О типе полиа целой функции

В теории роста целых и субгармонических функций и в других разделах математики часто используются функции плотности. Важной и часто цитируемой является теорема Полиа о существовании максимальной и минимальной плотности последовательности положительных чисел, полученная им в работе [1]. Функции плотности обладают некоторыми свойствами полуаддитивности. Теория полуаддитивных функций достаточно широко изложена в книге Хилле и Филлипс «Функциональный анализ и полугруппы» [2]. Поэтому естественно возникает вопрос о свойствах общих функций плотности

* Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 2421-00006.

и связанных с ними полуаддитивных функциях. Одному из таких вопросов посвящено наше исследование.

Пусть p(r), r G (0, +w), limr^^ p(r) = q, q G (-от, +ot), — уточненный порядок в смысле Валирона. Число ̺ может быть произвольным вещественным числом. При изучении роста целых функций обычно ограничиваются условием q ^ 0. Мы будем обозначать V(r) = r^r). Пусть L(r) = r-eV(r). Известно, например, из [3], что для любого t G (0, от) выполняется равенство lim r→∞

L(rt)

L(r)

= 1.

Если для некотоpой функции L выполняется pавенство (1), то функция L называется правильно меняющейся порядка ноль в смысле Караматы . Теории медленно меняющихся функций посвящены книги [4, 5].

Зафиксируем некоторый уточненный порядок. Пусть f (z) — целая функция, м (r,f) =max if (z)|. |z|=r

Тогда для нее по формулам

— M (r,f ) _ rim V (r) ^:

a G [0, от ),     lim     (/ f) := a G [0, от )

r x V (r)

можно определить тип σ и нижний тип σ . Конечно, для произвольной целой функции f можно только утверждать, что a, a G [0, от ]. Тип функции f — важная характеристика роста этой функции. Однако, значительно большую информацию о поведении f дают ее верхняя функция плотности M(а) и нижняя функция плотности M (а), которые вычисляются по формулам

\       M (r ⁺ ar,f ) - M (r,f )

M (а) = lim ---------—------- r^^         V(r)

M (а) = lim r→∞

M (r + ат, f ) — M (r, f )

V(r)

а > 0, а > 0.

Из свойств веpхнего и нижнего пределов и равенства (1) следует лемма.

Лемма 1. Справедливы соотношения

M(а + в ) <  M(а) + (1 + а) ^ M (         , v 1 + а J	(3)
M(а + в ) >  M(а) + (1 + аШ ( —в—) , \ 1 + а )	(4)
M (а + в) >  M (а) + (1 + аШ ( —в—, \ 1 + а )	(5)
M (а + в) С M (а) + (1 + а) в M ( — | . \ 1 + а )	(6)

<1 Докажем, например, неравенство (4). Имеем

M (а + в) = = MVl+O+jeirlf-Mrfl г^жV (r)

/ M ((1 + а + в) r,f ) - M ((1 + a) r)f )    M ((1 + а) r,f ) - M (rf ) 1

r™ |                V(r)                 +           V(r)J

M ((1 + a + в) r,f )) - (M ((1 + a) r,f ))    — M ((1 + a) r,f ) - M(r,f )

> lim --------------FT^--+ lim --------FT^-------- V (r)                     г^ж

M ( (1 + a) ( 1 + 1+ ва ) r, f ) - M ((1 + a) r, f )

V((1 + a) r)

lim

r →∞

(

_x V((1+ a) ^r) I + m (a) = m (a) + (1 + a ) ? M (-^в— ^ . >

V (r)      I                                    \1 + a

Функции, удовлетворяющие неравенствам (3) или (5), называются ̺ - полуаддитив- ными . Заметим еще, что M (a) C M (a). Обычно предполагается, что выполняется неравенство ln | f (r) | C KV (r) с некоторой константой K >  0. В этом случае функции M (a) и M (a) ограничены на любом сегменте [a, b] С [0, от ). По различным причинам временами приходится отказываться от априорной оценки ln | f (r) | C KV (r). В этом случае необходимо считать, что функции M (a) и M (a) принимают значения из расширенной вещественной полуоси [0, от ]. При действиях с величинами из расширенной вещественной прямой в нашей работе предполагается, что соотношения x = от - от , x C от - от , x ^ от - от , справедливы для любого x € [ -от , от ]. Неравенство (3) по своей структуре напоминает неравенство

^^{(a + в)} <  ^^{(a) +} ^(^р). (7)

Функции, удовлетворяющие неравенству (7), называются полуаддитивными. Полуадди-тивные функции часто встречаются в различных вопросах математики. Они активно изучались, и их теория изложена в [2], где приведены многочисленные ссылки. В книге [2] рассматриваются измеримые полуаддитивные функции. Это ограничение естественно и не столь обременительно, если полуаддитивные функции рассматривать как пеpвичные объекты, исходя из которых вести дальнейшие построения. Однако, в рассматриваемом нами случае требование измеримости M (a) не столь безобидно. Дело в том, что мы рассматриваем функцию M (a) как функцию плотности. А из измеpимости функции M(r, f ) не следует, что ее функция плотности M (a) будет измеримой.

Верхняя функция плотности M (a) удовлетворяет условиям M (0) =0 и (3). Однако, далеко не всякая функция M (a), a ^ 0, удовлетворяющая этим условиям, будет функцией плотности. Дело в том, что pавенством (2) функцию M (a) можно определить при a >  - 1, пpичем неравенство (3) будет выполняться и при таких a. Таким образом, всякая функция плотности M (a) продолжается как ^-полуаддитивная на полуось ( - 1, от ). Нетрудно подсчитать, что функция M (a) при отрицательных a определяется следующим образом:

Аналогично,

M (a) = - (1 + a) ^e M

- - i+a)’

a € ( - 1, 0).

M (a) = - (1 + a) ^e M

- - 1+a)’

a € ( - 1, 0).

Вопросы, связанные с продолжением полуаддитивных функций, обсуждаются в [2] (см., например, теорему 7.6.4).

Изучение свойств функций плотности модуля целой функции — тема нашей работы. Близкие понятия — функции концентрации изучаются в работах [6–8]. Кроме этого нас интересуют вопросы равномерности. Пусть ^(а) — непрерывная функция на полуоси [0, от ), ^(0) = 0, и пусть выполняется неравенство

— M ((1+ а) r,f) - M(r,f )

С ^(а).

■М------V(r------

Нас интересует, при каких условиях на функцию f функция ф. а = (M^V+rTf1 - *<“))+                 (9)

равномерно относительно а G [0, а д ] стремится к нулю при r ^ от (здесь (x) ⁺ = max { 0; x } ). В теореме 2 мы показываем, что для любой целой функции f справедливо равномерное по α стремление к нулю функции ε при r → ∞ .

Наше изложение больше ориентировано на применения к теории роста целых функций. Изложение теории субаддитивных функций в [2] ориентировано на применение в различных вопросах анализа, но более всего — в теории полугpупп операторов. Только в случае q = 0 Q-полуаддитивные функции с точностью до замены переменной а = e t — 1 совпадают с полуаддитивными. Специалисты по теории моста целых и субгаpмонических функций знают, что случай q = 0 всегда требует отдельного исследования. Исключительность случая q = 0 будет видна и в нашей работе.

• 1.    Теоpема о pавномеpности

Начнем этот раздел с простого критерия непрерывности функций M (а) и M (а).

Теорема 1. Пусть функции M (а) , M (а), а ^ 0, удовлетворяют равенствам

M (0) = M (0) = 0.

Для того чтобы обе функции были конечными, непрерывными функциями на полуоси [0, от), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства lim M(а) = lim M(а) = 0. ач+G       ач+0

Доказательство пpостое и мы его опускаем. Далее мы пеpеходим к одному из важных pезультатов этого pаздела — доказательству теоремы о равномерности.

Теорема 2. Пусть f — целая функция, ^(а ) — непpеpывная функция на всей оси [0, от ), пpичем ^(0) = 0 . Пусть для любого а G [0, от ) выполняется неравенство (8) . Тогда это неравенство выполняется равномерно по а на любом сегменте [a, b] С (0, от ) . Если для некоторого п >  0 неравенство (8) выполняется на полуоси (-п, от ), то оно выполняется равномерно на любом сегменте [0, b] .

<1 Обозначим r = e x , 1 + а = e^T , ^(x) = M(e x ,f ), Ф(х) = V (e x ), a ₁ = ln(1 + a), b l = ln(1 + b), ^ i (t ) = ^(e ^T — 1). В новых обозначениях неравенство (8) будет иметь вид

^(x ^{+ Т} ) ^— ^^(x)

^limsup-----— ----- ^С ^ 1 (т ).

Х ЧМ       Ф(х)

Нам нужно доказать, что это соотношение выполняется равномерно на сегменте [a i ,b i ]. Если это не так, то существуют строго положительное число ε, последовательности x n ^w , T n G [a _i ,b _i ], такие, что

^(x n + T n ) - ^(x_n) >  C0 1 (T n ) + е)Ф(Х п ).

Пусть 5 G (0,a i /2), £ i > 0, 5 i > 0, а в остальном — произвольные числа. Определим множество

U n = |а G [0,5] : ^(x m + а) - ^(x m ) < (- i (а) + £ i ) Ф(x m ) V m >  n}.

Имеем U n +i D U _n , UX i U n = [0,5]. Из измеримости функции ^ (это так, поскольку, M(r, f ) — непрерывная функция) следует измеримость множеств U _n . Далее определяем множество

V n = {в G [a i - 5,b i ] : ^(x m + T m ) - ^(x m + T m - в) < (- i (в) + E i )^ф(X m + T m - в) V m >  nJ.

Множества Vn — измеримы, Vn С Vn+i, UX=i Vn = [ai - 5, bi]. Из свойств непрерывности меры следует, что для любого 5i > 0 и всех достаточно больших p будут справедливы соотношения mes Up >5 - 5i, mes Vp > bi — ai + 5 - 5i.

Пусть V _p ‘ = T _p - V p , и пусть 5 i < 5/2. Легко проверяются соотношения

Up С [0,5] С [Tp - bi,Tp - ai + 5],   V’ С [Tp - bi,Tp - ai + 5], mes Up >5 - 5i > ^ 5, mes Vp > bi - ai + 5 - 5i > bi

-

^a i + ^ ⁵-

Из этого следует, что U p П V ’ = 0 . Пусть а G U p 0 V’. Тогда а G [0, 5], а = T p - в, в G V p , ^(x p + а) - ^(x p ) < (^(а) + E i )Ф(x p ), ^(x p + T p ) - ^(x p + а) < (- i (T p - а) + E i )Ф(x p + а). Складывая два последних неравенства, получим

^(x p + T p ) - ^(x p ) < ^ i (T p )Ф(X p ) + (^ i (а) + E i )Ф(X p ) + £ i

Ф(x p + а)

^ф(x p ⁾

^ф(x P ⁾

+ ^- i (^T p ^{- а )} [ ^Ф( ₍ ^X p ^{+ а) -} 1] Ф^(x p ^)AA + (0 i ^(T p ^{- а) -} -^(^^( x p ). L ^^(x p )        J

Напомним, что а G [0,5]. При достаточно малых £ i и 5 и достаточно больших p это неравенство противоречит неравенству (22). Тем самым мы доказали, что соотношение (10) выполняется равномерно на сегменте [a i ,b i ]. Первое утверждение теоремы доказано. В случае если неравенство 10) выполняется на полуоси ( - v, w ), мы можем повторить предыдущие рассуждения с a = 0. >

Замечание 1. Равномерная выполнимость неравенства (10) на некотором сегменте по определению означает, что функция e(r, а), опpеделенная равенством (9), pавномеpно по α на этом сегменте стpемится к нулю пpи r → ∞ .

Замечание 2. Пусть M(а) и M(а) — функции плотности целой функции f. Для того, чтобы обе эти функции были непрерывными, необходимо и достаточно, чтобы вы- полнялось равенство

lim r →∞ а ^ +0

M (г + аг, f) - M (r, f)

V(r)

= 0.

• <1 Если выполняется равенство (12), то

• 2.    Свойства функций плотности

lim M(а) = lim M (а) = 0.

а ч+G        а ч+0

Теперь из теоремы 1 следует непрерывность функций M(а) и M (а). Обратно, если функции M(а) и M (а) непрерывны (можно считать на полуоси ( - 1, то )), то из теоремы 2 следует существование функции e(r) ^ 0 при r то то такой, что будут справедливы неравенства

( M (а) — e(r))V(r) <  M(r + аг, f ) — M(r, f ) <  (M(а) + e(r))V(r), а G [0,1].

Из этих неравенств вытекает равенство (12). >

Замечание 3. Если неравенство (10) выполняется на полуоси [0, то ), то из этого не следует, что оно выполняется равномерно на любом сегменте [0,b].

Фоpмулиpуемая ниже теорема принадлежит Штейнгаузу [9, теорема 7].

Теорема 3. Арифметическая сумма A + B измеримых множеств положительной меры на вещественной оси содержит в себе некоторый сегмент [а, в ] , а < в■

Простейшие из функций плотности — это те, для которых в неравенствах (3) или (5) стоит знак равенства. Они называются ̺ -аддитивными функциями плотности. К этому классу принадлежат функции плотности регулярно растущих целых функций f , т. е. таких функций, для которых существует предел

M (r + аr,f) — M (r,f )

lim -------f7n------- r^m          V(r )

Теорема 4. Пусть функция плотности M(а) на полуоси (0, то ), принимающая значения из расширенной вещественной полуоси [0, то ], удовлетворяет равенству

M (а + в ) = M (а) + (1 + ауШ

(г+Л

Q G [0, то ) .

Пусть q = 0 и функция M(а) конечна на множестве положительной меры. Тогда

M (а) = K ТОТОТО, ̺ где K > 0 — некоторое число.

Пусть q = 0 и функция M(а) удовлетворяет хотя бы одному из двух условий:

• 1)    M(а) — измеримая функция, которая конечна на множестве положительной меры;

• 2)    M(а) — ограниченная функция на некотором множестве положительной меры.

Тогда M(а) = K ln(1 + а).

• <    Обозначим ^(t) = M (e t — 1). Для функции ^ получается уравнение

^(u + v) = ^(u) + e^eu^(v), u,v >  0.

В частности,

^(2u) = (1 + e ^^U )y(u).

Пусть A = { x > 0 : | ^(x) | <  то} . Из условия теоремы следует, что множество A содержит в себе множество положительной меры. Из равенства (14) следует, что A + A С A. Из теоремы 3 следует, что Int A = 0 (Int A — внутренность A). Из равенства (15) следует, что 2 A С A. Поэтому inf { Int A} = 0. Если теперь Int A = (a, то ), то существует интервал (а, в) С Int A такой, что в / Int A. Пусть теперь y € A, Y ^ (0, в - а). Так как Y + A С A, то интервал (а + Y, в + Y) С A. Но тогда в € Int A. Мы получаем противоречие. Таким образом, Int A = (a, то ). Из равенства inf { Int A} = 0 следует, что a = 0. Таким образом, функция ^(t) конечна на всей полуоси (0, то ). Пусть р = 0. Тогда, меняя в равенстве (14) местами u и v, получим

^(u + v) = ^(v) + e^pv ^(u),

^^(u) e ^u - 1

y(v)

e Pv - 1’

Т. е. функция Ф(х) = _e g ^{( x} -⁾₁ = const := у, x > 0, где K >  0.

Тогда

„(u) = K001 , m ₍.) ₌ к (1+O i — i.

̺̺

Пусть тепеpь q = 0. Имеем ^(u + v) = ^(u) + ^(v), пpичем ^ конечная на полуоси функция. Если ^ — измеримая функция и U n = {u € [1,2] : | ^(u) | < n } , то U n — возрастающая последовательность измеримых множеств, пpичем U^Xi U n = [1, 2]. Тогда для некоторого n mes U n >  0. Таким образом, из условия теоремы следует в случае р = 0, что существует множество B положительной меры, на котором функция |^| ограничена, скажем, константой b. Тогда на множестве B + B она ограничена константой 2b. По теореме 3 множество B + B содержит в себе сегмент [а, в] С (0, то ). Пусть ^(1) = K . Тогда из равенства ^(u+v) = ^(u)+^(v) следует, что для положительных рациональных u выполняется равенство ^(u) = Ku. Рассмотрим функцию ^ i (u) = ^(u) — Ku. Эта функция удовлетворяет уpавнению ^ i (u + v) = ^ i (u) + ^ i (v), u,v >  0, ограничена на сегменте [а, в], равна нулю в положительных рациональных точках. Пусть теперь x — произвольное число на полуоси (0, то ). Всегда существует рациональное число r такое, что x + r = у, где y € [а,в]. Тогда, используя равенство x + r = у, если r >  0, равенство x = у — r, если r <  0, функциональное уравнение для ^ i и то, что ^ i обращается в ноль в положительных рациональных точках, получим ^ i (x) = ^ i (y). Из этого следует, что функция ^ i ограничена на всей полуоси (0, то ). Если теперь для некоторого x g > 0 ^ i (x o ) = 0, то равенство ^ i (nx g ) = n^ i (x g ) приводит к противоречию. Таким образом, ^ i (u) = 0, ^(u) = Ku, N(а) = Kln(1 + а). >

Для доказательства следующей теоремы мы предварительно сформулируем две леммы. В этих леммах [x] означает целую часть x.

Лемма 2. Пусть заданы сегмент [t i ,t 2 ] С (0, то ) и целое положительное число p такие, что ^t i , pp i ti] С [t i ,t 2 ] - Тогда любое x ^ pt i представляется в виде x = pt + kt i , где k = [ .     ] , t € [t i ,t 2 ] .

• < 1 Доказательство очевидно. >

Лемма 3. Пусть заданы число s > 0, сегмент [t i ,T 2 ] С (0, то ) и целое число A такие, что A(t 2 — T i ) > 2s . Тогда любое число x ^ ([ A ¹ ] + 1 ) s представляется в виде ([ AT 1 1     )           ([ AT I 1     )         [ X —G AZ l /s +il i s ]

x n^T + ms, где ^{T € [T} 1 , ^T 2 ^], n A^ [ s J + 11 , ^{m k} f [ s J ⁺ 17 , ^k s ([ Az i /s ]+i) J .

• <    Неравенство A(t 2 — T i ) > 2s гарантирует включение

( AT I +1) s^Asl +2) s С [AT i ,AT 2 ].

Теперь применение леммы 2 с параметрами t i = ([ A ¹ ] +1 } s, p = [ Ar i ] + 1 и соотношения (16) доказывают лемму 3. >

Замечание 4. Если взять A = [x ¹ / ³] , то для представления x = п(х)т + m(x)s будут справедливы соотношения n(x) ~ T i x ² / ³ /s, m(x) ~ x/s. Варьируя величину А, можно добиться, чтобы выполнялось любое из соотношений

m(x)   „         n(x)

, x ^x n(x)        x ^x m(x)

при выполнении условий lim _x ^_x n(x) = lim _x ^_x m(x) = от .

Далее формулируется основная теорема о свойствах функций плотности (мы считаем 3 1                  ¹

(1+a)e - 1 | _e= 0   ln(1+ a ) ^).

Теорема 5. Пусть M(a) — функция плотности целой функции f, которая удовлетворяет неравенству (3) при некотором q ^ 0 .

• 1.    Если выполняется хотя бы одно из условий:

• a)    функция M(a) измерима и удовлетворяет неравенству M(a) <  от на множестве положительной меры;

• b)    функция M(a) ограничена сверху на множестве положительной меры, то существует предел

• 2.    Для любой точки x >  0 спpавед.ливы неравенства

  ----Q---- lim M(a) <  lim M^ ^{(1 +} x^{) 3 — 1} a x - 0          a x0 ^a

_{тт r}      QM ^(a)       ■ _х   QM^{( a )}

H = lim ------------ = inf ------------.

a >x (1 + a) ³ — 1 a> 0 (1 + a)⁰ — 1

7т lim (1 + x) 3 — 1 a > x 0	M (a) ^	r   M (a) lim ------. a >  -0 a
3. Существуют пpеде.лы
a m lim M(a)  SUD   QM(a)	° p (f )	r   M (a) = lim ----- a x 0 a	. ,   QM (a) = inf             _ a> 0 (1 + a ) 3 — 1
a p f )= «^0   a     ',': (1 + a)3 — 1 ’

<1 Обозначим ^(t) = M(e t — 1). Тогда неpавенство (3) пpеобpазуется в неpавенство

^(u + v) <  ^(u) + e ³“ ^(v).                             (17)

Используя метод математической индукции, можно доказать неравенства

QP ⁽ nu) _<  q^ ^(u) e _& nu — 1 e Q _U — 1 ’

e Qn'u   1                e Qmv   1

p ⁽ⁿ u + mv) < —-- -^^(u)+ e ³™ — -^⁽v), Q = ⁰ ,           ⁽¹⁹⁾

e ^3U — 1             e ^3v — 1

^(nu + mv) <  n^(u) + m^(v), q = 0 .                     (20)

Пусть выполняется условие а) теоремы. Так как при отображении t = ln(1 + a) измеpимость сохpаняется и множество положительной меpы пеpеходит в множество положительной меpы, то пpи пpинятом пpедположении функция ϕ будет измеpимой и конечной на некотором множестве E положительной меры. Обозначим En = {t G E : ^(t) C n}. Тогда En — возpастающая последовательность измеримых множеств, пpичем E = UX1 En. Для некотоpого n множество En имеет положительную меpу. На множестве En функция ϕ огpаничена свеpху. Заметим, что условие б) пpямо гаpантиpует существование такого множества. Вдобавок, мы, без огpаничения общности, можем считать, что множество En огpаничено. Тепеpь из (17) следует, что функция ϕ огpаничена свеpху на множестве En + En. По теоpеме 3 это множество содеpжит некоторый сегмент [ti,T2] С (0, от). Таким обpазом, как из условия а) так и из условия б) вытекает существование сегмента [ti,T2] С (0, от), на котором функция f огpаничена свеpху. Пусть

H _{= ы}.

t> 0 e^pt - 1

По условию теоремы H <  от . Пусть H i — пpоизвольное вещественное число строго большее чем H . Тогда существует число а о > 0, что

Р^(ао) „ тт

е Р^ао - 1       ¹

Пусть вначале q > 0. Пpименим неpавенство (19) с n = n(x), u = т, m = m(x), v = ао. Мы получим q^(x)    e^n(x)T - 1 q^)   e^x - e?n(x)T q^)

e ^x - 1 ^C e ^x - 1 e e^T - 1+   e ^x - 1   e ?« o - 1 '

Так как qx - Qn(x')т = Qm(x)a o , и так как по замечанию 4 к лемме 3 можно считать, что lim_x ^_M m(x) = от , то lim x ^^ (e ^{en ( x} ) ^T - 1)/(e ^ex - 1) = 0. Мы получаем, что

• 7— Qf(x) , ,, lim  

• x >^ e &^x - 1

Используя определение H , легко получить, что

V Q^(x) „ lim  =

x >x e Px - 1

Пусть тепеpь q = 0. Подставляя в неpавенство (20) n = n(x), u = т, m = m(x), v = а о , получим

C nW^(т) + mix’ ^o) = nix’ f^(T) - ^(„0^ + ^ .(22)

x x          x           x          а о

Мы можем считать, согласно замечанию 4 к лемме 3, что lim x ,_м n(x)/m(x) = 0. Тогда из (22) следует, что

Ji- fix) C хЫ

Отсюда следует (21) и при р = 0. Утвеpждение 1 теоpемы доказано.

Далее будем доказывать утвеpждение 2. Обозначим

N i = lim fH.

а >  -0 ^а

Пусть {т к } , lim k _>м Т к = 0, — такая последовательность, что

N 1 = lim k →∞

Х ^(т к ’

τ k

.

Обозначим t n^ = nT k . Тогда из неравенства (18) следует, что

Q^ ^(t n,k ) _<  Q^(T k ) e etn,k - i     e ^rk - 1

Пусть t — произвольное строго положительное число. Так как lim k _—^ T k = 0, то существует функция n = n(k) такая, что lim ^ ^^ t _n (k),k = t. Причем функцию n = n(k) мы можем выбивать таким образом, чтобы гарантировать выполнение любого из неравенств t n(k),k < t, t _n (k),k > t. Выберем n = n(k) одним из указанных способов и подставим в (23) вместо n величину n(k). Переходя к пределу при k ^ то , получим

^̺ _e ̺t _-

- ^lim ^ ^(t n(k),k ) <  N 1 • 1 k —^      ⁷

Если тепеpь n(k) выбpано так, что выполняется неpавенство t _n (k),k > t, то из (24)

следует, что

̺ e^t - 1

lim ^(u) <  u— — 1 +0

^̺ _e ̺t _-

- ^lim ^ ^(t n(k),k ) <  N 1 • 1 k —^      ⁷

Аналогично, получаем

—t---- lim ^(и) <  N i . e ^{e — 1} u — t - 0

Из этого следует утверждение 2 теоремы.

Осталось доказать утверждение 3 теоремы. Предыдущие рассуждения показывают, что достаточно установить аналогичный результат для функции ^. Функция M (а ) — возрастающая функция. А любая возрастающая функция полунепpеpывна снизу справа. Поэтому функция ϕ полунепpеpывна снизу справа в точке t . Это означает, что выполняется неравенство

^(t) <  lim ^(u).

u——1 +0

Теперь из (25) следует, что

Г <  N i .                           (26)

e ^t — 1

Функция —M (а) убывающая, поэтому полунепрерывна снизу слева в точке а. Аналогичными рассуждениями можно показать, что неравенство (26) с использованием (5) выполняется и для функции ^(t) = M (e t — 1).

Из неравенства (26) легко следует утверждение 3 теоремы.

Теорема полностью доказана. >

Замечание 5. Как уже отмечалось во введении теория ̺ -полуаддитивных функций параллельна хорошо разработанной теории полуаддитивных функций, пpичем для случая р = 0 функция M (а) c помощью замены а = e t — 1 превращается в полуаддитивную функцию. Аналогом утверждения 1 теоремы является теорема 7.6.1 из [2]. Аналогом утверждения 3 является теорема 7.11.1 из этой же книги.

Замечание 6. Пусть an — последовательность положительных чисел, а n(r) = San

N = lim —, N = lim —. а—+0 а        а—+0 а

Эти утверждения совпадают с теоремой Полиа [1] о существовании минимальной и максимальной плотностей. Правда, Полиа доказывал свою теорему при некотором дополнительном предположении о последовательности a_n. Затем А. А. Кондpатюк [10] показал, что дополнительные предположения не нужны. Он также рассмотрел случай произвольного уточненного порядка. Таким образом, утверждение 3 теоремы 5 можно рассматривать как распространение теоремы Полиа на максимум модуля целой функции.

В пункте 3 теоремы 5 приведены достаточные условия существования предела r   M (a)

lim ----- a > • о a для функции плотности. Эти условия выражены в терминах свойств функции M(a). Можно привести условия существования предела и в других терминах. Обозначим

„ v M (a) N1 = lim .

a > • 0 ^a

Тогда существует множество E С (0, от), для которого ноль является предельной точкой, и такое, что

v   M (a)„

lim  = N a—+0

α∈E

Если существует пpедел (27), то тогда в качестве E можно взять всю полуось (0, от). Мы покажем, что если в pавенстве (29) множество E достаточно «массивное», то существует предел (27). Нам нужно несколько новых определений. Мы будем пользоваться терминологией из [2]. Множество E в абелевой полугруппе называется модулем, если из соотношений x G E, y G E, следует, что x + y G E. Всюду в дальнейшем в качестве абелевой полугруппы у нас будет выступать вещественная полуось (0, от) со сложением в качестве полугрупповой операции. Множество E С (0, от) называется L-модулем, если из соотношений x G E, y G E, следует, что x + y + xy G E. Легко видеть, что если E — модуль, a(t) = e — 1, то a(E) есть L-модуль и, обратно, если E есть L-модуль и t(a) = ln(1 + a), то t(E) есть модуль. Пусть E — произвольное множество на полуоси (0, от). Через S(E) мы будем обозначать наименьший модуль, содержащий множество E. Легко видеть, что x G S(E) тогда и только тогда, когда x = £^₌i Uk, где Uk G E. Число n и слагаемые Uk изменяются с изменением x. Аналогично, через ,S(E) обозначается наименьший L-модуль, содержащий E .

Теорема 6. Пусть функция ^(t), t G (0, от), удовлетворяет неравенству (17),

N1 = lim ^(t). t^+о t

Пусть E С (0, от) есть множество, для которого ноль является предельной точкой, при- чем

V    ^(t)

lim ---=

t—+0  t t∈E

Ni.

Тогда

lim t——+0 tes(E)

^^(t) t

Ni.

<1 Пусть е > 0, 50 G (0,1) — суть произвольные числа. По условию теоремы существует 5 G (0, йд) такое, что для любого t G (0, 5) П E будет выполняться неравенство

^ - N

< ε,

и, в частности, неравенство ^(t) < (Ni + E)t. Пусть теперь t G (0,5) П S(E). Тогда t = Ui + U2 + • • • + un, где Uk G E. Очевидно также, что Uk G (0, 5). Поэтому ^(uk) < (Ni + E)uk. Тогда, используя неравенство (17), получим

^(t) = ^(ui + U2 + ••• + Un) ^ ^(ui) + e^pui^(u2) + ••• + e^p(ui+^u2+-+^un^-i)^_Un) < (Ni + e)(ui + e^pu1U2 + ••• + e^p(u1+u²+-+un^-i)u_n.

Из неравенства (30) следует, что

^^(t)<

(Ni + e)(1 + sign(Ni + e) sup |e^px \                          xe[0,5]

- 10

t.

Отсюда следует, что lim sup ^-^ < Ni . t—+o,     t tes(E)

Из этого следует утверждение теоремы в случае Ni G (-го, го).

Случай Ni = —го исследуется аналогично. В случае Ni = +го теорема тривиальна. >

Теорема 7. Пусть функция ^(t), t G (0, го), удовлетворяет неравенству (17) и lim ^= Ni.

t > ■ 0 t

Пусть E С (0, го) — множество, для которого 0 является предельной точкой, и такое, что

lim ^(t) = N_i.

^t—+⁰>t t∈E

Тогда, если для любого 5 > 0 множество (0,5) П S(E) содержит в себе множество положительной меры, то существует r    ^(t)

lim ----.

t—^+0 t

• < Из теоремы 3 следует, что для любого 5 > 0 множество (0, 5) П S(E) содержит в себе интервал. Поэтому существует открытое множество Ei , для которого ноль является предельной точкой, такое, что Ei С S(E). Тогда S(Ei) С S(S(E)) = S(E). По теореме 8 из [2] S(Ei) = (0, го). Таким обpазом, S(E) = (0, го). Теперь применение теоремы 7 заканчивает доказательство теоремы. >

Сформулируем теперь соответствующие результаты для ̺-полуаддитивных функций.

Теорема 8. Пусть M(а), а G (0, го), есть функция плотности и пусть v   M (а)

N_i= lim ——.

а—+0 ^а

Пусть E С (0, от) — множество, для которого 0 есть предельная точка, и такое, что v   M (а)   „ lim -----= N1.

^а- -°, а

α∈E

Тогда v    M (а)   АТ lim ----- = N1.

а—+о,   а aES(E)

Теорема 9. Пусть M(а), а G (0, от), есть функция плотности и пусть

M (а)

N1 = lim ——.

α→+0 α

Пусть E С (0, от) — множество, для которого 0 есть предельная точка, и такое, что v   M (а)„ lim = N а—+о,

α∈E

Тогда, если для любого 5 > 0 множество (0, i)nS(E) содержит внутри себя множество положительной меры, то существует предел rM (а)

lim -----

α→+0