/², придем к системе уравнений

(I — A ¹B₁₁)-J = A 1Qz, Q * w + (M + I )z = AA 1z.               (6)

В силу предположения A >  Nq и оценки Ц В11 Ц C No (см. [8]), можно в (6) исключить -J, так как I — A^-1 B11 обратим, и получить уравнение для z:

L(A)z := (I + M — AA^-1 + A^-1Fo(A)) z = 0, A > N₀², Fo(A) := Q * R(A)Q, R(A) := ( I — A^-1B_n ) ^-1.

Осуществим в (7) замену A = ^1 и умножим обе части на ^:

M(^)z := ^L(^ 1 ) z = (p.I — A ¹ — B (^) ) z = 0, B (^) = — ^M — ^2Fo(^ 1 ) .   (8)

Замечание 2. Рассмотрим оператор-функцию вида

L(A):= AI — A — B (A), B(A) := ]T BkA^k , | A | < r, k =1                                    ⁽⁹⁾

A = A * e L(E) B _k = Bk e L(E) k = 1,2,...

Приведем условия факторизации оператор-функции указанного вида относительно окружности (см. [1, c. 70]). Пусть для некоторого t € (0, r) выполнено условие

∞

II All t - 1 + £ I B В tk ^-1 <  1.

k=1

Тогда оператор-функция L(A) допускает спектральную факторизацию (частичную линеаризацию) вида L(A) = A+(A)(AI — Z ), где спектр a(Z ) С { А € C : | А | < t } , а А+(А) — голоморфная и голоморфно обратимая оператор-функция в замкнутом круге { А € C : | А | <  t } .

С учетом сказанного, для операторного пучка (8) возникла задача вида (9), так как F g (m ^{- 1}) является голоморфной функцией относительно д:

Fo ( M^-1 ) = £ Mk Fk , Fk = Q*BkiQ = Ft k =0

Лемма 1. При | д | = t < N - 2 для M (д) имеет место оценка

∞

| A^-1 | t - 1 + E B Bk II tk - ¹ <  IM! t - 1 + JN - ( 1 — tNo ) ^-1’ k=1

J := (lIA-1U2 No' + CK)2> где Bk — операторные коэффициенты голоморфной функции В(д), K — константа из оценки нормы оператора M .

• < Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими результатами (следующими из [8], см. подробнее доказательство леммы 4):

M = A - 2 (B22 + A22)A - 2 , В В22 В <  N,

I A22A - ² I <  ⁹-K Il A^-1 1 ² , IIQII <  II A - 1 II ² No² + -_c

С учетом представления (8) имеем

B(д) = —дМ — д2^(м-1) = —^(A-2B22A-2 + A-2 A22A-2) — д2 E MkFk k=

= — m ( A ² B22 A ² + A ² A22A ² ) — д² ( Fo + MF. + д ² F2 + ... )

=: — дВ1 — Д ² B2 — M³ B3 — ...

Для операторных коэффициентов функции B (д) выполнены следующие оценки:

• ||B1 II <  I A ^- 2 B₂₂A ^- 2 1 + l A ^- 2 A22A^- 2 1 ^ N_o² l A^-1 ! + — K ||A^{- 1}|| ² <  JN - 2,

1                22                       22                                 _c                              ^,

J := ( | A^-1 | ² No² + C • K ) 2,    B Bk || = I Q^S^Q I <  ( No^!) ^{k -2}J, k = 2, 3,...

Таким образом,

II A - 1 II t - 1 + E IBII tk - 1 * W A - 1 W t — 1 + JNo^-2 ( ¹ + No² 1 + ( No ) 2 12 + ••• ) k=1

H-l J t   ⁺ N_o2 1 - N_o2 • t

Следствием этой леммы и замечания 2 является такой факт.

Лемма 2. Пусть выполнено условие

D :=4((C)2 K - N02) ||A-11| +4 Ck ||A-1||1 m + m2 > 0, m := N0-2 (g)2 - 1, для выполнения которого достаточно потребовать

• -1|| cINo—W4N1—

WA W *     4N0              A1 (A) > (No - g K)2 .

Тогда операторный пучок L(X) из (7) допускает спектральную факторизацию

L(X) = L+(X)(I - XZ);(11)

при этом L+ (X) голоморфна и голоморфна обратима при |X| ^ t 1 для любого t e (0, t+), t+ :=

• ¹    - 2 g K 1 A^-1 W ² - N - ( g i2K 2 + V D 2N2

  
  

а спектр пучка I - XZ обладает свойством ст С (t 1, + w ) .

< Пусть для пучка M (^) из (8) выполнено условие

∞

WA-1W t-1 + Ё IB। tk-1 * ||A-1|| t-1 + JN- (1 - N2t)-1 < 1, k=1

которое равносильно неравенству

N²1² + ( N₀^-2J - N² W A^-1 W - 1 ) t + W A^-1 W < 0.

Непосредственно проверяется, что при выполнении условия (10), появляется возможность для спектральной факторизации:

M (^)= M+ (^)(^I - Z ), Ы * t e (0,t+),                   (13)

где t+ определяется из (12). После деления на ^ и обратной замены ^ = X^-1 приходим к разложению (11), где L+ (X) := M+(X^-1). Согласно замечанию 2 оператор-функция M+(^) голоморфна и голоморфна обратима при | ^ | * t, откуда получаем, что L+ (X) голоморфна и голоморфна обратима при | X | ^ t ^-1 >  Nq. Из того же предложения и доказанного факта, что спектр задачи вещественный и неотрицательный, имеем последнее утверждение леммы. >

Лемма 3. Оператор Z из (11) имеет структуру

Z = (I + S )A^-1, S e S . (( G(Q,po) ) , (I + S )^-1 e L(G (Q,po) ) .         (14)

• < Пусть голоморфная оператор-функция М ₊ (p) отвечающая разложению (13), имеет вид

∞

M+(A) = ^M+pj , M+ G L(G (Q,p q ) ) , j = 0,1,...

j =o

Тогда тождество (13) с учетом (8) будет выглядеть следующим образом:

∞∞

^{( pI} — Z ).

pI - A^-1 + pM + p²^ ^kFk = E M+pj k =o            j =o

Приравнивание коэффициентов при p° и p¹ приводит к соотношениям

A^-1 = M+Z, I + M = M_o⁺ — M+Z.                 (15)

Так как функция M+(p) голоморфно обратима при | p | ^ t, то оператор M+ = M+(0) имеет ограниченный обратный: (M+)^-1. Поэтому из первого соотношения (15) устанавливаем, что Z = ( M q ) ^{- 1} A ^{- 1} G S (G(Q,po)). Далее, второе соотношение (15) показывает, что

Mo⁺ = I + (M + M+Z ) =: I + To, To G S . (G (Q,po) ) .

Отсюда по теореме Фредгольма получаем, что

( MoT1 = I + S, S G S . G (Q,po) ) .O

Замечание 3 (Теорема М. В. Келдыша [9, c. 314; 10, c. 20]) . Пусть выполнены условия

Z = A(I + S), A = A * G S p(E), 0

+to, S G S . (E).

Тогда справедливо следующее утверждение. Если Ker Z = { 0 } , то система корневых элементов оператора Z полна в гильбертовом пространстве E .

Доказательство теоремы М. В. Келдыша, а также более общих теорем о кратной полноте системы корневых элементов полиномиальных операторных пучков можно найти в монографиях И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [9], А. С. Маркуса [10].

Отметим, что условие Ker Z = { 0 } равносильно тому, что оператор I + S обратим (и тогда обратный ограничен), а также тому, что Ker A = { 0 } . Более того, при выполнении условий теоремы М. В. Келдыша можно также утверждать, что система корневых элементов сопряженного оператора Z * = (I + S * )A тоже полна в E.

Лемма 3 и замечание 3 позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 1. Если выполнено условие (10) , тогда задача (7) имеет дискретный спектр { Ak } . i С R + , Ak = (Ak (Z ))^-1 , состоящий из конечнократных собственных значений с предельной точкой A = + то . Собственные элементы { zk } k =i , Zk = Zk(Z), отвечающие собственным значениям { Ak } . 1 С [(t+)^-1, + от ) (см. (12)) , образуют систему векторов, полную и минимальную в пространстве G (Q,po) .

• <1 При выполнении условия (10), согласно лемме 2, имеет место спектральная факторизация (11), причем по лемме 3 фактор Z имеет структуру (14). Так как в (11) первый сомножитель L+(A) при A ^ t ^-1 > (t+)^-1 обратим, то в этой области спектры операторов L(A) и I — AZ совпадают. Таким образом, приходим к спектральной задаче

Задача (16) есть задача на собственные значения для слабовозмущенного самосопряженного оператора Z (см. лемму 3), к которой применима теорема М. В. Келдыша (замечание 3).

Действительно, оператор A^-1 G S _p (G (Q, po)), а оператор I + S, как доказано выше, обратим и S G S ^ (G(Q,Po)). Поэтому из теоремы М. В. Келдыша следует, что система корневых элементов задачи (16), а потому и задачи (13), отвечающая собственным значениям из открытого круга | р | < t, полна в G (Q,po). Кроме того, эта система обладает свойством минимальности в G(Q,po), поскольку (16) — задача на собственные значения для линейного пучка, когда свойство переполнения (не минимальности) корневых элементов не имеет места.

Так как задачи (7), (16) не имеют присоединенных векторов (проверяется непосредственно), то отсюда следует, что система собственных векторов { zk } k=i операторного пучка L(A), отвечающая дискретному спектру

^{{ A}k ^} k =i C [ ⁽t+) ¹, +to ) , Ak = ⁽Ak ⁽ Z ))

¹ ^ + го (к ^ то ),

полна и минимальна в пространстве G(^,po). О

Так как операторные пучки (7) и (8) обладают свойством самосопряженности, т. е. например, (M(р))* = M(p), | д | < t, то можно использовать построения, которые связаны с наличием у таких пучков симметризатора F для фактора Z из (11), (14).

Введем оператор (интегрирование ведется против часовой стрелки)

F :=— Ф M ¹ (р) dp. 2ni J

M=t

Лемма 4. Оператор F из (17) является положительно определенным и ограничен ным в G(Q,po), симметризует справа фактор Z из (11) , (14) , т- е. (ZF ) * = ZF .

⊳ Доказательства проводятся по аналогии с соответствующими утверждениями для операторного пучка общего вида (9) (см., например, [11, c. 87–89]). Для целостности рассуждений приведем ее.

I этап. Заметим сначала, что F G L(G (Q,po)) как интеграл от непрерывной функции M ^-1 (p), заданной на кривой { p G C : | p | = t } конечной длины.

Проверим свойство F * = F . Действительно, из (17) имеем

F * ^:= ^- 2 Пр f M ^-1(P⁾ ^ * ^dP = ^- 2П7 / ^M - ^{1 p}dp'

\ P \ =t                               | Д | =

Осуществляя здесь замену p i—> p, т. е. переходя от интегрирования по часовой стрелке к интегрированию против часовой стрелки, получим по свойствам криволинейных интегралов

F* := — / M^-1(р) dp = F. 2ni J

H=t

Убедимся, что F симметризует оператор Z справа. Имеем

ZF = Z I -1г / M-1(p) dpi =-1r ( — - pI )M-1(p) dp +

У рМ ¹ (p) dp M=t

l 2ni  J                I 2ni  J2ni

\   M=t          /M=t

= —¹ J) M ^-1 (p) dp ■ -1т / pM ¹ (p) dp = 717 / pM ¹ (p) dp := Fo. 2ni J ⁺           2ni J                 2ni J

M=t

w=t

M=t

Так как М - 1(д) голоморфна в круге { ^ G C : | ^ | ^ t } , то интеграл от нее по теореме Коши равен нулю, а оставшийся интеграл является самосопряженным оператором. Этот последний факт доказывается так же, как выше приведенное рассуждение для F . Окончательно получаем ZF = Fi = F * = (ZF ) * .

II этап. Докажем, что оператор F положительно определен. Введем обозначение:

Mo(^) := ^ 1M (^) = I - ^ 1A^-1 - J>^k-1Bk,   к = 1,2,...

Если выполнено условие | д | = t G (0,t+), тогда справедлива оценка

| ((M o (^) - I )z, z) | = К( - ц ^-1 А ^-1 - £ ц^к-1В^ z, z) | < (||A^-1|| t^-1 + JN0^-2 (1 - tNo²)^-1) ||z||2 := ОД |z|² < ||z||2.

Далее, при любом z G G(Q,po) и ^ с | ^ | = t, в силу F * = F , имеем

(/

— У ( m ^-1(^)z,z ) d^ I = Re I “ У (Mq ^-1 (tei⁹ )z,z ^ d^

2niX в последнем проведена замена ^ = tei®, d^ = itei® d0.

Введем еще функцию ^(0) := M—1(tei®)z, с учетом (18) получим

2π

)/

71 2n

= Re I 2П / (^^^M(^teie ) ^( ⁰ ) ) d°

2π

• = Re ( 2 П / l/^m (Мо№^в ) - I ) ^( ⁰ ) ) + H(0 )II2] d°

2π

• > ^/(i - ад) iiwi ² d0 >  (i - ад) p²(t) i z i ² = c i z i ²,

2n где c = c(t) := (1 - 5(t))p2(t) > 0. В последнем переходе использовано неравенство imi > p(t) izi,

P^{( t ) :}= f max Н МоЫ Н^ µ =t

. >

Воспользуемся теперь наличием симметризатора F у оператора спектральной задачи (16), а также леммой 4.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 собственные элементы { zk } k= задачи (7) , отвечающие собственным значениям { Ak } k = из интервала [(t₊)^-1, + от ) , образуют базис Рисса в пространстве G (Q,po) : zk = F ^{1 / 2} ^k, к = 1, 2,... , где { ^k } £ = — ортонормиро-ванный базис, составленный из собственных элементов самосопряженного компактного оператора F ^{-1 / 2} (ZF)F ^{-1 / 2} .

• <1 При выполнении условия (10), как и в теореме 1, приходим к спектральной задаче (16). Осуществим в (16) замену z = F ^{1 / 2}^, ^ = F ^{-1 / 2}z, где F — симметризатор фактора Z . Подействуем на обе части (16) оператором F ^{-1 / 2}. Возникнет задача

K^ := F ^- 2 (ZF)F ^- 2 ^ = ^. (19)

Поскольку здесь оператор ZF самосопряжен и вполне непрерывен, так как F ^{-1 /}2, F ^{1 / 2} g L(G(&,ро )) и Z Е S ^ G (Q,po)), а его ядро нулевое, то (19) есть задача на собственные значения для полного самосопряженного оператора K . Поэтому, согласно теореме Гильберта — Шмидта, она имеет в качестве решений множество собственных элементов { фк } к= оператора K , образующее ортонормированный базис в G(^, ро ). А значит, элементы { zk } k =i, Zk = F ^{1 / 2} фк , являющиеся решениями задачи (16), образуют базис Рисса в G(Q, ро ). >

Лемма 5. На интервале (N2 + от ) собственные значения А = Ак задачи (7) при к ^ от имеют асимптотическое поведение

^Ак = ^Ак ^{( A )[}1 + ^{o (1)}] = ^c A / ^Ak ^{[1 + o (1)]}, ^k ^ ^ю -

• < В операторном пучке (7) оператор-функция A^-1Fo(A) голоморфна при | А | >  N0 и аннулируется на бесконечности, собственные числа Ак (A^-1) оператора A^-1 имеют степенную асимптотику (см. подробнее лемму 3 из работы [4]). Таким образом, собственные числа Ак задачи (7) и укороченной задачи (I — AA ^-1 )z = 0 имеют одинаковое асимптотическое поведение при к ^ от (по теореме Маркуса — Мацаева, см. [1, c.71]). Отсюда следует утверждение леммы. ⊲

• 4.    Заключение

В работе исследуется задача о собственных колебаниях сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости, целиком заполняющей неподвижный контейнер. Предполагается, что квадрат частоты колебаний данной гидросистемы превосходит квадрат частоты Вейсяля — Брента. Данный случай в классификации из монографии [2] носит названия «случай акустических волн». Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой спектральной теории операторных пучков (оператор-функций). Изучаются свойства полученных акустических волн. Для мод колебаний этих волн составляющая wк решения (wк ; Zk)^т , принадлежащая вихревому подпространству Jo(^,ро ), асимптотически стремится к нулю (|| w к ||q ^ 0, к ^ от ), а составляющая Zk асимптотически (при к ^ от ) удовлетворяет уравнению (20). Доказано свойство полноты и базисности совокупности мод акустических волн.

В заключение отметим, если А Е [0,Ng] С R +, то для существования внутренних волн (обусловленных ниличием сил плавучести) достаточно доказать, что в задаче (5) отрезок [0, N0 ] принадлежит предельному спектру этой задачи. Однако, здесь возникает задача на собственные значения для самосопряженного оператора возмущенным не компактным (как в случае несжимаемой жидкости), а только ограниченным оператором. Последнее не позволяет применить теорему Вейля об устойчивости существенного спектра. Таким образом, пока остается открытым вопрос о том, что квадрат частот внутренних волн образует множество [0, N0 ].