О тензорных квадратах неприводимых представлений почти простых групп с цоколем, изоморфным L2(q)

Определение. Конечная группа называется SM _r -группой, если квадрат любого ее неприводимого представления разлагается в сумму остальных неприводимых представлений с кратностями, не превосходящими r .

В работе исследуются почти простые группы с цоколем L 2 ( q ) на принадлежность к классу SM 2 -групп.

Напомним, что почти простой группой называется такая группа G , что L ≤ G ≤ Aut( L ), где L – простая группа. Мы будем рассматривать простые группы L = L(qq ), q >  4 .

Основной результат работы

Теорема. Пусть G – почти простая SM 2 -группа с цоколем, изоморфным группе L 2 ( q ), q > 4. Тогда G = PGL₂ ( q ).

Доказательство теоремы будет разбито на несколько лемм. Для доказательства нам также понадобятся результаты, касающиеся характеров групп L 2 ( q ) и PGL 2 ( q ), а также одна из основных теорем теории Клиффорда.

Утверждение 1. Пусть K – нормальная подгруппа конечной группы X с разрешимой фактор-группой X / K и пусть ψ – неприводимый характер K . Тогда y ^X = ^ S e x , где X i g Irr( X ), e , делят 1 1 _x( v )/ K |, x = e , ^ l_j= у , , где ψ j – сопряженные характеры к характеру ψ = v 1 , l = X : I x ( V )l и ^ s_i=i e 2 = I I _X( у ): K I • Если x G Irr( X) и [х| к , V ] ^ 0, то X = X i для некоторого i ≤ s .

Доказательство. См. [4], гл. 6.

Утверждение 2. (Закон взаимности Фробениуса). Для любых характеров χ группы G и θ ее подгруппы H справедливо равенство

[ X , ^ G ] g = [ X I H , ^ ] H .

Доказательство. См. [6], теор. 15, стр.74.

Утверждение 3. 1) Пусть φ_i – неприводимый характер группы PGL 2 ( q ) ( q нечетно) степени q +1, 1 ≤ i ≤ ( q– 5)/4 и D – подгруппа индекса 2 в PGL 2 ( q ) (изоморфная L 2 ( q )). Тогда φ_i |_D – неприводимый характер группы D .

2) Пусть γ – автоморфизм группы PGL2(q), индуцированный автоморфизмом поля F , и q # 4, 5 или 9. Тогда у имеет точную орбиту на множестве характеров группы L 2( q) со степенью q +1.

Доказательство. См. [3], лемма 20, стр. 27.

Характеры групп L 2( q) и PGL 2( q)

Приведем таблицы характеров групп L ₂( q ) и PGL ₂( q ), их можно найти, например, в [1] и [2], стр. 259-263.

Рассмотрим характер группы G = L ₂( q ), q = 2 n >  8. У группы L имеется единственный линейный характер 1 _G . Кроме того, есть характер Стейнберга St степени q . Семейство характеров ф_i состоит из ( q -2)/2 характеров степени q +1, а семейство характеров Z j степени q -1 состоит из q /2 характеров. При этом размеры классов сопряженных элементов следующие: | u^G | = q ² - 1, |( a^r ) ^G | = q ( q+ 1), r пробегает целые значения от 1 до q /2-1, ( b s ) ^G | = q ( q- 1), s пробегает целые значения от 1 до q /2.

Таблица 1. Таблица характеров группы L ₂ (q), q = 2 n >  8.

	1	u	a	B
1	1	1	1	1
St	q	0	1	-1
V i	q + 1	1	s ( r )	0
Z j	q - 1	1	0	$ J ( r )

Примечание : s ( r ) = a ir + a i , ^ ( r ) = - e j — в - ^Jr , a - корень степени q- 1 из единицы, в — корень степени q+ 1 из единицы.

Нам понадобятся значения двух неприводимых характеров группы L 2 ( q ) для нечетных q (табл. 2). При q = 4 k+ 1 размеры классов сопряженных элементов у a^r следующие: | u^G | = | v G I = ( q ² - 1)/2, при 1 <  r <  k -1 размер |( a^r ) ^G| = q ( q +1), а |( a^k ) ^G | = q ( q +1)/2. Если q = 4 k+ 3, то размеры классов сопряженных элементов a^r , 1 <  r <  k равны |( a r ) ^G | = q ( q+ 1). Порядки | u^G | и | v^G | такие же, как и в случае q = 4 k+ 1.

Таблица 2. Фрагмент таблицы характеров группы L ₂( q ) , q= 4 k+ 1

	1	u	v	a	b
St	q	0	0	1	-1
V i	q + 1	1	1	s ( r )	0

Примечание : s. ( r ) = a i + a ir , порядок а равен ( q -1)/2.

Отдельно рассмотрим таблицу характеров группы PGL2(q) для нечетного q = 2k +1. В таблице имеются два характера степени 1: главный характер и характер Sgn. Кроме того, есть характер Стейнберга St и характер SgnSt степени q. Семейство характеров фi состоит из (q-3)/2 характеров степени q +1, а семейство характеров ζj, каждый степени q–1, состоит из (q-1)/2 характеров. При этом размеры классов сопряженных элементов | uG | = q2 -1, к ar)G | = q (q+1), 1 < r < (q-3)/2,

К b s ) ^G | = q ( q- 1), 1 <  s < ( q -1)/2,

К z - ) ^G | = q ( q+ 1)/2, Кz + ) ^G | = q ( q- 1)/2.

Таблица 3. Таблица характеров группы PGL2(q), q–нечетное

	1	u	ar	z –	b	z +
1	1	1	1	1	1	1
Sgn	1	1	( - 1) r	q - 1 ( - 1)2	( - 1) s	q + 1 ( " 1)T
St	q	0	1	1	-1	-1
SgnSt	q	0	( - 1) r	q z ! ( - 1)2	( - 1) s + 1	q - 1 ( - 1)2
V i	q + 1	1	s ( r )	2( - 1) r	0	0
Z j	q - 1	-1	0	0	J r )	2( - 1) J + 1

Примечание: s. ( r ) = a ir + a i , ^ ( r ) = - e j - в - ^Jr , a -корень степени q -1 из единицы, в - корень степени q +1 из единицы.

Доказательство теоремы

Лемма 1. Группа L ₂( q ), q = 2 ⁿ >  8 является SM₂-группой.

Доказательство . Заметим вначале, что при четных значениях q группа L 2 ( q ) изоморфна PGL ₂( q ), так что утверждение леммы верно и для нее.

Чтобы выяснить, с какой кратностью неприводимый характер х входит в разложение характера ^ 2 , вычислим скалярные произведения [ ^, х ] для каждой из таких пар.

При подсчете скалярных произведений нам понадобятся суммы значений E i ( r ) и c j ( s ). При 1 <  r <  q /2-1 a ‘ ^r и a^- пробегают все возможные значения степеней, за исключением q /2 - 1

а⁰ и a q 1 , поэтому сумма ^ s ( r ) = - 1. Анало- r = 1

q /2

гично получаем, что ^ ^ ( s ) = 1. Для даль- r = 1

нейшего использования посчитаем q/2-1             q/2-1

s ² = E £ ( r )² = E £ 2 i ( r ) + E 2 = q - 3;

r=1                 r=1

q/2               q/2

T ² = E % j ( s )² = E ^ 2 j ( s ) + E 2 = q - 1.

s=1                s=1

q/2

T3 =E ^ (s )2 % (s) =2E^y (s) + s=1

q/2

+ E £ 2j + 1 ( s ) + E £ 2 j - 1 ( s ).

s=1

Таким же образом будем вычислять

суммы в доказательстве остальных лемм.

Рассмотрим необходимые скалярные

произведения:

[ St ², St ] =

^{q 3 + q} ( ^{q +} О ( q ^- l j ^{_ q} ( ^q - 1) q

Действуя аналогичным образом, получаем, что при 2 i ± k = q -1, T = 3- q и [ Z_i ² , Z l ] = 0. В остальных случаях T = -4 и [ Z_i ² , Z l ] = 1.

Как мы видим, наибольшее значение скалярного произведения будет равно 2. Это и

q ²

q ⁽ q ^{2 -} 1)

, q2 q , q2 .q

+ 1

2   2     2   2

q2 -1

= 1,

[ ^ ₂, st ] = ^{( q + 1)2 q} + ^{q ( q +} 1) S² = 2, ’                  q ( q ² -1)               ^,

доказывает лемму.

Лемма 2. Группа L ₂( q ) для нечетных q не является SM₂-группой.

Доказательство . Заметим, что в случае нечетного q порядок L 2 ( q ) равен q ( q ² -1)/2.

Пусть q = 4 k +1. Обратившись к таблице 2, вычислим

Z 2 , St ] =

2        ⁽ q ⁺ 1) q ⁺ q ⁽ q ⁺ 1)  ,

^{[ St} , ^ ^] =----тут—=¹,

q ⁽ q - 1)

( q + 1)² q + q ( q + 1)( S + T /2) q ( q ² -1)/2

Z ², st ] =

( q - 1)² q + q ( q - 1) T² q ⁽ q ^{2 -}1)

= 0,

[ st ², j =

^{( q -} 1) ^{q 2 + q ( q -} 1) q ⁽ q ^{2 -}1)

= 1.

2 q + 2 + 2 S + T

= —------:-----, где q -1

k - 1             k - 1             k - 1                  _n q

S = E £ i ( r )² = E £ 2 i ( k ) + E 2 = 2 k - 4 = q - 9 r = 1               r = 1               r = 1                         ²

а поскольку порядок а равен ( q -1)/2 = 2 k , то

T = £ ( k )² = £ ₂, ( k ) + 2 = £ (2 k ) + 2 = 4.

Осталось рассмотреть еще два скалярных произведения: [ ф_i ², ф_к ] и [ Z i ², Z l ].

Z> . ^] =

( q + 1)³ + ( q ² -1) + q ( q + 1) S³ q ⁽ q ^{2 -}1)

Отсюда 2 S + T = q -5 и [ ф_i ² , St ] = 3. Если q = 4 k +3, то получаем

^, St ] =

( q + 1)² q + 2 Sq ( q + 1) _ 2 q + 2 + S q ( q ² -1)/2           q - 1

, где

(q +1)2 + (q -1) + qS3 _ q + 3 + S3 q(q -1)

где q/2-1

S 3 = E £i(r )2 £k(r)=E £k(r)+ r=1

q/2-1

+ E ^£ 2 i + k ( r ) + E ^£ 2i - k ( r ).

r=1

Если 2 i+k = q -1 или 2 i+k = q -1, то q/2-1

S3 = E 2 + E £2i+k (r) - 2 = q - 5, r=1

и тогда [ ф_i ², ф_k ] = 2. Если же 2 i ± k # q -1, то

S ³ = -4, и в этом случае [ ф_i ², ф_k ] = 1.

Теперь рассмотрим скалярное произве дение [ Zi2, Zi ]:

гл 2 _Л1_( q - 1) 3 - ( q ² - 1) + q ( q + 1) T³ _

[Z j , Zl] =                z 2=

q ⁽ q ^- 1)

(q -1)2 - (q +1) + qT3 _ q - 3 + T3 q (q +1)

где k-1               k-1

S = E £i (r )2 = E £2 i (r) +E 2 =1 + 2 k = (q - 5)/ 2, r=1                r=1

а значит, [ ф_i ², St ] = 3.

Мы получили, что в группе G существует пара характеров ф_i и St таких, что кратность вхождения характера St в ф_i ² равна 3. То есть группа L ₂( q ) для нечетных q не является SM₂-группой. Лемма доказана.

Лемма 3. Группа PGL ₂( q ) - 8М₂-группа.

Доказательство . Если q - четное, то PGL ₂( q ) = L ₂( q ), и, следовательно, является

8М2-группой.

Пусть q = 2 m+ 1, тогда ( q -1)/2 = m , а ( q -3)/2 = m -1. Обратимся к таблице 3 и вычислим необходимые скалярные произведения.

Для дальнейших вычислений понадо-m-1                m бятся значения S = E^ (r), T = E%j( s). Не- r=1                      s=1

сложно убедиться, что S = T = 0, если i, j нечетные и S = -2, а T = 2 при четных i и j .

Нам также понадобятся значения

S² = X ^£ i ( ^{r )2} = X ^£ i ( ^r ) + ²⁾ = q - ⁵,

m

m

t ² = X j ^s )² = X ( $ j ( s ) + 2) = q - 3.

s=1

Вычислим скалярные произведения

[ ^ 2 , St ] =

[ j St ] =

( q + 1)² q + q ( q + 1) S ² + 2 q ( q + 1)

q + 1 + S ² + 2 q ^{- 1}

q ⁽ q ^{2 -}1)

q +1 + q - 5 + 2_ q -1’

( q - 1)² q - q ( q - 1) T ² - 2 q ( q - 1)

q - 1 - T² q + 1

—

q ⁽ q ^{2 -} 1)

2 q - 1 - q + 3 - 2

== q +1

[ ^ ², Z ] =

( q + 1)²( q - 1) + ( q - 1)( q + 1)

= 1,

q ⁽ q ^{2 -} 1)

[ Z>, ] =

( q - 1)²( q + 1) + ( q - 1)( q + 1)

q ⁽ q ^{2 -}1)

= 1, и

[ St², St ] =

¹     [   2 ₊ q ⁽ q + ¹⁾⁽ q ^{- 3)}

q ( q ² -1) I q          2

—

—

q ( q - 1)( q - 1) _ q ( q - 1)

Далее,

2 я  ( q + 1) q ² + q ( q + 1)( S + ( - 1) i )

[ St , P.] =-------------------------- q(q -1)

•

Несложно увидеть, что и для четного для нечетного i [ St ², ф . ] = ( q -1)/( q -1) = 1.

[ St², С _} ] =

( q - 1) q ² + q ( q - 1)( T + ( - 1Г)

q ⁽ q ^{2 -} 1)

•

Также при любом j получаем [ St ², ф , ] = 1, [ SgnSt , p ] = [ St ², ft ] = 1, [ SgnSt ², Z j ] = [ St ², Z j ] = 1,

[ St ², SgnSt ] =     ¹    ( q ³ + q ( q + 1) I +

q ⁽ q ^- 1)

+ qq + 1) ( - 1) , + q ( q - 1) J + qq ^- !) ( - 1) k Л ,

( q - 3)/2

( q - 1)/2

где I = X ( - 1) r , J = X ( - 1) s ^{+ 1}.

r = 1

s = 1

При q = 4 k +1 получаем I = -1, J = 0 и

[ St ², SgnSt ] =

₂      , q + 1 q - 1

q ⁺ q ^{+ 1 +} 2 ⁺ 2

= 1.

^{q 2 - 1}

При q = 4 k +3 получаем I = 0, J = 1 и

[ St ², SgnSt ] =

₂ q + 1       , q - 1

q ² - —--- + q - 1 + ----

2           2

= 1.

q ^{2 - 1}

и

Рассмотрим скалярное произведение ^[ p ^{2, p} k ^] = ( ^{( q + 1)2 + q - 1 + qS 3 +}

_A          q + 1     q + s ³ + 4( - 1) ^k + 3

+ ⁴ q ( ^{- 1}) ^k )tm; =       f , где

q ⁽ q ^- 1)           q ^{- 1}

( q - 3)/2                        ( q - 3)/2

^{S 3} = Z ^£ i^{( r )2 £} k ^{( r} ) = ² X ^£ k ^{( r} ) ⁺ r = 1                                r = 1

( q - 3)/2

⁺ X ^{( £} 2 . + k ^{( r} ) ^{+ £} 2 . - k ^{( r} )).

r = 1

Если 2 i + k = q -1 или 2 i - k = q -1, то

( q - 3)/2

S³ = X (2 + £ 2 . - k ( r )) = q - 5, r = 1

( q - 3)/2

а X £ ( r ) = - 2, и тогда S ³ = q -9.

r = 1

Значит, [ ф . ², ф k ] = ( q + q -9+7)/( q -1) = 2.

Если же 2 i ± k # q -1, то S = -8, и в этом случае [ ф . ², ф k ] = ( q -8+7)/( q -1) = 1.

Теперь рассмотрим

[ < Х , ] = ( ( q - 1)² - ( q + 1) + qT ³ + а          q - 1      q - 3 + т ³ + 4( - 1)¹

+ ⁴ q ( ^{- 1}) ^k           =  ----------,         , где

q ⁽ q ^- 1)          q ^{- 1}

( q - 1)/2                         ( q - 1)/2

T ³ = X j s )² $ ( s ) = 2 X $ 1 ( s ) + s = 1                                 s = 1

( q - 1)/2

+ X ( $ 2 j + 1 ( s ) + $ 2 j - 1 ( s )). s = 1

Действуя аналогичным образом, получаем T = 7- q при 2 j + 1 = q -1 или 2 j - 1 = q -1, что дает [ Z i ², Z i] = 0. Для четных 1 в остальных случаях T ³ = 8, а если 1 нечетное, то T ³ = 0. Несложно убедиться, что при таких T значение [ Z i ² , Z 1 ] = 1.

Осталось рассмотреть два скалярных произведения: [ ф . ², St ] и [ Z i ², St ].

[ р ², SgnSt ] =     ¹    ( ( q + 1)² q + q ( q + 1) S ² +

q ⁽ q ^- 1)

, /              q + 1 + s i + 2( - 1)

+2q(q +1)(-1)m ) = -------3           , где q -1

m-1

S12 =X£i (r )2(-1)r =X (£^ r) + 2)(-1)r. r=1

Поскольку a - элемент порядка q-1, то (-1)r = ar(q-1)/2 = a-r(q-1)/2, откуда m-1

S 1 ² = X £ ( q -W+ 2 i ( r ) + 2 X ( - 1) ^r .

r=1

Если q = 4 k +3, то S 1² = 0. Если же q = 4 k +1, то S 1² = -4. В каждом из этих случаев получаем [ ф . ², SgnSt ] = 1.

[ Z j , SgnSt ] = -^- (( q - 1)² q + q ( q - 1) 7 12 + q ( q - 1)

+ 2 q ( q - 1)( - 1) m ) = q — ^{1 + 7 12} + ^{2( - 1)} m ,

'q mm где 7 = X$ (s )2(-1)s+1 =-X ($2 j (s) + 2)(-1)s. s=1

Поскольку в — элемент порядка q +1, то (-1) ^s = в ^{( q+ 1)/2} = в ^{—s (} q ^+1)/2 , откуда mm

72 =-!$( q +1)/2+2j( s ) - 2^ (-1)S . s=1

Если q = 4 k +1, то T ₁ ² = 0. Если же q = = 4 k +3, то T ₁ ² = 4. В каждом из этих случаев получаем [ Z i ², SgnSt ] = 1. Лемма доказана.

Мы убедились, что среди групп L ₂( q ) и PGL ₂( q ) 8М₂-группой будет только PGL ₂( q ).

Наша задача теперь - доказать, что среди остальных почти простых групп с цоколем L ₂( q ) не существует других 8М₂-групп.

Заметим, что если q - нечетное простое число, то единственной почти простой группой кроме L 2 ( q ) будет PGL 2 ( q ), что и доказывает теорему.

Пусть q = p‘ , где p - нечетное простое число, и L = L ₂ ( q ) <  G <  Aut ( L ₂ ( q )) = A .

Из утверждения 3 следует, что для любого автоморфизма у порядка e группы L ₂( q ), индуцированного автоморфизмом поля F , в группе L найдутся e неприводимых сопряженных характеров ф_i степени q+ 1 таких, что группа PGL 2 ( q ) будет группой инерции для каждого из них.

Пусть G = L . <  у > . Автоморфизм y имеет точную орбиту на множестве характеров ф_i , следовательно, по утверждению 1, ф ^ = х , где X - неприводимый характер группы G степени ( q+ 1) e .

Пусть теперь G = PGL₂ ( q ). <  у >  . Рассуждая таким же образом, мы получаем, что в группе G найдется неприводимый характер х степени ( q+ 1) e такой, что х = ф? , где ф_i е Irr( PGL ₂( q )) - сопряженные характеры степени ( q+ 1).

Если q = 2 ‘ , то L = L ₂( q ) = PGL ₂( q ). Рассуждения здесь аналогичны тем, что приведены выше.

Выясним, с какой кратностью характер X входит в разложение х ². Для этого рассмотрим скалярное произведение [ х ², X ] = [ X ², ф ? ]. По теореме взаимности Фробениуса и утверждению 1 находим

(            \ 2              ^е

[ X ², ^ ^G ] = [ X ²| L , ^ 1 ] = [ ( X i = 1 ^ ) ’ ^ ^ Х [ « ²> ^ 1 ] .

i = 1 .

Для оценки числа значения [ х ² , х ] мы будем вычислять значения [ ф_i ² , ф i ] для группы L , где L = L ₂( q ) или PGL ₂( q ).

Утверждение 3 не верно, когда q = 4, 5 или 9, поскольку у групп L ₂(4) и L ₂(9) неприводимый характер степени q +1 всего один, а у группы L ₂(5) такого характера нет.

Известно, что L ₂(5) = L ₂(4) , поэтому единственной почти простой группой кроме L 2 (5) здесь будет только группа PGL 2 (5).

Доказательство теоремы для группы L 2 (9) будет рассмотрено в конце работы.

Лемма 4. Пусть L = L ₂( q ), q = 2 ‘ . Тогда G не является 8М₂-группой.

Доказательство . Вычислим значение [ ф_i ², ф ₁], пользуясь таблицей 1:

[ фi2, ф 1] = (q+3+ S)/(q -1), где q/2-1               q/2-1

s = X ^2i+1(r) + X ^-1(r) + 2 X r=1                   r=1

Рассмотрим ситуацию, когда 2 i+ 1 = q- 1 или 2 i- 1 = q- 1. В первом случае i = ( q- 2)/2, а -i = = q- 1- i = q /2. Если же 2 i- 1 = q- 1, то i = q /2, а- i = q- 1- i = ( q- 2)/2. То есть такая ситуация возможна только в одном случае, когда i = q /2. Тогда q /2 - 1      q /2 - 1

S = X 2 + X ^ 2 , + 1 ( r ) - 2 = q - 5, r = 1          r = 1

и [ ф i ², ф 1 ] = ( q +3+ q -5)/( q -1) = 2.

Если же i не равно ± q /2, то S ³ = -4, и тогда [ ф i ² , ф 1 ] = ( q -3+4)/( q -1) = 1.

Таким образом, одно из слагаемых в e сумме X[^2,^] равно 2, а остальные e-1 i=1

равны 1, следовательно, значение суммы равно e+ 1. Заметим, что e+ 1 > 2, т. е. G - как минимум, 8М₃-группа. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть L = PGL ₂( q ), q = p‘ .

Тогда G не является SM2-группой.

Доказательство . Вычислим значение [ ф ², ф ₁], пользуясь таблицей 3:

[ ф , ², ф 1 ] = ( q + S 1 -1)/( q -1), где

( q - 3)/2               ( q - 3)/2                  ( q - 3)/2

S 1 = X ^ 2 i + 1 ( r ) + X ^- 1 ( r ) + 2 X ^ r ). r = 1                       r = 1                          r = 1

Поскольку числа 2 i+ 1, 2 i- 1, 1 нечетные, то каждая из трех сумм будет равна 0, и тогда [ ф , ² , ф 1 ]=1.

e

Таким образом, сумма ^[^2, ^ ] = e, i=1 что при e > 2 доказывает лемму.

Пусть теперь e = 2. Тогда

[( φ 1+ φ 2 ) ² , φ 1 ] = [ φ 1² , φ 1 ]+[ φ 2² , φ 1 ]+2[ φ 1 φ 2 , φ 1 ].

Значение [ φ 1 φ 2 , φ 1 ] определяется так же, как и ранее: [ φ 1 φ 2 , φ 1 ] = ( q + S 1 –1)/( q –1), где

( q - 3)/2              ( q - 3)/2                 ( q - 3)/2

s 1 = I ^ i ( r ) + X ^ 2 - i ( r ) + 2 X ? i (r ).

r = 1                      r = 1                         r = 1

Характеры φ 1 и φ 2 сопряжены, поэтому i = p . По условию леммы p – нечетное число, поэтому S 1 = 0 и, следовательно, [ φ 1 φ 2 , φ 1 ] = 1.

Мы получили, что скалярное произведение [ χ ² , φ_i^G ] = 4, то есть G не является SM₂-группой. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть L = L 2(q), где q - не- четное. Тогда G не является SM2–группой.

Доказательство . Пусть q = 4 k+ 1. Вычислим значение [ φ i ² , φ 1 ], пользуясь табл. 2:

te ²,^] =

( q + 1) 3 + q ² -1 + q ( q + 1)( S + T /2) q ( q ² — 1)/2

_ ( q + 1)² + q - 1 + q ( S + T /2) _ 2 q + 6 + 2 S ₁ + T q ( q - 1)/2                 q - 1

где S 1 = I ^ ₂ , + ₁ ( r ) + I s ₂ , _ 1 ( r ) ^{+ 2} I ^( r ), r = 1                   r = 1                      r = 1

^T = S i ⁽ k ⁾² S i ⁽ k ) = ^S 2 i + 1 ⁽ k ) ^{+ S} 2 i - 1 ⁽ k ) ^{+ 2 s (} k )•

Порядок α равен ( q –1)/2 = 2 k , поэтому α^k = –1, следовательно, ε t ( k ) = –1 для t ≠ ( q – 1)/2. Если 2 i+ 1 = ( q– 1)/2, то i = ( q– 3)/4 = k –1/2, что невозможно . Если 2 i– 1 = ( q– 1)/2, то i = k+ 1/2, что также невозможно.

Таким образом, T = –8, а S 1 = 0, и тогда [ ^ i ², ^ _k ] = (2 q + 6 - 8)/( q - 1) = 2.

Мы получили, что все слагаемые в сум-e ме I[^2,^] равны 2, следовательно, значе-i=1

ние суммы равно 2 e > 2.

Пусть теперь q = 4 k+ 3. Тогда

[ ^ i ², ^ 1 ] =

( q + 1) 3 + q ² - 1 + q ( q + 1) S j    q + 3 + S j

q(q2 -1)/2        = (q-1)/2, kk  k где S1 = X S2i+1 (r) +X S2i-1 (r) + 2IS1 (r) = -4 • r=1                  r =1                     r =1

Значит, [φi2, φ1] = (q–1)/((q–1)/2) = 2, и тогда e сумма I^,2, ^ ] = 2e > 2, т.е. G, как минимум, i=1

SM 3 -группа. Лемма доказана.

Пусть теперь L = L ₂ (9) . Докажем, что ни одна группа G , L <  G ≤ Aut( L ) не является SM 2 -группой.

Мы будем использовать систему компьютерной алгебры GAP [5]. Если L = L ₂(9) , то G может быть одной из групп: M₁₀, S₆, PΓL 2 (9), PGL 2 (9). Вычислив в GAP по таблице характеров этих групп скалярные произведения [ χ ² , χ ], где χ – неприводимый характер максимальной степени группы G , мы получили, что M 10 – SM 5 , S 6 – SM 5 , PΓL 2 (9) – SM 4 -группа. Группа PGL 2 (9), как уже было показано, является SM₂-группой.