О свойствах акустических волн в сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости

В связи с развивающимися потребностями океанологии и прикладной геофизики возрастает интерес к задачам о распространении волн в стратифицированных жидкостях. Однако большинство исследований по динамике волн в данном классе жидкостей, как правило, опираются на модель идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости. Эффекты сжимаемости обычно исключаются из рассмотрения. Ранее автором изучалась начально-краевая задача о малых движениях сжимаемой идеальной стратифицированной жидкости, целиком заполняющей неподвижный контейнер. Данная задача сводилась к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в ортогональной сумме некоторых гильбертовых пространств. С полученным уравнением ассоциировалось уравнение с замкнутым оператором. Применение метода операторных блок-матриц, а также теории абстрактных дифференциальных уравнений позволило найти достаточные условия существования решения соответствующей задачи. В представленной работе исследуется соответствующая задача о собственных колебаниях данной гидросистемы. Предполагается, что квадрат частоты колебаний данной гидросистемы превосходит квадрат частоты Вейсяля - Брента. Данный случай в классификация из монографии С. А. Габова, А. Г. Свешникова носит название "случай акустических волн". Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой спектральной теории операторных пучков (оператор-функций). Используя факторизацию операторного пучка (к которому сводится исходная задача) относительно окружности, с помощью теоремы М. В. Келдыша получено утверждение о полноте и минимальности системы корневых элементов. Далее доказано, что соответствующая система образует так называемый базис Рисса в гильбертовом пространстве. Изучаются свойства полученных акустических волн. Для мод колебаний этих волн составляющая x решения (x,z) принадлежит вихревому подпространству (асимптотически стремится к нулю), а составляющая z асимптотически удовлетворяет определенному уравнению акустических волн.