О свойствах дисперсионного множества для неоднородного цилиндрического волновода
Автор: Ватульян Александр Ованесович, Юров Виктор Олегович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
На основе анализа операторного спектрального пучка с двумя параметрами исследованы дисперсионные соотношения для цилиндрического неоднородного по радиальной координате волновода с импедансными граничными условиями на внешней границе. Граничные условия позволяют моделировать условия свободной и жестко закрепленной внешней границы, а также промежуточные варианты, где напряжения и перемещения границы линейно связаны с помощью двух параметров. В осесимметричной постановке сформулирована спектральная задача в виде матричного дифференциального оператора 4 порядка относительно компонент векторов напряжений и смещений. Изучен ряд свойств, описывающих общую структуру дисперсионного множества. Сформулированы две спектральные задачи, из точек спектра которых аналитически продолжаются два семейства дисперсионных кривых, отличающиеся собственными функциями. Получены формулы, отражающие связь точек спектра с параметрами, входящими в граничные условия на внешней границе. На основе метода возмущений исследована структура кривых этих семейств. Доказанное в статье свойство разрешимости неоднородной задачи применено для построения асимптотического приближения компонент дисперсионного множества в области длинных волн. В низкочастотном диапазоне в частном случае построена явная зависимость угла наклона линейного участка первой дисперсионной кривой от одного из параметров граничных условий. При этом даже слабая связь касательных напряжений и продольных перемещений приводит к изменениям, при которых асимптотика не справедлива. Изложены схемы численного построения компонент дисперсионных кривых на основе метода пристрелки. Представлены результаты вычислительных экспериментов для двух видов радиальной неоднородности. Выявлены точки дисперсионного множества, не меняющие своего положения в зависимости от параметров в граничных условиях.
Дисперсионные соотношения, цилиндрический волновод, импедансные граничные условия, неоднородность
Короткий адрес: https://sciup.org/143162448
IDR: 143162448 | УДК: 517.9; | DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11397
On the properties of the dispersion set for an inhomogeneous cylindrical waveguide
On the basis of the analysis of an operator spectral beam with two parameters, the dispersion relations for a cylindrical waveguide, inhomogeneous in the radial coordinate, with impedance boundary conditions on the external boundary are investigated. This boundary conditions permit to simulate free and clamped external boundary conditions as well as intermediate options. The stresses and displacements on the boundary are linearly related by means of two parameters. In the axisymmetric formulation, the spectral problem in the form of matrix differential operator of the 4th order with respect to the stress and displacement vectors components is formulated. A number of properties describing the general structure of the dispersion set are studied. Two spectral problems are formulated with two families of dispersion curves which are analytically continued from the points of the spectrum and differing by their eigenfunctions. Formulae reflecting the connection of the spectrum points with parameters entering the boundary conditions at the outer boundary are obtained. Based on the perturbation method, the structure of the curves of families considered is investigated. The property of solvability of the inhomogeneous problem proved in the article was used to construct an asymptotic approximation of the dispersion set components in the region of long waves. In the low-frequency range, in the particular case, the explicit dependence of the first dispersion curve slope angle on one of the parameters of the boundary conditions is constructed. At that, even a weak relationship between shear stresses and longitudinal displacements leads to changes for which the asymptotic behavior is not valid. On the basis of the shooting method, the schemes of constructing the dispersion curves components are stated. The results of the computational experiments for two kinds of radial inhomogeneity are presented. The dispersion set points that do not change their position depending on the boundary conditions parameters are revealed.
Список литературы О свойствах дисперсионного множества для неоднородного цилиндрического волновода
- Pochhammer L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder//J. Reine Angew. Math. 1876. Vol. 81. P. 324-336.
- Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar//J. Quart. Pure Appl. Math. 1886. Vol. 21. P. 287-298.
- Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи//Функцион. анализ и его прилож. 1983. Т. 17, вып. 2. С. 38-61.
- Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.
- Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д.: РГУ, 1993. 144 с.
- Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986. 260 с.
- Jia H., Jing M., Rose J. L. Guided wave propagation in single and double layer hollow cylinders embedded in infinite media//J. Acoust. Soc. Am. 2011. Vol. 129, № 2. P. 691-700 DOI: 10.1121/1.3531807
- Castaings M., Lowe M. Finite element model for waves guided along solid systems of arbitrary section coupled to infinite solid media//J. Acoust. Soc. Am. 2008. Vol. 123, № 2. P. 696-708 DOI: 10.1121/1.2821973
- Ватульян А. О., Моргунова А. В. Исследование дисперсионных свойств цилиндрических волноводов с переменными свойствами//Акуст. журн. 2015. № 3. С. 295-301.
- Ватульян А. О., Юров В. О. Волновые процессы в полом цилиндре в поле неоднородных предварительных напряжений//Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57, № 4. С. 182-191.
