О теореме типа Штрассена в пространстве измеримых селекторов

Одним из ключевых вопросов при исследовании выпуклых интегральных функционалов и операторов является вопрос об аналитическом представлении соответствующих субдифференциалов [2, 5]. Формально говоря, речь идет о перестановочности операций интегрирования и субдифференцирования, т. е. о справедливости формулы вида

∂

df (^, OCu-oM) d^(w).

Несмотря на внешнюю схожесть с классическим правилом дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, обоснование этого математического факта, называемого иногда дезинтегрированием, связано с тонкими вопросами теории меры и теории положительных операторов. Впервые такой результат получил В. Штрассен [6] для случая субдифференциалов в нуле сублинейных функционалов. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к созданию теории двойственности выпуклых интегральных функционалов и операторов в пространствах измеримых вектор-функций, которая вместе соответствующей библиографией и историческими комментариями представлена в [2, 4, 5].

Развитие аналогичной теории в пространствах измеримых селекторов представляется важным не только как содержательная теоретическая задача, но и с точки зрения приложений к экстремальным задачам. Вместе с тем, хорошей основой для такого расширения двойственности выпуклых интегральных функционалов может послужить теория измеримых банаховых расслоений с лифтингом, построенная А. Е. Гутманом, см. [1, 3]. Настоящую работу, в которой устанавливается вариант теоремы Штрассена в

пространстве измеримых селекторов (сечений), можно рассматривать как первый шаг в указанном направлении.

Своим интересом к выпуклым интегральным операторам я обязан А. М. Рубинову ^∗ , памяти которого посвящается настоящая статья с чувством искренней признательности.

• 2.    Измеримое банахово расслоение

Всюду ниже (Q, X, ^) — пространство с мерой, которое, как правило, обладает свойством прямой суммы. Необходимые сведения из теории измеримых банаховых расслоений см. в [1, 3].

Банахово расслоение над Q — произвольное отображение X , определенное на Q и ставящее в соответствие каждой точке ш Е Q некоторое банахово пространство Х _ш : = X (ш ) — слой в точке ш. Норма элемента x в слое X (ш) будет обозначаться символом ||х|| _ш := k x k x ( ш ) . Функция и, определенная на подмножестве dom(u) С Q, называется сечением (реже, селектором) над dom(u) расслоения X , если и(ш) Е X (ш) для всех ш Е dom(u). Говорят, что сечение и определено почти всюду, если множество Q \ dom(u) имеет нулевую меру. Множество всех почти всюду определенных сечений расслоения X обозначается символом S ^ (Q, X ). Множество сечений U С S ^ (Q, X ) называют послойно плотным в X , если множество { и(ш) : и Е U, ш Е dom(u) } плотно в X (ш) для любой точки ш Е Q. Сечение и называют скалярно измеримым, если измерима функция ш ^ к и(ш) к _ш . Линейная комбинация двух почти всюду определенных сечений определяется поточечно и представляет собой почти всюду определенное сечение (над пересечением их областей определения).

Измеримой структурой в X называют послойно плотное множество скалярно измеримых сечений С С S ^ (Q, X ), замкнутое относительно образования линейной комбинации любых двух элементов. Банахово расслоение над Q с фиксированной измеримой структурой называют измеримым банаховым расслоением над Q. При этом пишут проще X вместо ( X , С ) и иногда обозначать измеримую структуру С символом С х .

Пусть ( X , С ) — измеримое банахово расслоение над Q. Сечение, совпадающее с и на измеримом множестве A Е X и равное нулю на дополнении к A, обозначим символом [А]и. Сечение s Е S ^ (Q, X ) называют ступенчатым, если s = ^2n ₌₁ [A k ]c k для некоторых n Е N, A i ,..., A n Е X и c i ,..., c n Е С . Сечение и Е S ^ (Q, X ) именуют измеримым , если для каждого К Е X, ^(К ) < + го , существует такая последовательность (s n ) neN ступенчатых сечений, что s _n (ш) ^ и(ш) для почти всех ш Е К .

Множество всех измеримых сечений расслоения X обозначим символом M(Q, X ). Для и, v Е M(Q, X ) положим и ~ v, если и(ш) = v(ш) для почти всех ш Е Q. Класс эквивалентности, содержащий элемент и Е M(Q, X ), обозначается символом и := и ~ . Фактор-множество M(Q, X )/ ~ естественным образом превращается в векторное пространство.

Далее, для каждого элемента u G M(Q, X )/ ~ вводится векторная норма |u| := |u|~ £ L 0 (Q). Ясно, что пара (M(Q, X )/ ~ , |J) является решеточно нормированным пространством над L 0 (Q, X,ц); это пространство будем обозначать символом L 0 (Q, X, ц, X ) или, короче, L 0 (Q, X ). Заметим, что пространство L 0 (Q, X ) можно снабдить также естественной структурой модуля над кольцом L 0 (Q, X,ц), полагая ёU: = (eu)~ для всех e £ M (Q) и u £ M(Q, X). При этом выполняется |ёи| = |ё||u|.

Пусть E — идеальное пространство над L 0 (Q, X,ц). Положим

E ( X ):= { u £ L 0 (Q, X,ц, X ): |u| £ E } .

Известно, что E ( X ) — пространство Банаха — Канторовича, а L 0 (Q, X, ц, X ) — его максимальное расширение, см. [3; теорема 2.5.3].

• 3.    Сопряженное банахово расслоение

• 4.    Основной результат

По измеримому банахову расслоению с лифтингом X над Q однозначно определяется новое измеримое банахово расслоение с лифтнгом X ⁰ над Q, которое называют сопряженным. При этом в каждой точке ш £ Q слой X 0 (ш) является замкнутым подпространством сопряженного пространства X (ш) 0 . Включение X ⁰ (ш) С X (ш) 0 может оказаться строгим, но для любой точки ш £ Q пространство X 0 (ш) нормирует X (ш), т. е.

||х||ш = max{hx|x% : x0 £ X0(ш), kx0k^ 6 1} для всех x £ X(ш). Здесь (-, -}ш — каноническая билинейная форма двойственности X(ш) ~ X(ш)0.

Если u £ M (Q, X ) и u ⁰ £ M (Q, X 0 ), то h u, u 0 i £ M (Q), где h u, u 0 i обозначает функцию ш ^ h u(ш),u ⁰ (ш) i . Более того, для произвольных классов u £ L ⁰ (Q, X ) и u ⁰ £ L ⁰ (Q, X ⁰ ) и любых представителей u £ u и u ⁰ £ u ⁰ функции h u0, u⁰0 i , определяют один и тот же класс эквивалентности входящий в L 0 (Q), который обозначим таким же символом h u, u ⁰ } .

Отображение (u, u ⁰ ) ^ h u, u 0 i является билинейным оператором, приводящим пространства L ⁰ (Q, X ) и L ⁰ (Q, X 0 ) в L ⁰ (Q)-значную двойственность. При этом для любых фиксированных u o £ M(Q, X ) и u 0 £ M(Q, X 0 ) выполняется

|uo| = max {h u o ,u ⁰ i : u ⁰ £ L “ (Q, X 0 ), |u⁰| 6 1 } ,

|u0| = sup{hu, u0i : u £ L“(Q, X), |u|6 1}, где L“(Q, X) обозначает E(X) при E = L“(Q). Все эти факты о сопряженном измеримом банаховом расслоении имеются в [1].

Пусть (Q, X, ц) — пространство с мерой, а X — измеримое банахово расслоение над (Q, X,ц). Рассмотрим идеальное пространство E С L 0 (Q, X, ц) и двойственное к нему идеальное пространство

E ⁰ := { e ⁰ £ L 0 (Q, X,ц) : ( V e £ E) ee ⁰ £ L ¹ (Q, X, ц) } .

Предположим, что дано семейство (р _ш ) _шс о непрерывных сублинейных функционалов р _ш : X ^ ^ R, причем для каждого u £ E( X ) функция ш ^ р _ш (u(ш)) := р(ш,х(ш)) ц-измерима, а функция ω → k p _ω k мажорируется некоторой измеримой функцией из E ⁰ .

Тогда формула

p(u) =

Р(ш,(u(ш))) dЦ(ш)

(u £ E( X )),

Ω определяет сублинейный функционал p : E (X) ^ R.

Обозначим символом /^ д(р _ш ) d^(ш) множество всех линейных функционалов на E (X ), представимых в виде

u⁽0 ^ j

hu(w), u ⁰ (ш) i d^(ш),

Ω

где u'(^) — измеримое сечение сопряженного расслоения X 0 такое, что u ⁰ (ш) £ д (р _ш ) для всех ш £ Q и |u0| £ E 0 .

Измеримое банахово расслоение X назовем сепарабельным, если существует счетное множество измеримых сечений, послойно плотное в X .

Теорема. Пусть (Q, Х,^) — пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы, а X — сепарабельное банахово расслоение над (Q, Х,ц) с лифтингом. Если семейство (р _ш ) ^ e Q удовлетворяет указанным выше условиям, то имеет место представление

∂p

j д(р_ш ) d^(w).

Ω

C Доказательство содержится в следующих ниже трех леммах. B

Замечание. Заменим в этой теореме р _ш на выпуклую функцию f, : X ^ ^ R U { + ^} и обозначим f (ш,u(ш)):= f(u(ш)). Положим

I f (u):= /

Ω

f (ш,u(ш)) d^(ш)

(u £ E(X )),

если функция ш ^ f (ш, u(ш)) суммируема, и I f (u) : = + го , в противном случае. Допустим, что для некоторых u o £ E ( X ) и 0 < е £ R выполнены условия:

• (1)    шар B (u o (ш), е) содержится в эффективном множестве dom f, при всех ш £ Q;

• (2)    функция ш ^ f (ш,u(ш)) суммируема для каждого сечения и такого, что u(ш) £ B(u o (ш),е) (ш £ Q);

• (3)    для любого сечения h £ E ( X ) существует измеримая функция А : Q ^ (0, + го ) такая, что u o (ш) + А(ш)h(ш) £ B(u o (ш),е).

Тогда из сформулированной выше теоремы можно вывести справедливость представ- ления

dI f (u o ) = /

Ω

df(u o (ш)) d^(ш).

• 5.    Доказательство основного результата

Обозначим символом E(X ) * множество всех линейных операторов S : E ( X ) ^ L 1 (Q, Х,^), для которых существует элемент 0 6 e ⁰ £ E 0 такой, что

| Su | 6 e⁰|u| (u £ E ( X )).

Лемма 1. Если X — измеримое банахово расслоение с лифтингом, то пространство измеримых сечений E 0 ( X 0 ) и пространство операторов E(X ) * линейно изометричны. Линейная изометрия осуществляется сопоставлением измеримому сечению v £ E 0 ( X 0 ) оператора S v : E( X ) ^ L 1 (Q, S,, ^) , определяемого формулой S v : u ^ hu, vY

C Так как |h u, v )| 6 |u| • |v| и |v| G E 0 , то S v G E ( X ) * . Наоборот, пусть S G E(X ) * . Учитывая, что оператор S сохраняет полосы и пользуясь техникой разложения пространства E (X) на полосы, можно свести все к случаю |S| = 1, когда оператор действует в L<” (Q, X ). Если теперь р : = р х — лифтинг пространства L<” (Q, X ), то сечение v G L°(Q, X 0 ), определяемая условиями

(x,v(w)iw := (р ◦ S)(ш), x = u(ш) (ш G Q), будет искомым. B

С семейством (р _ш ) ^^ q свяжем оператор Р : E(X ) ^ L 1 (Q, Х,^) по формуле

Pu:= n(p(^,u(^))) (u 6 E(X)), где n(f) — класс эквивалентности суммируемой функции f. Очевидно, что Р сублинейный оператор.

Лемма 2. Для произвольного измеримого банахова расслоения имеет место представление др = У дPdц(ш).

Ω

C Известно, что оператор Магарам можно выносить слева из под знака субдифференциала, см. [4; теорема 4.5.2]. Так как интеграл 1 _Ц : L 1 (Q, Х, ^) ^ R, очевидно, является функционалом Магарам, то имеет место формула

д(1ц ◦ p ) = 1Ц ◦ др, что равносильно требуемому. B

Лемма 3. Если расслоение X сепарабельно, то для любого оператора S ∈ ∂P существует единственное с точностью до эквивалентности сечение u ⁰ сопряженного расслое ния X 0 такое, что u ⁰ (ш) G д(р _ш ) (ш G Q) , |x⁰| G E 0 и имеет место представление

Su = n( h u o ,u 0 i ) (u G E ( X ), u o G u).

C Если S G дР и Ц р ^ k 6 е ⁰ (ш) (ш G Q) для некоторого e ⁰ G E 0 , то | Su | 6 e⁰|u| (u G E ( X )), следовательно, S G E ( X ) * . По лемме 1 имеет место представление Su = h u, v i (u G E ( X )) для некоторого v G E ⁰ ( X 0 ). Далее, привлекая свойство прямой суммы и разлагая E ( X ) на дизъюнктные полосы, можно считать без ограничения общности, что функция, тождественно равная единице на Q, содержится в E. Пусть последовательность измеримых сечений (u n ) n_eN послойно плотна в X . Заменив, если нужно, u n на u n /(1 + |un I), можно считать, что (u n ) С E.

Возьмем произвольный представитель v0 ∈ v из класса эквивалентности v . Обозначим символом Q(u) множество тех ш G Q, для которых нарушается неравенство ∞ hu(ш), vo(ш)i 6 р(ш, u(ш)). Тогда Qo := |J Q(un) — множество нулевой меры. Для любого n=1

ш G Q o выполняется неравенство h u _n (ш), v o (ш) i 6 p(ш,u _n (ш)) n G N. Следовательно, для каждого ш / Q o будет h x, v o (ш) i 6 р(ш,х) при x G X o (ш) := { u _n (ш) : n G N } . Множество X o (ш) по условию плотно в X ^ , значит в силу непрерывности функционалов р _ш и v o (ш) это неравенство выполняется на всем X ^ . Но это означает, что v o (ш) G др _ш . Определим теперь сечение u ⁰ полагая u ⁰ (ш) := v o (ш) при ш / Q o и считая u ⁰ (ш) произвольным функционалом из др _ш при ш G Q o . Тогда u⁰ — измеримое сечение сопряженного расслоения

X ' , и ' (ш) 6 др _ш для всех ш 6 Q и и' (ш) = v о (ш) для почти всех ш 6 Q. Остается заметить, что в силу последнего утверждения h u(ш),u ' (ш) i = h u(ш),v 0 (ш^ для почти всех ш 6 Q, поэтому Su = n( h u o ,v o i ) = n( h u o ,u ' i ), где и о 6 и. B